Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính cung cấp cho học viên các kiến thức về ôn tập về ma trận, phương pháp đồ thị cho hệ phương trình 2 và 3 ẩn, quy tắc cramer, phương pháp khử Gauss: cách 1 và cách 2, phương pháp khử Gaussvới phần tử xoay tỉ lệ từng phần, phương pháp khử Gauss-Jordan, phương pháp vòng lặp: Jacobi và Gauss-Seidel, các bài toán kỹ thuật ứng dụng hệ phương trình tuyến tính,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 3: Hệ Phương trình Đại số Tuyến tính Thời lượng: tiết Nội dung học Dạng tổng quát hệ PT Đại số tuyến tính  f1 ( x1 , x2 ,… , xn ) =   f ( x1 , x2 ,… , xn ) =  …  f ( x , x ,… , x ) = n  n Tìm: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1 a x + a x + a x + … + a x = b  21 22 23 2n n  ⋮ ⋮ an1 x1 + an x2 + an x3 + … + ann xn = bn x = ( x1 , x2 , x3 ,… , xn ) = ? T (1) Ôn tập ma trận Cột  a11  a21  A = n×m ⋮   an1 a12 a13 a22 a23 an an ⋯ a1m   … a2 m  Hàng  ⋮  ⋯ anm  Ôn tập ma trận 1) Ma trận hàng: B = [b1 b2 1× m b3 … bm ] 3) Ma trận vng: n=m  a11 a 21  A= n× n  ⋮   an1 a12 a22 an a13 ⋯ a1n   a23 … a2 n   ⋮  an ⋯ ann  2) Ma trận cột:  c1  c   2 C =  c3  n×1   ⋮ cn  Ôn tập ma trận 4) Ma trận đối xứng: aij = aji  −1  A =  −1  3×3   5) Ma trận đường chéo:  a11 0 A = n× n 0  0 a22 0 0 0  ⋱ 0  ann  6) Ma trận đơn vị: 1 0 I = n× n 0  0 0  ⋱ 0  0 1 0 7) Ma trận tam giác  a11 a12 0 a 22 A = 4×4 0  0 a13 a23 a33 a14  a24  a34   a44  Ôn tập ma trận 8) Ma trận tam giác dưới:  a11 a a 21 22  A= 4×4  a31 a32   a41 a42 0 a33 a43 0  0  a44  9) Ma trận dải:  a11 a 21 A= 4×4 0  0 a12 a22 a32 a23 a33 a43 0  a34   a44  Ôn tập ma trận 1) Cộng ma trận:  a11 a12 … a1m   b11 b12 … b1m   a11 + b11 a  b  a + b a … a b … b 22 2m  2m   21 +  21 22 =  21 21  ⋮  ⋮   ⋮ ⋮ ⋮       an1 an … anm  bn1 bn … bnm   an1 + bn1 A+ B = B+ A 2) Tính chất giao hốn cộng: 3) Tính chất kết hợp cộng: a12 + b12 … a1m + b1m  a22 + b22 … a2 m + b2 m   ⋮  an + bn … anm + bnm  n× m n×m n× m n× m ( A+ B )+ C = A+( B + C ) n×m n×m n× m n×m n×m n×m Ôn tập ma trận 4) Nhân cho số thực: 5) Nhân hai ma trận:  a11 a g ⋅  21  ⋮   an1 a12 … a1m   g ⋅ a11 a22 … a2 m   g ⋅ a21 =   ⋮ ⋮   an … anm   g ⋅ an1 g ⋅ a12 … g ⋅ a1m  g ⋅ a22 … g ⋅ a2 m   ⋮  g ⋅ an … g ⋅ anm    a11 a12 … a1m   b11 b12 … b1 p   c11 c12 … c1 p    c   b b … b c … c a a … a 22 2p  21 22 2p  22 m   21   21 ⋅ =   ⋮  ⋮  ⋮ ⋮   ⋮ ⋮ A ⋅ B = C ⇔       n×m m× p n× p b b … b c c … c mp  np    n1 n    an1 an … anm   m1 m  n cij = ∑ aik bkj  k =1 Ôn tập ma trận ( A ⋅ B )⋅ C = A ⋅( B ⋅ C ) 6) Tính chất kết hợp nhân: 7) Tính chất phân phối: 10 n×m m× p p× q ( ) n× m m× p p×q  A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅ C  n×m m× p m× p n×m m× p n×m m× p   A + B ⋅ C = A⋅ C + B⋅ C  n×m n×m m× p n×m m× p n×m m× p ( ) Các phương pháp lặp (Iteractive Methods) 1   ( k +1) 15 1 − ( ) − ( x2 − x3 − x4 )    x1    x1   k +1  − ( −11x1 ) − (12 x3 + 11x4 )    x2( ) x       38  = ⇒  x3   −1 3 − ( x − x ) − ( x )    x ( k +1)   x4   13     −1     − ( −10 x1 + x2 + 12 x3 ) − ( )    x4( k +1)  30   ( 57 )  (k ) (k ) (k )  = − ( ) − x2 − x3 − x4   15  k +1 k k = − −11x1( ) − 12 x3( ) + 11x4( )   38  −1  k +1 k +1 k = − x1( ) − x2( ) − x4( )   13  −1  k +1 k +1 k +1 = − −10 x1( ) + x2( ) + 12 x3( ) − ( )   30  ( ( ( ) ( ) ) ( ) )  f1 ( xT ) = 15 x1 + x2 − x3 − x4 − =   f ( xT ) = −11x1 + 38 x2 + 12 x3 + 11x4 − =   A b  ⇔  T 4×5  f ( x ) = x1 − x2 − 13 x3 + x4 − =  T  f ( x ) = −10 x1 + x2 + 12 x3 − 30 x4 − = Excel −0.208738779   0.175122207    ∗ x =  4×1 −0.392811814   −0.203366245 Phương pháp lặp GaussSeidel hội tụ nhanh pp Jacobi 58 10  10    x0 =   4×1 10  10  ||Δxi || ||f (xi )|| i x 1i x 2i x 3i x 4i f1 f2 f3 f4 10 10 10 10 39 498 -123 -254 - - 7.4 -3.857894737 5.468421053 -0.798421053 65.58842105 -173.1615789 -43.19368421 18.32873022 722.5301774 3.027438596 -0.566752539 0.207304283 -1.116233073 46.65132444 -66.62933346 -1.271248081 7.598109261 116.0397501 -0.082649699 0.286362256 -0.697080228 -0.355979299 5.047175791 -2.489822627 3.041015094 3.434581664 76.57269519 -0.419128085 0.254482266 -0.502660361 -0.169239889 -2.334196566 4.387171913 0.746957639 0.432324797 10.34603361 -0.263514981 -0.205105106 -0.203923701 -0.207964997 -0.208925684 -0.208836112 -0.208746075 -0.208733197 -0.208737036 -0.208738813 -0.208738915 -0.208738806 -0.208738775 -0.208738777 -0.208738779 0.184076272 0.171220946 0.173620008 0.175084397 0.175224537 0.175147114 0.175120065 0.175119912 0.175121869 0.175122303 0.175122253 0.17512221 0.175122205 0.175122207 0.175122207 -0.394182375 -0.385027405 -0.391027905 -0.392998746 -0.392983458 -0.392835174 -0.392804238 -0.392808457 -0.392811645 -0.392812024 -0.392811871 -0.39281181 -0.392811809 -0.392811813 -0.392811814 -0.184760329 -0.201853832 -0.204407928 -0.203702726 -0.203362368 -0.203340654 -0.203360997 -0.203366993 -0.203366793 -0.203366308 -0.203366218 -0.203366234 -0.203366244 -0.203366245 -0.203366245 -0.876148122 -0.01772108 0.06061945 0.014410305 -0.00134359 -0.001350551 -0.000193169 5.75834E-05 2.66602E-05 1.52833E-06 -1.63073E-06 -4.65012E-07 1.94181E-08 3.84056E-08 6.87535E-09 1.131010994 -0.078168881 -0.100101061 -0.015892865 0.003927384 0.00201826 0.000147468 -0.000116583 -3.60547E-05 7.80555E-07 2.82102E-06 5.52521E-07 -8.80573E-08 -5.96836E-08 -6.4267E-09 -0.062081759 -0.06837401 -0.010216383 0.002820807 0.001361431 8.6855E-05 -8.13703E-05 -2.39825E-05 8.00426E-07 1.93726E-06 3.5998E-07 -6.46764E-08 -4.04647E-08 -3.99127E-09 2.1137E-09 0 0 0 0 0 0 0 0.202930529 0.062872682 0.007048449 0.004781008 0.0010289 0.00019099 0.00010104 1.48194E-05 5.36368E-06 1.93021E-06 2.10398E-07 1.32718E-07 3.31378E-08 4.78751E-09 2.92627E-09 3.658282924 1.482920277 0.100002844 0.096934378 0.025360545 0.002295506 0.002206286 0.000368637 8.97507E-05 4.46065E-05 4.07811E-06 2.5856E-06 8.03492E-07 4.9959E-08 6.21911E-08 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Lệnh MATLAB để giải hệ phương trình tuyến tính Khi hệ phương trình có dạng: format long; A=[15 -8 -4; -11 38 12 11; -5 -13 4; -10 12 -30] b=[1; 2; 3; 4] x=A\b A⋅ x = b n×n n×1 n×1  15 −8 −4    − 11 38 12 11   A b  =   −5 −13 3 4×5    −10 12 −30 4 59 Lệnh MATLAB để giải hệ phương trình tuyến tính Khi hệ phương trình có dạng: format long; A=[15 -11 -10; 38 -5 3; -8 12 -13 12; -4 11 -30] b=[1 4] x=b/A x⋅ A = b 1× n n× n 1× n  15 −8 −4    − 11 38 12 11   A b  =   −5 −13  4×5    −10 12 −30  60 Lệnh MATLAB để giải hệ phương trình tuyến tính Khi hệ phương trình có dạng: A⋅ x = b n× n n×1 format long; A=[15 -8 -4; -11 38 12 11; -5 -13 4; -10 12 -30] b=[1; 2; 3; 4] x=A^-1*b %Hoac: x=inv(A)*b n×1  15 −8 −4    − 11 38 12 11   A