ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ

- Ngược lại để tính tích phân R f xdx ta có thể làm phép thay biến x = ϕt, trong đó ϕt là một hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong một khoảng α, β nào đó.. * Tích phân của các phân

MỤC LỤC

1.1 Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Tính chất 1

1.1.3 Ý nghĩa 1

1.2 Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp 2

1.2.1 Các quy tắc tính đạo hàm 2

1.2.2 Đạo hàm một số hàm sơ cấp 2

1.3 Đạo hàm cấp cao 2

1.3.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao 2

1.3.2 Công thức Leibniz 3

1.4 Vi phân - Ứng dụng 3

Chương 2 Tích phân bất định 5 2.1 Định nghĩa - Tính chất 5

2.1.1 Nguyên hàm 5

2.1.2 Tích phân bất định 5

2.1.3 Tính chất 5

2.2 Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp 5

2.2.1 Các phương pháp tính tích phân bất định 5

2.2.2 Bảng một số dạng tích phân cơ bản 7

2.2.3 Tích phân một số hàm cơ bản 7

Chương 3 Tích phân xác định 11 3.1 Định nghĩa - Các tính chất 11

3.1.1 Định nghĩa 11

3.1.2 Các tính chất cơ bản 12

3.1.3 Quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định 13

3.2 Phương pháp tính tích phân xác định 13

3.2.1 Phép đổi biến số trong tích phân xác định 13

3.2.2 Công thức tích phân từng phần 13

3.3 Ứng dụng của tích phân xác định 14

3.3.1 Tính diện tích hình phẳng 14

3.3.2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay 14

3.4 Tích phân suy rộng 14

3.4.1 Tích phân suy rộng loại 1 14

3.3.2 Tích phân suy rộng đối với hàm không bị chặn 16

3.3.3 Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng 17

Chương 4 Hàm nhiều biến số 19 4.1 Định nghĩa - Giới hạn - Tính liên tục 19

4.1.1 Các tập con của không gian IRn 19

4.1.2 Định nghĩa hàm hai biến 19

4.1.3 Hàm điểm Biểu diễn hình học của hàm hai biến 19

4.1.4 Hàm n biến 20

4.1.5 Định nghĩa giới hạn 20

i

4.1.6 Tính liên tục của hàm hai biến 21

4.2 Đạo hàm và vi phân 21

4.2.1 Đạo hàm riêng 21

4.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao 22

4.2.3 Vi phân toàn phần 23

4.2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng 24

4.3 Tích phân bội 25

4.3.1 Tích phân hai lớp 25

4.3.2 Tích phân ba lớp 27

4.3.3 Ứng dụng của tích phân bội 30

Chương 5 Tích phân đường và tích phân mặt 35 5.1 Tích phân đường 33

5.1.1 Đường cong trong Rn 33

5.1.2 Tích phân đường loại một 35

5.1.3 Tích phân đường loại hai 36

5.1.4 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai 39

5.1.5 Công thức Green 39

5.2 Tích phân mặt 40

5.2.1 Mặt cong 40

5.2.2 Tích phân mặt loại một 41

5.2.3 Tích phân mặt loại hai 42

5.2.4 Liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai 43 Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I

Đạo hàm và vi phân hàm một biến (Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))

*) Mục tiêu

- Hiểu khái niệm về đạo hàm và vi phân cấp một, đạo hàm và vi phân cấp cao, các định lý

cơ bản của hàm khả vi

- Biết ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

- Vận dụng lý thuyết về đạo hàm và vi phân của hàm số vào làm các bài tập áp dụng

Khi đó ta nói rằng hàm f khả vi tại x0

Hàm f được gọi là khả vi trên khoảng (a, b) nếu f khả vi tại mọi điểm của khoảng (a, b)

Cho hàm số f : [x0, b) → R Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim

∆x→0 +

f (x0+ ∆x) − f (x0)

