ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT MÔ ĐUN 2 TÍN CHỈ (Tài liệu dành cho sinh viên ngành Đại học sư phạm Toán năm thứ 4)

1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT MÔ ĐUN 2 TÍN CHỈ (Tài liệu dành cho sinh viên ngành Đại học sư phạm Toán năm thứ 4) 2 MỤC LỤC CHƯƠNG 1. Môđun trên một vành 3 1.1. Định nghĩa môđun 3 1.2. Mô đun con 4 1.3. Giao của một họ các mô đun 4 1.4. Mô đun con sinh bởi một tập 4 1.5. Tổng của một họ các mô đun 5 1.6. Mô đun thương 6 1.7. Môđun con xoắn 6 CHƯƠNG 2. Đồng cấu môđun 9 2.1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản 9 2.2. Ví dụ 10 2.3. Ảnh và tạo ảnh 10 2.4. Hợp thành các đồng cấu môđun 10 2.5. Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu môđun 10 2.6. Các định lý về hạt nhân và đối hạt nhân 11 2.7. Nhóm cộng Hom A (M, N) 12 2.8. Hàm tử Hom 12 2.9. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp 14 CHƯƠNG 3. Dãy khớp. Dãy nửa khớp 19 3.1. Dãy khớp. Dãy khớp ngắn 19 3.2. Các định lý 20 3.3. Dãy nửa khớp 20 3.4. Tích tenxơ 21 CHƯƠNG 4. Một số môđun đặc biệt 26 4.1. Mô đun xyclic 26 4.2. Mô đun tự do 26 4.3. Mô đun phẳng. Mô đun chia được 27 4.4. Mô đun nội xạ 28 4.5. Mô đun xạ ảnh 29 CHƯƠNG 5. Một số vành số học và ứng dụng 33 5.1. Vành chính 33 5.2. Vành Gauxơ 34 5.3. Vành ơclít 34 5.4. Vành Nother 35 5.5. Vành Actin 36 5.6. Miền Đơđơkin 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 3 CHƯƠNG 1 Môđun trên một vành Số tiết: 06 (Lý thuyết: 05; bài tập, thảo luận: 01) A. MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu được một số tính chất cơ bản của các khái niệm: môđun, môđun con, môđun thương, môđun sinh bởi một tập, tổng và giao một họ các môđun. - Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán được giới thiệu ở cuối chương. - Qua nội dung của chương, sinh viên thấy được môđun là khái niệm khái quát của các cấu trúc: không gian véctơ, vành, iđêan. Trên cơ sở đó, sinh viên nhận thức được lý thuyết môđun đóng vai trò quan trọng của đại số hiện đại. B. NỘI DUNG 1.1. Định nghĩa môđun Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1 0 ≠ và M là mộ t nhóm c ộ ng Abel, cùng v ớ i m ộ t ánh x ạ µ t ừ A M × vào , M t ạ o nên m ộ t phép toán nhân ngoài đượ c xác đị nh b ở i: . ( , ) a x a x µ = v ớ i m ọ i a A ∈ và m ọ i . x M ∈ V ớ i phép c ộ ng v ố n có trong M và phép nhân ngoài đ ã đượ c xác đị nh, thì M đượ c g ọ i là m ộ t A - môđun trái n ế u các tiên đề sau đượ c th ỏ a mãn: 1 2 3 4 ( ) : ( ) ( ) :( ) ( ):( ) ( ) ( ) :1 M a x y ax ay M a b x ax bx M ab x a bx M x x + = + + = + = = v ớ i m ọ i , a b A ∈ và m ọ i , x y M ∈ . Chú ý 1.1.2. (i) N ế u tiên đề ( 3 M ) đượ c thay b ở i ( ) ( ) ab x b ax = thì M đượ c g ọ i là m ộ t A - mô đ un ph ả i. Và th ấ y ngay, n ế u vành A giao hoán thì hai khái ni ệ m mô đ un trái và mô đ un ph ả i là nh ư nhau. Toàn