bài giảng toán cao cấp 2

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG GII TÍCH 1 (Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa ngành QTKD) Lu hành ni b HÀ NI - 2007 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG GII TÍCH 1 Biên son : TS. V GIA TÊ 5 LI NÓI U Gii tích (Toán cao cp A1) là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành Qun tr kinh doanh.  hc tt môn Toán cao cp theo phng thc ào to t xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa hình, , sách hng dn cho ngi hc toán cao cp là rt cn thit. Tp sách hng dn này đc biên son là nhm mc đích trên. Tp sách đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca B Giáo dc ào to và theo đ cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2007. Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc đang ging dy chuyên ngành Qun tr kinh doanh, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh BC-VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca tt c các trng, các ngành đi hc và cao đng. Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc lc trong công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc thông qua các ví d  minh ho. Sau các chng, ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp di dng trc nghim. Nh các ví d minh ho đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là bài tp mu đ t gii các bài tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra, đánh giá kin thc, kh nng thu nhn d a vào phn hng dn và đáp s đc cung cp  nhng trang cui sách. Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm s. Chính vì th chúng tôi trình bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc vng vàng đ đc tip các chng sau. Trong quá trình t đc và hc qua mng, tu theo kh nng tip thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó. Nhân đây tác gi cng lu ý rng  bc trung hc ph thông ca nc ta, chng trình toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên các ni dung đó ch mang tính cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do cu to chng trình. Vì th n u không t đc mt cách nghiêm túc các đnh ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy rt gp khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp. Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 45 đn 60 tit: Chng I: Hàm s và gii hn Chng II: o hàm và vi phân. Chng III: Hàm s nhiu bin s Chng IV: Phép tính tích phân. Chng V: Phng trình vi phân 6 Tuy rng tác gi đã c gng rt nhiu, song thi gian b hn hp.Vì vy các thiu sót còn tn ti trong cun sách là điu khó tránh khi. Tác gi chân thành ch đón s đóng góp ý kin ca các bn đng nghip, hc viên xa gn và xin cm n v điu đó. Chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh BC-VT, Trung tâm ào to BC-VT1, Phòng ào to i hc t xa và các bn đng nghip trong B môn Toán ca Hc vin