∆xthì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f tại x0, kí hiệu là f+0 (x0)

Tương tự, xét hàm số f : (a, x0] → R Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim

∆x→0 −

f (x0+ ∆x) − f (x0)

∆xthì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f tại x0, kí hiệu là f−0 (x0)

2) Điều kiện cần để hàm f khả vi tại x0 là f liên tục tại đó

Chú ý: Nếu f liên tục tại x0 thì chưa chắc f khả vi tại điểm đó

3) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) chứa điểm x0 Nếu f khả vi tại x0 thì

trong đó 0(h) → 0 khi h → 0, là một vô cùng bé bậc cao hơn h khi h → 0

1.1.3 Ý nghĩa

1

1) Ý nghĩa cơ học: Vận tốc tức thời của chất điểm chuyển động tại thời điểm t0 bằng đạohàm của quãng đường tại điểm t0, tức là

1.2.1 Các quy tắc tính đạo hàm

Định lí 1.1

Cho f (x), g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a, b) và hàm khả vi tại x0 ∈ (a, b) Khi

đó các hàm f ± g; cf (với c bất kì thuộc R); f.g và fg (nếu g(x0) 6= 0) là các hàm khả vi tại x0

Cho các hàm f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R Giả sử f khả vi tại x0 ∈ (a, b) và g khả vitại y0 = f (x0) ∈ (c, d) Khi đó hàm hợp g ◦ f khả vi tại x0 và

(g ◦ f )0(x0) = g0[f (x0)] f0(x0)

Định lí 1.3

Giả sử rằng

1) Hàm số f : (a, b) → R liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng (a, b)

2) f có đạo hàm f0(x0) 6= 0 tại x0 ∈ (a, b)

Khi đó hàm ngược g = f−1 của hàm f có đạo hàm tại điểm y0 = f (x0) và g0(y0) = f0 (x10 )

1.2.2 Đạo hàm một số hàm sơ cấp

1.3 Đạo hàm cấp cao

1.3.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao

Giả sử f : (a, b) → R là hàm khả vi trên (a, b) Khi đó ta xác định hàm f0 : (a, b) → R

x 7→ f0(x).Định nghĩa 1.2

Nếu tại x0 ∈ (a, b) hàm f0 : (a, b) → R khả vi thì ta gọi đạo hàm của f0 tại x0 là đạo hàmcấp hai của hàm f tại x0 và kí hiệu là f00(x0) : f00(x0) = (f0)0(x0)

Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại điểm đó

Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp (n − 1) của f trên (a, b), khi đó có xác định hàm

f(n−1) : (a, b) → R

x 7→ f(n−1)(x)

Nếu hàm f(n−1) khả vi tại x0 ∈ U thì ta gọi đạo hàm của hàm f(n−1) tại x0 là đạo hàm cấp ncủa f tại x0 và kí hiệu là f(n)(x0) : f(n)(x0) = (f(n−1))0(x0) Hàm f có đạo hàm cấpn tại x0 còngọi là khả vi cấp n tại điểm đó Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của f

Ta quy ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f

Đạo hàm bên phải và bên trái được định nghĩa một cách tương tự

Cho hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) Ta gọi ánh xạ tuyến tính df (x0) :

IR → IR xác định bởi df (x0)(h) = f0(x0)h, ∀h ∈ R là vi phân của hàm số f (x) tại x0

Từ định nghĩa của đạo hàm và vi phân ta có:

