HỆ PHƯƠNG TRÌNHNguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006... Nội dung1 KHÁI NIỆM CHUNG 2 HỆ CRAMER 3 HỆ TỔNG QUÁT 4 HỆ THUẦN NHẤT... Hệ phương trìnhĐịnh nghĩa i Ta gọi bộ n số c1, c2,..
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Văn Phong
Toán cao cấp - MS: MAT1006
Trang 2Nội dung
1 KHÁI NIỆM CHUNG
2 HỆ CRAMER
3 HỆ TỔNG QUÁT
4 HỆ THUẦN NHẤT
Trang 3Hệ phương trình
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m
phương trình và n ẩn số có dạng tổng quát là
(1)
Trong đó, x1, x2, , xn là các ẩn; aij ∈ R là hệ số; và
Trang 4Hệ phương trình
Hệ (1) được viết dưới dạng AX = B, với
A =
· · · ·
; X =
x1
x2
xn
b1
b2
bm
và
A = (A |B ) =
b1
b2
bm
trong đó, ta gọi A = (A |B ) là ma trận hệ số mở rộng
Trang 5Hệ phương trình
Định nghĩa
i) Ta gọi bộ n số (c1, c2, , cn) ∈ Rn là một nghiệm của (1) nếu ta thay x1 = c1, x2 = c2, ,xn = cn vào (1) thì tất cả các đẳng thức trong (1) đều thoả
đương khi chúng có chung tập hợp nghiệm, nghĩa là nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại
Trang 6Hệ Cramer
Định nghĩa
Hệ Cramer là hệ thoã mãn
Ví dụ Hệ phương trình
Có số phương trình bằng số ẩn, và det A = −5 6= 0 Nên
nó là hệ Cramer
Trang 7Phương pháp giải hệ Cramer
A = (A| B) −−−−−−−−−−−Phép biến đổi sơ cấp→ A0 = (A0| B0)
Ta có
xi = det Aj det A, j = 1, 2, , n
cột j của A bởi cột hệ số tự do
Trang 8Ví dụ
Xét hệ
có A =
−7 1 4
22 −53 −12
1 0 1
−1 10 4
Trang 9Ví dụ
A =
−7 1 4
1 0 1
0 −5 −12
1
−2 8
→
0 −5 −12
1
−2
−4/5
Khi đó ta có hệ tương đương
1
5x3 = −45
⇔
Trang 10Ví dụ
Ta có
Vậy nghiệm của hệ là
x1 = det A1
x2 = det A2
x3 = det A3
Trang 11Hệ tổng quát
Định nghĩa
Là hệ có số phương trình không bằng số ẩn hay số
phương trình bằng số ẩn nhưng định thức của ma trận
hệ số bằng 0
Đối với hệ tổng quát ta có thể giải bằng phương pháp Gauss
A = (A| B) −−−−−−−−−−−Phép biến đổi sơ cấp→ A0 = (A0| B0)
Trang 12Hệ tổng quát
Với hệ gồm m phương trình, n ẩn số, AX = B và
A = (A| B), ta có
Định lý (Kronecker-Capelli)
Trang 13Ví dụ
Giải các hệ sau
1)
2)
3)
Trang 14Hệ thuần nhất
Định nghĩa
Là hệ mà tất cả các hệ số tự do đều bằng 0
Nghĩa là hệ có dạng
Lưu ý: Đối với hệ thuần nhất ta luôn có r (A) = r A Nghĩa là hệ luôn có nghiệm (hoặc có nghiệm tầm thường (nghiệm toán số 0), hoặc có vô số nghiệm)
Trang 15Ví dụ
Giải hệ sau
... data-page="11">Hệ tổng quát
Định nghĩa
Là hệ có số phương trình khơng số ẩn hay số
phương trình số ẩn định thức ma trận
hệ số
Đối với hệ tổng quát ta giải phương. .. nghĩa
Hệ Cramer hệ thoã mãn
Ví dụ Hệ phương trình
Có số phương trình số ẩn, det A = −5 6= Nên
nó hệ Cramer
Trang... data-page="14">Hệ nhất
Định nghĩa
Là hệ mà tất hệ số tự
Nghĩa hệ có dạng
Lưu ý: Đối với hệ ta ln có r (A) = r A Nghĩa hệ