TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC

Giải pháp giúp sinh viên có những phương pháp học đơn giản hiệu quả , việc học tìm hiểu kiến thức trở nên nhẹ nhàng hơn, vấn đề được hiểu rõ ràng không đánh đố , gây khó khăn cho ngườChi tiết sản phẩm :1Tích phân hai lớp, bội 2, kép2Tích phân mặt loại 13Tích phân đường loại 2 dạng green4Tich phân bội 3, 3 lop5Tích phân mặt loại 26 Phương trình vi phân

Lý thuyết : Tính tích phân kép (hai lớp, bội 2) tính thể tích y  ham or const V   Zdxdy   D D  xconst f ( x ; y )dy   dx   xconst yham or const f ( x ; y )dxdy   yconst xham or const   dy xhamor const f ( x ; y)dx  yconst const thẳng Khi hàm Z =1 tích diện tích S=  1dxdy quy ước D Kiến thức cần nhớ! : Vẽ Tất đồ thị học y  x  y  2x   y  3x  + đường thẳng : y  ax  b, a x  by  C    y  3x   x  y   y   x x  y   y   x   x   y y  x2     x   y  x   1 y  y  1 x2    x    y   x  1 y 1   y  ax  bx  c  y  x  2x  y   x  2x   y   (x  1)      x   y   x  ay  by  c   y   x x  y     y   x   y   x  x   y     y    x   y  2x  : đường Tính chất tích phân kép : a) Nếu f ( x ; y) hàm lẻ x ; nghĩa : f ( x ; y)   f ( x ; y) miền D có trục đối xứng qua oy  f ( x ; y )dxdy  D b) Nếu f ( x ; y) hàm lẻ y ; nghĩa : f ( x ;  y)   f ( x ; y) miền D có trục đối xứng qua ox  f ( x ; y )dxdy  D c) Nếu f ( x ; y) hàm lẻ x ;nghĩa : f ( x ; y)  f ( x ; y) miền D có trục đối xứng qua oy  f ( x ; y )dxdy   f ( x ; y )dxdy Với D’ phần D mà x  D D' Công thức đổi biến sang tọa độ cực : x  r cos  Đặt   y  r sin  I  D(X;Y) x  y2  r J  r f (x; y)dxdy   D(X;Y)    D x ,y  D / ,r    r (rcos ;rsin ) J drd  D(X;Y) (rcos ;rsin ) r drd Dạng : Parabol, đường thẳng : Bài :10/08/2015 x  0,y  Vẽ miền D :  tính tích phân kép hàm số f ( x ; y)  x  y miền D x  y  Giải Vẽ hình Cố định x, tính tích phân theo y 1 x  y2  x  I   dx  (2 x  y )dy    xy   dx  0 0  (1  x)2     x.(1  x)   dx  0  Cố định y, tính tích phân theo x 1 y 1  1 y  I   dy  (2 x  y )dx    x  xy  dy  0 0    (1  y )  (1  y ) y  dy  Bài 2: 30/12/2008 2 x2 Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dx 2  f ( x ; y )dy x Giải 2 x2 I =  dx  2 x   x2  f ( x ; y ) dy    y  dx     x  x  dx  x 2  2  y I =D1 +D =  dy 2  1dx   dy  2 y 2 y  1dx  2 y 2  y  2 y   dy =  x  dy +   x       y 2     2 y 1   =  y   y dy +  2 =    y   y dy 19  1,333333333  4,5 Bài : Tính I   xy dxdy D Y   D giao đường Y  X X  Y   Giải y   Phải vẽ đường  y  x để tìm miền D  y   x  Vẽ hình Cố định y, tính tích phân theo x 1  x2y  y  (2  y)2 y  I   dy  xy dx      dy      2 y 0 0 y   y 1  y  y  dy      (2  y)2 y y  0    dy  24 Cố định x, tính tích phân theo y x2 I   dx  xydy   dx 0  x2    x  0  2 x   y x2   y2  x  xydy    x dx    x  dx     0  2  2 2   x  x2  x x    dx   x  dx   