Công ngh BC-VT đã khuyn khích đng viên, to điu kin cho ra tp tài liu này Hà Ni, ngày 7 tháng 6 nm 2006 Tác gi Chng 1: Hàm s mt bin s 7 CHNG I: HÀM S VÀ GII HN MC ÍCH, YÊU CU Mi vt xung quanh ta đu bin đi theo thi gian. Chúng ta có th nhn thy điu đó qua s chuyn đng c hc ca các vt th: ô tô, máy bay; s thay đi ca các đi lng vt lý: nhit đ, tc đ, gia tc; s bin đng kinh t trong mt xã hi: Giá c phiu, lãi sut tit kim, Tt c các loi hình đó đc gán mt tên chung là đi l ng hay hàm s, nó ph thuc vào đi s nào đó, chng hn là thi gian. Xem xét hàm s tc là quan tâm đn giá tr, tính cht và bin thiên ca nó. Vic đó đt ra nh mt nhu cu khách quan ca con ngi và xã hi. Trong chng này, chúng ta cn nm đc các ni dung sau: 1. Mô t đnh tính và đnh lng các hàm s s cp c bn. Nhn bit hàm s s cp, tính cht gii hn và liên tc ca nó. 2. Khái nim gii hn ca hàm s trong các quá trình khác nhau, các tính cht v gii hn và thành tho các phng pháp kh các dng bt đnh da trên phép thay th các VCB, VCL tng đng, đc bit các gii hn đáng nh: 1 sin lim sin lim 00 == →→ x x x x xx , e xx x x x x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −∞→+∞→ 1 1lim 1 1lim 3. Khái nim liên tc, gián đon ca mt hàm s. Các tính cht hàm s liên tc trên mt đon kín. 4. Các hàm s thng dùng trong phân tích kinh t. NI DUNG 1.1. CÁC KHÁI NIM C BN V HÀM S 1.1.1. Các đnh ngha c bn A. nh ngha hàm s Cho X là tp không rng ca  . Mt ánh x f t X vào  gi là mt hàm s mt bin s : ( ) fX x fx →   X gi là tp xác đnh ca f , )(Xf gi là tp giá tr ca f . ôi khi ký hiu Xxxfy ∈= ),( , x gi là đi s ( bin đc lp), y gi là hàm s (bin ph thuc) B. Hàm s chn, hàm s l Cho X đi xng vi 0 tc là XxXx ∈ − ∈ ∀ , Hàm s f (x) chn khi và ch khi )()( x f x f − = . Hàm s f (x) l khi và ch khi ).()( x f x f − − = C. Hàm s tun hoàn Chng 1: Hàm s mt bin s 8 Hàm s f (x) gi là tun hoàn trên X nu tn ti * τ + ∈  ,( * +  đc kí hiu là tp các s dng) sao cho Xx ∈∀ thì x+ τ X∈ và f (x+ τ )= f (x). S T dng bé nht trong các s τ gi là chu kì ca hàm s tun hoàn f(x). D. Hàm s đn điu Cho f (x) vi .Xx ∈ 1. Nói rng f (x) tng nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx ≤ ⇒ ≤ ∈ ∀ . và f (x) tng ngt nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx < ⇒ < ∈ ∀ . 2. Nói rng f (x) gim nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx ≥⇒ ≤ ∈ ∀ . và f (x) gim ngt nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx >⇒ < ∈ ∀ . 3. Nói rng f (x) đn điu nu nó tng hoc gim. Nói rng f (x) đn điu ngt nu nó tng ngt hoc gim ngt. E. Hàm s b chn 1. Hàm s f (x) b chn trên trong X nu tn ti s A sao cho : AxfXx ≤∈∀ )(, . 2. Hàm s f (x) b chn di trong X nu tn ti s B sao cho: ,() x XB fx ∀ ∈≤. 