b ộ h ọ c ph ầ n này, ta ch ỉ xét các l ớ p mô đ un trái và ta s ẽ dùng t ừ “môđun” thay cho “mô đ un trái”. (ii) Kí hi ệ u 0 là mô đ un ch ỉ có m ộ t ph ầ n t ử duy nh ấ t đọ c là “Môđun không”. Ví dụ 1.1.3. (i) M ỗ i ideal trái c ủ a vành A là m ộ t A - mô đ un. Đặ c bi ệ t, m ỗ i ideal c ủ a A là m ộ t A - mô đ un và b ả n thân A c ũ ng là m ộ t A - mô đ un. (ii) K là m ộ t tr ườ ng thì các K - mô đ un chính là các không gian vect ơ trên K . (iii) M ỗ i nhóm aben c ộ ng M đề u đượ c coi là ℤ - mô đ un v ớ i phép toán nhân ngoài đượ c xác đị nh nh ư sau: V ớ i m ỗ i x M ∈ và n ∈ ℤ thì nx x x x = + + + (t ổ ng g ồ m n ph ầ n t ử x ) v ớ i n nguyên d ươ ng, 0 0 ; ( )( ) M x nx n x = = − − n ế u n nguyên âm. Nhận xét 1.1.4. Các ví d ụ v ừ a nêu ch ứ ng t ỏ r ằ ng khái ni ệ m mô đ un là m ộ t khái ni ệ m t ổ ng quát c ủ a các khái ni ệ m: vành, i đ êan, không gian vect ơ và nhóm aben. Ngoài ra, m ỗ i mô đ un t ự nó luôn là m ộ t ℤ - mô đ un. 4 Định lý 1.1.5. V ớ i m ỗ i A - mô đ un M , ta luôn có: (i) 0 0 A M x a = v ớ i m ọ i x M ∈ và a A ∈ (ii) ( ) ( ) a x ax a x − = − = − v ớ i m ọ i x M ∈ và a A ∈ . 1.2. Môđun con Định nghĩa 1.2.1. M ộ t t ậ p h ợ p con r ỗ ng N c ủ a m ộ t A - mô đ un M đượ c g ọ i là m ộ t A - mô đ un con c ủ a M n ế u b ả n thân N cùng v ớ i hai phép toán trong M thu h ẹ p vào N là m ộ t A - mô đ un. Khi N là m ộ t mô đ un con c ủ a mô đ un M thì ta nói r ằ ng M là m ộ t mô đ un m ở r ộ ng c ủ a N . Nhận xét 1.2.2. T ừ đị nh ngh ĩ a ta th ấ y, để ki ể m tra m ộ t t ậ p con N c ủ a m ộ t A - mô đ un M có là m ộ t mô đ un con c ủ a M hay không, ta c ầ n ki ể m tra ba đ i ề u ki ệ n sau: (i) N ≠ ∅ (ii) , x y N x y N ∀ ∈ ⇒ + ∈ ( đ óng kín v ớ i phép c ộ ng) (iii) , x N a A ∀ ∈ ∈ thì ax N ∈ ( đ óng kín v ớ i phép nhân vô h ướ ng). Ví dụ 1.2.3. (i) M ỗ i A - mô đ un M luôn ch ứ a hai mô đ un con t ầ m th ườ ng là: mô đ un con không {0} và b ả n thân . M (ii) Cho A - mô đ un M và a là m ộ t ph ầ n t ử c ủ a . M Khi đ ó t ậ p h ợ p { } Ax ax a A = ∈ là m ộ t mô đ un con c ủ a . M g ọ i là mô đ un con xyclic sinh b ở i x . (iii) M ọ i nhóm con c ủ a m ộ t nhóm Abel đề u là m ộ t ℤ - mô đ un con c ủ a . M (iv) M ọ i i đ êan c ủ a m ộ t vành A có đơ n v ị 1 0 ≠ đề u là m ộ t mô đ un con c ủ a A khi xem A là m ộ t mô đ un con trên chính nó. (v) Cho A là m ộ t vành giao hoán, khi đ ó vành đ a th ứ c [ , ] A x y là m ộ t A - mô đ un nh ậ n [ ] A x là m ộ t A - mô đ un con c ủ a nó. Định lý 1.2.4. M ộ t t ậ p con N c ủ a m ộ t A - mô đ un M là m ộ t A - mô đ un con c ủ a M n ế u và ch ỉ n ế u 0 M N ∈ và ax by N + ∈ v ớ i m ọ i , x y N ∈ và m ọ i , a b A ∈ . 