Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính trình bày khái niệm về các loại hệ phương trình đại số tuyến tính; phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss; giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát; hệ phương trình thuần nhất.
Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mục tiêu Nội dung • Nắm khái niệm loại hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ phương trình đại số tuyến tính vấn đề quan trọng Đại số tuyến tính Các hệ số giá trị ẩn số số thực.Trong dạng tổng quát số phương trình số ẩn số hai loại số khơng Bài gồm nội dung sau: • Nắm phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình số ẩn theo phương pháp Cramer phương pháp Gauss • Nắm phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng qt; hệ phương trình • Giải tốn hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận theo trắc nghiệm • Dạng Hệ phương trình đại số tuyến tính • Giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Hệ phương trình • Phương pháp Gauss Thời lượng Bạn đọc nên để 15 để nghiên cứu LT + làm tập v1.0 39 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tốn mở đầu: Mơ hình cân Trong mơ hình ma trận nói chương trước, ta có j xj lượng sản phẩm ngành i cung cấp cho ngành j Tổng lượng sản phẩm ngành i coi chi phí để sản xuất sản phẩm cho n ngành là: n ∑a x j=1 ij j Lượng sản phẩm ngành i cịn lại kí hiệu yi thường gọi sản phẩm cuối ngành i Nếu mơ hình cân ta có n ∑a x j=1 ij + yi = xi , i = 1,2,…, n j Ta có hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình n ẩn số Ở xi, i = 1,2,…, n ẩn số j yi số biết 3.1 Dạng hệ phương trình đại số tuyến tính Dạng tổng qt hệ phương trình đại số tuyến tính viết sau ⎧a11x1 + a12 x + + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + + a x = b ⎪ 21 22 2n n ⎨ ⎪ ⎪⎩a m1x1 + a m2 x + + a mn x n = b m ( 3.1) Hệ viết dạng ma trận Ax = b (3.2) A ma trận thành lập từ hệ số biến A = ( a ij ) m× n x: véc tơ cột biến ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ x = ⎢ 2⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎣xn ⎦ (3.3) b: véc tơ cột số hạng tự ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ b=⎢ ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎣bm ⎦ (3.4) Hệ phương trình đại số tuyến tính gọi là: • tất bi = 0,i = 1, 2, , m; • khơng có bi ≠ 0; 40 v1.0 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính • tương thích hệ có nghiệm, tức tồn giá trị x1 , x , , x n mà thay vào có đồng thức; • khơng tương thích khơng có nghiệm nào; • xác định hệ có nghiệm nhất; • bất định tồn nghiệm Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính trước hết phải xác định xem hệ cho tương thích hay khơng tương thích Nếu hệ tương thích lại phải xem hệ xác định hay bất định Nếu hệ phương trình xác định ta tìm nghiệm Ví dụ 1: ⎧ x − 2y = ⎨ ⎩ x + 2y = hệ hai phương trình ẩn Ví dụ 2: ⎧2x − 3y + z = −1 ⎪ ⎨x + y + z = ⎪ ⎩3x + y − 2z = −1 hệ phương trình ẩn Ví dụ 3: ⎧2x − 3y + 4z = ⎨ ⎩3x + 2y − 7z = hệ hai phương trình ẩn 3.