Đang tải... (xem toàn văn)
Đó chính là những biểu thức hàm ràng buộc g i (x) thường là các hàm phi tuyến phức tạp nên khó có thể rút ra được biểu thức biểu diễn tham biến qua các tham biến khác từ nhữn[r]
(1)Khoa Cơng nghệ Cơ khí
CHƯƠNG 04:
TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC:
PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN
(2)2
Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc đẳng thức
Tìm cực tiểu (Minimum) hàm nhiều biến sau:
Với điều kiện ràng buộc đẳng thức: 0
1, 2, ,
j
g
j m
x
Với: x x1 x2 xn T
Điều kiện: m ≤ n Nếu m > n tốn khơng có lời giải
Có phương pháp giải:
1 Phương pháp trực tiếp (direct substitution)
2 Phương pháp biến đổi ràng buộc (constrained variation) 3 Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers)
(3)Phương pháp trực tiếp
Từ m ràng buộc đẳng thức, ta biến đổi thu biểu thức
tính m biến số thơng qua (n-m) biến số lại (trong số n biến số
tất cả) Từ vào biểu thức hàm f ban đầu Như hàm f
trở thành hàm có (n-m) biến số khơng ràng buộc
hết Ta quay trở tốn tối ưu khơng ràng buộc.
1 1 2 2
2
1
, , ,
0 , , ,
1
, ,
, , , m
,
in
n m n m
j
n
n m n m
n m m
m
n
x h x x x
g x h x x x
j m
x h
x
f x
x x
f x
x
x
x
2
T
n m n m n m n
x x x x x x
x
(n-m) tham biến sở m tham biến cần triệt tiêu f
Từ:
(4)4 Phương pháp trực tiếp
Tối ưu hàm số sau: f x x x 1, 2, 3 8x x x1 3
Với ràng buộc: x12 x22 x32 1
3
n m
Tìm biểu thức liên hệ tham biến vào tham biến lại:
2 2 2
1 3 1
x x x x x x
Thế vào hàm f ban đầu:
2
1, 2, 1, 1
f x x x f x x x x x x Tối ưu hàm biến
(5)
2 2 2
1
2 2
1 1
2 2
1 2
1 2 1 0
0
2
8
1
1
3
f
x x
x x x
f
f x x x x x
x
x x
x x x
x
Tính ma trận Hessian điểm dừng:
2 2 2
1 2 1 2
2
3
2 2 2
2
1 2
1
2 2 2 2
1 2 2
2 3 3
2 2 2 2
1 2
8 3 3
1
8 3 3
1
x x x x x x x x x x
f f
x x x x
x x x
f f x x x x x x x x x x
x x x
x x x x
H 32 16 32 3 16 32 256 3 A A Điểm dừng
Điểm cực đại
Vậy cực đại hàm ban đầu là: 1 max
3 3 3
(6)6
Phương pháp trực tiếp đơn giản về mặt lý thuyết, thực tế lại có những hạn chế sử dụng Đó những biểu thức hàm ràng buộc gi(x) thường hàm phi tuyến phức tạp nên khó rút biểu thức biểu diễn tham biến qua tham biến khác từ hàm phức tạp
Chính vậy, chúng áp dụng một số trường hợp hàm gi(x) đơn giản
(7)Vi phân bậc r hàm f
Nếu tất đạo hàm riêng hàm f với bậc r ≥ tồn
liên tục điểm x*, đa thức sau gọi vi phân bậc r
của hàm f điểm x*:
, 1, , , n
f x x x x x
1 1 1 2
r
r r
r
n n n
r
i i i
i i i i i i
f
d f dx dx dx
x x x
*
* x
x
Trong đó:
1 , 2, , ; ;
1 ; 1
k k k
n
i i i
k
x x x
dx x x
i n
k r
x
Có nr
(8)8
Vi phân bậc r hàm f
; 1, 2; ,
f x x x x x x x
1
1
1
; ;
i i i
f f
d f dx dx
x x
dx x x i
* *
* x x
x n=2, r=1 Có
21 =2 hạng tử
2 2
2 2
1 2
2
1 2
2 2
2
1 2
2
1 2
2 ;
i i i
f f f f
d f dx dx dx dx dx dx
x x x x x x
f f f
dx dx dx dx
x x x x
dx x x i
* * * *
*
* * *
x x x x
x
x x x
n=2, r=2 Có
(9)Vi phân bậc r hàm f
; 1, 2, 3; , 2,
f x x x x x x x x x
1
1
1
; ;
i i i
f f f
d f dx dx dx
x x x
dx x x i
* * *
* x x x
x n=3, r=1 Có
31 = hạng tử
2 2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 3 3
1 3 3
2 2
2 2
1
2 2
1
2
f f f f f
d f dx dx dx dx dx dx dx
x x x x x x x
f f f f
dx dx dx dx dx dx dx dx
x x x x x x x x
f f f
dx dx dx
x x x
* * * * * * * * * * * * *
x x x x x
x
x x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
2
;
i i i
f f f
dx dx dx dx dx dx
x x x x x x
dx x x i
* * *
x x x
n=3, r=2 Có
(10)10
Dãy TAYLOR hàm f(x) quanh điểm x*
1
1
1
1
1 1
,
2! 3! !
1 ,
1 !
0
N
N
N N
T n
T n
f f
f d f d f d f d f R
N
R d f
N
x x x
x x x
*
* * * * *
* *
* *
*
x x dx
x x x x x x dx
x dx x dx
dx x x x x dx x