• f (x0+ h) − f (x0) = df (x0)(h) + O(h)

trong đó O(h) là vô cùng bé cấp cao hơn h khi h → 0 Nếu f0(x0) 6= 0 ta có

f (x0+ h) − f (x0) ∼ df (x0)(h), h → 0

• Các quy tắc của phép tính vi phân tương tự như các quy tắc tính đạo hàm

• Kí hiệu h = ∆x, vi phân của hàm khả vi y = f (x) tại x được viết lại dưới dạng dy =

df (x) = f0(x)∆x Nếu f (x) = x thì f0(x) = 1, khi đó dy = dx = 1∆x = ∆x và do đó viphân của hàm y = f (x) có thể viết là

dy = f0(x)dxCông thức này đúng cả khi x là hàm của biến độc lập khác

• Nếu f0(x0) 6= 0 ta có

f (x0+ h) − f (x0) ∼ df (x0)(h), h → 0

Do đó, ta có thể ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

*)Vi phân cấp cao

Cho hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm liên tục đến cấp n trên khoảng (a, b)

Định nghĩa 1.4

Ta gọi biểu thức d(df ) là vi phân cấp hai của hàm f, kí hiệu là d2f : d2f = d(df )

Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f là biểu thức d(dn−1f ), kí hiệu là dnf :

dnf = d(dn−1f )Chú ý: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một

*) Tài liệu học tập: [2]; [4]; [1]; [6]; [7]

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

3

1.1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau

1.3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau

* Nhận xét.

Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng U thì F (x) + C với C là một hằng sốtùy ý cũng là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng U Ngược lại, mọi nguyên hàm của f (x)trên khoảng U đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số tùy ý

Z

f (x)dx + β

Zg(x)dx4) Nếu R f (t)dt = F (t) + C thì

Z

f (ax + b)dx = 1

aF (ax + b) + C, (a 6= 0)2.2 Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp

2.2.1 Các phương pháp tính tích phân bất định

a) Phép đổi biến trong tích phân bất định

- Trước hết ta có nhận xét: Nếu

Zg(t)dt = G(t) + C

thì

Z

g [ϕ(x)] ϕ0(x)dx = G [ϕ(x)] + C

trong đó g(t), ϕ(x) và ϕ0(x) là những hàm số liên tục

Điều đó có nghĩa là G [ϕ(x)] là nguyên hàm của hàm f (x) = g [ϕ(x)] ϕ0(x)

- Từ nhận xét trên ta có thể đưa một tích phân cần tính về một tích phân có thể tính được

dễ dàng hơn bằng một phép đổi biến

- Giả sử cần tính tích phân

Z

f (x)dxtrong đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

f (x)dx = g [ϕ(x)] ϕ0(x)dxNếu biết

Zg(t)dt = G(t) + Cthì ta thực hiện phép thế biến t = ϕ(x) (phải trở về biến cũ khi nhận được tích phân cần tính)

- Ngược lại để tính tích phân R f (x)dx ta có thể làm phép thay biến x = ϕ(t), trong đó ϕ(t)

là một hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong một khoảng (α, β) nào đó Khi đó

ZvduChú ý: Trong thực hành ta có thể sử dụng công thức tính tích phân từng phần dưới dạng:

2.2.2 Bảng một số dạng tích phân cơ bản

2.2.3 Tích phân một số hàm cơ bản

a) Tích phân hàm hữu tỷ

*) Tích phân các phân thức đơn giản

Các biểu thức sau được gọi là các phân thức đơn giản:

I) A

x − a

(x − a)k, k = 2, 3, · · ·III) M x + N

x2+ px + q

IV ) M x + N(x2+ px + q)m, (m = 2, 3, · · · )trong đó a, A, M, N, p, q là các hằng số thực, p2− 4q < 0

ZA(x − a)kdx = A

1 − k.