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính xảy hai trường hợp: m = n m ≠ n • Trường hợp m = n Lúc ma trận A có dạng ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎢a a 22 a 2n ⎥⎥ A = ⎢ 21 ⎢ # # # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ a n1 a n a nn ⎦ Định nghĩa: Hệ (3.2) gọi hệ Cramer det (A) ≠ (ma trận A khơng suy biến) Khi tồn ma trận nghịch đảo A −1 Định lí 3.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm tính công thức xi = v1.0 Δi Δ i = 1, 2, , n 41 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Chứng minh Ta nhân hai vế đẳng thức (3.2) với A −1 bên trái, ta được: A −1Ax = A −1b Bởi A −1A = E , mà nhân ma trận với E ma trận đó, nên x = A −1b Sau A −1 (3.5) biểu thức thay véc tơ cột x b, ta có: ⎡ x1 ⎤ ⎡ A11b1 + A 21b + + A n1b n ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ A12 b1 + A 22 b + + A n b n ⎥ ⎢# ⎥ A ⎢# ⎥ # # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣xn ⎦ ⎣ A1n b1 + A 2n b + + A nn b n ⎦ Vì hai ma trận phần tử tương ứng chúng nên ⎧ ( A11b1 + A 21b2 + + A n1bn ) ⎪ x1 = A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( A1i b1 + A 2i b + + A ni bn ) ⎨xi = A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x n = A ( A1n b1 + A 2n b + + A nn b n ) ⎩ (3.6) Theo định lí khai triển: Định thức tổng tích phần tử hàng cột với phần phụ đại số chúng Vì hàng biểu thức (3.6) thay định thức tương ứng với véc tơ b cột nó, chẳng hạn x i có a11 A1i b1 + A 2i b + + A ni b n = a12 a 21 a 22 a1,i −1 b1 a 2,i −1 b a n1 a n a n,i −1 bn a1,i +1 a1n a 2,i +1 a 2n (3.7) a n,i +1 a nn Điều có nghĩa muốn tìm x i phải chia định thức Δi thiết lập từ định thức A = Δ cách thay cột i cột số hạng tự cho định thức Δ , tức xi = Δi Δ i = 1, 2, , n (3.8) Vì vậy, phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm hệ số hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác hệ có nghiệm tính cơng thức (3.8) Ví dụ: Giải hệ 42 ⎧ x + 0y + 2z = ⎪ ⎨−3x + 4y + 6z = 30 ⎪− x − 2y + 3z = ⎩ v1.0 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải: Ta có: ⎛ 2⎞ ⎡6 ⎤ ⎜ ⎟ A = ⎜ −3 ⎟ , b = ⎢⎢30 ⎥⎥ ⎜ −1 −2 ⎟ ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ 30 ⎟ , A = ⎜ −3 30 ⎟ , A = ⎜ −3 30 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta tính det(A) = 44 ≠ 0; det(A1) = –40; det(A2) = 72; det(A3) = 152 Ta có nghiệm hệ cho là: x1 = – 40 10 72 18 152 38 = , x3 = = = − ; x2 = 44 11 44 11 44 11 • Trường hợp m ≠ n Ta gọi A = ( a ij ) m× n ma trận hệ Sau thêm cột số hạng tự b vào ma trận A, ta lập ma trận mở rộng B ⎡a11 ⎢a B = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣a m1 a12 a1n a 22 a 2n a m2 a mn b1 ⎤ b ⎥⎥ ⎥ ⎥ bm ⎦ Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau: Định lí 3.