b  =   −5 −13 3 4×5   − 10 12 − 30   61 Các toán kỹ thuật đưa hệ phương trình tuyến tính 62 d x1 ∑ F = m1 dt = 2k ( x2 − x1 ) + m1 g − kx1 d x2 ( 2) ∑ Fkx = m2 dt = k ( x3 − x2 ) + m2 g − 2k ( x2 − x1 ) d x3 ( 3) ∑ Fkx = m3 dt = m3 g − k ( x3 − x2 ) (1) kx Các toán kỹ thuật đưa hệ phương trình tuyến tính Nếu hệ cân bằng, gia tốc = 0: 2k ( x2 − x1 ) + m1 g − kx1 = 3k ⋅ x1 − 2k ⋅ x2 + ⋅ x3 = m1 g   k ( x3 − x2 ) + m2 g − 2k ( x2 − x1 ) = ⇔ −2k ⋅ x1 + 3k ⋅ x2 − k ⋅ x3 = m2 g  0 ⋅ x − k ⋅ x + k ⋅ x = m g 3  m3 g − k ( x3 − x2 ) =  3k   A b  =  −2k 3×  −2k 3k −k m1 g   − k m2 g  k m3 g  Bằng phương pháp học để giải 63 Các toán kỹ thuật đưa hệ phương trình tuyến tính Phân tích tốn: 1) Có nhẹ ẩn nội lực SDF, SDB, SBA, SAC, SCE, SED, SDC, SCB 2) Có liên kết lề cố định E F Có ẩn phản lực liên kết XE, YE, XF, YF Vậy có tổng cộng 12 ẩn 3) Có nút A, B, C, D, E, F Mỗi nút ta có phương trình cân chất điểm Vậy ta có tổng cộng 12 phương trình Bài tốn tĩnh định giải Hệ 12 ẩn 12 phương trình 64 Các tốn kỹ thuật đưa hệ phương trình tuyến tính 65 Bước 1: Xác định góc tỉ lệ để chuẩn bị phương trình hình chiếu lực Bước 2: Xét phương trình cân chất điểm (tiếp) a) Điểm F y 41 13 S DB S FD 12 XF S DC x S DF YF ∑ Fkx = ⇔ − X F =  ∑ Fky = ⇔ YF + S FD = (1) ( 2) x 34 34 b) Điểm D y  ∑ Fkx = ⇔ S DC + S DE ⋅  ∑ F = ⇔ S − S ⋅ ky DB DE  S DE =0 34 − S DF = 34 ( 3) ( 4) Các toán kỹ thuật đưa hệ phương trình tuyến tính 66 Bước 2: Xét phương trình cân chất điểm (tiếp) c) Điểm B d) Điểm A y y S BA S BA x x 41 5 S BC 13 S BD  F = ⇔ S + S ⋅ =0 BA BC ∑ kx 41  ∑ F = ⇔ − S − S ⋅ = ky DB BC  41 12 S AC ( 5) ( 6)  F = ⇔ − S + S ⋅ + 4000 cos ( 25° ) = BA AC ∑ kx 13  ∑ F = ⇔ − S ⋅ 12 + 4000sin ( 25° ) = ky AC  13 (7) (8) Các toán kỹ thuật đưa hệ phương trình tuyến tính 67 Bước 2: Xét phương trình cân chất điểm (Tiếp) S AC e) Điểm C y f) Điểm E SCE S BC 13 12 y 41 13 S DE x S DC 12 34 XE 5 13 12 YE SCE 5  F = ⇔ S ⋅ − S ⋅ − S ⋅ − S DC = 0 CE AC BC ∑ kx 13 13 41  ∑ F = ⇔ − S ⋅ 12 + S ⋅ 12 + S ⋅ = ky CE AC BC  13 13 41 x (9) (10 )  F = ⇔ X − S ⋅ − S DE ⋅ E CE ∑ kx 13  ∑ F = ⇔ Y + S ⋅ 12 + S ⋅ ky E CE DE  13 =0 34 =0 34 (11) (12 ) 0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ( −1) ⋅ X F + ⋅ YF =  1⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF =  ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = 0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE + 34     ( −1) ⋅ S FD + 1⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE +  −  ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = 34     0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + 1⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = 41   0 ⋅ S FD + ( −1) ⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC +  −  ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF =  41    0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ( −1) ⋅ S BA + ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = −4000 cos ( 25° ) 13    12  0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA +  −  ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = −4000sin ( 25° )  13       5 0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA +  −  ⋅ S AC + ⋅ SCE + ⋅ S ED + ( −1) ⋅ S DC +  −  ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = 13 13 41       12 12 0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC +  −  ⋅ SCE + ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + ⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF = 13 13 41     0 ⋅ S FD + ⋅ S DB + ⋅ S BA + ⋅ S AC +  −  ⋅ SCE +  −  ⋅ S ED + ⋅ S DC + ⋅ SCB + 1⋅ X E + ⋅ YE + ⋅ X F + ⋅ YF =    34   13    0 ⋅ S + ⋅ S + ⋅ S + ⋅ S + 12 ⋅ S + ⋅ S + ⋅ S + ⋅ S + ⋅ X + 1⋅ Y + ⋅ X + ⋅ Y = FD DB BA AC CE ED DC CB E E F F  13 34 68 S FD = x1 S DB = x2 S BA = x3 S AC = x4 SCE = x5 S ED = x6 S DC = x7 SCB = x8 X E = x9 YE = x10 X F = x11 YF = x12 0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ( −1) ⋅ x11 + ⋅ x12 =  1 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + 1⋅ x12 =  ⋅ x6 + 1⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = 0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 + 34     ( −1) ⋅ x1 + 1⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 +  −  ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = 34     0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = 41   0 ⋅ x1 + ( −1) ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 +  −  ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 =  41    0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ( −1) ⋅ x3 + ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = −4000 cos ( 25° ) 13    12  0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 +  −  ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = −4000sin ( 25° )  13       5 0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 +  −  ⋅ x4 + ⋅ x5 + ⋅ x6 + ( −1) ⋅ x7 +  −  ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = 13 13 41       12 12 0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 +  −  ⋅ x5 + ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + ⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 = 13 13 41     0 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 + ⋅ x4 +  −  ⋅ x5 +  −  ⋅ x6 + ⋅ x7 + ⋅ x8 + 1⋅ x9 + ⋅ x10 + ⋅ x11 + ⋅ x12 =    34   13    0 ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + 12 ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + 1⋅ x + ⋅ x + ⋅ x = 10 11 12  13 34 69 0 0 0  0 1 0 0 0 0 34   −1 − 34 0  0 0  −1 0 0   A b  =  0 −1 13 0 12×13  0  0 − 12 13  13  0 − 13  0 12 13 − 12 13  0 0 − 13 − 34   0 0 12 13 34 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 41 0 0 −4 41 0 0 0 0 0 41 0 −1 − 41 0 0 0 0 Bằng phương pháp học để giải       0    0  −4000 cos ( 25° )   −4000 sin ( 25° )   0   0     70 Bài tập nhà 71 XA X A = x1 YA = x2 RB = x3 U1 = x4 O2 O1 O4 D1 A U1 YA U = x5 O3 D4 D2 D3 U2 B U = x6 O1 = x7 O2 = x8 U3 O3 = x9 O4 = x10 RB D1 = x11 D2 = x12 Lập ma trận:  A b  14×15 D3 = x13 D4 = x14 ... 19 Các phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính Đưa hệ PT (2) dạng tương đương đơn giản hơn: - Ma trận tam giác Phương Gauss - Ma trận tam giác - Ma trận đường chéo pháp khử Phương pháp khử... 0.175117843 -0 .791879238 -0 .298263235 -0 .474402541 -0 .356614696 -0 .408340999 -0 .382484887 -0 .396752256 -0 .390443301 -0 .393948863 -0 .392274115 -0 .393111632 -0 .39267593 -0 .392884468 -0 .392775917 -0 .392829414... 0.095305212 -0 .358870294 -0 .117967448 -0 .240528779 -0 .182190968 -0 .213266796 -0 .198351773 -0 .205970129 -0 .202127596 -0 .204016995 -0 .203048099 -0 .203526261 -0 .20328491 -0 .203406241 -0 .203345842