giải phương trình hệ phương trình sử dụng đạo hàm

GII PHNG TRÌNH-H PHNG TRÌNH( S DNG O HÀM) Bài 1: Gii phng trình 13232 122 +++=+ + x xx x x Gii: Ta có xxf xx ++= 32)( tng trên R, nên phng t rình tng đng )1()2( += xff x 12 +=⇔ x x Hàm s )1(2)( +−= xxg x xác đnh trên R ( ) exxgxg x 22 // loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−= Vy phng trình có nhiu nht 2 nghim trên ( ) )(loglog; 22 e∞− v ( ) ∞+;)(loglog 22 e Th trc tip tìm đc hai nghim là 1;0 == xx Bài 2: Gii phng trình 1514312log 114312 5 −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−++−− −−−++−− xxxx xxxx Gii : iu kin 1≥x .t 0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chng minh) phng trình tng đng 15)1(log 5 −=+ t t ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = += ⇔ −=− += ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ += += ⇔ ty t ty y t y t yt t y t 15 (*)55 15 15 15 0=⇔ t 0114312 =−−−++−−⇔ xxxx 52 ≤≤⇔ x Bài 3: Gii phng trình 324 42442 2 1 −+−= xxxx Gii : 021224 234 =−+−−⇔ xxxx Xét hàm s 12412421224 23/234 +−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy Lp bng bin t hiên, suy ra hàm s có trc đi xng x =1 Do đó đt 1+= Xx , ta có phng tr ình ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +±= −±= ⇔=+− 1141 1141 058 24 x x XX Bài 4: Gii phng trình ( ) x x x coscos 4.342)cos1( =++ Gii : t 11cos ≤≤−= yyx ( ) yy y 4.342)1( =++⇔ t () 1 42 4.4ln.6 )(1 42 4.3 )( 2 / − + =⇒−− + = y y y y yfyyf www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1 () 2 / 424.4ln.160)( yy yf +=⇔= ây là phng trì nh bc hai theo y 4 , nên có không quá 2 nghim. Vy theo đnh lý Roolle phng trình 0)( =yf có không quá 3 nghim. Ta có 1, 2 1 ,0 === yyy là 3 nghim ca p hng trình 0)( =yf Suy ra phng t rình có nghim π π π π π 2 3 2 , 2 ,2 kxkxkx +±=+== Bài 5: Gii phng trình 13 1 24 log 26 26 2 2008 −−= ++ + xx x x x Gii : 241 2008 2008 1 24 226 26 2 2 2 4 1 26 +=++⇔= ++ + + ++ xxx xx x x xx vì hàm s x xxf 2008.)( = tng trên R Gii phng trình 013013 326 ≥−−⇔=−− uuuxx phng tr ình ch có nghim trong (0,2) t 2 0cos2 π <<= ttu 2 1 3cos =⇒ t Suy ra phng t rình có nghim 9 cos2 π ±=x Bài 6: Gii phng trình xx xx cossin 2 5 .sin 2 5 .cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Gii : Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghim . Xét 2 π k x ≠ xx xx cos 2 5 sin 2 5 cossin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ Xét hàm s 0,1 2 5 )( ≠< ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = tt t tf t . Hà m s )(tf nghch bin Suy ra π π kxxx +=⇔= 4 cossin Bài 7: Gii phng trình 322 32 54 log)2( 2 2 2 += + ++ ++ x x xx x Gii : k 032 >+x [] 322log3221)2(log1)2( 2 2 2 2 +++=+++++⇔ xxxx t )0(log)( 2 >+= ttttf Tng t www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 Phng tr ình có nghim 1−=x Bài 8: Gii phng trình x x xx 20072007 19751975 cos 1 sin 1 cossin −=− Gii : x x x x 2007 1975 2007 1975 cos 1 cos sin 1 sin −=− 1cos;1sin == xx không là nghim ca p hng trình t hàm s )1;0()0;1( 1 )( 2007 1975 ∪−∈−= t t ttf Ta có 0 2007 1975)( 2008 1974/ >+= t ttf nê n hàm s tng trên mi khong )(:)0;1( tft −∈ ch nhn giá tr dng )(:)1;0( tft ∈ ch nhn gi á tr âm Nên π π kxxxxfxf +=⇔=⇔= 4 cossin)(cos)(sin Bài 9: Gii phng trình xxxxxx 4422 cos2cos3sin.sin22cos. 2 cossin. 2 sin −+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ππ Gii : () xxxxxx 442222 cos2cos2coscos22cos. 2 coscos. 2 cos −+−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ ππ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−⇔ xxxxxx 224224 cos. 2 coscos2cos2cos. 2 cos2cos22cos ππ Xét hàm s 10. 