ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THEO TÍN CHỈ (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN)

Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình bài toán Quy hoạch tuyến tính QHTT: Một số mô hình thực tế của bài toán QHTT; bài toán QHTT dạng tổng quát và một số dạng ñặc bi

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THEO TÍN CHỈ

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN)

Năm 2014

MỤC LỤC Trang

1.3 Bài toán dạng chính tắc, chuẩn tắc, dạng ma trận, véc tơ của bài toán QHTT 5

1.4 Hình ảnh hình học của các tập phương án của bài toán QHTT 6 1.5 ðại cương về tập lồi trong không gian n

1.6 Tính chất của tập phương án và tập nghiệm của bài toán QHTT 6

2.1.3 Tìm phương án cực biên mới tốt hơn, công thức ñổi cơ sở 13

2.4 Giải bài toán QHTT tổng quát, phương pháp hai pha, phương pháp bài toán M 16

2.5 Vấn ủề bài toỏn suy biến 17

3.3.2 Thủ tục ủơn hỡnh ủối ngẫu khi biết cơ sở chấp nhận ủược ủối ngẫu 24 3.3.3 Thuật toỏn ủơn hỡnh ủối ngẫu khi chưa biết cơ sở chấp nhận ủược ủối ngẫu 24 3.4 Tìm nghiệm của một cặp bài toán đối ngẫu bằng giải hệ phương trình tuyến tính 25

CHƯƠNG 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

Số tiết: 7 (Lý thuyết: 6; bài tập, thảo luận: 1)

*) Mục tiêu Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình bài toán Quy

hoạch tuyến tính (QHTT): Một số mô hình thực tế của bài toán QHTT; bài toán QHTT dạng tổng quát và một số dạng ñặc biệt; các tính chất tập phương án, hình ảnh hình học của tập phương án của bài toán QHTT

1.1 Các ví dụ dẫn tới bài toán QHTT

1.1.1 Bài toán lập thực ñơn

Có n loại thực phẩm T j,(j=1,n) Biết rằng mỗi ñơn vị T j chứa a ij ñơn vị chất i, =(i 1,m)

và có giá thành là c j ñơn vị tiền Hãy lập một thực ñơn sao cho bữa ăn phải ñảm bảo có ít nhất b i

ñơn vị chất dinh dưỡng i, =(i 1 ,m) mà có giá thành rẻ nhất

Lập bài toán: Gọi x jlà số ñơn vị thực phẩmT j,(j= 1 ,n) dùng trong bữa ăn, x j ≥0;

m i

j x c

j x c x

f

1

ñạt giá trị nhỏ nhất với hệ ñiều kiện:

n j x m i

1.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Một xí nghiệp sản xuất n mặt hàng Các mặt hàng ñó ñược sản xuất từ m loại vật liệu

Số lượng ñơn vị vật liệu loại (i=1,m) hiện có của xí nghiệp là b i Biết rằng ñể sản xuất một ñơn

vị mặt hàng loại j(j=1,n) cần a ij(i=1,m,j=1,n) ñơn vị vật liệu loại i và một ñơn vị mặt hàng loại j bán ñược c j ñơn vị tiền (số ñơn vị sản phẩm sản xuất ra ñều bán hết) Hãy tính xem mỗi mặt hàng nên sản xuất bao nhiêu ñơn vị sản phẩm ñể tiền thu ñược nhiều nhất với ñiều kiện hạn chế về số vật liệu hiện có của xí nghiệp

Mô hình toán học của bài toán:

Tìm các x j;(j=1,n) sao cho hàm: ( )

1

n

j j j

1.1.3 Bài toán vận tải

Có m ñiểm phát hàng A A1, 2, ,A m với lượng hàng phát ở kho thứ ,i i=1,m là a i i, =1,m

Có n ñiểm thu hàng B B1, 2, ,B n với lượng hàng thu ở kho thứ j là b j, j=1,n Giả thiết rằng:

∑ ∑ và cước phí vận chuyển một ñơn vị hàng từ trạm phát A i tới trạm thu B jlà c ij Hãy

lập phương án ñiều hàng sao cho yêu cầu thu và phát ñược ñảm bảo và tổng chi phí nhỏ nhất