dx    x     2 1 1    x  x  x3  x  dx   dx      2 1     12 24 24        dx   Bài 4: Tính tích phân I =  xydxdy ,nếu D giới hạn đường cong y  x  4, y2  2x D Giải   y2    y  4 y 4   y 4  4  ( y  4) y y  x y ( y  4) y       I =  xydxdy =  dy  xy dx   dy       dy  90  dy     y  2  D 2 2  2 2   y         2x I =D1 +D =  dx xydy   dx   2x 2x  xydy x4  xy  xy 2 x  2x   dx +   =   dx    2 x   2x  2   2 2 x 8 x 2x x  2x  2x  dx +  =   2    2 0          2  x  x  4   dx     x.2 x x  x  2   x.2 x x.2 x  I =     dx   90  dx +    2 2   2  Bài Tính diện tích giới hạn y  x  y  x Giải Vẽ hình Cố định x, tính tích phân theo y x 3  x  I   dx  1dy    y  dx   x  x  dx  27  x  6 0 x 6   Cố định y, tính tích phân theo x y 6 I   dy  6 y 6 1dx   dy  y 1dx   y  dy   6   y   y dy  27 Bài 6: Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dy y2  y  f ( x ; y )dx Giải Cố định y : y2  y I =  dy  f ( x ; y ) dx   dy 0 y2  y   y2  1dx    x  0 y  dy    y  y  dy   Cố định x :    1   I =  dx  1dy =   y dx =   x    dx = 0,833333333334 1    x  0 0 1    x   2 y2  y  x 1  y2  y   x  4 1   y  2   y  x 1 1   x  y    x 4 x2 2 Bài Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx  f ( x ; y ) dy x 2 x  Giải x2  I =  dx  x2   f ( x ; y )dy     y  dx   x   ( x  x  2) dx   x  2x   0    x 2 x   Cố định y, tính tích phân theo x 1 y 1 I   dy 1 y 1 1dx   dy  1 y 1  y 2 2  2  5 1dx   1  y    y   dy   1  y   y   dy 1 2 1 2 16 x 2 Bài Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx  f ( x ; y ) dy x  x2 Giải 16 x I =  dx  xx 2 16  x   dx  f ( x ; y )dy     y 0  x  x    Cố định y, tính tích phân theo x  16 y 12 I  dy  16  y 1dx   12 dy   16  x  x  x dx  2,7394  1 y  1dx    x  xy  dy  2,7934 0  x2 Bài 9: Đổi thứ tự lấy tích phân : I =  dx  f ( x ; y) dy   dx 0 3 x f ( x ; y )dy  Giải I   dy 3 y  1dx  1,333 y Bài 10: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I   dy 4 y f ( x ; y )dx   dy  4 y 2 4 y  f ( x ; y )dx Giải Bài 11 : 05/06/2015 2 Cho I =  dy  f ( x ; y )dx   dy  f ( x ; y )dx Vẽ miền lấy đổi thứ tự tích phân y y Giải Bài 12: Giả sử mật độ dân số (đơn vị : ngàn người/ km ) thành phố cho  x2  y hàm số p(x, y)  5000e (trong x,y có đơn vị km) Hãy ước lượng dân số vòng bán kính 1km xunh quanh tòa nhà thị (được đặt gốc tọa độ) Giải  yr  x   Qn  x  e x   Ax  B e1x  e x  Ax  B (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   ex  Ax  B  ex A (2) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x   e x  Ax  B   e x A  ex A  e x  Ax  B   2e x A Thế (1), (2), (3) vào (*) ta có : y '' y  4xe x (*)  e x  Ax  B   2e x A  e x  Ax  B   4xe x  2e x  Ax  B   2e x A  4xe x  Ax  B  A  2x A  A    y r  x   e x  Ax  B   e x  2x     B  A  B  2  nghiệm tổng quát phương trình : y(x)  yo (x)  