Bài giảng toán cao cấp bài 2 các dạng toán về ma trận

BÀI ( PHẦN ) Dạng TÌM ĐK ĐỂ TỒN TẠI A-1 PP: Dùng định lý A khả nghịch detA khác Ví dụ 1: Tìm x để A khả nghịch A=(x 3) x -x -1 A khả nghịch x A = (x 3) -x -1 detA = x2-2x-3 A khả nghịch x2-2x-3 detA khác = (x2-2x-3) x x -1 Ví dụ 2: Tìm m để A khả nghịch 1 A= -3 m -9 m -3 -3 -6 1-m B A = B.C C detA = detB.detC 1 A= -3 m -9 m -3 = B.C -3 -6 1-m detB = 0, m detA = 0, m A-1 không tồn với m Dạng TÌM MA TRẬN An-1 n=1: Nếu A = (a), a = A-1=(1/a ) A = (2) A-1=(1/2) a b b d A-1 = n=2: A = c d detA -c a Ví dụ: Tìm A-1 biết -1 -3 A= -2 -1 -3 A= -2 n 3: -2 -3 A = -1 -1 -1 PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp PP2: Dùng công thức PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp A I Phép bđsc I A1 °Đổi chỗ hai dòng °Nhân dòng với số khác °Cộng vào dòng k lần dòng khác Ví dụ : Tìm A-1, biết: A= 1 1 1 A I I A-1 1 A I = 1 1 d2-2d1 , d3-d1 1 0 1 -2 0 -1 0 0 PP2: Đưa ma trận bậc thang Ví dụ3 : Tìm r(A) , biết: 1 A= 1 -1 -1 1 1 -1 -1 d2-d1 d3-d1 0 0 1 -1 -1 0 0 0 -1 -1 1 3 d4 – 3d3 0 -1 -1 1 0 0 r(A) = Ví dụ4: Tìm x để r(A) = biết: x A = -1 x2 =3 D= Vậy r(A)= D2 = 3x -26x1 x D1 = A = -1 24+ 6x D3 = -3x x2 =x2 Vậy 1r(A) D2 = -1 x2 x = hay 1x = x2 D3 = -1 x2 Ví dụ 5: Nếu A, B cấp 4, khả nghịch CMR: r(A.B) = r[(B)-1] A khả nghịch r(A) = cấp A A, B cấp 4, khả nghịch A.B cấp 4, khả nghịch r(A.B) = r(A.B) = B-1 khả nghịch r(B-1)= cấp B-1 r(B-1) = r(A.B) = r(B)-1 T/C CỦA PHÉP TOÁN TRÊN MA 1. Phép cộng hai maTRẬN trận Dạng  A+B = B+A  (A+B)+C = A+(B+C)  (0)+A = A+(0)= A  A+(-A) = (0) 2. Phép nhân số với ma trận m(A+B) = mA+mB  (m+t)A = mA+tA 3. Phép nhân hai ma trận A(BC)=(AB)C  A(0)=(0), (0)A=(0) A(B+C)=AB+AC (AB)T=BTAT m(AB)=(mA)B=A(mB)  Ví dụ1: Tìm B để AB = BA 1 1 x y A= AB = 1 z t  Cấp B x+z y+t = AB = BA z t x y B= z t  Phần tử B x+z y+t AB = z t x x+y x y 1 BA = = z z+t z t AB = BA x+z = x y+t = x+y t = z+t x+z = x y+t = x+y t = z+t x y B= 0z xt (x, y tùy ý) z=0 t=x z=0 Ví dụ : CMR mệnh đề sau sai với A, B hai ma trận vuông cấp A = B V A = -B 1. A2 = B2 00 1n A A == 00 00 A2 = B 0 = 0 B =Ak = 20 0 2. AB = (0) A = (0) V B = (0) B= 0 0 AB = 0 A= 0 3. (A – B)2 = A2 - 2AB + B2 (A – B)2 = (A – B)(A – B) = A(A – B)– B(A – B) = A2 – AB – BA + B2 Để chứng minh 3. sai ta chọn A, B cho AB khác BA B= 1 AB = 0 0 BA = 0 A= 0 [...]... B A = (1 2) C = 4 XAT = C B = (2 3) 2 A 12 X = B 12  Cấp của X X AT21 = C21 x y X= z t  Phần tử của X x y A = (1 2) (1 2) _= (2 3) z t B = (2 3) 4 x y 1 4 = C= 2 2 z t 2 x + 2z y + 2t x + 2y z + 2t = = = = 2 3 4 2 x + 2z y + 2t x + 2y z + 2t =2 =3 =4 =2 x y 2 1 X= 0 1 z t x =2 y=1 z=0 t=1 Ví dụ5: Tìm X để: AXB=C 1 1 B= 1 2 C= 1 1 A= 1 2 0 1 0 1 A-1 B-1 A AXB B = C 1 2 -1 -1 A = 1 -1 1 1 1 -2 -1 B =... A AXB B = C 1 2 -1 -1 A = 1 -1 1 1 1 -2 -1 B = 1 0 1 -1 -1 2 -1 -1 A = -1 1 1 -2 -1 B = 0 1 1 1 C= 0 1 X = A-1C B-1 2 -3 X= -1 2 BÀI 2 ( PHẦN 3 ) Dạng 5 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN PP1: Dùng định nghĩa PP2: Đưa về ma trận bậc thang Ví dụ1 : Tìm r(A) , biết: 1 2 A= 1 2 2 0 0 4 3 3 0 6 2 4 1 4 Dùng định nghĩa 1 2 3 2 2 0 3 4 A= 1 0 0 1 2 4 6 4 2 3 2 B= 0 3 4 0 0 1 detB = 6 0 r(A) = 3 detA = 0 r(A) < 4 ... 