Dạng toán học của bài toán:

Gọi x i ij( =1, ,m j=1, )n là số ñơn vị hàng cần vận chuyển theo kế hoạch từ trạm phát

thứ i tới trạm thu thứ j (i=1, ,m j=1, )n thì bài toán vận tải có mô hình toán học như sau:

=

=∑ ñạt giá trị nhỏ nhất (hoặclớn nhất) với các ñiều kiện:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 1

1 2

12

n

ij j i j

n

ij j i j

j j

J ⊂J= n , J2=J J\ 1, J2∩J1=ϕ (x j <=> ñược hiểu là 0 x j không phụ thuộc dấu)

Hàm f ñược gọi là hàm mục tiêu; (1) và (2) là hệ ràng buộc cơ bản ( hệ ràng buộc cưỡng

bức); (3) và (4) là hệ ràng buộc tự nhiên ( hệ ràng buộc dấu)

Về mặt lý thuyết ta có thể chỉ xét các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (mọi bài toán max sẽ ñược

chuyển về dạng min)

1.3 Bài toán dạng chính tắc, chuẩn tắc, dạng ma trận, véc tơ của bài toán QHTT

1.3.1 Dạng chính tắc: Là bài toán dạng tổng quát khi I1=ϕ, J1=J

1.3.2 Dạng chuẩn tắc: Là bài toán dạng tổng quát khi I2=ϕ, J1=J

Chú ý: Có thể chuyển bài toán dạng chính tắc thành chuẩn tắc và ngược lại nhờ một số

phép biến ñổi trên hệ phương trình tuyến tính

1.3.3 Một số kí hiệu và qui ước

• Biểu thức tích vô hướng của hai véc tơ x và y ñược viết: x.y

1.3.4 Dạng ma trận và véc tơ của bài toán QHTT(chính tắc)

Dạng ma trận

min0

R , tập phương án của bai toán QHTT chuẩn tắc là giao của hữu hạn m nửa không gian

Tập phương án của bài toán QHTT dạng chuẩn tắc là một ña diện lồi hoặc một tập lồi ña diện

1.5 ðại cương về tập lồi trong không gian n

n 1 j

j j j

x x

1.5.2 Tập hợp lồi Tập X ⊂ R n ñược gọi là tập hợp lồi nếu với x1,x2∈X và 0≤α≤1

thì x=αx1+(1−α)x2∈X

1.5.3 ðiểm cực biên của tập lồi

ðiểm x của tập lồi X dược gọi là ñiểm cực biên của X nếu nó không thể biểu diễn ñược

dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai ñiểm phân biệt trong X

1.5.4 ða diện lồi và tập lồi ña diện

Tập lồi ña diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian ñóng

ða diện lồi là tập lồi ña diện giới nội

1.6 Tính chất của tập phương án và tập nghiệm của bài toán QHTT

1.6.1 Tính chất của tập phương án của bài toán QHTT

ðịnh lý 1.1 Tập phương án và phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi

ðịnh lý 1.2 Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có tập phương án khác rỗng thì nó có ít

nhất một phương án cực biên (tức là ñiểm cực biên của tập phương án)

ðịnh lý 1.3 Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có phương án tối ưu thì sẽ có ít nhất một

phương án cực biên là phương án tối ưu

ðịnh lý 1.4 Nếu tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính không rỗng và là một

ña diện lồi thì bài toán sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu

ðịnh lý 1.5 (về sự tồn tại phương án cực biên)

ðể phương án x0 = ( ) x0j j=1 n (khác 0) của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc với tập phương án

n : a x b;x 0R

x

ñủ là hệ véc tơ cột của ma trận A ứng với các thành phần dương của phương án này là ñộc lập

tuyến tính

ðịnh nghĩa 1.3 Phương án cực biên của bài toán QHTT dạng chính tắc ñược gọi là không suy biến nếu số thành phần dương của nó bằng m (hạng của ma trận A) ngược lại thì phương án cực biên ñược gọi là suy biến

1.6.2 Cơ sở của phương án cực biên

Giả sử ( )n

1 j

0 j

0 xx

Chú ý:

- Cơ sở của một phương án cực biên trong tài liệu ñược kí hiệu là B , ñể phân biệt các tập chỉ

số trong các cơ sở khác nhau thì tập chỉ số của các véc tơ trong cơ sở B ta kí hiệu là J B

2 Số phương án cực biên của một bài toán QHTT là hữu hạn

3 Phương án cực biên không suy biến chỉ có một cơ sở duy nhất, ñó là các véc tơ tương

ứng thành phần dương của phương án

4 Phương án cực biên suy biến có nhiều cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là các véc

tơ tương ứng với các thành phần dương của phương án

*) Tài liệu học tập: [1]; [2]; [3]; [5]

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

Bài tập 1.1 Cho 3 ñiểm x1, x2, x3∈R3 không thẳng hàng

a Chứng minh rằng nếu x là một tổ hợp lồi nào ñó của x1, x2, x3 thì x là một ñiểm thuộc tam giác có 3 ñỉnh là x1, x2, x3

b Chứng minh rằng nếu x là một ñiểm thuộc tam giác thì luôn có thể viết ñược x là một

2 1

3:x x x aR

a V có phải là tập lồi ña diện không ? Có phải ña diện lồi không?

b Hình cầu V có ñiểm cực biên không? Có bao nhiêu ñiểm cực biên?

Bài tập 1.3 Cho D ⊂ R n có tính chất sau ñây: Nếu a ∈ và D b ∈D thì b D

2

1a2

xem xét D có phải tập lồi không? Giải thích tại sao?

Bài tập 1.4 Cho X và Y là hai tập lồi trong Rn ; Z là 1 tập ñược ñịnh nghĩa như sau:

Z= = + ∈ ∈ Xét xem Z có phải tập lồi không?

Bài tập 1.5 Chứng minh rằng: Nếu bài toán QHTT có tập phương án khác rỗng và mọi ẩn số

ñều bị chặn (hj≤xj≤Hj ∀j) thì nó luôn luôn có phương án tối ưu

Bài tập 1.6 Chứng minh rằng bài toán sau luôn có phương án tối ưu:

(haymax)

minx

c

(j 1,n)

0x

;m,1i,bx

Trong ñó bi≥0(i=1,m) và biết rằng tồn tại chỉ số i sao cho aij≥0(j=1,n)

Bài tập 1.7 Hãy thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính cho bài toán sau:

Một phân xưởng cốt thép có các thanh sắt nguyên dài 3,8 mét cần cắt thành ba loại ñoạn ngắn hơn : 400 ñoạn dài 1,8m; 400 ñoạn dài 1,4 m; 1300 ñoạn dài 1,0 m Hỏi phải cắt bao nhiêu thanh thép nguyên ñể vừa ñảm bảo ñủ số lượng các ñoạn thép cần có mà tốn ít thanh thép nguyên nhất?

Bài tập 1.8 Một ñội sản xuất nông sản có 3 loại ñất dự kiến trồng 4 loại cây với số quỹ ñất và

năng suất dự kiến ñược cho trong bảng sau (Năng suất: tạ/ha)

Hãy tính xem nên trồng cây gì trên ñất gì ñể ñạt tổng năng suất cao nhất?

a Viết dạng toán học của bài toán

b Hãy chỉ ra một phương án của bài toán

c Chứng tỏ bài toán luôn có phương án tối ưu

d Hãy tổng quát hoá bài toán

Bài tập 1.9 Hãy thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính cho bài toán sau:

Giả sử có m loại máy công công cụ khác nhau tham gia sản xuất một loại sản phẩm gồm

n chi tiết khác nhau Số máy mỗi loại tham gia quá trình sản xuất ñược giả thiết là một chiếc, số chi tiết mỗi loại cấu thành nên sản phẩm ñược giả thiết là tỉ lệ với nhau theo tỉ số 1:1: :1 (tức là

số các chi tiết mỗi loại bằng nhau) Năng suất máy thứ i sản xuất chi tiết j là aij(ñơn vị chi tiết/ ñơn vị thời gian) với (i=1,m; j=1,n) Hãy bố trí thời gian cho các máy sản xuất các chi tiết sao cho số sản phẩm ñủ bộ sản xuất ra ñược là nhiều nhất

