Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 7: Phương pháp đồ thị để giải bài toán tối ưu hóa có 2 tham biến cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp đồ thị, tìm giá trik k đẻ hai đường cong tiếp xúc nhau,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí CHƯƠNG 07: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA CĨ THAM BIẾN Thời lượng: tiết Đặt vấn đề Trong nhiều toán thiết kế, kỹ thuật phức tạp, số lượng hàm ràng buộc (bất đẳng thức) lớn, nhiên hàm mục tiêu ràng buộc có tham biến Với tốn này, nhiều áp dụng phương pháp đồ thị đem lại hiệu tốt, đồng thời đưa lời giải trực quan dễ hiểu Hơn nữa, số trường hợp lời giải cần tìm phải số nguyên, phương pháp đồ thị trường hợp lại giúp tìm kết dễ dàng mà không cần sử dụng kỹ thuật phức tạp khác bước Cơ phương pháp là: - Vẽ đồ thị hàm ràng buộc - Xác định miền lời giải hợp lệ (vùng diện tích giới hạn đường cong ràng buộc) - Vẽ đường cong đồng mức hàm mục tiêu để xác định cực trị miền hợp lệ Chú ý: Đi theo hướng Gradient đến điểm cực trị phải khuôn khổ miền hợp lệ Phương pháp đồ thị Cực đại hóa hàm số sau: f x1 , x2 400 x1 600 x2 max x1 x2 x1 x2 Với ràng buộc: x1 x2 16; 1; 1; x1 0; x2 28 14 14 24 Bước 1: Kẻ hệ trục tọa độ x1x2 Nhìn vào ràng buộc để dự đốn cách tương đối khoảng giá trị tham biến Ví dụ ta lấy [0;25] Trong nhiều trường hợp khoảng giá trị trục xác định sau vẽ đồ thị Bước 2: Vẽ đường ràng buộc bất đẳng thức Xét ràng buộc đầu tiên, ta bỏ dấu bất đẳng thức ≤ để vẽ đồ thị đường: x1 x2 16 Bước 3: Phân định miền bất đằng thức: Dựa vào tọa độ điểm thuận tiện không nằm đường cong ràng buộc thuộc miền Từ xác định dấu miền phía đường cong Khơng hợp lệ Hợp lệ Bước 4: Vẽ đường cong ràng buộc lại xác định miền hợp lệ: Làm tương tự bước cho đường cong ràng buộc lại g x1 G g3 F E x1 x2 1 14 24 g1 x1 x2 16 D Miền ABCDE hợp lệ A g2 C x1 x2 1 28 14 g5 x2 B J H Bước 5: Vẽ đường đồng mức hàm mục tiêu g3 E x1 x2 1 14 24 D C A B Tính Gradient hàm số để biết hướng độ dốc khiến hàm số tăng Trên hình mũi tên song song với véc tơ , chúng vuông góc với đường đồng mức hàm f Ta g1 x1 x2 16 vẽ hàng loạt đường thẳng song song vng góc với véc tơ Gradient đường đồng mức x1 x2 g f đường thẳng (hàm f 28 14 bậc với biến) Để hàm f đạt giá trị ngày lớn đường đồng mức cần theo hướng mũi tên Gradient, cần phải có đường đồng mức xa mà “chạm” vào miền hợp lệ Trên hình ta thấy điểm D 400 f x 600 Bước 6: Tìm tọa độ điểm D điểm mà ta nhận thấy hàm f đạt cực đại mà thỏa mãn miền hợp lệ Dễ dàng nhận thấy D giao điểm đường cong ràng buộc g1 g2 Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: x1 x2 16 x 4 f x , x x1 x2 400 600 12 8800 28 14 x2 12 Kết luận: Cực đại hàm f = 8800 với x1*=4, x2*=12 Phương pháp đồ thị Khi hàm ràng buộc song song với hàm mục tiêu, có tình nhiều lời giải Cực tiểu hóa hàm số sau: f x1 , x2 x1 0.5 x2 Với ràng buộc: x1 x2 12; x1 x2 8; x1 0; x2 Do hàm mục tiêu f song song với ràng buộc g2=2x1+x2-8 nên ta thấy lời giải đoạn thằng BC đường đồng mức hàm f trùng với đoạn BC giúp f đạt giá trị nhỏ xét tới ràng buộc Phương pháp đồ thị Khi ta bỏ sót ràng buộc phát biểu sai tốn tối ưu Cực tiểu hóa hàm số sau: f x1 , x2 x1 x2 Với ràng buộc: 2 x1 x2 0; x1 x2 6; x1 0; x2 Do miền hợp lệ mở rộng đến vô bên phải, nên khơng có lời giải tối ưu hữu hạn Cần xem lại phát biểu toán tối ưu Phương pháp đồ thị 10 Khi ràng buộc mâu thuẫn khiến cho miền lời giải rỗng Cực tiểu hóa hàm số sau: f x1 , x2 x1 x2 x1 x2 6; x1 x2 12; x1 , x2 0;5 Với ràng buộc: H Miền hợp lệ phải giao miền OAG HDEF Và miền hồn tồn khơng có khoảng chung nên giao tập rỗng Như thân ràng buộc mâu thuẫn