1(x − a)k−1 + c, k = 2, 3, · · ·III)

(t2+ a2)m

với t = x + p2, trong đó các tích phân ở vế phải có thể tính được

*) Tích phân của các phân thức hữu tỷ chính quy

Biểu thức P (x)Q(x), trong đó P (x), Q(x) là các đa thức của x mà bậc của P (x) bé hơn bậc củaQ(x), được gọi là phân thức hữu tỷ chính quy

Ta đã biết, mỗi phân thức hữu tỷ chính quy P (x)Q(x) có thể phân tích thành tổng của một số hữuhạn các phân thức đơn giản

Như vậy, tích phân R P (x)Q(x)dx được phân tích thành tổng các tích phân của các phân thức đơngiản

*) Tích phân của hàm phân hữu tỷ

Biểu thức P (x)Q(x), trong đó P (x), Q(x) là các đa thức được gọi là hàm phân hữu tỷ Một hàmphân hữu tỷ P (x)Q(x) bao giờ cũng được biểu diễn dưới dạng:

P (x)Q(x) = E(x) +

P1(x)

Q1(x)trong đó E(x) là một đa thức còn P1 (x)

Q 1 (x) là một phân thức hữu tỷ chính quy Nếu P (x)Q(x) đã là mộthàm phân hữu tỷ chính quy thì E(x) = 0

Do đó

Z

P (x)Q(x)dx =

ZE(x)dx +

Z

P1(x)

Q1(x)dx

7

b) Tích phân của biểu thức chứa căn thức

Dưới đây ta sẽ xem R(u, v) là một biểu thức hữu tỷ của các biến u và v, nói cách khác R(u, v)

là một biểu thức nhận được bằng những phép toán số học đối với u và v Chẳng hạn

R(u, v) = 2uv + u

2+ 2v25u + u3v2

còn

f (u, v) =√

u + v + u2không phải là một biểu thức hữu tỷ, ta gọi đó là biểu thức vô tỷ

trong đó a, b, c, d là các hằng số, m là số tự nhiên, ad − bc 6= 0, R(u, v) là một hàm hữu tỷ

Để tính tích phân dạng đã cho, ta thực hiện phép đổi biến

√

ax2+ bx + c = xt ±√

c

c) Tích phân hàm lượng giác

Tính R R(cos x, sin x)dx trong đó R(u, v) là biểu thức phân hữu tỷ của u và v

Bằng phép thế biến tổng quát

t = tgx

2, x ∈ (−π, π)biểu thức R(cos x, sin x)dx được đưa về biểu thức vi phân của một hàm phân hữu tỷ Ta có:

1 + t2

Như vậy, tích phân R R(cos x, sin x)dx được đưa về tích phân của hàm hữu tỷ.Trong một số trường hợp đặc biệt, phép đổi biến có thể đơn giản hơn:1) R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x) thì đặt t = sin x

2) R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x) thì đặt t = cos x

3) R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x) thì đặt t = tgx

*) Tài liệu học tập [2]; [4]; [1]; [7]

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

2.1 Áp dụng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:

√

1 + ex

9

2.3 Áp dụng quy tắc tích phân từng phần, tính các tích phân sau:a)

Z

dx

x +√

x2− x + 1c)

CHƯƠNG III

Tích phân xác định (Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))

*) Mục tiêu

- Hiểu khái niệm tích phân xác định, các điều kiện để một hàm khả tích

-Biết được các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định

- Biết khái niệm, các tính chất, cách tính tích phân suy rộng, mối liên hệ giữa hai loại tíchphân suy rộng

- Vận dụng được lý thuyết giải quyết các bài tập, tính được độ dài cung, diện tích hình phẳng,thể tích vật thể,

3.1 Định nghĩa - Các tính chất

3.1.1 Định nghĩa

Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực IR với hai đầu mút a, b (không nhất thiết a ≤ b)

và xét một cách chia đoạn ∆ thành các đoạn con ∆i với các đầu mút xi−1, xi bởi các điểm chiatùy ý lần lượt là

Định nghĩa 3.1

Ta nói họ tổng tích phân {σf(T, ξ)} có giới hạn I ∈ R khi d(T ) → 0 nếu cho trước  > 0 bétùy ý thì luôn luôn tồn tại một số δ() > 0 sao cho với mọi T ∈ P (∆) với d(T ) < δ và với mọicách lấy điểm ξ ta đều có |σf(T, ξ) − I| <  Khi đó ta viết

lim

d(T )→0σf(T, ξ) = IGiới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn ∆ với hai đầumút a, b và ký hiệu là

