ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ

MỤC LỤC Chương 1. Đạo hàm và vi phân hàm một biến 1 1.1. Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3. Ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.2. Công thức Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Vi phân - Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 2. Tích phân bất định 5 2.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.3. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.1. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2. Bảng một số dạng tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3. Tích phân một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 3. Tích phân xác định 11 3.1. Định nghĩa - Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.3 Quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.1. Phép đổi biến số trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.2. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3. Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.1. Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4. Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4.1. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.2. Tích phân suy rộng đối với hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 4. Hàm nhiều biến số 19 4.1. Định nghĩa - Giới hạn - Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.1. Các tập con của không gian IR n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.2. Định nghĩa hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.3. Hàm điểm. Biểu diễn hình học của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.4. Hàm n biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.5. Định nghĩa giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i 4.1.6. Tính liên tục của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2. Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.1. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.2. Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2.3. Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3. Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3.1. Tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3.2. Tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3.3. Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 5. Tích phân đường và tích phân mặt 35 5.1. Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.1. Đường cong trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.2. Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai . . . . 39 5.1.5. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.1. Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.2. Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.3. Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.4. Liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai . . . . . . . 43 Tài liệu tham khảo ii CHƯƠNG I Đạo hàm và vi phân hàm một biến (Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết)) *) Mục tiêu - Hiểu khái niệm về đạo hàm và vi phân cấp một, đạo hàm và vi phân cấp cao, các định lý cơ bản của hàm khả vi. - Biết ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng. - Vận dụng lý thuyết về đạo hàm và vi phân của hàm số vào làm các bài tập áp dụng . 1.1. Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một khoảng (a, b) chứa điểm x 0 . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim x→x 0 f(x) − f (x 0 ) x − x 0 ∈ IR thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f tại x 0 và được kí hiệu là f  (x 0 ) Khi đó ta nói rằng hàm f khả vi tại x 0 . Hàm f được gọi là khả vi trên khoảng (a, b) nếu f khả vi tại mọi điểm của khoảng (a, b). Cho hàm số f : [x 0 , b) → R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim ∆x→0 + f(x 0 + ∆x) −f (x 0 ) ∆x thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f tại x 0 , kí hiệu là f  + (x 0 ). Tương tự, xét hàm số f : (a, x 0 ] → R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim ∆x→0 − f(x 0 + ∆x) −f (x 0 ) ∆x thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f tại x 0 , kí hiệu là f  − (x 0 ). 1.1.2. Tính chất 1) Nếu đặt ∆x = x − x 0 thì biểu thức định nghĩa trở thành lim ∆x→0 f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x = f  (x 0 ) Khi đó ∆y = f (x 0 + ∆x) −f(x 0 ) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x 0 . 2) Điều kiện cần để hàm f khả vi tại x 0 là f liên tục tại đó. Chú ý: Nếu f liên tục tại x 0 thì chưa chắc f khả vi tại điểm đó. 3) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) chứa điểm x 0 . Nếu f khả vi tại x 0 thì f(x 0 + h) − f(x 0 ) = f  (x 0 )h + 0(h) (0.1) trong đó 0(h) → 0 khi h → 0, là một vô cùng bé bậc cao hơn h khi h → 0. 1.1.3. Ý nghĩa 1 1) Ý nghĩa cơ học: Vận tốc tức thời của chất điểm chuyển động tại thời điểm t 0 bằng đạo hàm của quãng đường tại điểm t 0 , tức là v(t 0 ) = lim t→t 0 s(t) − s(t 0 ) t − t 0 = s  (t 0 ) 2) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )) bằng đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x 0 . Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm x 0 là y −f(x 0 ) = f  (x 0 )(x − x 0 ) 1.2. Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp 1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm Định lí 1.1. Cho f (x), g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a, b) và hàm khả vi tại x 0 ∈ (a, b). Khi đó các hàm f ± g; cf (với c bất kì thuộc R); f.g và f g (nếu g(x 0 ) = 0) là các hàm khả vi tại x 0 và ta có: a)(f ± g)  (x 0 ) = f  (x 0 ) ± g  (x 0 ) b)(cf)  (x 0 ) = cf  (x 0 ) c)(f.g)  (x 0 ) = f  (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g  (x 0 ) d)  f g   (x 0 ) = f  (x 0 )g(x 0 )−f(x 0 )g  (x 0 ) g 2 (x 0 ) . Định lí 1.2. Cho các hàm f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R. Giả sử f khả vi tại x 0 ∈ (a, b) và g khả vi tại y 0 = f(x 0 ) ∈ (c, d). Khi đó hàm hợp g ◦ f khả vi tại x 0 và (g ◦f)  (x 0 ) = g  [f(x 0 )] .f  (x 0 ) Định lí 1.3. Giả sử rằng 1) Hàm số f : (a, b) → R liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng (a, b). 2) f có đạo hàm f  (x 0 ) = 0 tại x 0 ∈ (a, b) Khi đó hàm ngược g = f −1 của hàm fcó đạo hàm tại điểm y 0 = f(x 0 ) và g  (y 0 ) = 1 f  (x 0 ) . 1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp 1.3. Đạo hàm cấp cao 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao Giả sử f : (a, b) → R là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó ta xác định hàm f  : (a, b) → R x → f  (x). Định nghĩa 1.2. Nếu tại x 0 ∈ (a, b) hàm f  : (a, b) → R khả vi thì ta gọi đạo hàm của f  tại x 0 là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x 0 và kí hiệu là f  (x 0 ) : f  (x 0 ) = (f  )  (x 0 ). Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x 0 còn gọi là khả vi cấp hai tại điểm đó. Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp (n −1) của f trên (a, b), khi đó có xác định hàm f (n−1) : (a, b) → R x → f (n−1) (x) 2 Nếu hàm f (n−1) khả vi tại x 0 ∈ U thì ta gọi đạo hàm của hàm f (n−1) tại x 0 là đạo hàm cấp n của f tại x 0 và kí hiệu là f (n) (x 0 ) : f (n) (x 0 ) = (f (n−1) )  (x 0 ). Hàm f có đạo hàm cấpn tại x 0 còn gọi là khả vi cấp n tại điểm đó. Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của f. Ta quy ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f. Đạo hàm bên phải và bên trái được định nghĩa một cách tương tự. 1.3.2. Công thức Leibniz Giả sử f, g : (a, b) → R là hai hàm có đạo hàm cấp n trên (a, b). Ta có công thức Leibniz sau đây về đạo hàm cấp n của tích f.g: (f.g) (n) (x) = n  k=0 C k n f (k) (x)g (n−k) (x). Ta chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. 1.4. Vi phân - Ứng dụng Định nghĩa 1.3. Cho hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm tại x 0 ∈ (a, b). Ta gọi ánh xạ tuyến tính df(x 0 ) : IR → IR xác định bởi df(x 0 )(h) = f  (x 0 )h, ∀h ∈ R là vi phân của hàm số f(x) tại x 0 . Từ định nghĩa của đạo hàm và vi phân ta có: • f(x 0 + h) − f(x 0 ) = df(x 0 )(h) + O(h) trong đó O(h) là vô cùng bé cấp cao hơn h khi h → 0. Nếu f  (x 0 ) = 0 ta có f(x 0 + h) − f(x 0 ) ∼ df(x 0 )(h), h → 0. • Các quy tắc của phép tính vi phân tương tự như các quy tắc tính đạo hàm. • Kí hiệu h = ∆x, vi phân của hàm khả vi y = f (x) tại x được viết lại dưới dạng dy = df(x) = f  (x)∆x. Nếu f(x) = x thì f  (x) = 1, khi đó dy = dx = 1∆x = ∆x và do đó vi phân của hàm y = f(x) có thể viết là dy = f  (x)dx Công thức này đúng cả khi x là hàm của biến độc lập khác. • Nếu f  (x 0 ) = 0 ta có f(x 0 + h) − f(x 0 ) ∼ df(x 0 )(h), h → 0. Do đó, ta có thể ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng. *)Vi phân cấp cao Cho hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm liên tục đến cấp n trên khoảng (a, b). Định nghĩa 1.4. Ta gọi biểu thức d(df) là vi phân cấp hai của hàm f, kí hiệu là d 2 f : d 2 f = d(df). Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f là biểu thức d(d n−1 f), kí hiệu là d n f: d n f = d(d n−1 f) Chú ý: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một. *) Tài liệu học tập: [2]; [4]; [1]; [6]; [7] *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 3 1.1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 1) y = (1 + 4x 3 )(1 + 2x 2 ) 4) y = ln(sin 2 x) 2) y = cot 2 (5x) 5) y =  x +  x + √ x 3) y =  1+x 1−x 6) y = 2x 2 −1 x √ 1+x 2 1.2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = f(x) =  x 2 sin 1 x nếu x = 0 0 nếu x = 0. 1.3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 1) y = sin(lnx) 4) y = e cosx sinx) 2) y = ln(x + √ 1 + x 2 ) 5) y = e x ln(sinx) 3) y = ln(lnx) 6) y = x|x| 1.4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 1) y = x 1 x 2) y = e x x 3) y = x x 2 1.5. Chứng minh rằng hàm số y = e x sinx thỏa mãn y  − 2y  + 2y = 0 1.6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau 1) y = xe x 2) y = sin 2 x 3) y = x 2 1−x 4) y = 1 x(1−x) 4) y = 1 x 2 −3x+2 1.7. Tính đạo hàm cấp cao của các hàm số sau 1) y = x 2 e 2x , tính y (8) 2) y = x 2 sin(2x), tính y (50) 1.8. Tính d n y nếu y = x n e x . 4 CHƯƠNG II Tích phân bất định (Số tiết: 04 (Lý thuyết: 02 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết)) * Mục tiêu - Hiểu khái niệm về nguyên hàm và tích phân bất định, các tính chất của nguyên hàm và tích phân bất định. - Biết nguyên hàm của các hàm cơ bản, các phương pháp tính nguyên hàm, tính nguyên hàm của một số dạng hàm cơ bản như: hàm hữu tỉ, biểu thức chứa căn thức, hàm lượng giác - Áp dụng được được lý thuyết vào việc giải các bài tập. 2.1. Định nghĩa - Tính chất 2.1.1. Nguyên hàm Định nghĩa 2.1. Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong tập số thực). Nếu có hàm số F xác định trên U sao cho F  (x) = f (x), ∀x ∈ U thì F được gọi là một nguyên hàm của f trên khoảng U . * Nhận xét. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng U thì F (x) + C với C là một hằng số tùy ý cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng U. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên khoảng U đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số tùy ý. 2.1.2. Tích phân bất định Định nghĩa 2.2. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được gọi là tích phân bất định (không xác định) của hàm f trên U và ký hiệu là  f(x)dx Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U thì ta có:  f(x)dx = F (x) + C, C là hằng số tùy ý. 2.1.3. Tính chất 1) d   f(x)dx  = f(x)dx 2)  df(x) = f (x) + C 3) Với α, β là hai số thực bất kỳ  [αf(x) + βg(x)] dx = α  f(x)dx + β  g(x)dx 4) Nếu  f(t)dt = F (t) + C thì  f(ax + b)dx = 1 a F (ax + b) + C, (a = 0) 2.2. Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp 2.2.1. Các phương pháp tính tích phân bất định a) Phép đổi biến trong tích phân bất định - Trước hết ta có nhận xét: Nếu  g(t)dt = G(t) + C thì  g [ϕ(x)] ϕ  (x)dx = G [ϕ(x)] + C trong đó g(t), ϕ(x) và ϕ  (x) là những hàm số liên tục. Điều đó có nghĩa là G [ϕ(x)] là nguyên hàm của hàm f(x) = g [ϕ(x)] ϕ  (x). - Từ nhận xét trên ta có thể đưa một tích phân cần tính về một tích phân có thể tính được dễ dàng hơn bằng một phép đổi biến. - Giả sử cần tính tích phân  f(x)dx trong đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng f(x)dx = g [ϕ(x)] ϕ  (x)dx Nếu biết  g(t)dt = G(t) + C thì ta thực hiện phép thế biến t = ϕ(x) (phải trở về biến cũ khi nhận được tích phân cần tính). - Ngược lại để tính tích phân  f(x)dx ta có thể làm phép thay biến x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong một khoảng (α, β) nào đó. Khi đó  f(x)dx =  f [ϕ(t)] dϕ(t) =  f [ϕ(t)] ϕ  (t)dt. - Nếu đối với hàm g(t) = f [ϕ(t)] ϕ  (t) có thể tính được  g(t)dt = G(t) + C khi đó thay t = ϕ −1 (x) = ω(x) thì sẽ nhận được  f(x)dx = G[ω(x)] + C. Ví dụ 2.1. Tính  sin 3 xdx b) Công thức tích phân từng phần Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm khả vi liên tục. Khi đó, ta có công thức tích phân từng phần:  udv = uv −  vdu Chú ý: Trong thực hành ta có thể sử dụng công thức tính tích phân từng phần dưới dạng:  uv  dx = uv −  vu  dx Ví dụ 2.2. Tính tích phân  √ x 2 + adx, trong đó a là hằng số dương 6 2.2.2. Bảng một số dạng tích phân cơ bản 2.2.3. Tích phân một số hàm cơ bản a) Tích phân hàm hữu tỷ *) Tích phân các phân thức đơn giản Các biểu thức sau được gọi là các phân thức đơn giản: I) A x − a II) A (x − a) k , k = 2, 3, ··· III) Mx + N x 2 + px + q IV ) Mx + N (x 2 + px + q) m , (m = 2, 3, ···) trong đó a, A, M, N, p, q là các hằng số thực, p 2 − 4q < 0. Ta có: I)  A x − a dx = A.ln |x − a| + c II)  A (x − a) k dx = A 1 − k . 1 (x − a) k−1 + c, k = 2, 3, ··· III)  Mx + N x 2 + px + q dx = M 2 ln(x 2 + px + q) + 2N − M p  4q −p 2 arctg 2x + p  4q −p 2 + c IV )  Mx + N (x 2 + px + q) m dx = M 2  2tdt (t 2 + a 2 ) m +  N − Mp 2   dt (t 2 + a 2 ) m với t = x + p 2 , trong đó các tích phân ở vế phải có thể tính được. *) Tích phân của các phân thức hữu tỷ chính quy Biểu thức P (x) Q(x) , trong đó P (x), Q(x) là các đa thức của x mà bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x), được gọi là phân thức hữu tỷ chính quy. Ta đã biết, mỗi phân thức hữu tỷ chính quy P (x) Q(x) có thể