yr (x)  C1Cos x+C2Sin x  e x  2x   (3) x   Bài : y'' 4y' 4y  e x  (*) Giải Giải PT : y '' 4y ' 4y  Phương trình đặc trưng : K  4K    K   yo (x)  C1 e2.x  C2 x.e2.x x   C1 ,C2  R   Vế phải e x  có   nghiệm pt đặc trưng  y r  x   Q n  x  e  x   A x  Bx  C  e1.x  e x  A x  Bx  C  (1) Tính đạo hàm cấp nè  y 'r  x   e x  A x  Bx  C   e x  A x  B  (2) Tính đạo hàm cấp nè  y ''r  x   e x  A x  Bx  C   e x  A x  B   e x  A x  B   e x A  e x  A x  Bx  C   2e x  A x  B   e x A (3) Thế (1), (2), (3) vào (*) ta có : y'' 4y' 4y  e x  x  1 (*)  e x  A x  Bx  C   2e x  2A x  B   e x 2A  e x  A x  Bx  C   e x  2A x  B    4.e x  A x  Bx  C   e x  x  1  e x  A x  Bx  C   2e x  2A x  B   e x 2A  e x  x  1   A x  Bx  C    2A x  B   2A  x   A x  Bx  C  4A x  2B  2A  x   A x   B  4A  x  2B  2A  C  x  A  A     B  4A   B   y r  x   e x  A x  Bx  C   e x  x  4x   2B  2A  C  C     nghiệm tổng quát phương trình : y(x)  C1 e2.x  C2 x.e2.x  ex  x  4x   Bài : y'' 3y' 10y  e 2x  x (*) 24/12/2010 Giải Giải PT : y '' 3y ' 10y  K  K  5 Phương trình đặc trưng : K  3K  10     yo (x)  C1 e2.x  C2 e5.x Bài có hai nghiệm riêng thấy có dấu cộng Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y'' 3y' 10y  e Vế phải pt (** ) e 2x 2x (** ) có   nghiệm pt đặc trưng  y r1  x   xQ n  x  e  x  x A e x (1) Tính đạo hàm cấp  y 'r  x   A e x  2x A e x (2) Tính đạo hàm cấp  y ''r1  x   A e x  A e x  4x A e x  A e x  4x A e x (3) Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y'' 3y ' 10y  e 2x (** )  4A e 2x  4x A e 2x  3.(A e 2x  2x A e 2x )  10.x A e 2x  e2x  A e 2x  e2x  7A 1 A  y r1  x   x A e 2x  x e 2x Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : y'' 3y' 10y  x (** *) Vế phải pt (** *) x có   nghiệm pt đặc trưng  y r  x   Qn  x  e x   A x  B  e0 x  A x  B (4) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   A (5) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x   (6) Thế (4), (5), (6) vào (** *) ta có : y '' 3y ' 10y  x (** *)   3.A  10.(A x  B)  x  3A  10Ax  10B  x 1  A   10A  1 13 10     yr2  x   A x  B  x  10 100 3A  10B   B  13  100 Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng : 1 13  y r  x   y r1  x   y r  x   x e2x  x  10 100  nghiệm tổng quát phương trình : 1 13 y(x)  C1 e2.x  C2 e 5.x  x e 2x  x  10 100 x Bài 10 : y'' y  xe  2e x (*) Giải Giải PT : y '' y  K  K  1 Phương trình đặc trưng : K      yo (x)  C1 e1.x  C2 e1.x  C1 ,C2  R  Bài có hai nghiệm riêng thấy có dấu cộng x Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y''  y  xe (** ) x Vế phải pt (** ) xe có   nghiệm đơn pt đặc trưng  y r1  x   x.Q n  x  e x  x  A x  B  e x  e x  A x  B x  (1) Tính đạo hàm cấp nè  y 'r  x   e x (A x  Bx)  e x (2 A x  B) (2) Tính đạo hàm cấp nè  y ''r1  x   e x (A x  Bx)  e x (2 A x  B)  e x (2 A x  B)  e x A  y ''r1  x   e x (A x  Bx)  2e x (2 A x  B)  e x A (3) Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y''  y  xe x (** )  e x (A x  Bx)  2e x (2A x  B)  e x 2A  e x  A x  Bx   xe x  2e x (2A x  B)  e x 2A  xe x  2.