1.3. Giao của một họ các môđun Định lý 1.3.1. Giao c ủ a m ộ t h ọ b ấ t k ỳ nh ữ ng A - mô đ un con c ủ a M là m ộ t A - mô đ un con c ủ a . M Chú ý: H ợ p c ủ a m ộ t h ọ b ấ t k ỳ nh ữ ng A - mô đ un con c ủ a M nhìn chung không ph ả i là m ộ t A - mô đ un con c ủ a . M 1.4. Môđun con sinh bởi một tập Định lý 1.4.1. Cho A - mô đ un M và , . S M S ⊂ ≠ ∅ Xét t ậ p h ợ p: { , 0 x x x x S S a x a A a x ∈ = ∈ = ∑ h ầ u h ế t tr ừ m ộ t s ố h ữ u h ạ n}. 5 Khi đ ó S là m ộ t mô đ un con c ủ a . M Mệnh đề 1.4.2. S là giao c ủ a t ấ t c ả các mô đ un con ch ứ a S c ủ a M . Định nghĩa 1.4.3. Gi ả s ử S là m ộ t t ậ p con c ủ a m ộ t A - mô đ un . M Khi đ ó giao c ủ a t ấ t c ả các mô đ un con ch ứ a S c ủ a M c ũ ng là m ộ t mô đ un con c ủ a M . Mô đ un con này đượ c g ọ i là mô đ un con c ủ a M sinh b ở i S . Kí hi ệ u : . S N ế u mô đ un con sinh b ở i S chính là M thì ta nói S là m ộ t h ệ sinh c ủ a . M H ệ sinh S c ủ a M đượ c g ọ i là m ộ t h ệ sinh c ự c ti ể u n ế u S không ch ứ a th ự c s ự m ộ t h ệ sinh nào khác c ủ a . M N ế u M có m ộ t h ệ sinh h ữ u h ạ n, thì ta nói r ằ ng M là m ộ t mô đ un h ữ u h ạ n sinh. Khi M có m ộ t h ệ sinh ch ỉ g ồ m 1 ph ầ n t ử thì M đượ c g ọ i là m ộ t mô đ un đơ n sinh (mô đ un xyclic) Nhận xét 1.4.4. N ế u S là t ậ p r ỗ ng thì mô đ un con sinh b ở i S = ∅ chính là mô đ un con 0. Cho nên, t ừ nay v ề sau, khi nói đế n mô đ un con sinh b ở i t ậ p S thì ta luôn coi S khác r ỗ ng. Gi ả s ử S là m ộ t t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a m ộ t A - mô đ un . M Khi đ ó m ỗ i t ổ ng 1 n i i i a x = ∑ trong đ ó 1 2 1 2 , , , , , , , n n a a a A x x x S ∈ ∈ đượ c g ọ i là m ộ t t ổ h ợ p tuy ế n tính các ph ầ n t ử c ủ a . S Định lý 1.4.5. Cho S là m ộ t t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a m ộ t A - mô đ un . M Khi đ ó mô đ un con sinh b ở i S chính là mô đ un con nh ỏ nh ấ t ch ứ a S c ủ a M và mô đ un con này c ũ ng là t ậ p t ấ t c ả các t ổ h ợ p tuy ế n tính c ủ a các ph ầ n t ử c ủ a . S Định lý 1.4.6. Cho S là m ộ t t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a m ộ t A - mô đ un , M và I là m ộ t t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a . A Khi đ ó IS là m ộ t mô đ un con c ủ a M n ế u m ộ t trong các đ i ề u ki ệ n sau đ ây đượ c th ỏ a mãn : (i) I là m ộ t ideal trái c ủ a A . (ii) Các ph ầ n t ử c ủ a I là các hoán t ử c ủ a A và S là m ộ t mô đ un con c ủ a . M Hệ quả 1.4.7. Cho S là m ộ t mô đ un con c ủ a A - mô đ un M . Khi đ ó, n ế u A là m ộ t vành giao hoán và I là m ộ t t ậ p khác r ỗ ng c ủ a , A thì IS là m ộ t mô đ un con c ủ a . M 1.5. Tổng của một họ các môđun Cho I là m ộ t t ậ p khác r ỗ ng và { } I N α α ∈ là m ộ t h ọ tùy ý các mô đ un con c ủ a A - mô đ un M . Kí hi ệ u I N α α ∈ ∑ là t ậ p g ồ m t ấ t c ả các t ổ ng h ữ u h ạ n các ph ầ n t ử c ủ a I N α α ∈ ∪ : { , , , , , }. I N x x x N x N I α α δ γ δ δ γ γ δ γ ∈ ∑ = + + ∈ ∈ ∈ T ậ p I N α α ∈ ∑ đượ c g ọ i là t ổ ng c ủ a h ọ { } I N α α ∈ các mô đ un con c ủ a . M Đinh lý 