phân tích thành tổng của một số hữu hạn các phân thức đơn giản. Như vậy, tích phân  P (x) Q(x) dx được phân tích thành tổng các tích phân của các phân thức đơn giản. *) Tích phân của hàm phân hữu tỷ Biểu thức P (x) Q(x) , trong đó P (x), Q(x) là các đa thức được gọi là hàm phân hữu tỷ. Một hàm phân hữu tỷ P (x) Q(x) bao giờ cũng được biểu diễn dưới dạng: P (x) Q(x) = E(x) + P 1 (x) Q 1 (x) trong đó E(x) là một đa thức còn P 1 (x) Q 1 (x) là một phân thức hữu tỷ chính quy. Nếu P (x) Q(x) đã là một hàm phân hữu tỷ chính quy thì E(x) = 0. Do đó  P (x) Q(x) dx =  E(x)dx +  P 1 (x) Q 1 (x) dx 7 b) Tích phân của biểu thức chứa căn thức Dưới đây ta sẽ xem R(u, v) là một biểu thức hữu tỷ của các biến u và v, nói cách khác R(u, v) là một biểu thức nhận được bằng những phép toán số học đối với u và v. Chẳng hạn R(u, v) = 2uv + u 2 + 2v 2 5u + u 3 v 2 còn f(u, v) = √ u + v + u 2 không phải là một biểu thức hữu tỷ, ta gọi đó là biểu thức vô tỷ. *) Tính  R  x, m  ax + b cx + d  dx trong đó a, b, c, d là các hằng số, m là số tự nhiên, ad − bc = 0, R(u, v) là một hàm hữu tỷ. Để tính tích phân dạng đã cho, ta thực hiện phép đổi biến t = m  ax + b cx + d hay t m = ax + b cx + d và x = b − dt m ct m − a khi đó tích phân đã cho được đưa về tích phân hàm hữu tỷ. *) Tính  R  x, √ ax 2 + bx + c  dx α) Nếu tam thức ax 2 + bx + c có hai nghiệm thực x 1 , x 2 thì ax 2 + bx + c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) và R  x, √ ax 2 + bx + c  = R  x, (x − x 1 )  a x − x 2 x − x 1  = R 1  x,  x − x 2 x − x 1  Khi đó, tích phân được đưa về dạng đã xét trong mục trước. Để tính tích phân đó ta đổi biến t =  x − x 2 x − x 1 β) Nếu tam thức ax 2 + bx + c không có nghiệm thực và a > 0 thì ta đổi biến bằng cách đặt t = √ ax 2 + bx + c + x √ a( hoặc t = √ ax 2 + bx + c − x √ a) Cùng trong trường hợp này, khi c > 0 ta có thể đặt √ ax 2 + bx + c = xt ± √ c. c) Tích phân hàm lượng giác Tính  R(cos x, sin x)dx trong đó R(u, v) là biểu thức phân hữu tỷ của u và v. Bằng phép thế biến tổng quát t = tg x 2 , x ∈ (−π, π) biểu thức R(cos x, sin x)dx được đưa về biểu thức vi phân của một hàm phân hữu tỷ. Ta có: cos x = 1 − t 2 1 + t 2 , sin x = 2t 1 + t , x = 2arctgt, dx = 2dt 1 + t 2 8 [...]... giải các bài toán - Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề 5.1 Tích phân đường 5.1.1 Đường cong trong IRn Các đường cong trên mặt phẳng (trong hệ tọa độ vuông góc) Các hàm số đề cập trong phần này đều liên tục và có các đạo hàm liên tục theo các đối số - Xét phương trình có dạng: y = f (x) hay x = g(y) Cách cho đường cong như vậy được gọi là cách cho tường... riêng cấp cao Các đạo hàm riêng zx , zy của hàm z = f (x, y) được gọi là các đạo hàm riêng cấp 1 Đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm là đạo hàm riêng (cấp 1) của đạo hàm riêng cấp 1 của hàm đó Hàm 2 biến z = f (x, y) có bốn đạo hàm riêng cấp 2 sau đây: 22 ∂ 2z ∂ ∂z = 2 ∂x ∂x ∂x ∂ 2z ∂ ∂z 2 = 2 ∂y ∂y ∂y 2 ∂ ∂z ∂ z = 3 ∂x∂y ∂y ∂x ∂ ∂z ∂ 2z = 4 ∂y∂x ∂x ∂y Tương tự ta cũng có định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp. .. đạo hàm riêng của hàm f tồn tại và liên tục trong (D) thì diện tích của mặt S là 1 + fx2 + fy2 dxdy S= D - Ứng dụng cơ học: b) Ứng dụng của tích phân ba lớp - Tính thể tích: V = dxdydz (V ) - Tính khối lượng và tọa độ trọng tâm của vật thể *) Tài liệu học tập: [3]; [5] *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 30 4.1 Tính các giới hạn sau: a) lim ∆x→0 ∆y→2 x2 + (y − 2)2 + 1 − 1 x2 + (y − 2)2... một họ không đếm