Bài tập 1.10 ðưa bài toán sau về dạng chính tắc

0x,0x

11xxx

1xxx

3xxx

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1



+ + ≤

x x

−

−

≤

−+

−

≥++

0x,0x

1xxx

6x2xx

5xx7x

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

Bài tập 1.12 Chứng minh rằng, ñối với mỗi bài toán sau, x là phương án tối ưu:

a f =x2+x4→min

( ) ( ) ( )

=+++

−

=+++

−

0x

33xx

22xxxx

11xxxx

1

4 2

4 3 2 1

4 3 2 1

x=(0,−1,0,3)

b g = x1+ x4 → max

( ) ( ) ( )

−

≤+++

=+++

0x

316xxxx

24xxxx

11xxxx

1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x = ( 0 , 1 , 3 , − 3 )

Bài tập 1.13 Chứng tỏ rằng bài toán sau có tập phương án khác rỗng nhưng hàm mục tiêu

không bị chặn trên tập phương án

minx

12xxxxx

−

−

=+++

−

6,1j,0x

11xxxx

x

5xxxxx

3xxx

x

j

6 5 4 2

1

6 5 4 3 2

6 5 3

1

Bài tập 1.14 Chứng minh rằng tổ hợp lồi có tính chất bắc cầu

Bài tập 1.15 Giải các bài toán QHTT sau bằng phương pháp ñồ thị:

22

≥+

0

;027

22

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

−

≥+

632

22

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Bài tập 1.16 Hãy tìm ñiều kiện của hàm mục tiêu trong bài toán sau ñể thu ñược:

a Bài toán vô nghiệm

b Bài toán vô số nghiệm

≥ +

≤

−

0

; 0

9 3

3 5

6 3 2

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Bài tập 1.17 ðối với mỗi giá trị của tham số m ( m > 0) hãy tìm phương án tối ưu của bài toán

quy hoạch tuyến tính:

( x ) = x1− x2 → min

0x,0x

)2(2xmx

)1(3xx

2 1

2 1

2 1

0x,0x

1bxax

2 1

CHƯƠNG 2 Phương pháp ñơn hình

Số tiết: 10 (Lý thuyết 9 ; bài tập, thảo luận: 1)

*) Mục tiêu Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về cơ sở lý luận của

phương pháp ñơn hình; các thuật toán ñơn hình: Thuật toán gốc, thuật toán hai pha, một số vấn

ñề về bài toán suy biến

2.1 Cơ sở lý thuyết của phương pháp ñơn hình

2.1.1 Tư tưởng cơ bản của phương pháp ñơn hình

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

minx

Sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ tìm ñược phương án cực biên tối ưu hoặc sẽ kết luận về tính không giải ñược của bài toán

2.1.2 Biểu diễn qua cơ sở Dấu hiệu tối ưu

Giả sử x0 =( )x0j j=1 , n là phương án cơ sở tương ứng với cơ sở { j, }

B

B= a j∈J Khi ñó, mọi véc tơ cột ak (k JB)

∉ ñều có thể khai triển duy nhất theo cơ sở này B như sau:

= (k∉JB) là véc tơ hệ số khai triển của véc tơ cột a ktheo cơ sở B

ðịnh lý 2.1 Nếu x0 là phương án cơ sở tương ứng với cơ sở { j, }

B

B= a j∈J của bài toán quy hoạch tuyến tính (I) thì với mọi phương án x = ( ) xj j 1,n∈ D

= ta luôn có:

( B)

J k

k jk j

k k

xf

k j jk

k z c c ñược gọi là véc tơ ước lượng của biến xk(với k∈J B thì ∆k =0)

ðịnh lý 2.2 ( Tiêu chuẩn tối ưu) Nếu ứng với phương án cực biên 0

Chú ý : Bất ñẳng thức ∆k ≤0 ( ∀ k ∈ J ) chỉ là ñiều kiện ñủ, trong trường hợp 0

x là phương án cực biên không suy biến thì ñó cũng là ñiều kiện cần ñể x0 là phương án cực biên tối

là phương án tối ưu không duy nhất của bài toán

2.1.3 Tìm phương án cực biên mới tốt hơn, công thức ñổi cơ sở

2.1.3.1 Dấu hiệu hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phương án

ðịnh lý 2.3 Nếu ứng với phương án cực biên 0

x của cơ sở B tồn tại một chỉ số

k ( k ∉ JB) ñể ∆k >0 và zk≤0thì hàm mục tiêu của bài toán (I) không bị chặn dưới trên tập phương án