1.5.1. Gi ả s ử { } I N α α ∈ là m ộ t h ọ tùy ý các mô đ un con c ủ a A - mô đ un . M Khi đ ó ta có: (i) I N α α ∈ ∑ là m ộ t A - mô đ un con c ủ a . M (ii) N ế u h ọ { } I N α α ∈ l ồ ng nhau, t ứ c là v ớ i , I α β ∈ b ấ t kì thì N N α β ⊆ ho ặ c N N β α ⊆ thì I N α α ∈ ∪ c ũ ng là m ộ t A - mô đ un con c ủ a . M 6 1.6. Môđun thương Gi ả s ử N là m ộ t mô đ un con c ủ a A - mô đ un . M Khi đ ó nhóm th ươ ng c ộ ng Abel ( / , ) M N + cùng v ớ i phép nhân ngoài cho b ở i ( ) a x N ax N + = + v ớ i m ọ i a A ∈ và m ọ i / x N M N + ∈ l ậ p thành m ộ t A - mô đ un. Định nghĩa 1.6.1. Cho N là m ộ t mô đ un con c ủ a A - mô đ un . M Khi đ ó A - mô đ un / M N xác đị nh nh ư trên đượ c g ọ i là mô đ un th ươ ng c ủ a M theo . N Nhận xét 1.6.2. (i) ax by ax by + = + v ớ i m ọ i , a b A ∈ và m ọ i , x y M ∈ (ii) P là m ộ t mô đ un con c ủ a M ch ứ a N thì A - mô đ un th ươ ng / P N là m ộ t A - mô đ un con c ủ a / . M N Ví dụ 1.6.3. (i) Vành th ươ ng c ủ a m ộ t vành A c ũ ng là m ộ t A - mô đ un th ươ ng c ủ a . A (ii) Tr ườ ng các s ố h ữ u t ỉ ℚ làm m ộ t ℤ - mô đ un và ℤ chính là ℤ - mô đ un con c ủ a . ℚ Ta nh ậ n đượ c ℤ - mô đ un th ươ ng / ℚ ℤ là m ộ t mô đ un ch ỉ bao g ồ m các ph ầ n l ẻ c ủ a các s ố h ữ u t ỷ . 1.7. Môđun con xoắn Định nghĩa 1.7.1. Gi ả s ử A là m ộ t mi ề n nguyên và M là m ộ t A - mô đ un. M ộ t ph ầ n t ử x c ủ a M đượ c g ọ i là ph ầ n t ử xo ắ n n ế u t ồ n t ạ i m ộ t ph ầ n t ử 0 a A ≠ ∈ sao cho 0 ax = . T ậ p các ph ầ n t ử xo ắ n c ủ a M đượ c kí hi ệ u là ( ). M τ Mệnh đề 1.7.2. Gi ả s ử A là m ộ t mi ề n nguyên và M là m ộ t A - mô đ un. Khi đ ó ( ) M τ là m ộ t mô đ un con c ủ a M . Định nghĩa 1.7.3. Gi ả s ử M là m ộ t mô đ un trên mi ề n nguyên A . T ậ p ( ) M τ các ph ầ n t ử xo ắ n c ủ a M đượ c g ọ i là mô đ un con xo ắ n c ủ a . M N ế u ( ) {0 } M M τ = thì M đượ c g ọ i là m ộ t mô đ un không xo ắ n, còn n ế u ( ) M M τ = thì M đượ c g ọ i là mô đ un xo ắ n. 1.8. Cái triệt của môđun Cho m ộ t mô đ un, ta đ ã bi ế t r ằ ng ngoài ph ầ n t ử không trong vành c ơ s ở nhìn chung còn nhi ề u ph ầ n t ử làm tri ệ t tiêu mô đ un đ ã cho. Th ự c t ế nghiên c ứ u cho th ấ y nh ữ ng ph ầ n t ử này không mang l ạ i nhi ề u ứ ng d ụ ng và còn gây c ả n tr ở vi ệ c nghiên c ứ u. Do đ ó ng ườ i ta th ườ ng g ộ p chúng l ạ i thành m ộ t t ậ p riêng bi ệ t để d ễ ki ể m soát. Định nghĩa 1.8.1. Cho M là m ộ t A - mô đ un. Cái tri ệ t c ủ a M đượ c kí hi ệ u là ( ), Ann M là t ậ p t ấ t c ả các ph ầ n t ử a A ∈ sao cho 0 ax = v ớ i m ọ i . x M ∈ Mệnh đề 1.8.2. V ớ i m ỗ i A - mô đ un . M Cái tri ệ t c ủ a M là m ộ t i đ êan c ủ a . A C. TÀI LIỆU HỌC TẬP 7 [3] Nguy ễ n Ti ế n Quang, Nguy ễ n Duy Thu ậ n (2001), C ơ s ở lý thuy ế t mô đ un và vành , NXB Giáo d ụ c. [6] D ươ ng Qu ố c Vi ệ t (2008), C ơ s ở lý thuy ế t mô đ un , NXB Đạ i h ọ c S ư