Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 5: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc bất đẳng thức - Phương pháp cổ điển

Nếu 1 vài nghiệm mang dấu –, một số còn lại mang dấu + thì đó không phải là cực trị.[r]

Khoa Cơng nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 05:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN

đẳng thức

 

f x

Tìm cực trị (Optimum) hàm nhiều biến sau: Với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

Với: x   x1 x2 xn T

  0

1, 2, ,

j

g

j m

 

   

0 0

1, 2, , 1, 2, ,

j j j

g g y

j m j m

 



   

  

 

     

   

x x

   

, 0

1, 2, ,

j j j

G g y

j m

  



x y x

     

   

 

1

1 2

1

, , ,

; ;

m

j j

j

T T

n m

T m

L f G

x x x y y y



  



 

 





x y λ x x y

x y

       

   

       

1

2

, , ; 1 1

, , 2 0; 1 2

, , , 0; 1 3

m

j j

j

i i i

j j

j

j j j

j

g

L f

i n

x x x

L

y j m

y L

G g y j m

 





   

  



  

  

   

   

     

 



x y λ x x

x y λ

x y λ x y x

1 1

2 2

; ;

n m m

x y

x y

x y

  

  

  

  

  

     

     

     

  

     

     

     

     

Tính định thức sau Tìm nghiệm phương trình định thức = Nếu tất nghiệm mang dấu – số = lời giải cực đại, tất nghiệm mang dấu + số = lời giải cực tiểu Nếu vài nghiệm mang dấu –, số cịn lại mang dấu + khơng phải cực trị

   

                

 

 

11 12 13 11 21

21 22 23 12 22

1

11 12 13

21 22 23

1

0 0

0 0

0 0

m n m

m n m

n m n m n m n m n m n m n m m n m

n m n m

m m m m n m

L z L L L G G G

L L z L L G G G

L L L L z G G G

G G G G

G G G G

G G G G

 

       

 







  

m n+m

m m

n+m n+m

n+m m

11 12 13 11 21

21 22 23 12 22

1

1

2

11 12 13 1

21 22 23 2

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2 0 0

0

n m

n m

n n n nn n n mn

m m

n n

L z L L L g g g

L L z L L g g g

L L L L z g g g

z y

z y

z y

g g g g y

g g g g y

                  

1

0 0

0 0

m m m mn m

g g g g y

m m

m m

n n

n m m

      , , , ,

1 ; ,

k

ij kl

i j l

L g

L g

x x x

k m l n

i j n

             

x y λ x

x y λ x

Cực tiểu hàm số sau: f x x x 1, 2, 3  x12  x22  x32  40x1  20x2  Với ràng buộc: x1  50; x1  x2 100; x1  x2  x3 150

3

n m

 

  

Biến đổi lại ràng buộc:

 

 

 

 

 

 

1

2

3 3

2 1 1

2 2 2

2 3 3

, , 50

, , 100

, , 150

, , , 50

, , , 100

, , , 150

g x x x x

g x x x x x

g x x x x x x

G x x x y x y

G x x x y x x y

G x x x y x x x y

    



     

       

     



       

       



Hàm Lagrange:

     

1

, , , , j j , , , j

j

L f x x x  G x x x y



  

   

2 x1 x2 100 y2 x1 x2 x3 150 y3

 

          

Hệ PT (1)÷(3) tương đương phương trình:

   

   

   

1

2

3

1 2 3

2

1

2

1 2

2

1 3

2 40

1 20

2

2

2

2

50

3 100

150

x x x

y y y

x y

x x y

x x x y

    

 

 

    

 

     

  



 



  

 



   



     

      

Giải hệ PT tìm

kết hợp với hệ phương trình (4) (6) Ta hệ phương trình sau:

1) Hệ PT 1:

1

1

2

3

2

1

2

1 2

2

1 3

0 0

2 40

2 20

2

50

100

150

x x x

x y

x x y

x x x y

  

    

   

 

  

     



   



  



   



    



      

1

1

2

3

2

1

2

1 2

2

1 3

0 0

2 40

2 20

2

50

100

150

y x x x

x y

x x y

x x x y

 

    

   

 

  

     



   



  



   



    



      