(2A x  B)  2A  x  4A x  2B  2A  x  A  4A    y x  e x A x  Bx  e x  x  x       4  r1   2B  2A   B    Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : y'' y  2e Vế phải pt (** *) 2e x x (** *) có   1 nghiệm pt đặc trưng  yr2  x   x.Qn  x  e x  x.A.e x  A xe x Tính đạo hàm cấp nè  y 'r  x   A e  x  A xe  x  (5) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x    A e  x   A e x  A xe x  y ''r  x    A e x  A e  x  A xe  x  y ''r  x   2 A e x  A xe x Thế (4), (5), (6) vào (** *) ta có :  (4) y'' y  2e  x  2 A e  x  A xe  x  A xe x  2e  x   2A e  x  2e  x  2 A   A  1  y r  x   A xe x   xe x Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng :  1  y r  x   y r1  x   y r  x   e x  x  x   xe  x  4  nghiệm tổng quát phương trình :  1 y(x)  C1 e1.x  C2 e1.x  e x  x  x   xe x  4 Bài 11 : y'' 4y' 8y  e 2x  sin 2x (*) Giải Giải PT : y '' 4y ' 8y  Phương trình đặc trưng : K  4K    K   2i  a  2;b    yo (x)  ea.x  C1Cos bx+C2Sin bx   e2x  C1Cos 2x+C2Sin 2x   C1 ,C2  R  Bài có hai nghiệm riêng thấy có dấu cộng có e mũ anpha Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y'' 4y' 8y  e Vế phải pt (** ) e 2x (** ) có   nghiệm pt đặc trưng  y r1  x   Q n  x  e  x  A e x Tính đạo hàm cấp nè 2x (1)  y 'r  x   A e x (2) Tính đạo hàm cấp nè  y ''r1  x   A e x (3) Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y '' 4y ' 8y  e 2x (** )  4A e 2x  4.2 A e 2x  8A e2x  e 2x  4A e 2x  e2x  4A  1 A  y r1  x   A e2x  e 2x Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : y'' 4y' 8y  sin 2x Vế phải pt (** *) pt đặc trưng (** *) sin 2x có   0;      i  2i nghiệm  yr2  x    A cos x  Bsinx  e x  ex  A cos x  Bsinx   yr2  x   e0x  Acos 2x  Bsin2x   A cos 2x  Bsin2x (4) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   2Asin2x  2Bcos 2x (5) Tính đạo hàm cấp nè  y ''r  x   4 A cos 2x  Bsin 2x Thế (4), (5), (6) vào (** *) ta có : (6) y'' 4y' 8y  sin 2x (** *)  4 A cos 2x  Bsin 2x  4. 2 Asin2x  2Bcos 2x   8. A cos 2x  Bsin2x   sin 2x   4A cos 2x  4Bsin 2x  8Asin2x  8Bcos 2x  8A cos 2x  8Bsin2x  sin 2x  4 A cos 2x  8A cos 2x  8Bcos 2x  4Bsin 2x  8Asin2x  8Bsin2x  sin 2x  4A cos 2x  8B cos 2x  4Bsin 2x  8Asin2x  sin 2x   4A  8B  cos 2x   4B 8A  sin 2x  sin 2x  A   4A  8B  1 10     y r  x   A cos 2x  Bsin2x  cos 2x  sin2x 10 20 4B 8A  B   20 Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng : 1  y r  x   y r1  x   y r  x   e2x  cos 2x  sin2x 10 20  nghiệm tổng quát phương trình : 1 y(x)  e 2.x  