ph ạ m. D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN 1.1. Ch ứ ng minh r ằ ng tiên đề 4 ( ) :1 M x x = trong đị nh ngh ĩ a mô đ un độ c l ậ p v ớ i các tiên đề còn l ạ i. 1.2. T ậ p con I c ủ a m ộ t vành A là m ộ t I đ êan trái c ủ a A khi và ch ỉ khi I là m ộ t A - mô đ un con c ủ a . A 1.3. Cho A - mô đ un M và I là m ộ t I đ êan c ủ a A ch ứ a trong ( ). Ann M Ch ứ ng minh r ằ ng có th ể bi ế n M thành m ộ t / A I - mô đ un sao cho m ộ t t ậ p con c ủ a M là A - mô đ un con c ủ a M n ế u và ch ỉ n ế u nó là m ộ t / A I - mô đ un con c ủ a . M 1.4. Cho A là m ộ t vành giao hoán có đơ n v ị và M là m ộ t A - mô đ un. V ớ i , V W là các A - mô đ un con c ủ a , M còn I là m ộ t I đ êan c ủ a A , ta kí hi ệ u: : { ax } : {x ax } V W a A V x W V I M V a I = ∈ ∈ ∀ ∈ = ∈ ∈ ∀ ∈ Ch ứ ng minh r ằ ng: (i) : V W là m ộ t I đ êan c ủ a A và ( ) 0 : M Ann M M = (ii) : =A V W W V ⇔ ⊆ (iii) : V I là m ộ t mô đ un con c ủ a M ch ứ a V . (iv) : V I V = n ế u I A = (v) : = ( / ) V I M I Ann M V ⇔ ⊆ 1.5. Cho : f A B → là m ộ t đồ ng c ấ u vành có (1 ) 1 A B f = và M là m ộ t B - mô đ un. Ch ứ ng minh r ằ ng quy t ắ c : A M M µ × → xác đị nh b ở i ( ) ( ) , , ax f a x a A x M µ = ∀ ∈ ∈ là m ộ t phép nhân ngoài các ph ầ n t ử c ủ a A v ớ i M và v ớ i phép toán này thì M c ũ ng tr ở thành m ộ t A - mô đ un. 1.6. Ch ứ ng minh lu ậ t modular: N ế u , , U V W là nh ữ ng mô đ un con c ủ a m ộ t A - mô đ un , M v ớ i V W ⊆ , thì ( ) ( ) U V W U W V + ∩ = ∩ + Cho ví d ụ ch ứ ng t ỏ đẳ ng th ứ c ( ) ( ) ( ) U V W U W V W + ∩ = ∩ + ∩ nói chung không đ úng khi b ỏ gi ả thi ế t . V W ⊆ 1.7. Ch ỉ ra m ộ t mô đ un h ữ u h ạ n sinh nh ư ng có mô đ un con không h ữ u h ạ n sinh. 1.8. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u S là m ộ t h ệ sinh c ủ a A - mô đ un M thì s S M As ∈ = ∑ 1.9. Ch ứ ng minh r ằ ng m ộ t mô đ un có th ể không có m ộ t h ệ sinh c ự c ti ể u. 1.10. Tìm m ộ t ví d ụ v ề m ộ t mô đ un có các h ệ sinh c ự c ti ể u không có cùng s ố ph ầ n t ử . 1.11. Ch ứ ng minh r ằ ng t ổ ng c ủ a m ộ t h ọ { ) I N α α ∈ các mô đ un con c ủ a m ộ t mô đ un M chính là mô đ un c ủ a M sinh b ở i t ậ p . I N α α ∈ ∪ 8 1.12. Ch ứ ng minh r ằ ng h ệ sinh c ự c ti ể u c ả m ộ t mô đ un h ữ u h ạ n sinh ch ỉ có h ữ u h ạ n ph ầ n t ử . 1.13. Ch ứ ng minh r ằ ng, n ế u , I J là các i đ êan c ủ a vành , A còn , S U là t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a A - mô đ un M thì ( ) I J S IS JS + = + và ( ) . I S U IS IU ∪ = + 9 CHƯƠNG 2 Đồng cấu môđun S ố ti ế t: 09 ( Lý thuy ế t: 07; bài t ậ p, th ả o lu ậ n: 02) A. MỤC TIÊU - Sinh viên hi ể u đượ c các khái ni ệ m: đồ ng c ấ u mô đ un, nhóm c ộ ng Hom, hàm t ử Hom, các đị nh lí v ề tính ch ấ t c ủ a đồ ng c ấ u mô đ un: tích tr ự c ti ế p, t ổ ng tr ự c ti ế p c ủ a h ọ mô đ un. - Sinh viên bi ế t v ậ n d ụ ng