được tổng tích phân {σf (T, ξ)} Định nghĩa 3.1 Ta nói họ tổng tích phân {σf (T, ξ)} có giới hạn I ∈ R khi d(T ) → 0 nếu cho trước > 0 bé tùy ý thì luôn luôn tồn tại một số δ( ) > 0 sao cho với mọi T ∈ P (∆) với d(T ) < δ và với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có |σf (T, ξ) − I| < Khi đó ta viết lim σf (T, ξ) = I d(T )→0 Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm... R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x) thì đặt t = sin x 2) R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x) thì đặt t = cos x 3) R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x) thì đặt t = tgx *) Tài liệu học tập [2]; [4]; [1]; [7] *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 2.1 Áp dụng các công thức cơ bản tính các tích phân sau: a) b) c) d) e) f) g) h) (1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x)dx; √ √ 1 + x2 + 1 − x2 √ dx 1 − x4 2x+1... a Ví dụ 3.2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có π 2 π 2 n cos xdx = 0 0 13 sinn xdx Ví dụ 3.3 Tính các tích phân sau: a 1) √ a2 − x2 dx, (a > 0) 0 e |lnx|dx 2) 1 e π 3) 0 xsinx dx 1 + cos2 x 3.3 Ứng dụng của tích phân xác định 3.3.1 Tính diện tích hình phẳng Cho miền D trong mặt phẳng tọa độ xOy được giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, y = f (x) (a < b) trong đó f (x) là một hàm không... dx S= a 3.3.2 Thể tích của vật thể tròn xoay Cho hình thang cong được giới hạn bởi a≤x≤b 0 ≤ y ≤ f (x) trong đó f là hàm khả tích trên [a, b] (a < b) Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay Ω có thể tích là b f 2 (x)dx V (Ω) = π a 3.4 Tích phân suy rộng 3.4.1 Tích phân suy rộng loại 1 (trong khoảng vô hạn) a) Định nghĩa Cho hàm số f : [a, +∞) → R khả tích trong mọi... biến x = a + tích phân với cận vô hạn: 1 y ta sẽ đưa được tích phân của một hàm không bị chặn về 1 η b f (x)dx = lim a f (x)dx a+η η→0 +∞ ϕ(y)dy = 1 b−a ϕ(y)dy 1 b−a *) Tài liệu học tập: [2]; [4]; [1]; [6]; [7] *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 3.1 Giả sử f (x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−l, l] Chứng minh rằng: l a) l f (x)dx = 2 −l l b) f (x)dx nếu f (x) là hàm chẵn;... 0 CHƯƠNG IV Hàm nhiều biến số (Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết)) *) Mục tiêu - Hiểu định nghĩa hàm hai biến, hàm n biến, giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến, khái niệm và cách tính đạo hàm riêng; - Hiểu định nghĩa, các tính chất và cách tính tích phân hai lớp, tích phân ba lớp - Biết biểu diễn hình học của hàm hai biến, cách tính vi phân của hàm hai biến, tính tích... thuyết vào làm bài tập 4.1 Định nghĩa - Giới hạn - Tính liên tục 4.1.1 Các tập con của không gian Rn Với n là một số nguyên dương, ký hiệu Rn được dùng để chỉ tập hợp tất cả các bộ n số thực (x1 , x2 , , xn ) và ta thường gọi Rn là không gian (thực) n chiều Khi bộ số thực (x1 , x2 , , xn ) được đặt tên là P thì ta viết là: P ((x1 , x2 , , xn )) và gọi nó là một điểm trong không gian Rn Cho hai điểm . f(x 0 ) và g  (y 0 ) = 1 f  (x 0 ) . 1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp 1.3. Đạo hàm cấp cao 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao Giả sử f : (a, b) → R là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó ta xác định. biến (Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết)) *) Mục tiêu - Hiểu khái niệm về đạo hàm và vi phân cấp một, đạo hàm và vi phân cấp cao, các định lý cơ bản của hàm khả vi. -. . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .