Mô hình Input – Output: Đây là dạng bài rất hay ra trong đề thi.. Thường cho một ma trận hệ số kĩ thuật A thường là ma trận vuông bậc 2 hoặc bậc 3, và cho giá trị cầu cuối cùng, yêu cầu
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Xét hệ phương trình n ẩn x x1, , ,2 x : n
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
ma trận hệ số
n n
A
ma trận bổ sung
n n
A
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các dạng toán về hệ phương trình tuyến tính
{a11x1+a12x2+…+a 1 n x n=b1
a21x1+a22x2+…+a 2 n x n=b2
…
a m 1 x1+a m 2 x2+…+a mn x n=b m
´A=( a11a12… a 1 n
a21a22… a 2 n
…
a m 1 a m 2 … a mn|b1
b2
…
b m)
r(A) < r(´A¿:Hệ vô nghiệm
r(A) = r(´A¿ < n: Hệ có VSN
r(A) = r(´A¿ = n: Hệ có nghiệm duy nhất
Tính D= detA và các D i
- D≠ 0 : Hệ có 1 nghiệm x i=D i
D
- D≠ 0 và ∃ D i = 0 : Hệ VN
Trang 2 Thuật toán Gauss
- Từ C lập hpt tương đương vớiheệdđã cho
- Dựa vào hệ mới đểu xử lý hệ cũ
*Đối với hệ thuần nhất: b1b2 b m 0
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm x1 x2 x n , gọi là nghiệm tầm thường0
Hệ thuần nhất có nghiệm duy nhất r A( )n
Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường r A( )n
Hệ thuần nhất vuông (m n ) det( ) 0A
Hệ phương trình tuyến tính là phần rất dễ, chúng ta chú ý hơn vào phần ứng dụng trong kinh tế.
Mô hình Input – Output:
Đây là dạng bài rất hay ra trong đề thi Thường cho một ma trận hệ số kĩ thuật A (thường là
ma trận vuông bậc 2 hoặc bậc 3), và cho giá trị cầu cuối cùng, yêu cầu xác định tổng cầu mỗi ngành
Ma trận hệ số kĩ thuật
n n
A
; ma trận tổng cầu cuối:
1
2
n
b b B b
Lưu ý ý nghĩa của số a ij : Để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm, ngành j đã phải mua a ij
đồng để mua sản phẩn của ngành i phục vụ cho sản xuất
Ta cần xác định tổng cầu mỗi ngành: x x1, , ,2 x hay ma trận n
1
2
n
x x X x
Công thức: X (E A ) 1B , trong đó E là ma trận đơn vị cấp n
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan:
Trang 3Hiểu đơn giản là cung và cầu của một hàng hóa được viết dưới dạng hàm của giá nhiều mặt hàng khác, các mặt hàng không độc lập với nhau
Một cách tổng quát, ta có n hàng hóa và Q S i S P P i( , , , );1 2 P Q n D i D P P i( , , , )(1 2 P i n 1, )n
Cân bằng n hàng hóa: Q S i Q D i i 1,n
(thực ra là giải hệ phương trình)
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:
:
Y tổng thu nhập quốc dân; G chi tiêu chính phủ; 0: I đầu tư; :0: C tiêu dùng