lý thuy ế t vào gi ả i các bài t ậ p c ủ a ch ươ ng. - Qua n ộ i dung c ủ a ch ươ ng sinh viên có đ i ề u ki ệ n đố i chi ế u, so sánh để nh ậ n ra m ố i quan h ệ m ậ t thi ế t gi ữ a đồ ng c ấ u mô đ un và đồ ng c ấ u trên các c ấ u trúc đạ i s ố khác đ ã h ọ c (không gian véct ơ , nhóm, vành, tr ườ ng). T ừ đ ó, m ộ t m ặ t sinh viên có đ i ề u ki ệ n c ủ ng c ố các ki ế n th ứ c đ ã h ọ c, m ặ t khác th ấ y đượ c s ự liên quan, th ố ng nh ấ t, h ệ th ố ng gi ữ a các h ọ c ph ầ n thu ộ c l ĩ nh v ự c đạ i s ố hi ệ n đạ i. B. NỘI DUNG 2.1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản Định nghĩa 2.1.1. M ộ t ánh x ạ f t ừ A - mô đ un M vào A - mô đ un ' M đượ c g ọ i là đồ ng c ấ u A - mô đ un hay ánh x ạ tuy ế n tính n ế u th ỏ a mãn hai tính ch ấ t sau: (i) ( ) ( ) ( ) , f x y f x f y x y M + = + ∀ ∈ (ii) ( ) ( ) , f ax af x a A x M = ∀ ∈ ∀ ∈ N ế u đồ ng c ấ u f là m ộ t đơ n ánh, toàn ánh, song ánh thì nó t ươ ng ứ ng đượ c g ọ i là đơ n c ấ u, toàn c ấ u, đẳ ng c ấ u. N ế u ' ( ) {0 } M f M = thì f đượ c g ọ i là đồ ng c ấ u không và đượ c vi ế t là 0. M ộ t đồ ng c ấ u t ừ M vào M đượ c g ọ i là m ộ t t ự đồ ng c ấ u c ủ a M Hai A - mô đ un M và ' M đượ c g ọ i là hai mô đ un đẳ ng c ấ u , kí hi ệ u là ', M M ≅ n ế u t ồ n t ạ i m ộ t đẳ ng c ấ u A - mô đ un t ừ M đế n '. M Mệnh đề 2.1.2. Ánh x ạ : ' f M M → là m ộ t đồ ng c ấ u các A - mô đ un khi và ch ỉ khi ( ) ( ) ( ) f ax by af x bf y + = + v ớ i m ọ i , a b A ∈ và m ọ i , x y M ∈ Mệnh đề 2.1.3. N ế u các ánh x ạ : ' f M M → và : ' '' g M M → là hai đồ ng c ấ u các A - mô đ un, thì ánh x ạ gf c ũ ng là m ộ t đồ ng c ấ u A - mô đ un t ừ M vào '. M Cho M và N là các A - mô đ un, kí hi ệ u ( , ) A Hom M N là t ậ p t ấ t c ả các A - đồ ng c ấ u t ừ M vào N . N ế u A là m ộ t vành giao hoán thì m ọ i , ( , ) A f g Hom M N ∈ và m ọ i , a b A ∈ , ta xác đị nh af bg + nh ư sau: ( )(x) ( ) ( ) af bg af x bg x + = + v ớ i m ọ i x M ∈ 10 Khi đ ó ( , ) A af bg Hom M N + ∈ và t ậ p ( , ) A Hom M N v ớ i các phép toán xác đị nh nh ư trên tr ở thành m ộ t A - mô đ un, đượ c g ọ i là mô đ un các đồ ng c ấ u t ừ M đế n . N Chú ý r ằ ng, n ế u vành A không giao hoán, ( , ) A Hom M N ch ỉ là m ộ t nhóm aben v ớ i phép c ộ ng đồ ng c ấ u. 2.2. Ví dụ (i) Cho N là m ộ t mô đ un con c ủ a A - mô đ un M , thì ta có mô đ un th ươ ng / . M N Khi đ ó quy t ắ c : / p M M N → cho ( ) p x x = là m ộ t đồ ng c ấ u A - mô đ un. H ơ n n ữ a, p còn là m ộ t toàn c ấ u, đượ c g ọ i là toàn c ấ u chi ế u chính t ắ c và . Ker p N = (ii) V ớ i m ỗ i mô đ un con N c ủ a m ộ t A - mô đ un M , ánh x ạ nhúng: : i N M x x → ֏ là m ộ t đơ n c ấ u, g ọ i là đơ n c ấ u chính t ắ c hay phép nhúng chính t ắ c t ừ N vào . M 2.3. Ảnh và tạo ảnh Định nghĩa 2.3.1. Ánh x ạ : f M N → là m ộ t đồ ng c ấ u các A - mô đ un, x là m ộ t ph ầ n t ử tùy