Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 3 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc, cách xác định dấu của các ma trận Hessian,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí CHƯƠNG 03: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHƠNG CĨ RÀNG BUỘC Thời lượng: tiết Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc f  x  , x  x1 , x2 , , xn Tìm điểm cực trị (Extreme points) điểm “Yên ngựa” (Saddle points) hàm Giải hệ phương trình Gradient = 0: Giả sử có m nghiệm  f f  x     x1 f x2 x1   x1 x 1       m  m  m  x  x x    T f   0 xn  1  T xn   m  T xn  Tối ưu hàm nhiều biến khơng ràng buộc Tính ma trận Hessian điểm bất kz Tính ma trận Hessian m điểm nghiệm bước  2 f   x   2 f  H     x2x1    2 f  x x  n 2 f   x1xn  2 f   x2xn     f  xn2  2 f x1x2 2 f x22 2 f xn x2  H  x  ;  H  x  ; ;  H  x m  Dựa vào dấu ma trận Hessian điểm để xác định cực trị hay điểm yên Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Giả sử ma trận Hessian điểm nghiệm i có dạng  H  x  i  a11 a   21    an1 a12 a22 an a1n  a2 n  ; i  m   ann  Tính định thức n ma trận thành phần: A1  a11 A2  a11 a12 a21 a22 a11 a12 a13 A3  a21 a22 a23 a31 a32 a33  a11 a An   21    an1 a12 a22 an a1n  a2 n    ann  Nếu tất A1, A2, …, An > ma trận [H] > x(i) – cực tiểu Nếu dấu Aj (–1)j (j=1 n) [H] < x(i) – cực đại Nếu vài Aj > vài Aj < =  x(i) – Điểm yên Điểm yên (Saddle Point) Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Cho vật rắn không ma sát A, B liên kết lò xo đàn hồi với độ cứng k1, k2, k3 Các lò xo vị trí tự nhiên (khơng co – giãn) P=0 Với P≠0 tìm chuyển vị x1, x2 theo nguyên l{ cực tiểu Thế hệ = U Năng lượng biến dạng lò xo 1 2 k1 x2  k2 x1  k3  x2  x1  2 – công ngoại lực  P  x2 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Dưới tác dụng lực P, vật có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân Tại vị trí cân hệ cực tiểu Do đó, để tìm x1, x2 ta tìm cực trị hàm U U  x   U  x1 , x2   1 k1 x2  k2 x12  k3  x2  x1   P  x2 2 k3    U  x   k k k k k k P  x   k x  k  x  x   2 3 1        U  x    k  k3  U   k1 x2  k3  x2  x1   P   x  P  x   k1k2  k2 k3  k3k1  2 Có nghiệm nhất, có nghĩa có vị trí cân ổn định Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tính ma trận Hessian   2U  x  H    U   x2 x1  2U  x1x2   k2  k3   U   k3  x2   k3  k2  k3  Tính định thức ma trận thành phần:  H 1  k2  k3   H 2  k  k3  k3  k3 k  k3  k1k2  k2 k3  k3k1   H    x* Là điểm cực tiểu k3  k k  k k  k k 2 3 *  x  Với:  k  k3 k k  k k  k k  2 3  P   P  Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất điểm cực trị điểm yên hàm sau: f  x   f  x1 , x2   x13  x23  x12  x22  1 1  x  0; x 0  f    2  2  x   x  x  x  0; x  1  8 1   f  x         3  3  f  3 x2  x2  x   3; x  0  x    4  4  2 x   3; x   8 Có điểm dừng (m=4) Tính ma trận Hessian điểm bất kz  2 f  x  H     f   x2 x1 2 f  x1x2  6 x1      x   f    x22  Tính ma trận Hessian điểm