Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; cấp của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình đẳng cấp cấp 1; phương trình tuyến tính cấp 1; phương trình Becnuly; phương trình vi phân cấp 2;... Mời các bạn cùng tham khảo!
HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẶT VẤN ĐỀ I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân phƣơng trình liên hệ biến độc lập, hàm chƣa biết đạo hàm vi phân Ví dụ CẤP CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Cấp phƣơng trình vi phân cấp cao đạo hàm vi phân hàm số có mặt phƣơng trình Phƣơng trình vi phân cấp n phƣơng trình có dạng Trong đó, khơng đƣợc khuyết NGHIỆM CỦA PTVP Định nghĩa: Nghiệm phƣơng trình vi phân cấp n hàm số khả vi đến cấp n mà thay vào phƣơng trình ta đƣợc đồng thức Ví dụ: Nghiệm phƣơng trình vi phân với C số tùy ý II PTVP CẤP 1 Các khái niệm a Các dạng biểu diễn Dạng tổng quát: Dạng giải đƣợc theo đạo hàm Dạng đối xứng b Các dạng nghiệm ptvp cấp Nghiệm tổng quát: Nghiệm có dạng y , với C tùy ý Nghiệm riêng: với C= số xác định Tích phân tổng quát: Nghiệm có dạng , C số tùy ý Tích phân riêng: Nghi với số xác định , c Sự tồn nghiệm Bài tốn: Cho phƣơng trình vi phân cấp một: với điều kiện ban đầu Định lí: Nếu hàm f(x, y) liên tục lân cận tốn có nghiệm Nếu đạo hàm riêng liên tục lân cận nghiệm PTVP cấp có biến phân ly a Khái niệm: Phƣơng trình vi phân cấp biến số phân li có dạng (1) III PTVP CẤP CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN a Các dạng biểu diễn Phƣơng trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát Dạng giải đƣợc đạo hàm b Định lý tồn nghiệm c Nghiệm PTVP cấp Giải PTVP cấp hai, đƣợc kết dạng số tùy ý đẳng thức gọi nghiệm tổng quát PTVP Nếu thay giá trị cụ thể nghiệm tổng quát nghiệm nghiệm riêng phƣơng trình vào gọi MỘT SỐ TRƢỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƢỢC Xét phƣơng trình vi phân cấp dạng a Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc y, y’ Phƣơng trình có dạng: Cách giải: Lấy tích phân liên tiếp hai lần b Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc y Phƣơng trình có dạng: Cách giải:- Đổi biến - Đƣa ptvp cấp với p, từ giải y c.Trƣờng hợp vế phải khơng chứa x Dạng phƣơng trình: Cách giải: - Đặt biến phụ: - Đƣa PTVP cấp với biến y, hàm p(y) - Giải p(y), từ tìm nghiệm phƣơng trình cho PTVP tuyến tính cấp hệ số a.Định nghĩa Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số phƣơng trình có dạng: Phƣơng trình liên kết với (1): (2) b Định lý nghiệm Định lý 1: Nếu nghiệm riêng ĐLTT PTTN (2) NTQ (2) là: Định lý 2: NTQ phƣơng trình (1) tổng NTQ phƣơng trình (2) NR phƣơng trình (1) Định lý 3: Nếu lần lƣợt nghiệm riêng phƣơng trình Và phƣơng trình nghiệm riêng phƣơng trình: c Nghiệm phƣơng trình Nếu phƣơng trình (3) có hai nghiệm thực phân biệt NTQ PTTN (2) là: Nếu phƣơng trình (3) có hai nghiệm kép NTQ PTTN (2) là: d Nghiệm riêng phƣơng trình vi phân tuyến tính khơng Trường hợp 1: ) Nếu khơng nghiệm PTĐT nghiệm riêng tìm dạng: , đa thức bậc n với hệ số chƣa biết (sẽ đƣợc xác định phƣơng pháp hệ số bất định) Nếu nghiệm đơn phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng tìm dạng: Nếu nghiệm kép phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng tìm dạng: Ví dụ: Giải PTVP Trường hợp 2: Nếu khơng nghiệm phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng phƣơng trình (1) tìm dạng Nếu nghiệm phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng phƣơng trình tìm dạng Ví dụ: Giải phƣơng trình ... Phƣơng trình vi phân phƣơng trình liên hệ biến độc lập, hàm chƣa biết đạo hàm vi phân Ví dụ CẤP CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Cấp phƣơng trình vi phân cấp cao đạo hàm vi phân hàm số có mặt phƣơng trình. .. nghiệm 2 PTVP cấp có biến phân ly a Khái niệm: Phƣơng trình vi phân cấp biến số phân li có dạng (1) Phƣơng trình đẳng cấp cấp a Khái niệm: Phƣơng trình vi phân cấp đẳng cấp loại phƣơng trình vi phân. .. Phƣơng trình vi phân cấp n phƣơng trình có dạng Trong đó, khơng đƣợc khuyết NGHIỆM CỦA PTVP Định nghĩa: Nghiệm phƣơng trình vi phân cấp n hàm số khả vi đến cấp n mà thay vào phƣơng trình ta