2.1.3.2 Tìm phương án cực biên mới tốt hơn, công thức ñổi cơ sở

Giả sử phương án x0 của cơ sở B không thoả mãn dấu hiệu tối ưu và dấu hiệu hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phương án Ta chuyển sang phương án cực biên ( )1 j1,n

−

=θ

≠

∉

=

B js

j 0

B j

1

Jjkhizx

sjkhi

sj,Jjkhi0

• Chọn véc tơ as ñưa vào cơ sở: ∆s =max{∆k,∆k>0} (2.2)

• Chọn véc tơ ar ñưa ra khỏi cơ sở:

s r 0 js

js j 0

x

x0z,z

ðịnh lý 2.5 Phương án x1 ñược xác ñịnh theo công thức (2.1) là phương án cơ sở của B1

Công thức ñổi cơ sở Trong cơ sở B ta kí hiệu các ước lượng của các véc tơ 1 ak,k∉JB1 là

zz

sjkhiz

zz

B js

rs

rk jk rs rk jk

s

rk k k

2.2 Thủ tục ñơn hình, bảng ñơn hình

2.2.1 Các bước của thủ tục ñơn hình

Bước 1 Tìm một phương án cực biên x0và cơ sở B tương ứng Tính các hệ số khai triển

jk

z và các ước lượng ∆k

Bước 2 Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:

• Nếu ∆k ≤ 0 ∀ k ∉ JB thì 0

x là phương án tối ưu Thuật toán kết thúc

• Nếu ∃∆k >0, k∉JB thì chuyển sang bước 3

Bước 3 Kiểm tra dấu hiệu hàm mục tiêu giảm vô hạn, cải tiến phương án

Với mỗi k ∉JBmà ∆k> 0 ta kiểm tra các hệ số khai trển zjk của cột a tương ứng: k

• Nếu ∃∆k >0,k∉JB mà tất cả zjk ≤ 0 ∀ j ∈ JB thì kết luận hàm mục tiêu giảm vô hạn trên miền ràng buộc Bài toán không có lời giải hữu hạn, thuật toán kết thúc

• Nếu với mọi k ∉JB mà ∆k> 0 ñều tồn tại ít nhất một hệ số zjk >0 thì chuyển sang cơ

j, (x ), ,z

x ∆ trong cơ sở B1theo công thức ñổi cơ sở và quay trở lại bước 2

2.2.2 Tính hữu hạn của thuật toán

2.2.2.1 Tính hữu hạn của thuật toán

ðịnh nghĩa 2.1 Bài toán QHTT ñược gọi là không suy biến (không thoái hoá) nếu như tất

cả các phương án cơ sở chấp nhận ñược của nó là không suy biến Trong trường hợp ngược lại thì bài toán ñược gọi là suy biến

ðịnh lý 2.6 Giả sử bài toán QHTT là không suy biến và có phương án tối ưu Khi ñó với

mọi phương án cơ sở chấp nhận ñược xuất phát thuật toán ñơn hình là hữu hạn ( thuật toán kết thúc sau một số hữu hạn phép tính)

2.2.2.2 Hiện tượng xoay vòng

Nếu bài toán QHTT suy biến thì có khả năng ở một bước nào ñó thuật toán sẽ làm việc với một cơ sở chấp nhận ñược suy biến và khi chọn dòng xoay có thể gặp phải tình huống θ = 0, trong trường hợp này khi chuyển sang phương án cơ sở chấp nhận ñược tiếp theo giá trị hàm mục tiêu sẽ không thay ñổi Hơn nữa, tình huống trên có thể lặp lại nhiều lần và tình huống xấu hơn nữa là sau một số lần như vậy thuật toán lại quay trở về với một cơ sở trước ñó ñã xét qua Khi ñó nếu vẫn giữ nguyên cách chọn dòng xoay, cột xoay thì chu trình này sẽ lặp lại vô hạn lần Hiện tượng nói trên ñược gọi là hiện tượng xoay vòng Một trong những hướng khắc phục hiện tượng này là sử dụng các cách chọn dòng xoay, cột xoay sao cho trong quá trình thực hiện thuật toán không có cơ sở nào bị lặp lại