nghiệm bước 1) Điểm số 1:  H  x   2  3 x2    0 1  T T  2   x1   x1  4  4   x1 1 T Trình tự âm – dương 40 định thức thành phần  không tuân theo quy tắc  32  cực đại  Điểm yên  3  6 f x x2    8 3  2 T    418 27    194 27 f x 2 x2    4 0  3  T T Toàn định thức  4   A1 x 2  4     thành phần âm      A2 x 2  32  Điểm yên 4) Điểm số 4: x  H  x    x1    A1 x 2     8  A2 x 2 3) Điểm số 3: x  H  x  1 Tất định thức thành    A1 x1      phần >0  Cực tiểu     A2 x1  32  2) Điểm số 2: x  H  x  x  1 10 f x 3 x2    4 8 3  4 T T Các định thức thành phần  4   A1 x 4  4     tuân theo quy luật cực đại   8  A2 x 4  32   Cực đại   f x 4  50 11 Xanh lam Cực tiểu Đỏ  Cực đại điểm xanh lại Điểm yên Tối ưu hàm nhiều biến khơng ràng buộc 12 Tìm tất điểm cực trị điểm yên hàm sau: f  x   f  x1 , x2   0.7 x14  x12  x22  cos  x1 x2   x1  f   x   2.8 x  16 x  x sin  x x   8 0  1 2  f  x      12 x2  x1 sin  x1 x2   f    0   x   2 1  2 Giải hệ phương trình 1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 PT (1) vơ nghiệm  Suy x1≠0 2) Trường hợp 2: Nếu x2=0 PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc 2.8 x13  16 x1   Vẽ đồ thị hàm: f  x1   2.8 x13  16 x1  online: https://rechneronline.de/function-graphs/ 13 Dựa vào đồ thị ta thấy có nghiệm nằm khoảng sau14 đây: - Khoảng [-2.1; -1.8] nghiệm gần với -2.1 - Khoảng [-0.6; -0.3] nghiệm gần với -0.5 - Khoảng [2.4; 2.7] nghiệm gần với 2.55  Sử dụng phương pháp số bisection nghiệm là:  x11  2.084068332  2  x1  0.5253777475  3  x1  2.609446079 Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu điểm yên điểm dừng a) Xét điểm dừng số 1: 1  x  2.084068332; x  0  20.48406282    H1    0  7.656659188  Tất định thức thành phần >0  Cực tiểu  f  x1   3.86895325 b) Xét điểm dừng số 2: 2  x  0.5253777475; x  0  13.68141707   H2     11.72397822   Toàn định thức thành phần âm  Điểm yên  f  x2   3.048179374 3  x  2.609446079; x c) Xét điểm dừng số 3: 0  41.19735425    H3     5.190791161    f  x3   41.89351183 15 Tất định thức thành phần >0  Cực tiểu 16 3) Trường hợp 3: x1≠0, x2≠0: 2.8 x13  16 x1  x2 sin  x1 x2    x14  40 x12  20 x1  x2   30 12 x2  x1 sin  x1 x2    x14  40 x12  20 x1 x14  40 x12  20 x1  12   x1 sin  x1  30 30   0   Ta vẽ đồ thị để xem điểm đồ thị cắt trục hoành đâu: Như khơng có nghiệm x1≠0, x2≠0 véc tơ Gradient Chúng ta có điểm cực trị (màu xanh dương) điểm yên (màu xanh cây) 17 ...  U   k3  x2   k3  k2  k3  Tính định thức ma trận thành phần:  H 1  k2  k3   H 2  k  k3  k3  k3 k  k3  k1k2  k2 k3  k3k1   H    x* Là điểm cực tiểu k3  k k ... với -2 .1 - Khoảng [-0 .6; -0 .3] nghiệm gần với -0 .5 - Khoảng [2.4; 2.7] nghiệm gần với 2.55  Sử dụng phương pháp số bisection nghiệm là:  x11  2.08406 833 2  2  x1  0.52 537 77475  3 ... 11.7 239 7822   Toàn định thức thành phần âm  Điểm yên  f  x2   3. 04817 937 4 3  x  2.609446079; x c) Xét điểm dừng số 3: 0  41.19 735 425    H3     5.190791161    f  x 3  