nên khơng tồn vùng tìm kiếm hợp lệ Bài tốn vơ nghiệm Xem lại đề Cách 3: 23 1) Trước hết ta có phương trình sau: f x1 , x2 , k x12 x22 3x1 x2 k 2 g x , x , k x x 6 1 2 2) Tính Gradient đường cong: x1 x2 x1 f x ; g x 3 x1 x2 x2 3) Do đường cong f g tiếp xúc nên điểm tiếp xúc Grad(f) // Grad(g): x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 3 4) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k Cũng có lời giải: x1A f 3 A x2 x1B f 3 B x2 x1C f max 15 C x2 x1D f max 15 D x2 ax1 + bx2 = c x1 x2 ax1 bx2 c 1 c c a b x2 c b c a x1 ax1 bx2 c 24 2 2 x x 1 A B x2 A B x1 25 26 ax12 Điều kiện: + bx22 + cx1+ dx2 + e = 27 bc ad a 0; b 0; e 4ab c d 2 x1 2a x2 2b x h x k 1 1 2 2 bc ad 4abe bc ad 4abe A B 4a b 4ab c d h 2a ; k 2b ; 2 2 bc ad abe bc ad 4abe A ;B 4a b 4ab 28 x12 x22 2 1 C A B A B x2 A x1 B C 29 x1 h A 2 x2 k B 2 1 x2 x1 Đường tiệm cận: B x2 x1 h k A 30 x2 k A 2 x1 h B 2 1 x2 x1 Đường tiệm cận: A x2 x1 h k B ax12 bx22 + cx1+ dx2 + e = Điều kiện: a 0; b 0; 31 Nếu: bc ad 4abe 2 c d 2 x1 2a x2 2b x1 h x2 k 1 1 2 2 bc ad 4abe bc ad 4abe A B 4a b 4ab c d h 2a ; k 2b ; 2 2 bc ad abe bc ad 4abe A ;B 4a b 4ab ax12 - bx22 + cx1+ dx2 + e = Điều kiện: Nếu: a 0; b 0; bc ad 4abe 2 d c 2 x2 2b x1 2a x k x h 1 1 2 2 ad 4abe bc ad 4abe bc A B 4ab 4a b c d h 2a ; k 2b ; 2 2 ad abe bc ad abe bc A ;B 4ab 4a b 32 Ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức 33 f x1 , x2 2 x12 x22 max Tìm cực trị hàm số sau: x1 x2 10; x1 x2 22; 3 x1 x2 2; Với ràng buộc bất đẳng thức đẳng thức x1 x2 4; x1 x2 4; x2 x1 b c a ràng buộc bất đẳng thức tạo miền lời giải hợp lệ ngũ giác màu vàng Tuy nhiên có ràng buộc đẳng thức đường cong màu đỏ Như tập hợp miền lời giải hợp lệ phần đường màu đỏ nằm bên hình ngũ giác màu vàng (đường ab) Phần bên ngồi hình ngũ giác bên không thuộc đường cong màu đỏ miền lời giải hợp lệ Như ta cần tìm phần đường cong ab điểm làm cho hàm f đạt giá trị nhỏ lớn Dựa vào véc tơ Gradient ta thấy chiều tăng giá trị hàm f Dựa vào đường đồng mức kết hợp với véc tơ Gradient ta biết đường đồng mức có giá trị lớn Như vậy, dễ dàng ta thấy: Điểm b điểm hợp lệ khiến cho f có giá trị nhỏ b giao điểm đường x1 + 5x2 – 22 = đường ràng buộc x2–sqrt(2x1) = Điểm c tiếp điểm số đường đồng mức –2x12 + 5x22 = k với đường ràng buộc x2–sqrt(2x1) = Nó có giá trị lớn Tìm tọa độ điểm cực tiểu b b c a x1 x2 22 b x1 x2 22 x x2 10 x2 44 3.3066239 b x2 x2 x2 x1 x1 x2 5.4668807 f x1 b , x2 b 5.10476243 34 Tìm tọa độ điểm cực đại c 1) Trước hết ta có phương trình sau: 35 f x1 , x2 , k 2 x12 x22 k h x1 , x2 , k x2 x1 2) Tính Gradient đường cong: 1 2 4 x1 f x ; h x x1 10 x2 1 3) Do đường cong f h tiếp xúc nên điểm tiếp xúc Grad(f) // Grad(h): 4 x1 10 x2 x1 3 4) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k Ta có nghiệm: x1 c 2.5 c c f x 12.5 max c , x2 x2 36 MATLAB để hỗ trợ vẽ đồ thị Cực tiểu hóa hàm số sau: f x1 , x2 x1 1.5 x2 1.5 Với ràng buộc: x1 x2 2; x1 0; x2 MATLAB để hỗ trợ vẽ đồ thị 37 Chỉ dùng để vẽ đường đồng mức ràng buộc chúng hàm phi tuyến phức tạp Sau in tiếp tục vẽ thích tay thêm cho tốn ... đường cong g1, g2 A 1 07 g1 248 106 2 x1 x2 2 07 109 x13 x2 g 10 455 x1 0.15581 375 45 x2 0.0411 872 369 f 1 579 .2 277 56 12 Phương pháp đồ thị Cực tiểu hóa hàm số sau: f ... tìm kết dễ dàng mà không cần sử dụng kỹ thuật phức tạp khác bước Cơ phương pháp là: - Vẽ đồ thị hàm ràng buộc - Xác định miền lời giải hợp lệ (vùng diện tích giới hạn đường cong ràng buộc) - Vẽ... vùng tìm kiếm hợp lệ Bài tốn vơ nghiệm Xem lại đề 11 Phương pháp đồ thị Cực tiểu hóa hàm số sau: f x1 , x2 2.4608 105 x1 x2 Với ràng buộc: 2 07 10 x 1 07 x2 248 10 0;10