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần đủ để hệ (3.1) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận mở rộng B Nếu r ( A ) = r ( B ) = n hệ (3.1) có nghiệm Nếu r ( A ) = r ( B ) < n hệ (3.1) có vô số nghiệm Chứng minh: Cần: Giả sử hệ (3.1) có nghiệm Ta phải chứng minh r ( A ) = r ( B ) Thật vậy, hệ (3.1) có nghiệm, tức có x1 = c1 , x = c , , x n = c n a11c1 + a12 c2 + + a1n c n = b1 a 21c1 + a 22 c2 + + a 2n cn = b a m1c1 + a m2 c + + a mn c n = b m Hay b = c1A1 + c A + + c n A n ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ Víi b = ⎢ ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎣bm ⎦ v1.0 ⎡ a1i ⎤ ⎢a ⎥ A i = ⎢ 2i ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ a mi ⎦ i = 1, 2, , n 43 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Điều chứng tỏ cột cuối ma trận B tổ hợp tuyến tính n cột đầu Theo tính chất hạng ma trận, ta bỏ cột cuối mà khơng làm ảnh hưởng đến hạng ma trận B Vì vậy, r ( A ) = r ( B ) Đủ: Giả sử r ( A ) = r ( B ) = k Ta phải chứng minh hệ (3.2) có nghiệm Khơng giảm tính tổng qt, coi định thức cấp k khác A B nằm góc trái Khi đó, k cột độc lập tuyến tính cột cịn lại biểu diễn qua k cột đầu Trong trường hợp riêng, cột b biểu diễn qua k cột đầu b = λ1A1 + λ A + + λ k A k b1 = a11λ1 + a12 λ + + a1k λ k b = a 21λ1 + a 22 λ + + a 2k λ k b m = a m1λ1 + a m2 λ + + a mk λ k Thật vậy, lấy x1 = λ1 , , x k = λ k , x k +1 = x k + = = x n = chúng tạo nên nghiệm hệ (3.1) Đó điều phải chứng minh Ví dụ: Giải hệ phương trình: ⎧ x1 + 3x + x − x = ⎪ ⎨2x1 + 5x − x + 2x = 22 ⎪3x + 8x + x − x = 24 ⎩ Giải: Ở m = 3, n = −1 ⎤ ⎡1 −1 ⎤ ⎡1 ⎢ ⎥ ⎢ B = ⎢ −1 22 ⎥ → ⎢0 −1 −3 ⎥⎥ ⎢⎣3 −1 24 ⎥⎦ ⎢⎣0 −1 −2 ⎥⎦ −1 ⎤ ⎡1 ⎢ → ⎢0 −1 −3 ⎥⎥ ⎢⎣0 −2 −5⎥⎦ Ta có r ( A ) = r ( B ) = < n = Vậy hệ có vơ số nghiệm Với ma trận cuối ta có: ⎧ x1 + 3x + x − x = ⎪ ⎨ − x − 3x + 4x = ⎪ x − 2x = −5 ⎩ Đặt x = c , ta được: ⎧ x1 + 3x + x = + c ⎪ ⎨ − x − 3x = − 4c ⎪ x = −5 + 2c ⎩ 44 ⎧ x = −5 + 2c ⎪ ⇒ ⎨ x = −8 + 4c + 15 − 6c = − 2c ⎪ x = + c − 21 + 6c + − 2c = −9 + 5c ⎩ v1.0 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Vậy nghiệm có dạng ⎧ x1 = −9 + 5c ⎪ x = − 2c ⎪ với giá trị c ta có nghiệm ⎨ ⎪ x = −5 + 2c ⎪⎩ x = c 3.3 Hệ phương trình Đây trường hợp riêng hệ (3.1), bi = víi mäi i = 1, 2, , n nên Định lí Croneke – Capeli Nhưng với trường hợp này, ta ln có r ( A ) = r ( B ) nên hệ ln có nghiệm Chẳng hạn, ta thấy x1 = 0, x = 0, , x n = nghiệm hệ, gọi nghiệm tầm thường Vậy hệ có nghiệm khơng tầm thường? Định lí 3.3: Nếu r ( A ) = n hệ có nghiệm tầm thường, r ( A ) < n hệ có vơ số nghiệm, nghĩa ngồi nghiệm tầm thường phải có nghiệm không tầm thường Chứng minh: Nếu r ( A ) = n theo quy tắc Cramer, hệ có nghiệm nhất, nghiệm tầm thường Nếu r ( A ) < n ta chun n − r ( A ) tự sang phải hệ có vơ số nghiệm Hệ quả: Đối với hệ n