Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 6: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc tổng quát - Phương pháp cổ điển

Nếu rank(A)=M tức là bằng số lượng véc tơ thì hệ độc lập tuyến tính. Nếu khác rank(A)≠M thì hệ phụ thuộc tuyến tính.[r]

Khoa Cơng nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 06:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC TỔNG QUÁT:

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát  

f x

Tìm cực trị (Optimum) hàm nhiều biến sau:

Với m điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

Với: x   x1 x2 xn T

  0

1, 2, ,

j

g

j m

 

x

Với p điều kiện ràng buộc đẳng thức:   0

1, 2, ,

l

h

l p

 

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

       

   

1

1 2

, ,

; ;

p m

j j l l

j l

T

T T

n m p

L f g h

x x x

                     

x λ η x x x

x λ η

                            1

, , 0; 1

0;

0;

0

;

0 max

0;

p m

j l

j j

j l

i i i i

j j j j j l g h L f i n

x x x x

g j m

g j m

f

j m f

h l p

                                                 

x λ η x x x

x x

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (Tiếp)

1

1

2

2

; ;

p

n m

x x

x

 

 

 



 



 

  



 

 

   

 

   

 

   

    

   

 

   

     

     

x λ η

Giải hệ (1)÷(5) với (n+m+p) ẩn,

ta có:

Kiểm tra J1 véctơ Gradient hàm bất đẳng thức ràng buộc g

tại điểm cực trị p véc tơ Gradient hàm đẳng thức ràng buộc h điểm cực trị x*, phải khơng phụ thuộc tuyến tính với Nếu x*, λ*, η* điểm cực trị

 

 

1 0

j j

g

j J 





 

x  

1 l

h

l p



 

x

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Cho M = J1+p véc tơ:

           

1 2

1 1

1 , , , , , , ,

p

J J J J

J p

g g g h h h

  

     

     

v v v v v v

x x x x x x

Với: x   x1 x2 xn T

Xây dựng ma trận A:   1 1

x M

1 ;

J J J J p

N

M J p N n

  

 

  

  

A v v v v v v

Trường hợp 1: Khi M > N  Các véc tơ ln phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 2: Khi M = N Ta tính det(A) Nếu det(A) = phụ thuộc tuyến tính, ngược lại khơng phụ thuộc tuyến tính

Khơng phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

 

1

1 1

1

2 2

2

1

1

1 1

1

2 2

x

1

; ; ;

M M M

M

N N N

M M

N M

M

N N N

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

     

     

     

  

     

     

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

1

v v v

A

Xác định M véc tơ v sau độc lập tuyến tính hay phụ

thuộc tuyến tính

Đưa dạng bậc

thang

 

1

1 1

1

2 2

x

1

M M

N M

M

N N N

a a a

a a a

a a a

 

 

 



 

 

 

 

A

1) Nếu Rank(A)=M  Các véc tơ v độc lập tuyến tính 2) Nếu Rank(A)<M  Các véc tơ v phụ thuộc tuyến tính

Do Rank(A)≤N, nên N < M Rank(A)<M, có nghĩa N<M véc tơ v ln phụ thuộc tuyến tính

Khơng phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Xác định 3 véc tơ v sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

tuyến tính

1

2

6

; ; ;

2

2

                    

           



     

v v v

  Gaussian Elimination

4

2 2

9

6 0 9

2 0 0 3

2 0 0 0

   

 

   

   

     

   

  

   

A

4

N M

 

  

Rank(A)=3=M

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát

Tìm cực trị hàm sau:f x x x 1, 2,   x12  2x22 30x1 16x3  min/ max

Với ràng buộc bđt: x1  6x2 3x3  0; x3 

2

n m

p  

  

  

Với ràng buộc đt: 5x1  3x2  4x3  20 

     

 

2

1 1 3

1

, , 30 16

5 20

L x x x x x x x x

x x x

 



         

   

x λ η

 3 ;  2 ;  1

T T T

x x x   

  

                       

1 1

1

2 1

2

1

1

2

1

3

1

2

1

2 30

4

16

6

0

6

0

0

0

5 20 10

L x x L x x L x

x x x x

x x x x

x x x

                                                                  Giải hệ PT tìm 6 ẩn