Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 5 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chương 5 bộ bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc bất đẳng thức, hướng khả thi (Feasible Direction), điều kiện Karush-Kuhn-Tucker,...Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc bất

đẳng thức

 

f x

Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau:

Với các điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

T n

T m

Giải hệ (n+2m) phương trình sau:

j

j j j

5

Tính định thức sau Tìm nghiệm của phương trình định thức = 0 Nếu tất cả các nghiệm đều mang dấu – hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực đại, nếu tất cả nghiệm mang dấu + hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực tiểu Nếu 1 vài nghiệm mang dấu –, một

số còn lại mang dấu + thì đó không phải là cực trị

m

m

n+m n+m

Ma trận Hessian

, , , ,

00

0

000

y y

trị

2 2

x L L

x L L

, , 100 , , 150

13

1 3 2

x x L L

x x L L

31

3 1 2

x x L L

x x L L

1

1 12

2

1 13

x g g

x g g

2 21

1

2 22

2

2 23

3

1

10

g g

x g g

x g g

1

3 32

2

3 33

x g g

50502020100

x x

000

y y y

ma trận này

- Phương trình (3) để đảm bảo các điều kiện gj(x) ≤ 0

được thỏa mãn

- Phương trình (2) cho ra kết quả hoặc là λj = 0, hoặc là

yj = 0

- Nếu λj = 0 thì có nghĩa là ràng buộc thứ j không cần

dùng tới và nó có thể được bỏ qua

- Nếu yj = 0 thì có nghĩa là ràng buộc gj(x)=0 hoạt động

tại ngay điểm cực trị

 Ta có thể chia các ràng buộc ra 2 tập hợp con:

 Tập hợp j ϵ J1 khi yj = 0 (ràng buộc hoạt động ngay

điểm cực trị, λj ≠ 0 )

 Tập hợp j ϵ J2 khi λj = 0 (ràng buộc được bỏ qua)

j J j

Hệ phương trình (4)÷(6) thể hiện n+p+(m-p) = n+m phương

trình với n+m ẩn số: x i (i=1 n), λ j (jϵJ1 hay j=1 p), y j (jϵJ2 hay

j=(p+1) (m-p)) Với p – số ràng buộc làm việc

Giả sử p ràng buộc đầu tiên làm việc, phương trình (4):

Trong đó:

1 1

i

i j

Phương trình (7) có ý nghĩa rằng: giá trị đối của độ dốc của hàm

mục tiêu f có liên hệ tuyến tính với độ dốc của các ràng buộc

làm việc tại điểm cực trị

23

Hướng khả thi (Feasible Direction)

Véctơ S được gọi là hướng khả thi từ điểm x nếu có thể tiến một bước nhỏ dọc theo S mà không rời khỏi ngay lập tức khỏi vùng

hợp lệ Với các bài toán có các bề mặt ràng buộc đủ mịn ta có điều kiện sau:

Góc = 90°

Góc > 90°

Hàm ràng buộc lõm

Hàm lõm Góc > 90°

Tích vô hướng < 0 thì góc giữa 2 véc tơ là góc tù

Gọi S là hướng khả thi tại điểm cực trị Nhân cả 2 vế của (7’) cho

 7      f 1 g1 2 g2  7

Do S là hướng khả thi nên nó phải thỏa mãn các điều kiện:

1 2

0 0

T T

g g

Nếu ST  f 0 Giá trị hàm f tăng khi di chuyển dọc theo hướng S

Nếu ST  f 0 Giá trị hàm f giảm khi di chuyển dọc theo hướng S

Tìm cực tiểu (min)  λ j ≥ 0 (j=1 p)

Tìm cực đại (max)  λ j ≤ 0 (j=1 p)

Ý nghĩa của điều này giúp chúng ta tìm thẳng cực tiểu hay cực đại bằng cách chọn thông qua dấu của các λj

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

1 Luôn xuất phát từ hệ phương trình (9) Sẽ

có 2m trường hợp con, tương ứng 2m hệ phương trình 9’ Ví dụ, ta sẽ có hệ phương trình 9.1, 9.2, …, 9.2m Mỗi hệ phương

trình sẽ có m phương trình

2 Với mỗi hệ phương trình 9.i (i=1 2m), ta

ghép với các hệ phương & bất phương trình (8), (10) và (11) khi tìm cực tiểu / (12) khi tìm cực đại, để tìm toàn bộ các nghiệm x* và λ* thỏa mãn

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

2 2 3 2

3 3 3

L

x x

L

x x

2 3

0 0

20 100

Không cần kiểm tra lại điều kiện đủ (Định thức Δ)

 f min = 10500