2 cos2)( 2 ≤≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= tttttf π . )(tf gim 3 cos2cos)(cos)2(cos 2222 π k xxxxfxf =⇔=⇔= Bài 10: Gii phng trình [ ] 35)37634(log337634)37634(2 2 2 2329334 2 =+−+++−+− +− xxxxxx xx Gii : t )87(37634 2 ≥+−= txxt )256.256(log256.22.35).2(log.2 3 2 32562833 2 3 ttt tt ==⇔ Hàm s ).2(log.2)( 3 2 3 tttf tt = đng bin trê n [ ) ∞+;1 4;3025637634256 2 ==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt Bài 11: Gii phng trình )16cos2cos4(log2cos 2 1 2 1 3 4 2 sin2 −−+=+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ xxx x Gii : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3 t )1 3 1 (2cos ≤<= yxy )13(log 2 1 2 4 1 −+=+⇔ − yy y t )1(132)13(log 2 ≤−=⇔−= tyyt t Ta có h ty y ty ty t y +=+⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −= −+= 22 132 122 Xét hàm s uug u += 2)( , hà m s đng bin trên R 0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft tt Xét hàm s 132)( +−= ttf t , s dng đnh lý Roll cm phng trình có không quá 3 nghim Phng trình có nghim )(31 Ltt == , suy ra phng trình có nghim π kx = Bài 12: Gii phng trình 11 7.4.128343.864 −− +=− xxxx Gii : t 1 7.2;4;2 − =−== xx cba 03 333 =−++⇔ abccba 00 2 )()()( )( 222 =++⇔= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− ++⇔ cba accbba cba 07.242 1 =+−⇔ −xx Xét hàm s 7ln.7. 7 2 4ln.4)(7.242)( /1 xxxx xfxf +−=⇒+−= − Phng tr ình 0)( / =xf có nghim duy nht nên theo đnh lí Lagrange phng trình 0)( =xf không có quá 2 nghim phân bit Phng trình có nghim 2;1 == xx Bài 13: Gii phng trình )32(log)22(log 2 32 2 322 −−=−− + + xxxx Gii : iu kin xvx <−< 31 )32(log)22(log 2 347 2 348 −−=−−⇔ ++ xxxx t 347 +=a và 32 2 −−= xxt tt aa log)1(log 1 =+⇔ + t ty a log= 1 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ yy aa a 1=⇔ y l à nghim duy nht Phng trình có nghim 34111 +±=x Bài 14: Gii h phng trình www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 4loglog 4loglog 4loglog 35 35 35 xz zy yx Gii : H phng trình không đi qua phép hoán v vòng quanh zy x ==⇒ T đó ta có ( ) 4loglog 35 += xx , đt xt 5 log= 1 3 1 4 3 5 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ t t Phng tr ình có đúng 1 ngim 2=t do hàm s 1 3 1 4 3 5 )( = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = t t tf nghch bin H phng trình có 1 nghim 25=== zyx Bài 15: Gii h phng trình () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−+ −−=− − 04122 2 3 22 2 2 2 2 2 1 xyxxyx xy y x x Gii : T phng trình (2) 2 21 1)2( x x yxyx − =⇔=+⇔ (1) 22 2 2 21 2 2 1 2 2 21 2 2 1 x x x x x x x x − = − ⇔ + − + − xé t hàm s 0 2 1 2ln2)( 2 2)( / >+=⇒+= tt tf t tf 22 2 2 21 2 1 x x x x − = − ⇔ H phng trình có 1 nghim 4 3 ,2 −== yx Bài 16: Gii h phng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++=++ + + = − 1)2(log2)62(log3 1 1 23 2 2 22 yxyx y x e xy Gii : k 062 >++ yx và 02 >++ yx (1) 1)1ln(1)1ln( 2222 +++=+++⇔ yyxx Hàm s 1ln)( >+= ttttf đng bin trên );0( ∞+ yxyx ±=⇔+=+⇔ 11 22 .Nu 3;31)6(log)2( 3 −==⇔=−⇔−= yxxyx www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5 .Nu y x = (2) uxx 6)1(log2)2(log3 23 =+=+⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ =+ =+ ⇔ 1 9 8 9 1 21 32 3 2 uu u u x x Hàm s uu ug ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 8 9 1 )( nghch bin trên R, suy ra 1=u là nghim duy nht H phng trình có 2 nghim 4 3 ,2 −== yx và 7;7 == yx Bài 17: Gii h phng trình () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ −=− + + + 