2 1 3 1 detA = 1 2 1 1 11 1 1 AA A11 + 21 A31 S = ( A1 + A21 )31 11 A 12 A 22 A 32 A-1 = A A A A 13 23 33 S = A11 + A21 + A31 = 2 1 1 A= 2 3 1 1 0 1 1 A21=(-1 )2+ 1D21 = -D21 = -1 A31=(-1)3+1D31 = D31 = 1 A11=(-1)1+1D11 = D11 = 2 BÀI 2 ( PHẦN 2) Dạng 3 TÍNH CHẤT CỦA A-1 TC1: -1)-1 = A (A TC2: T)-1 = (A-1)T (A TC3:(AB)-1 = B-1A-1 Nếu A khả nghịch thì -1 (2A)sai 2A-1 đề sau đúng hay = Ví dụ1: mệnh  Nếu... 0 2 -1 1 0 0 A = 0 6 -3 B= 2 5 0 -1 -1 4 -1 -1 4 2 -1 detA = (-1) =0 6 -3 0 detB = 20 Vậy: pt (*)vô nghiệm Tìm X để: AX=B -1 -3 1 2 A= B= 1 -2 0 1 Ví d 2 : Cách1 AX = detA =B 5 1 -2 -3 A = 5 -1 -1 -1 A- AX AB = -1 1 X = A-1B -2 3 = 1 5 -1 -1 1 -2 -1 = 5 -1 -3 -2/ 5 -1/5 X= -1/5 -3/5 1 0 2 1 Cách2 AX = B -1 -3 A= 1 -2 1 B= 0  Cấp của X: 2x2 x X= z y t 2 1  Phần tử của X -1 -3 1 -2 x z -x-3z = x-2z... x z -x-3z = x-2z = -y-3t = y-2t = y 1 = t 0 1 0 2 1 2 1 -x-3z = 1 x-2z = 0 -y-3t = 2 y-2t = 1 -2/ 5 -1/5 X= -1/5 -3/5 x = -2/ 5 y = -1/5 z = -1/5 t = -3/5 Ví dụ3 : Tìm X để: XA=B -1 -3 1 A= B= 1 -2 0 Cách1 XA = B 1 -1 A = 5 -2 -3 -1 -1 2 1 XAA- = B A-1 1 1 -1 X = BA = 0 1 1 2 = 5 0 1 1 -4 -5 X= 5 -1 -1 2 1 -2 -3 1 5 -1 -1 -2 -3 -1 -1 Cách2 XA = B x y -1 -3 1 2 = z t 1 -2 0 1 x = -4/5 y = -1 z = -1/5... 0 1 1 0 0 -2 1 0 -1 0 1 d2-d3 d1-d2 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 -1 -1 0 -1 1 0 0 1 -1 1 A-1 2 -1 1 -1 1 -1 -1 0 1 PP2: Dùng công thức A11 A21 An1 1 A 12 A 22 An -1 A = A 2 A1 A2 An  Ai j = (-1)i+j n i j D n Di j là định thức bỏ dòng i, cột j từ detA  n 1 Tính tổng + phần Ví dụ: ( A + A cácA ) tử ở S= 31 11 21 dòng 1 của A-1 A 1 1 10 1 0 A = A = 3 2 1 3 1 detA = 1 2 1 1 11 1... A-1=(1/a), a khác 0 A=(1) 2A = (2) Vậy A-1=(1/1)=(1) mệnh đề trên sai 2A-1= (2) (2A)-1= (1 /2) Ví d 2: Nếu A, B, C khả nghịch và cùng cấp thì mệnh đề sau đúng hay (ABC)-1 = C-1B-1A-1 sai  TC: (AB)-1 = B-1A-1 (ABC)-1 = [(AB)C]-1 = C-1(AB)-1 = C-1B-1A-1 Vậy mệnh đề trên đúng dạng 4 GIẢI PT MA TRẬN PP1: Dùng ma trận nghịch đảo AX = A- AX AB = -1 1 B PP2: Giải hpt tuyến tính Tìm cấp của X  Tìm phần tử . 0 A = (x 2 3) x -x -1 = (x 2 -2 x-3) detA = x 2 -2 x-3 A khả nghịch x 2 -2 x-3 0 x x -1 3 1 1 3 4 2 6 m-3 -9 A = 1 2 m -3 2 1 -6 -3 1-m Tìm m để A khả nghịch Ví dụ 2: B C A = B.C detA. 1 1 00 1 1 0 0 -1 1 1 0-1 1 0 -1 d1-d2 0 0 1 1 00 1 0 0 1 -1 1 1 0-1 2 -1 -1 1 -1 1 1 0-1 2 -1 -1 A -1 PP2: Dùng công thức A 11 A 21 . . . A n1 A 12 A 22 A n 2 A 1 n A 2 n A n n . . . A n -1 - - a d c b Nếu A = (a), a = 0 A = (2) A -1 =(1 /2) 1 -2 -1 -3 A = Ví dụ: Tìm A -1 biết thì A -1 =( ) 1/a 1 -2 -1 -3 A = 1 -1 -2 3 A -1 = 1 5 - - PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp  n