phương trình n ẩn số điều kiện cần đủ để hệ có nghiệm khơng tầm thường định thức Δ = Thật vậy, Δ = r ( A ) = r ( B ) < n Do đó, hệ có vơ số nghiệm, tức có nghiệm khơng tầm thường Ta có định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) hệ (3.1) Ví dụ: Giải hệ phương trình ⎧ x1 − 2x + 3x = ⎪ ⎨2x1 + x − x = ⎪ ⎩ x1 + 3x − 4x = Giải : −2 Ta có Δ= 1 3 −1 = −4 + + 18 − − 16 + = −4 Hệ có vơ số nghiệm Xét định thức cấp −2 = + = ≠ Bởi vậy, ta lấy phương trình đầu ⎧ x1 − 2x + 3x = ⎨ ⎩2x1 + x − x = v1.0 45 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuyển x sang vế phải ⎧⎪ x1 − 2x = −3x ⎨ ⎪⎩2x1 + x = x (a ) (b) Lấy (b) nhân với cộng với (a), ta có: 5x1 = − x ⇒ x1 = − x x = x − 2x1 = x + x = x 5 Vậy hệ cho có vơ số nghiệm xác định ⎧ ⎪ x1 = − x ⎪ ⎪ ⎨x = x3 ⎪ ⎪x3 ∈ \ ⎪ ⎩ 3.4 Phương pháp Gauss Nội dung phương pháp Gauss dùng cách khử dần ẩn số để đưa hệ (2.18) dạng tam giác ⎧ x1 + α x + α x = α ⎪ x + β3 x = β ⎨ ⎪ γ3x3 = γ ⎩ (3.9) giải hệ Hệ tam giác (3.9) dễ giải: từ phương trình thứ 3, ta suy x , x vào phương trình thứ 2, ta suy x , x x vào phương trình thứ nhất, ta suy x1 Sau đây, ta xét ví dụ cụ thể nêu quy tắc thực hành Ví dụ: Xét hệ ⎧2x1 + 3x + 5x = ⎪ ⎨3x1 − 2,5x + 4x = 10 ⎪−4x + 3x + 2x = 2 ⎩ (a ) ( b) (c) Giải : Trước hết, ta chia (a) cho hệ số x1 , tức cho 2, ta được: x1 + 1, 5x + 2,5x = ( a′) Sau khử x1 khỏi (b) Muốn ta nhân (a') với hệ số x1 (b), tức với 3, ta có: 3x1 + 4,5x + 7,5x = (b′) Sau đó, đem phương trình ( b') trừ phương trình (b) theo vế, ta được: 7x + 3,5x = −7 46 (b″) v1.0 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Tương tự, ta khử x1 khỏi (c): nhân (a') với hệ số x1 (c), tức với (–4), ta có −4x1 − 6x − 10x = −4 (c′) Sau đem ( c′ ) trừ (c) ta được: −9x − 12x = −6 (c″) Bây giờ, ta ý đến hai phương trình ( b′′ ) ( c′′ ) , cịn hai ẩn x x Lặp lại trình Trước hết, ta chia ( b′′ ) cho hệ số x , tức cho 7, ta được: x + 0,5x = −1 (b″′) Sau đó, ta khử x khỏi ( c′′ ) cách nhân ( b′′′ ) với hệ số x ( c′′ ) , tức với (–9) −9x − 4,5x = (b″″) Sau đem ( b′′′′ ) trừ ( c′′ ) ta được: 7,5x = 15 (c″′) Kết hợp phương trình ( a ′ ) , ( b′′′ ) , ( c′′′ ) ta tam giác mong muốn Từ ( c′′′ ) ta suy x = 15 = 7,5 Thế x = vµo ( b′′′ ) ta được: x + 0,5 × = −1 ⇒ x = −2 Thế x = 2, x = − vào ( a ′ ) ta được: x1 + 1,5 × ( −2 ) + 2,5 × = x1 − + = ⇒ x1 = −1 ⎧ x = −1 ⎪ Vậy nghiệm hệ cho là: ⎨ x = −2 ⎪ x = ⎩ Trên đây, ta trình bày phương pháp Gauss cách trình tự Trong thực hành, ta thực biến đổi ma trận sau: 2⎤ ⎡2 L1 → L1 ⎢ −2,5 10 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢ ⎥ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ −4 ⎡ 1,5 2,5 ⎤ ⎡1 1,5 2,5 ⎤ L −3L1 → L ⎢ −2,5 10 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L3 + 4L1 →L3 → ⎢0 −7 −3,5 ⎥ 2 ⎥⎦ 12 ⎦⎥ ⎣⎢ −4 ⎣⎢0 ⎡1 1,5 2,5 ⎤ ⎡1 1,5 2,5 ⎤ L3 −9L → L3 ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 