2.2.3 Bảng ñơn hình

2.2.3.1 Lập bảng ñơn hình xuất phát

Không giảm tổng quát, ta giả thiết rằng ñã biết cơ sở xuất phát { j, }

1

c a1 x10 1 0 0 z1 m+1 z k z1s z n

2

c a2 x02 0 1 0 z2 m+1 z k z2s z n

m

c am x0m 0 0 1 zmm+1 zmk zms zmn

k

∆ ∆1 ∆2 ∆m ∆m+1 ∆k ∆s ∆n

2.2.3.2 Thực hiện phép biến ñổi bảng chuyển từ cơ sở cũ sang phương án cơ sở mới

Trong bảng ñơn hình cũ: Cột ứng với véc tơ ñưa vào (as) ñược gọi là cột xoay, hàng ứng với véc tơ ñưa ra (a ) ñược gọi là hàng xoay, phần tử r zrs ñược gọi là phần tử xoay

Bảng ñơn hình mới có ñược từ bảng ñơn hình cũ theo các công thức ñổi cơ sở sau khi chọn

ẩn vào, ra (ñược cụ thể hoá bằng lời) như sau:

Trong cột cơ sở: thay ar bằng as

 Có thể ñưa bất kỳ véc tơ nào ứng với ∆k> 0 vào cơ sở cũng ñều cải tiến ñược phương án Một số nguyên tắc chọn cột xoay khác thường dùng là nguyên tắc ngẫu nhiên, nguyên tắc chỉ số nhỏ nhất, nguyên tắc giảm nhiều nhất (là nguyên tắc chọn cột xoay as ứng với giá trị θ ∆s lớn nhất)

 ðối với bài toán có hàm mục tiêu dần ñến max có thể giải trực tiếp bằng thuật toán tương ứng (Giữ nguyên hệ số hàm mục tiêu, chọn véc tơ ñưa vào: as min{ j, j 0}

<

∆

∆

ra theo nguyên tắc cũ, tiêu chuẩn tối ưu: ∆j≥0,∀j) hoặc chuyển về bài toán min

2.3 Thuật toán ñơn hình ñối với bài toán chuẩn

Chuyển về bài toán QHTT dạng chuẩn tắc ñể sử dụng thuật toán ñơn hình

2.4 Giải bài toán QHTT tổng quát, phương pháp hai pha, phương pháp bài toán M 2.4.1 Thuật toán ñơn hình hai pha

Thuật toán ñơn hình hai pha ñược sử dụng khi các giả thiết ñể sử dụng thuật toán ñơn hình gốc chưa ñầy ñủ (về tính tương thích của hệ ràng buộc, hạng của ma trân A, sự tồn tại phương án cực biên của bài toán (I))

Nội dung thuật toán:

Xây dựng và giải bài toán phụ của bài toán (I):

minx

et u → ; Ax+xu =b,x≥0, xu ≥0 (II) Trong ñó:

( n 1 n 2 n m)

u x , x , , x

x = + + + (viết gọn:xu =x( )Ju ,Ju ={n+1,n+2, ,n+m}) là ma trận biến giả, e =(1,1, ,1) là ma trận có các thành phần ñều bằng 1

Bổ ñề 2.1. Bài toán (I) có phương án chấp nhận ñược khi và chỉ khi thành phần x*u trong phương án tối ưu (x ,x*)

u

* của bài toán (II) là bằng không

ðối với bài toán (II) ta có ngay một cơ sở: { j, }

J * Khi ñóx*là phương án cơ sở chấp nhận ñược của bài toán (I)

Từ cơ sở này ta tiến hành thuật toán ñơn hình 2 giải bài toán (I) (pha thứ 2)

