Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 7: Phương pháp đồ thị để giải bài toán tối ưu hóa có 2 tham biến

- Vẽ các đường cong đồng mức của hàm mục tiêu để xác định cực trị ở trong miền hợp lệ. Chú ý: Đi theo hướng của Gradient đến điểm cực trị nhưng phải trong khuôn khổ miền hợ[r]

Khoa Cơng nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 07:

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA CĨ THAM BIẾN

Đặt vấn đề

Trong nhiều toán thiết kế, kỹ thuật phức tạp, số lượng hàm ràng buộc (bất đẳng thức) lớn, nhiên hàm mục tiêu và ràng buộc có tham biến Với toán này, nhiều khi áp dụng phương pháp đồ thị đem lại hiệu tốt, đồng thời đưa lời giải trực quan dễ hiểu Hơn nữa, số trường hợp lời giải cần tìm phải số nguyên, phương pháp đồ thị trường hợp lại giúp tìm kết dễ dàng mà không cần sử dụng kỹ thuật phức tạp khác

3 bước Cơ phương pháp là:

- Vẽ đồ thị hàm ràng buộc

- Xác định miền lời giải hợp lệ (vùng diện tích giới hạn các đường cong ràng buộc)

- Vẽ đường cong đồng mức hàm mục tiêu để xác định cực trị miền hợp lệ

Phương pháp đồ thị

Cực đại hóa hàm số sau: f x x 1, 2   400x1  600x2  max

Với ràng buộc: 16; 1; 1; 0; 0

28 14 14 24

x x x x

x  x      x  x 

Bước 1: Kẻ hệ trục tọa độ x1x2

Nhìn vào ràng buộc để dự đoán cách tương đối khoảng giá trị tham biến Ví dụ ta lấy

[0;25]

Trong nhiều trường hợp khoảng giá trị trục xác định sau vẽ đồ thị

Bước 2: Vẽ đường ràng buộc bất đẳng thức

Bước 3: Phân định miền bất đằng thức: Dựa vào tọa độ điểm thuận tiện không nằm đường cong ràng buộc thuộc miền Từ xác định dấu của miền phía đường cong.

Khơng hợp lệ

Bước 4: Vẽ đường cong ràng buộc lại xác định miền hợp lệ: Làm tương tự bước cho đường cong ràng buộc còn lại

A

B J H

C F

G

 

2

28 14

x x

g  

 

3

14 24

x x

g  

 g5 x2 0

 g4 x10

 g x1 1x2 16

D E

Miền

ABCDE

Bước 5: Vẽ đường đồng mức hàm mục tiêu

 

3

14 24

x x

g  

 g x1  x2 16  

2

28 14

x x

g  

Tính Gradient hàm số để biết hướng độ dốc khiến hàm số tăng Trên hình mũi tên song song với véc tơ <2;3>, chúng vng góc với đường đồng mức hàm f Ta vẽ hàng loạt đường thẳng song song vng góc với véc tơ Gradient đường đồng mức của f đường thẳng (hàm f

bậc với biến)

Để hàm f đạt giá trị ngày lớn đường đồng mức cần theo hướng mũi tên Gradient, cần phải có đường đồng mức xa mà “chạm” vào miền hợp lệ Trên hình ta thấy điểm D

  400 2

600 3

f    

Bước 6: Tìm tọa độ điểm D điểm mà ta nhận thấy hàm f đạt cực đại mà thỏa mãn miền hợp lệ

Dễ dàng nhận thấy D giao điểm đường cong ràng buộc

g1 g2 Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:   1 2 2 4

, 400 600 12 8800 1 1 2 14 16 8 2 x x f x x x x x x                           

Phương pháp đồ thị

Khi hàm ràng buộc song song với hàm mục tiêu, có tình nhiều lời giải.

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x 1, 2    x1 0.5x2  min

Với ràng buộc: 2x1  3x2 12; 2x1  x2    8; x1 0; x2  0

Phương pháp đồ thị

Khi ta bỏ sót ràng buộc phát biểu sai toán tối ưu

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x 1, 2    x1 2x2  min

Với ràng buộc: 2x1  x2  0; 2x1  3x2    6; x1 0; x2  0

Do miền hợp lệ mở rộng đến vô bên phải, nên khơng có lời giải tối ưu hữu hạn

Phương pháp đồ thị

Khi ràng buộc mâu thuẫn khiến cho miền lời giải rỗng

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x 1, 2   x1 2x2  min

Với ràng buộc: 3x1  2x2  6; 2x1 3x2 12; x x1,  0;5 Miền hợp lệ phải giao miền OAG HDEF Và miền này hồn tồn khơng có khoảng chung nên giao là tập rỗng Như thân các ràng buộc mâu thuẫn nhau nên không tồn vùng tìm kiếm hợp lệ Bài tốn vơ nghiệm  Xem lại đề bài