C1Cos 2x+C2Sin 2x   e2x  cos 2x  sin2x 10 20 Bài 12 : y'' y' 2y  cos x  3sin x (*) Giải '' ' Giải PT : y  y  2y K  K  2 Phương trình đặc trưng : K  K      yo (x)  C1 e1.x  C2 e2.x  C1 ,C2  R  '' ' Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y  y  2y  cos x (** ) Vì   0,        i không nghiệm phương trình đặc trưng  yr1  x   ex  Acos x  Bsinx   e0x  Acos1x  Bsin1x   Acos x  Bsinx (1) Tính đạo hàm cấp nè  y ' r  x    As inx  B cos x (2) Tính đạo hàm cấp nè  y ' ' r1  x    A cos x  Bsin x Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y''  y'  2y  cos x (** )   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2. A cos x  Bsinx   cos x   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2A cos x  2Bsinx  cos x   A cos x  Bcos x  2A cos x  Bsin x  Asinx  2Bsinx  cos x    A  B 2A  cos x   B A +2B  sin x  cos x  A      A  B 2A   B 3A  10       B A +2B      3B A   B   10  y r1  x   A cos x  Bsinx   cos x  sinx 10 10 Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : y'' y' 2y  3sin x (** *) Vì   0,        i không nghiệm phương trình đặc trưng  yr  x   ex  Acos x  Bsinx   e0x  Acos1x  Bsin1x   Acos x  Bsinx (1) Tính đạo hàm cấp nè  y ' r  x    As inx  B cos x (2) Tính đạo hàm cấp nè  y ' 'r  x    A cos x  Bsin x Thế (1), (2), (3) vào (** *) ta có : y'' y' 2y  3sin x (***)   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2. A cos x  Bsinx   3sin x   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2A cos x  2Bsinx  3sin x   A cos x  Bcos x  2A cos x  Bsin x  Asinx  2Bsinx  3sin x    A  B 2A  cos x   B A +2B  sin x  3sin x  A    A  B 2A  B 3A  10      B A +2B   3   3B A   3 B   10  y r  x   A cos x  Bsinx  cos x  sinx 10 10 Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng :  y r  x   y r1  x   y r  x    3 cos x  sinx  cos x  sinx = sinx 10 10 10 10  nghiệm tổng quát phương trình : y(x)  C1 e1.x  C2 e2.x  sinx Phương trình vi phân tuyến tính cấp (hay thi) Dạng : 1.y'' P y' q.y  f  x  Nghiệm tổng quát phương trình : y  yo (x)  yr (x) Cách giải :  BƯỚC : tìm Giải PT : yo (x) y '' P y ' q.y  Phương trình đặc trưng : K  P.K  q   K1  ?  y o (x)  C1 e K1x  C e K x K  ? TH1:Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt   TH2:Phương trình đặc trưng có nghiệm kép  k  ?  yo (x)  C1 e K x  C2 x.eK x ax TH3:Phương trình đặc trưng có nghiệm phức  k  a  bi  yo (x)  e  C1Cosbx+C2Sinbx   BƯỚC : tìm y r (x) Nhìn xem vế phải thấy có dạng : so sánh  Qn  x  e x    Qn  x  đa thức bậc n với nghiệm pt đặc trưng : Là nghiệm đơn phương trình đặc trưng vế phải nhân với x  y r (x)  x.Q n  x  e x Là nghiệm kép phương trình đặc trưng vế phải nhân với x  y r (x)  x Q n  x  e x KO phải Là nghiệm phương trình đặc trưng vế phải không nhân  y r (x)  Q n  x  e x Tính đạo hàm cấp theo y r (x) Tính đạo hàm cấp theo y r (x) Nhìn xem vế phải thấy có dạng : so sánh Qn  x  e x sin x,cos x    ,     i với nghiệm pt đặc trưng : ax TH3:Phương trình đặc trưng có nghiệm phức  K  a  bi  yo (x)  e  C1Cosbx+C2Sinbx  Chỉ có TH : Là nghiệm đơn phương trình đặc trưng vế phải nhân với x  yr (x)  x.Qn  x  e x  x. A cos x  Bsinx  e x KO phải Là nghiệm phương trình đặc trưng vế phải giữ nguyên  yr (x)  Qn  x  e x   Acos x  Bsinx  e x x Bài 13 : y'' 2y' 5y  e cos 2x (*) 03/06/2015 Giải Giải PT : y '' 2y ' 5y  Phương trình đặc trưng : K  2K    K  a  bi   2i  yo (x)  e1.x  C1Cos 2x+C2Sin 2x   C1 ,C2  R  x Vế phải e cos2x có   1;    trưng    i   2i nghiệm đơncủa pt đặc  y r  x   Xex  A cos  x  Bsin x   Xe1x  A cos 2x  Bsin2x   Xe x  A cos 2x  Bsin2x   Xe x A cos 2x  Xe x Bsin2x (1) Tính đạo hàm cấp nè  y 'r  x   e x A cos 2x  Xe x A cos 2x  2Xe x Asin 2x  e x Bsin2x+Xe x Bsin2x  2Xe x Bc os2x (2)  Xe x cos 2x. A  2B  +Xe x sin2x  B A   e x A cos 2x  e x Bsin2x Tính đạo hàm cấp nè  y ''r  x   Xe x cos 2x  A  2B  +Xe x sin2x. B A   e x A cos 2x  e x Bsin2x   e x A cos 2x  e x Bsin2x  e x cos 2x. A  2B   e x cos 2x. A  2B    A  2B  Xe x sin 2x  x x x  +e sin2x  B A  +Xe sin2x  B A  +2  B A  Xe cos2x   x nháp  e  4Asin 2x  4XAcos 2x  Bsin2x+2X Bcos 2x+2Bcos 2x  4X Bsin 2x  Thế (1), (2), (3) vào (*) Bài 10/7/2013 b) giải phương trình vi phân : 3y'' 5y' 2y  e x  5sin x Bài 18/06/2013 Giải phương trình vi phân : a) ex  x cos y  ysin y  dy  ex  x sin y  ycos y  dx  b) y'' y' 2y   sin x Bài 26/12/2013 Giải phương trình vi phân sau : 1)  cos y  ysin x  dx   cos x  x siny  dy  2) y'' 4y  e2x  sin x Bài 2/7/2007 Giải phương trình vi phân sau : y'' 2y  sin 2x  e x Bài 13/01/2016 Giải phương trình vi phân sau : Đề bách khoa y '' y  cos x y'' 5y' 6y  (x  1)e2x (*) Bài 14 : y'' 3y' 2y  3x  5sin 2x (*) Bài 15 : y '' 4y ' 3y  (2x  1)e 3x Bài 16 : y '' 4y ' 4y  2xe 2x 3  (*) Ds:y  C1e  x  C e 3x  x   x   e 3x 4  (*) Ds:y  C1e 2x  C e 2x  x 3e 2x Bài 17 :  1 y '' 4y ' 8y  (x  3x)e 2 x (*) Ds:y  e 2x (C1 cos 2x  C sin 2x)   x  x  e 2x  4 2x (*) Ds:y  Bài 18 : y'' 5y'  (x  2)e [...]... )dy, Với L là đường tròn x  y  1 2 L Lấy theo chiều dương Giải y Đường tròn : x 2  y2  1 1 -1 x / P  2arctanx y Py  1  Đặt  2 / Q  x  y Qx  1 L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green   I   Q x/  Py/ dxdy   1  (1)  dxdy   2dxdy  2S ht  2.R 2  2..12  2  D D D 2 - 1 e2x Bài 2: Tính tích phân I   L e ln y  1  y dx  2... Py  e  2 2 y  1 y y  1 y 1  y2  Đặt  2x   1 e Q   6x    2    / 1 2e2x  e2x 2  1  y     3 Q x  2  6  2  2 1  y 1  y    L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green I   D   e2x e2x Q  P dxdy    3   2  1 y 1  y2 D  / x / y    dxdy   3dxdy  3S §t  3.R2  3..1  3  D  - Bài 3: Tính tích phân đường loại... (C) là đường tròn x 2  y2  1, theo chiều dương Giải y x 1 -1  Py/  e x  y  2  P  e x  y  2 y  Đặt  x y Q  e  2 x  xy Qx/  e x  y  2  y L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green I    Qx/  Py/  dxdy    e x  y  2  y  e x  y  2  dxdy   ydxdy D D D Cách 1 giải trong tọa độ đề các : 1 x 2 1 I =  ydxdy =  dx D 1   1...  y  4 , lấy theo ngược chiều kim đồng hồ y Đường tròn : x 2  y 2  4 2 O x 2 / 2 2 2 P  1  x  yx Py  x  Đặt  2 Q  1  xy  5x Q x/  y2  5 L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green     I   Q x/  Py/ dxdy   y 2  5  (x 2 ) dxdy   (x 2  y2  5)dxdy D D  x  r cos   y  r sin  Đặt   0   2  0 r  2 J  r ha ha x 2 ... C  trong đó (C) là biên của miền    : 4  x 2  y 2  9 lấy theo chiều dương Giải y x / 2 P  1  y3 Py  3y  Đặt  / 2 3 y2 Q  x  e Q x  3x L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green        I   Q x/  Py/ dxdy   3x 2  3y2 dxdy   3 x 2  y2 dxdy D D x  r cos   y  r sin  Đặt  2 J  r x2  y2  r 2 2 3 D  0   2 Dxy...  x  2  (y  3)2  4 lấy theo chiều dương C Giải y Đường tròn : x  2 2  (y  3)2  4 3 2 1 O 2 x Py/  6 P  6y  x  Đặt  / Q  y  2x  Q x  2 L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green   I   Q x/  Py/ dxdy    2  6  dxdy   4dxdy   4S § t  4.R2  4..4  16  D D D - Bài 7: Tính tích phân đường loại hai 2 I = (6y  sin x)dx... 16 lấy ngược chiều  C KĐH Giải y Đường tròn : x  2 2  (y  5)2  16 2 1 O x 2 Py/  6 P  6y  sin x  Đặt  2 / Q   (1  8x  x )  Qx  8  2x C là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green I    Qx/  Py/  dxdy    8  2 x  6  dxdy    2  2 x  dxdy   2 1  x  dxdy D D D D X  x  2  X 2  Y 2  16 Y  y  5 Đặt   X  r cos ... phương trình Giải Đường tròn : x2  2 x  1  y 2  1 y  ( x  1)2  y 2  1 / 2 P  sinx  y3 Py  3y  Đặt  3 / 2 Q x  3x Q  arctan y  x O x 2 1 L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green     I   Q x/  Py/ dxdy   3x 2  (3y 2 ) dxdy   3(x 2  y 2 )dxdy D D D       DD  2 2  0  r  2 cos  x  r cos  2 Đặt  x  y2  r 2... cùng chiều kim đồng hồ x2  2x  1  y2  1 Đường tròn : y  (x  1)2  y2  1 Py/  5 P  1  x2  5y  Đặt  / Q  1  xy  10x  Q x  y  10 O 1 2 x L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green I     Qx/  Py/  dxdy     y  10  (5)  dxdy    (y  15)dxdy    y dxdy   15dxdy D D D D D Giả bộ giải nek x  r cos  Đặt   y  r sin ... hồ y x2  y2  4y  4  4 Đường tròn : 2 4 2  x  (y  2)  4 3 / P  x  x2  5y  4xy Py  5  4x  Đặt  2 / Q  y  6x  10x Q x  12x  10  2 1 L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục Áp dụng công thức Green  x O  I    Q x/  Py/ dxdy    12x  10  (5  4x)  dxdy    (8x  5)dxdy    8x dxdy   5dxdy D D D D D Giả bộ giải nek : x  r cos   y  r