3. Hàm s f (x) b chn trong X nu tn ti các s A,B sao cho: AxfBXx ≤≤∈∀ )(, . F. Hàm s hp Cho f : X → và g: Y → vi YXf ⊂)( gi ánh x 0 : ( ( )) gf X x gfx →   Hay y = g( f (x)) là hàm s hp ca hai hàm f và g. G. Hàm s ngc Cho song ánh : , ,fX Y XY→⊂ Ánh x ngc XYf → − : 1 gi là hàm s ngc ca f )( 1 yfxy − = Thông thng đi s kí hiu là x, hàm s kí hiu là y, vy hàm ngc ca )(xfy = là hàm s )( 1 xfy − = . Vì th trên cùng mt phng to đ Oxy, đ th ca hai hàm s f và 1− f là đi xng nhau qua đng phân giác ca góc phn t th I và III. 1.1.2. Các hàm s s cp c bn A. Hàm lu tha Cho α ∈ . Hàm lu tha vi s m α ,đc kí hiu là α P , là ánh x t * +  vào  , xác đnh nh sau * ,() x Px x α α + ∀∈ = Chng 1: Hàm s mt bin s 9 Nu 0> α , coi rng 0)0( = α P . Nu 0 = α , coi rng 1)0( 0 = P  th ca )(xP α cho bi h.1.1 y 1> α 1 = α 10 << α 1 0 = α 0 < α O 1 H.1.1 B. Hàm m c s a Xét * \{1}a + ∈ . Hàm m c s a, kí hiu là x a exp , là ánh x t  vào * +  , xác đnh nh sau: , exp . x a x xa∀∈ =  th ca x ay = cho bi h.1.2. C. Hàm lôgarit c s a Xét * \{1}a + ∈ . Hàm lôgarit c s a, kí hiu là a log ,là ánh x ngc vi ánh x a exp , nh vy * ( , ) , log y a x yyxxa + ∀∈× = ⇔=  th ca hàm s xy a log= cho bi hình h.1.3. Chú ý: Hàm lu tha có th m rng khi min xác đnh là  . y y log a x, a>1 a x , a>1 1 O 1 x a x , 0 < a < 1 x log a x, 0<a<1 H.1.2 H.1.3 Tính cht ca hàm s lôgarit 1. 01log = a Chng 1: Hàm s mt bin s 10 2. * , , xy + ∀∈ yx y x yxxy aaa aaa logglolog logloglog −= + = log log aa x x α αα ∀∈ = 3. * , , log log .log bba ab x a x + ∀∈ = 4. * 1 , log log a a x xx + ∀∈ =− Chú ý: Sau này ngi ta thng ly c s a là s e và gi là lôgarit Nêpe hay lôgarit t nhiên ca x, kí hiu y = lnx và suy ra a x x a ln ln log = , e = 2,718281828459045…, 1 lg 0,434294 ln10 e == D. Các hàm s lng giác Các hàm s lng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã đc xét k trong chng trình ph thông trung hc. Di đây chúng ta ch nhc li mt s tính cht c bn ca chúng. Tính cht: 1. sinx xác đnh trên  , là hàm s l, tun hoàn vi chu kì T = 2 π và b chn: 1sin 1,xx − ≤≤∀∈ 2. cosx xác đnh trên  , là hàm s chn, tun hoàn vi chu kì T = 2 π và b chn: 1cos 1,xx−≤ ≤ ∀∈ 3. tgx xác đnh trên  \{ , 2 kk π π +∈ }, là hàm s l, tun hoàn vi chu k π =T và nhn giá tr trên khong ),( +∞ − ∞ . 4. cotgx xác đnh trên  \{ ,kk π ∈  }, là hàm s l, tun hoàn vi chu k π =T và nhn giá tr trên khong ),( +∞−∞ . E. Các hàm s lng giác ngc 1. Hàm arcsin (đc là ác-sin) là ánh x ngc ca sin: [] 1,1 2 , 2 −→ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ππ Kí hiu là arcsin: [] . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −→− 2 , 2 1,1 ππ Vy ta có: [] yxxyyx sinarcsin , 2 , 2 ,1,1 =⇔= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∈∀−∈∀ ππ  th ca y = arcsinx cho trên hình 1.4 Chng 1: Hàm s mt bin s 11 x H.1.4 H.1.5 2. Hàm arccosin (đc là ác- cô- sin) là ánh x ngc ca [ ] [ ] 1,1,0:cos −→ π kí hiu: [][] π ,01,1:arccos →− [] [ ] yxxyyx cosarccos,,0,1,1 = ⇔ = ∈ ∀−∈ ∀ π  th hàm s y = arccosx cho trên hình 1.5 [] π π ,0arcsin 2 ∈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x xxx == ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − )sin(arcsinarcsin 2 cos π Vy 2 arcsinarccos π =+ xx 3. Hàm arctang (đc là ác-tang) là ánh x ngc ca :, , 22 tg ππ ⎛⎞ −→ ⎜⎟ ⎝⎠  kí hiu: :, 22 arctg π π ⎛⎞ →− ⎜⎟ ⎝⎠  Vy ta có , , 22 x y y arctgx x tgy ππ ⎛⎞ ∀∈ ∀∈− = ⇔ = ⎜⎟ ⎝⎠   th ca y = arctgx cho trên hình 1.6. 