ý c ủ a M , ' M là m ộ t b ộ ph ậ n tùy ý c ủ a M , ' N là m ộ t b ộ ph ậ n tùy ý c ủ a . N Ta g ọ i: - ( ) f x là ả nh c ủ a x b ở i f - ( ') { f M y N = ∈ t ồ n t ạ i ' x M ∈ sao cho ( ) } f x y = là ả nh c ủ a ' M b ở i f - 1 ( ') { ( ) '} f N x M f x N − = ∈ ∈ là t ạ o ả nh toàn ph ầ n c ủ a ' N b ở i f - 1 er { ( ) 0 } (0) N K f x M f x f − = ∈ = = đượ c g ọ i là h ạ t nhân c ủ a . f Đặ c bi ệ t, v ớ i 1 , ({ }) { ' ( ) } y N f y x M f x y − ∈ = ∈ = , để đơ n gi ả n kí hi ệ u ta vi ế t 1 ( ) f y − thay cho 1 ({ }) f y − và g ọ i là t ạ o ả nh toàn ph ầ n c ủ a y b ở i f . M ỗ i ph ầ n t ử 1 ( ) x f y − ∈ g ọ i là m ộ t t ạ o ả nh c ủ a y b ở i f . 2.4. Hợp thành các đồng cấu môđun Định nghĩa 2.4.1. Cho M , ' M , N là nh ữ ng A - mô đ un và : ' f M M → và : ' g M N → là các đồ ng c ấ u mô đ un. Khi đ ó, ánh x ạ : ( ) ( )( ) ( ( )) h g f M N x h x g f x g f x = → = =  ֏  đượ c g ọ i là h ợ p thành c ủ a hai đồ ng c ấ u f và . g Mệnh đề 2.4.2. H ợ p thành c ủ a hai đồ ng c ấ u A - mô đ un là m ộ t đồ ng c ấ u A - mô đ un. 2.5. Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu môđun Định lý 2.5.1. Cho : ' f M M → là m ộ t đồ ng c ấ u các A - mô đ un. Khi đ ó ta có các kh ẳ ng đị nh sau: (i) N ế u ' N là m ộ t mô đ un con c ủ a ' M thì 1 ( ') f N − là m ộ t mô đ un con c ủ a M , tr ườ ng h ợ p riêng, Ker f là m ộ t mô đ un con c ủ a . M [...]... Mệnh đề 4.1 .2 Mọi mô un đơn đều là mô un xyclic 4 .2 Mô un tự do 4 .2. 1 Mô un tự do và hạng của mô un tự do Định nghĩa 4 .2. 1 Cho tập con S của A - mô un M được gọi là một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức a1 x1 + a2 x2 + + an xn = 0 với x1 , x2 , , xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1 = a2 = = an = 0 Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính Nếu mô un M có một hệ sinh. .. A - mô un M là tự do nếu và chỉ nếu tồn tại một tập chỉ số I sao cho M ≅ A( I ) Định lý 4 .2. 5 (Tính phổ dụng của mô un tự do) Giả sử M là một A - mô un tự do với cơ sở là S và N là một A - mô un bất kỳ Khi đó mỗi ánh xạ g : S → N đều mở rộng được thành một đồng cấu duy nhất f : M → N 26 Định lý 4 .2. 6 Mỗi A - mô un đều đẳng cấu với một mô un thương của một A - mô un tự do Hệ quả 4 .2. 7 Một A - mô un... những A - mô un tự do thì M ⊗ N cũng là một A mô un tự do và r ( M ⊗ N ) = r ( M )r ( N ) 3.14 Cho M , N , P là những A - mô un Chứng minh rằng : HomA ( M ⊗ N , P ) ≅ HomA ( M , HomA ( N , P )) 25 CHƯƠNG 4 Một số mô un đặc biệt Số tiết: 06 (Lý thuyết: 05; bài tập, thảo luận: 01) A MỤC TIÊU - Sinh viên biết được một số loại mô un đặc biệt: Mô un xyclic, mô un tự do, mô un phẳng, mô un chia được, mô un nội... số tính chất, mối quan hệ của chúng - Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài tập - Qua nội dung của chương, sinh viên thấy được vai trò của các mô un đặc biệt nói trên