Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu.[r]
(1)CHƯƠNG 03:
TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHƠNG CĨ RÀNG BUỘC
(2)Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
, 1, 2, , n
f x x x x x
Tìm điểm cực trị (Extreme points) điểm “Yên ngựa” (Saddle points) hàm.
Giải hệ phương trình
Gradient = 0: 1 2
T
n
f f f
f
x x x
x 0
Giả sử có m nghiệm
1 1
1
1
T n
T
m m m m
n
x x x
x x x
x
(3)Tính ma trận Hessian
một điểm bất kz
2
1
2 2
2
2 2
2 2
2
1
n
n
n n n
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
H
Tính ma trận Hessian m
điểm nghiệm bước 1. 1 ; 2 ; ; m
x x x
H H H
(4)Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Giả sử ma trận Hessian
điểm nghiệm i có dạng
11 12
21 22
1
;
i
n n
n n nn
a a a
a a a
i m
a a a
x H
Tính định thức n ma trận thành phần:
11 12 11
21 22 a a
A a A
a a
11 12
21 22
1
n n n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
1 Nếu tất A1, A2, …, An > ma trận [H] > x(i) – cực tiểu
2 Nếu dấu Aj (–1)j (j=1 n) [H] < x(i) – cực đại
3 Nếu vài Aj > vài Aj < = x(i) – Điểm
yên
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a
A a a a
a a a
(5)(6)Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Cho vật rắn không ma sát A, B liên kết lò xo đàn hồi với độ cứng lần lượt k1, k2, k3 Các lị xo vị trí tự nhiên (không co – giãn) P=0 Với P≠0 tìm chuyển vị x1, x2
theo nguyên l{ cực tiểu năng.
Thế hệ = Năng lượng biến dạng
của lò xo –
U
công ngoại lực
2
2
1 2
1 1 1
(7)Dưới tác dụng lực P, vật có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân Tại vị trí cân hệ cực tiểu Do đó, để tìm x1, x2 ta tìm cực trị hàm U.
2 2 2
1 2 2
1 1
,
2 2
U x U x x k x k x k x x P x
3
1 2 3
1
1 2
2
2 2 3
0
k U
x P
k k k k k k x k x k x x
U
k x k x x P
U k k
x P
x k k k k k k
x