4. Hàm arccôtang (đc là ác-cô-tang) là ánh x ngc ca cotg :(0, ) π → kí hiu: cot : 0, 2 arc g π ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠  Vy ta có , 0, cot cot 2 x y y arc gx x gy π ⎛⎞ ∀∈ ∀∈ = ⇔ = ⎜⎟ ⎝⎠   th hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7 y 2 π arcsinx -1 2 π − O 1 2 π arccosx π y 2 π 1 π 2 π x O Chng 1: Hàm s mt bin s 12 y 2 π arctg 0 2 π x tg H.1.6 2 π 2 π π π y x 0 arccotg H.1.7 [...]... 1 3 , x 2 2 Ví d 2: Tính lim x sin x x 1 x 0 x Ch ng t x2 1 lim x 1 xx 0 x2 1 Gi i: 2x 1 3 x 2 2 x2 1 x2 Ví d 3: Tính lim x 0 2( x 4).( x 2 2) 2. 2 2 x 4 2. 3 ( x 4).( 2 x 1 3) 2 1 0 2 x 1 x2 1 x 2 2 3 cos x cos 3 x x2 Gi i: cos x cos 3 x x2 2 sin 2 (cos x 1) (1 cos 3 x) x2 1 2 x2 1 Ví d 4: Tính lim 2 x x 1 3x sin 2 9 2 2 3x 2 2 x 2 sin 2 2 x 2 , lim 1 sin x x 0 x x2 1 2 9 2 x 3x 2 sin 2 2 2 2 x 4 1... , x 1 1 lim x 0 x lim x sin x x sin 2 x , 0 sin 4 x Gi i: sin 2 x 0 sin 4 x lim x lim x2 x 1 2x2 2 x2 x 1 x3 2 x x 1.4 S 1 x 0 0 2x 0 4x lim x tg 2 x x 3 0 sin 2 x x lim x lim x x2 2x2 x2 x3 lim x2 0 x2 lim x x2 x 1 , x3 2 1 lim x x2 1 x2 1 1 2 lim x 1 2 lim x2 x 1 , 2x2 2 lim Gi i: , 0 a 1 x tg 2 x x 3 0 sin 2 x x tg 2 x ~ x 2 , sin 2 x ~ x 2 x 0 lim sin 2 x ~ 2 x sin 4 x ~ 4 x Ví d 7: Tìm lim , 0... 2 Tìm các gi i h n x2 a lim x 2 x 3 x 2 20 12 x 16 10 , b lim x 1 33 x x 2 x n x 1 n , Ch ng 1: Hàm s m t bi n s x100 2 x 1 , 1 x 50 2x 1 c lim x 1 .22 x x x x 1 x m x x 1 n x 1 m x , x 0 x x x 4 x 2x 1 x n 1 x 0 x x 1 1 cos x cos 2 x cos 3x , 0 1 cos x 1 tgx d lim x 0 x x 1 sin x 3 , cos x 3 cos x sin 2 x 0 Tìm các gi i h n x 4 x 2 x 2 , 5x 4 b lim 3 x x3 x2 1 x Tìm các gi i h n 2 3x a lim x 2x2... a f ( x) 2 x2, c h( x) x2 1 b g ( x) x d k ( x ) x, 2 1 , 2 x 1.18 Xét xem hàm s có ch n ho c l không và phác ho a f ( x ) 1 c h( x ) x2 b g ( x) x , 4 x2 d k ( x ) , th c a nó 2x 1 , x 2 x 1.19 Xét xem hàm s nào tu n hoàn và tìm chu kì c a nó a f ( x ) 10 sin 3 x , c h( x) tgx , 1 .20 Tìm hàm ng 1 .21 k ( x) d 3 sin 2 x , sin x c c a các hàm s sau: 2x 3 , a y c y b g ( x) b 1 x3 , d y y x 2 1, x ln... a ) ( x a) 2 xn d lim e x d lim n 2 n n n 1 x x , x 0 Tính gi i h n các hàm s sau a lim 1 x x 2 2 cot g x 0 , 1 tgx b lim x 0 1 sin x 1 sin x , ln 2 e3 x c lim x ln 3 e 2 x 1 .29 Xét s liên t c c a các hàm s sau: a f ( x) x , b f ( x) x2 4 x 2 A 34 x 2 x 2 Ch ng 1: Hàm s m t bi n s 1.30 Hàm f (x) liên t c