• Tích phân Rb

af (x)dx (nếu có) chỉ phụ thuộc vào hàm f (x) dưới dấu tích phân và các cận

a, b mà không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là

- Giả sử f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] khi đó f.g cũng là hàm khả tích trên [a, b]

- Giả sử f : [a, b] → R, khi đó

1) Nếu f khả tích trên [a, c] và [c, b] với a ≤ c ≤ b thì f khả tích trên [a, b] và

2) Nếu f khả tích trên [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn con [c, d] ⊂ [a, b]

- Tính khả tích và giá trị tích phân của hàm f : [a, b] → R không thay đổi nếu ta thay đổigiá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm

- Cho hàm f, g : [a, b] → R là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] Khi đó, nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈[a, b], a < b thì

Z b

a

f (x)dx

≤

Z b

a

|f (x)| dx

- Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a, b], (a ≤ b) và giả sử m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì

Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì hàm số ϕ(x) =Rx

a f (t)dt có đạo hàm trên đoạn đó và ϕ0(x) =

f (x) Nói khác đi, ϕ(x) =Raxf (t)dt là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, b]

Công thức Newton-Leibniz

Giả sử f : [a, b] → R là một hàm liên tục

Khi đó ta có công thức Newton-Leibniz sau:

trong đó f là một hàm liên tục trong đoạn [a, b]

Giả sử tồn tại một hàm ϕ : [α, β] → [a, b] sao cho:

a) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b và khi ϕ biến thiên trong đoạn [α, β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biếnthiên liên tục từ a đến b

b) ϕ(t) có đạo hàm liên tục ϕ0(t) trong [α, β]

Giả sử u, v là các hàm khả vi liên tục trong đoạn [a, b]

Khi đó ta có công thức tích phân từng phần của tích phân xác định như sau:

3.3.1 Tính diện tích hình phẳng

Cho miền D trong mặt phẳng tọa độ xOy được giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y =

0, y = f (x) (a < b) trong đó f (x) là một hàm không âm xác định trên [a, b], thì diện tích Scủa hình phẳng D là:

trong đó f là hàm khả tích trên [a, b] (a < b)

Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay Ω có thể tích là

Khi đó F (A) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞)

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

thì giới hạn I được gọi là tích phân suy rộng của hàm f (x) trong khoảng [a, +∞), kí hiệu là

Z +∞

a

f (x)dx

Khi đó, ta cũng nói tích phân suy rộng R+∞

a f (x)dx hội tụ và hàm f (x) khả tích trên [a, +∞).Nếu giới hạn trên không tồn tại hoặc bằng ±∞ thì ta nói tích phân Ra+∞f (x)dx phân kỳ.Định nghĩa tương tự đối với tích phân hàm f (x) trong khoảng (−∞, a] và (−∞, +∞).b) Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng

Định lí 3.2 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ)

Giả sử f (x) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞) khả tích trong mọi đoạn hữu hạn[a, A], A ≥ a Khi đó tích phân Ra+∞f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi: với mọi  > 0, tồn tại số

A0 = A0() > a sao cho với mọi A0, A00> A0, ta có:

Z A00

A 0

f (x)dx

... riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng zx0, zy0 hàm z = f (x, y) gọi đạo hàm riêng cấp Đạo hàmriêng cấp hàm đạo hàm riêng (cấp 1) đạo hàm riêng cấp hàm... class="text_page_counter">Trang 16

3.3.1 Tính diện tích hình phẳng

Cho miền D mặt phẳng tọa độ xOy giới hạn đường x = a, x = b, y =

0, y = f (x) (a < b)... Ra+∞f (x)dx hội tụ khi: với  > 0, tồn số

A0 = A0() > a cho với A0, A00> A0, ta có:

Z A00