B =B a ∪ a , tiếp tục pha thứ hai giải bài toán

Nếu z*j =0 ∀j∈J\JB *thì ràng buộc tương ứng với nó trong hệ phương trình tuyến tính

Ax = b là hệ quả của các phương trình còn lại khi ñó ta xoá véc tơ ai *trong B* mà không cần

thay thế nó bằng véc tơ nào Tiếp tục xử lý như trên sẽ thu ñược một cơ sở tối ưu như trong tình

huống 1 và chuyển sang pha 2

2.4.2 Phương pháp ñánh thuế (Phương pháp hàm phạt hay phương pháp thuật toán M )

Phương pháp này là một trong số những phương pháp kết hợp hai pha của phương pháp

n

1

j

m 1 i i n j

Trong ñó ký hiệu M ñể chỉ một số dương vô cùng lớn, lớn hơn bất cứ số cụ thể nào mà ta

cần phải so sánh với nó, các biến xn+i,i=1,m gọi là các biến giả, kí hiệu xu là véc tơ các biến

giả áp dụng thuật toán ñơn hình ñối với bài toán (III) bắt ñầu từ phương án cơ sở chấp nhận ñược:

(xj =0, j=1,n;xn+i =bi,i=1,m) cơ sở tương ứng là ma trận ñơn vị cấp m

Khi tính các ước lượng ∆j trong thực hiện thuật toán ta viết nó dưới dạng: ∆j=αj+Mβj,

dòng ước lượng sẽ chia thành hai dòng: một dòng chứa hệ số αj, một dòng chứa hệ số βj ðể

xét dấu của ∆j và so sánh chúng với nhau ta sử dụng quy tắc sau:

j >

∆ nếu hoặc là βj>0 còn αj là tuỳ ý, hoặc là βj =0 và αj >0

• ∆p >∆q nếu hoặc là βp>βq còn αp,αq là tuỳ ý, hoặc là βp =βq và αp >αq

Kết thúc thuật toán ñơn hình giải bài toán (III) ta ñi tới một trong các khả năng sau:

• Thu ñựơc phương án tối ưu (x ,x*)

u

* với x* 0

u = Khi ñó x*là phương án tối ưu của bài toán xuất phát

• Thu ñựơc phương án tối ưu ( x*, x*u) với x*u ≠0 Khi ñó bài toán xuất phát không có

phương án chấp nhận ñược nên vô nghiệm

• Nếu bài toán (III) không có phương án tối ưu thì bài toán (I) cũng không có phương án tối ưu

2.5 Vấn ñề bài toán suy biến

- Bài toán có phương án cực biên xuất phát là suy biến (số thành phần dương của phương án ít

hơn số véc tơ trong cơ sở của phương án cực biên) (xem thêm 2.2.2.2.)

*) Tài liệu học tập: [1]; [2]; [3]; [6]

Bài tập 2.1 Giả sử x là một ñiểm của tập X {x Rn:aix bi i 1,m}

=

≥

∈

dòng thứ i của ma trận A cấp m.n) Khi ñó ñể x là ñiểm cực biên của X ñiều kiện cần và ñủ là:

x thoả mãn với dấu bằng ñối với n bất phương trình ñộc lập tuyến tính trong m bất phương trình

xx

+

≤+

−

≤++

3,1j,0x

t730x

x

t260xx

t40xxx

j

2 1

3 1

3 2 1

Tìm ñiều kiện cần và ñủ về tham số t ñể bài toán ñã cho có tập phương án khác rỗng

Bài tập 2.3 Giải các bài toán sau bằng phương pháp ñơn hình:

=

−

−+

=

−

−+

6,1j,0x

4xxx

0x6

1xx2

1x

0xxx3

1x

j

6 5 3

6 5 4 2

6 5 4 1

Với phương án cực biên của cơ sở (a a a1, ,2 3)

=+

++

=+

++

6,1j,0x

21xx

x

38x

xxx

46x

xxx

j

6 3

1

5 3

2 1

4 3 2 1

≤+

−

≤

−+

3,1j0x

12xxx

8xx

16xxx

j

3 2 1

3 1

3 2 1

Bài tập 2.4 Cho bài toán:

maxx

x7xx

f = 1− 2 − 3− 4 →