thể hiện qua mối quan hệ của chúng với một mô un tổng quát B NỘI DUNG 4.1 Mô un xyclic Định nghĩa 4.1.1 Mô un xyclic là mô un sinh bởi một phần tử Nói cách khác, M là một A - mô un xyclic nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho. .. P, M ) và HomA ( P, M '') trở thành các A - mô un Khi đó g* là một toàn cấu A - mô un Nói cách khác, một A - mô un P là xạ ảnh nếu mọi biểu đồ dạng đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán Mệnh đề 4.5 .2 Mọi A - mô un tự do đều là xạ ảnh Mệnh đề 4.5.3 Mọi A - mô un đều đẳng cấu với một mô un thương của một A - mô un xạ ảnh Định lý 4.5.4 Cho P là một A - mô un Khi đó, các khẳng định sau là tương đương... tử của M đều là phần tử chia được Mệnh đề 4.3 .2. 3 δ ( M ) là một mô un con của M và nó là một mô un chia được Định lý 4.3 .2. 4 A là một A - mô un chia được khi và chỉ khi A là một trường 4.4 Mô un nội xạ Định nghĩa 4.4.1 Một A - mô un I được gọi là nội xạ nếu với mọi đồng cấu θ : M ' → I và mọi đơn cấu µ : M ' → M các A - mô un λ : M → I sao cho λµ = θ Như vậy, A - mô un I là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi... Đinh lý 3.4.8 Cho M và N là những là những A - mô un Giả sử M phân tích được thành tổng trực tiếp M = ⊕i∈I M i Khi đó ta có M ⊗ N ≅ ⊕ ( M i ⊗ N ) và N ⊗ M ≅ ⊕ ( N ⊗ M i ) i∈I i∈I C TÀI LIỆU HỌC TẬP [3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (20 01), Cơ sở lý thuyết mô un và vành, NXB Giáo dục [6] Dương Quốc Việt (20 08), Cơ sở lý thuyết mô un, NXB Đại học Sư phạm [7] Sze – Tsen Hu (1973), Nhập môn đại số... - mô un tự do đều được nhúng vào một ℤ - mô un chia được (v) Mỗi ℤ - mô un đều được nhúng vào một ℤ - mô un chia được 4 .27 Cho I là một A - mô un Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương: (i) I là nội xạ (ii) Mọi dãy khớp ngắn các A - mô un f g 0  I  M  M ''  0 → → → → đều chẻ ra (iii) I đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một A - mô un đối tự do 4 .28 Chứng minh rằng với mỗi A - mô un... đồng cấu các A - mô un Khi đó ta có M / Ker f ≅ Im f và nếu f là toàn cấu thì M / Ker f ≅ N Hệ quả 2. 5.4 (Định lý đẳng cấu Noether thứ nhất) Cho P là một mô un con của N và N là một mô un con của mô un M Khi đó M / N ≅ (M / P) / ( N / P) Hệ quả 2. 5.5 (Định lý đẳng cấu Noether thứ hai) Nếu M và N là hai mô un con của cùng một mô un thì ta có: (M + N ) / N ≅ M / (M ∩ N ) 2. 6 Các định lý về hạt nhân và... ngắn các A -mô un: 0  N  M  P  0 đều chẻ ra → → → → (iii) P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một A - mô un tự do C TÀI LIỆU HỌC TẬP [3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết mô un và vành, NXBGD, 20 01 [6] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết mô un, NXBĐHSP, 20 08 D CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN 29 4.1 Chứng minh rằng nếu Iđêan I của vành A là một A - mô un tự do