2 7 2 3 2 )2(342 2 2 1 2 8 1 2 yx xy yx y x Gii : k 0; ≥yx () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ +=+ ⇔ ++ + + 732 43232 1 2 1 2 )4( 1 2 yx yx yx y x Hàm s xxf x 32)( 1 2 += + đng bin trên [ ) ∞;0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ =+ = ⇔ =+ = ⇔ 5 1 5 4 1 4 )1()( )4()( y x yx yx fyxf yfxf Bài 18: Gii h phng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −−= −−= )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos 2 2 2 zyz yxy xzx Gii : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++= ++= ⇔ 4228 4228 4228 2 2 2 ZY YX XZ Z Y X Hàm s () 422 8 1 )( 2 ++= ttf t đng bin trê n ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 1; 2 1 () 422 8 1 2 ++===⇔ XZYX X Gii bng đ th ⎢ ⎣ ⎡ === === ⇔ )(2 1 lZYX ZYX H phng trình có 2 nghim π π π 2;2,2 mzlykx === www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6 Bài 19: Gii h phng trình ⎩ ⎨ ⎧ +=+ +=+ 2)(coslog)sin31(log 2)(sinlog)cos31(log 32 32 xy yx Gii : k 0sin;cos ≥yx )(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log 3232 yyxx =+=++⇒ Hàm s tttf 32 log)31(log)( ++= 0 3ln 2 2ln)31( 3 )( / >+ + =⇒ tt tf đng bin trên 0>∀t xy cossin =⇒ Thay vào phng trình (1) 2)(coslog)cos31(log 32 +=+⇒ xx Lp BBT hàm s vvvg 32 log)31(log)( −+= vi ( ] 1,0cos ∈= xv phng tr ình ch có 2 nghim 3 1 cos,1cos == xx Bài 20: Gii h phng trình 34 22 3 28 21 82 xy y xy xy y ⎧ −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Gii: H tng đng ( ) 33 2 28 (1) 0 ( ) 18 2 (2) yx y xy yx y ⎧ −= ⎪ ⇒>> ⎨ += ⎪ ⎩ (2) 4 38 x y y ⇒= − , tha y vào (1) đc: 3 4 3 38 28 yy y y ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ (3) t 0ty=> , (3) tr thành: () 3 4 3 22 6 93 4 38 28 3 8 28 0 tt t ttt t ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −=⇔− − += ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ Xé t hàm () 3 93 4 () 3 8 28 f tt t t=− − + ta có: () 82 3 4 '( ) 9 9 3 8 28 0, 0 f tt t t t=+ −+>∀> Chng t hàm s f(t ) đng bin trên khong (0;+∞) phng trình f(t) = 0 nu có nghim trên Khong (0;+∞) thì nghim đó là nghim duy nht. T đó suy ra h phng trình đ cho nu có nghim (x 0 , y 0 ) thì nghim đó là nghim duy nht ca h. Nu chn x = 2y thì t (1) ta có: 4 4222yy x=⇔= ⇒= . R rà ng cp s (2 2; 2) tha (2). Vy h có nghim duy nht (2 2; 2) . Bài 21: Tìm s nghim ca nm trong khong )2;0( π ca p hng trình 2 5 )sin10sin12sin8( 246cos2 2 +=+− exxxe x Gii : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7 0 1 1 t g' g 1- 3 6 0 + _ -5 f u 0 1 6 t f' 0 + _ 0 t 10sin 2 ≤≤== tyxt 2 5 )10128( 23)1(2 +=+−⇔ − etxtxte t Xét hàm s )10128()( 23)1(2 tttexf t +−= − [ ] )( 2)10128(2)102424()( )1(2232)1(2/ tgetttttexf tt −− −=+−−+−=⇒ Vi )112412(2)(522248)( 2/23 +−=⇒−+−= tttgttttg Lp bng bin t hiên, suy ra phng trình 0)( =tg có nghim duy nht 6 3 10, −<<= uut Lp bng bin thiên hàm s )(tf , suy ra phng trình 0)( =tf có nghim duy nht uvvt <<= 0, Suy ra phng tr ình vx ±= sin c ó 4 nghim phân bit )2,0( π ∈x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8 . GII PHNG TRÌNH-H PHNG TRÌNH( S DNG O HÀM) Bài 1: Gii phng trình 13232 122 +++=+ + x xx x x Gii: Ta có xxf xx ++= 32)( . Xét hàm s uug u += 2)( , hà m s đng bin trên R 0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft tt Xét hàm s 132)( +−= ttf t , s dng đnh lý Roll cm phng trình có không quá 3 nghim Phng trình. phng trình 13 1 24 log 26 26 2 2008 −−= ++ + xx x x x Gii : 241 2008 2008 1 24 226 26 2 2 2 4 1 26 +=++⇔= ++ + + ++ xxx xx x x xx vì hàm s x xxf 2008.)( = tng trên R Gii phng trình