0,5 −1⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢⎢ 0,5 −1⎥⎥ ⎢⎣0 12 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 7,5 15 ⎥⎦ ⎛ 1⎞ L2 ×⎜ − ⎟ → L ⎝ 7⎠ ⎧ x = −1 ⎪ Từ đây, ta có nghiệm hệ ⎨ x = −2 ⎪ x = ⎩ v1.0 47 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Nắm phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình số ẩn theo phương pháp Cramer phương pháp Gauss; • Nắm phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát Nắm phương pháp giải hệ phương trình nhất; • Giải tốn hệ phương trình đại số tuyến tính Bài bạn học Phép toán Cấu trúc đại số 48 v1.0 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính BÀI TẬP Giải hệ phương trình ⎧3x1 − 5x + 2x + 4x = ⎪ a ⎨7x1 − 4x + x + 3x = ⎪5x + 7x − 4x − 6x = 3 ⎩ ⎧ x1 + 5x − x + x = ⎪ b ⎨3x1 + 9x − 13x + 11x = ⎪2x + 2x − 6x + 5x = ⎩ Giải biện luận theo a hệ phương trình ⎧ax1 + x + x + x = ⎪ a ⎨ x1 + ax + x + x = a ⎪ ⎩ x1 + x + ax + x = a ⎧( − a ) x1 + x + x = ⎪ b ⎨ x1 + ( − a ) x + x = ⎪ ⎩ x1 + x + ( − a ) x = Cho hệ phương trình ⎧ x1 + 2x + ax = ⎪ ⎨3x1 − x − ax = ⎪2x + x + 3x = b ⎩ a Xác định a, b để hệ có nghiệm b Xác định a, b để hệ có vơ số nghiệm Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss ⎧3x1 + x + x = ( I ) ⎪⎨ x1 + 3x + x = ⎪ x + x + 3x = ⎩ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hãy chọn phương án Cho hệ phương trình ⎧ x − ay + a z = a ⎪ ⎨ax − a y + az = a tham số thực ⎪ax + y − a z = ⎩ Khi đó, hệ có nghiệm v1.0 49 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính A a ≠ 0, a ≠ ±1 B a = C a = D a = −1 Cho hệ phương trình ẩn ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡2 − a ⎢ −1 −a ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ − a ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ Khi đó, hệ có nghiệm tầm thường A a ≠ B a ≠ −1 C a ≠ a ≠ −1 D a = hc a = −1 Xét hệ phương trình đại số tuyến tính Ax = b Khi A Nếu det ( A ) = hệ vơ nghiệm; B Nếu det ( A ) ≠ hệ có vơ số nghiệm; C Nếu Ax = có nghiệm khơng tầm thường det ( A ) = 0; D Nếu Ax = có nghiệm khơng tầm thường det ( A ) ≠ Xét hệ phương trình ⎧ x1 + 2x + 3x = ⎪ ⎨ x + 4x = ⎪5x = ⎩ Khi đó: A Hệ vơ nghiệm B Hệ có vơ số nghiệm C Hệ có nghiệm khơng tầm thường D Hệ có nghiệm tầm thường 50 v1.0 ... Ta có hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình n ẩn số Ở xi, i = 1,2,…, n ẩn số j yi số biết 3.1 Dạng hệ phương trình đại số tuyến tính Dạng tổng qt hệ phương trình đại số tuyến tính viết... Nắm phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng qt Nắm phương pháp giải hệ phương trình nhất; • Giải tốn hệ phương trình đại số tuyến tính Bài bạn học Phép toán Cấu trúc đại số 48... có nghiệm hệ ⎨ x = −2 ⎪ x = ⎩ v1.0 47 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Nắm phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình số ẩn theo phương pháp Cramer phương pháp