Có:
1
1
Y
b a G I
C
a
(nhớ cái trước là hệ phương trình, cái sau là công thức để áp dụng trực tiếp)
Nếu có thêm yếu tố thuế t C a: (1 t Y b) , sau đó giải hệ bình thường
Nếu có thêm yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu N Y G: 0I0C X N
Mô hình IS-LM:
Chi tiêu chính phủ G , tiêu dùng 0 C a (1 t Y b) , đầu tư I k lr (t là thuế, r là lãi suất)
Cầu tiền: L mY nr m n ( , 0) , cung tiền M 0
Trong mô hình IS-LM: Y C I G 0 và L M
Giải ra ta được
(1 )
(1 )
n b k G IM Y
n a ml
r
n a ml
DẠNG 1 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA HPT TUYẾN TÍNH
o PP : Dùng Gauss và Cronecker- Capelli
Trang 4 r(A) < r(´A¿
Hệ vơ nghiệm
r(A) = r(´A¿ < n
Hệ cĩ VSN
r(A) = r(´A¿ = n
Hệ cĩ 1 nghiệm
Ví dụ: BL theo m số nghiệm PT
{x1+2 x2+2 m x3=2m
2 x1−3 x2+x3=5
3 x1+6 x2+m2x3=7 m
Ta cĩ:
´
A=(1 2 2m2−31
3 6 m2|2 m5
7 m)
d2- 2d1 d3-3d1
(0−7 1−4 m 1 22 m
0 0 m(m−6)|5−4 m 2 m
m )
(0−7 1−4 m 1 22 m
0 0 m(m−6)|5−4 m 2 m
m )
Biện luận:
m= 6 r(A) < r(´A¿ :VN
Bài 1:
Giải và biện luận:
x x x x
Giải:
Trang 51
1
4
0 15 24 48 27
0 20 32 64 36
0 25 40 80 46
h h
A B
2( 5) 4
0 25 40 80 46
(1) 5 8 16 9
4
1
2
3
4
(2) 1
5
1
2) 0 : (3) 15 24 48 27 :
0 1
x
t x
t x
x t x
he ävo ânghieäm
DẠNG 2: GIẢI HPT TUYẾN TÍNH
o PP1: Dùng thuật toán Cramer
o PP2: Dùng thuật toán Gauss
{ x1+2 x2−x3=3
2 x1+5 x2−3 x3=6
−x1−x2+4 x3=1
D=| 1 2−12 5−3
−1−1 4|=−4
Trang 6D1=|3 2−16 5−3
1−1 4|=−8
D2=|1 3−12 6−3
−11 4|=−4
D3=| 1 2 32 5 6
−1−1 1|=−4
D = - 4
D1=¿ - 8¿≫1 No {x1=D1
D=2
x2=D2
D=1
x3=D3
D=1
D2=¿ - 4
D3=¿ - 4
{ x1+2 x2−x3=3
2 x1+5 x2−3 x3=6
−x1−x2+4 x3=1
Trang 7´A=( 1 2−125−3
−1−1 4|36
1)
d2 -2d1 , d2 +d1 d3-d2
(1 2−10 1−1
0 1 3|30
4) (1 2−10 1−1
0 0 4|30
4)
(1 2−10 1−1
0 0 4|30
4)≤¿{x1=2
x2=1
x3=1
{x1+2 x2−x3=3
x2−x3=0
4 x3=4
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer:
1)
1 2 3
2 3
Ta có:
* D =
|
2 0 1
1 4 2
0 5 1
|
= 8 + 5 – 20 = -7
* Dx1 =
|
−1 0 1
7 4 2
5 5 1
| = - 4 + 35 – 20 + 10 = 21
* Dx2 =
|
2 −1 1
1 7 2
0 5 1
| = 14 + 5 – 20 +1 = 0
* Dx3 =
|
2 0 −1
1 4 7
0 5 5
| = 40 – 5 -70 = -35
Vì D ¿ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
Trang 8{ x 1 = Dx 1
21
7 =−3 ¿ { x 2 = Dx 2
0
7 =0 ¿¿¿¿
{ x1+2 x2−x4=0
2 x1+5 x2−x3−3 x4=0
´A=(2 5−1−31 2 0−1 |00)
´A=(2 5−1−31 2 0−1 |00)
d2 -2d1
(0 1−1−11 10−1|00)
{x1+x2−x4=0
x2−x3−x4=0
No tổng quát: Hệ No cơ bản
{ x1=−t
x2=t+ m
x3=t
x4=m
(−1, 1,1, 0) (0, 1, 0,1)