trên 0,1 và ch nh n giá tr h u t và f Hãy tính f 1 2 1 2 2 2 1.31 Ch ng minh r ng m i ph ng trình... lim x 2x2 x 1 x 1 c lim 1 2 x x 1 x 0 x2 1 x , x 1 x 1 x2 1 b lim 2 x x 1 , 1 d lim cos x x , 0 x Tính gi i h n các hàm s sau tgx a lim sin x x b lim sin ln( x 1) sin ln x , , x 2 ex , 0 sin x sin x c lim x 1 .28 1 b lim a lim 1 .27 b lim sin x sin a , a x a c lim 1 .26 3 Tìm các gi i h n a lim 1 .25 x b lim , Tìm các gi i h n a lim 1 .24 a Tìm các gi i h n a lim 1 .23 x a n na n 1 ( x a ) ( x a) 2 xn d... x 1 3x sin 2 9 2 2 3x 2 2 x 2 sin 2 2 x 2 , lim 1 sin x x 0 x x2 1 2 9 2 x 3x 2 sin 2 2 2 2 x 4 1 x 0 Gi i: x2 1 x2 1 1 sin x x2 1 x 2 1 1 x2 1 sin x 1 x2 2 2 x2 x2 1 e -2 x 1 sin x sin x x x 0 e D S t n t i gi i h n c a các hàm s c p nh lí 1.14: Hàm s s c p xác nh t i x0 thì lim f ( x) x x0 21 f ( x0 ) Ch 1.3 IL 1.3.1 NG VÔ CÙNG BÉ(VCB) VÀ il A ng 1: Hàm s m t bi n s IL NG VÔ CÙNG L N(VCL) ng VCB... A1 ( x) B1 ( x) H qu 2: N u A(x) là VCL c p cao h n B(x) t i a thì A B ~ A H qu 3: Qui t c ng t b các VCL c p th p: N u A* là các VCL c p cao nh t trong s các VCL Ai ( x), i c p cao nh t trong s các VCL B j ( x), j 1 ,2, , n t i a thì ta có 23 1 ,2, , m và B* là VCL Ch ng 1: Hàm s m t bi n s m Ai ( x) i 1 a n A* ( x) lim * x a B ( x) lim x B j ( x) j 1 Chú ý: Các VCL sau ây th 1 x 2 a x , x 4 log a x... x) 4 f ( x) 5 f ( x) 6 f ( x) 7 f ( x) a x 2 f ( x) (Tr a a x a x a x a x a x a l f ( x) 0 f ( x) l1 và g ( x) x x x f ( x) l a a a x l 0 f ( x) g ( x) l2 a x a l1 l2 l, 0 và g (x ) b ch n trong lân c n c a a l1 và g ( x) l1 và g ( x) x a x a f ( x).g ( x) l2 f ( x) g ( x) x 0 l2 x a a f ( x).g ( x) x a 0 l1.l2 l1 l2 ng h p gi i h n vô h n): 1 N u f ( x) 2 N u f ( x) x a x a và g ( x) m trong lân... lo i 1 thì nói r ng f ( x) có i m gián o n lo i 2 t i x Các nh ngh a trên a c mô t trên hình 1.11 y a1 a2 y O lo i 1 a3 a4 a lo i 2 a1 a2 O a3 b liên t c t ng khúc H.1.11 E Hàm liên t c t ng khúc Hàm f : a, b , a, b Nói r ng hàm f liên t c t ng khúc trên a, b n u nh ch có m t s h u h n các i m gián o n lo i 1 c a hàm s trên o n ó 25 Ch 1.4 .2 Các phép toán ng 1: Hàm s m t bi n s i s c a hàm liên t c . < Chng t 1 0 x x →±∞ → Ví d 2: Tính ( ) 11lim , 22 3 12 lim 22 4 −−+ −+ −+ ∞→→ xx x x xx Gii: 4 22 22 21 32( 4).( 2 2) 2. 222 .2 2.3 3 22 (4). (21 3) 2 11 0 11 x x xxx xxx xx xx → →∞ +−. − Ví d 3: Tính 2 0 3coscos lim x xx x − → Gii: 2 22 22 2 3 sin2 2 sin2 )3cos1()1(cos3coscos x xx x xx x xx +− = −+− = − 22 22 0 3 sin sin 19 19 22 4 22 22 3 22 x xx xx → =− + →−. + = ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ Ví d 4: Tính () 2 2 1 2 0 1 lim , lim 1 sin 1 x x xx x x x →∞ → ⎛⎞ − + ⎜⎟ + ⎝⎠ Gii: 22 2 2 12 . 2 2 1 -2 22 x 12 1 e 11 xx x x x xx ⎛⎞⎛⎞ + −− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ + ⎝⎠⎝⎠ →∞ ⎛⎞ − ⎛⎞ =−