ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT MÔ ĐUN 2 TÍN CHỈ (Tài liệu dành cho sinh viên ngành Đại học sư phạm Toán năm thứ 4)

MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu được một số tính chất cơ bản của các khái niệm: môđun, môđun con, môđun thương, môđun sinh bởi một tập, tổng và giao một họ các môđun.. - Qua nội dung của chư

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

LÝ THUYẾT MÔ ĐUN 2 TÍN CHỈ (Tài liệu dành cho sinh viên ngành Đại

học sư phạm Toán năm thứ 4)

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 Môđun trên một vành 3

1.1 Định nghĩa môđun 3

1.2 Mô đun con 4

1.3 Giao của một họ các mô đun 4

1.4 Mô đun con sinh bởi một tập 4

1.5 Tổng của một họ các mô đun 5

1.6 Mô đun thương 6

1.7 Môđun con xoắn 6

CHƯƠNG 2 Đồng cấu môđun 9

2.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản 9

2.2 Ví dụ 10

2.3 Ảnh và tạo ảnh 10

2.4 Hợp thành các đồng cấu môđun 10

2.5 Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu môđun 10

2.6 Các định lý về hạt nhân và đối hạt nhân 11

2.7 Nhóm cộng HomA(M, N) 12

2.8 Hàm tử Hom 12

2.9 Tổng trực tiếp và tích trực tiếp 14

CHƯƠNG 3 Dãy khớp Dãy nửa khớp 19

3.1 Dãy khớp Dãy khớp ngắn 19

3.2 Các định lý 20

3.3 Dãy nửa khớp 20

3.4 Tích tenxơ 21

CHƯƠNG 4 Một số môđun đặc biệt 26

4.1 Mô đun xyclic 26

4.2 Mô đun tự do 26

4.3 Mô đun phẳng Mô đun chia được 27

4.4 Mô đun nội xạ 28

4.5 Mô đun xạ ảnh 29

CHƯƠNG 5 Một số vành số học và ứng dụng 33

5.1 Vành chính 33

5.2 Vành Gauxơ 34

5.3 Vành ơclít 34

5.4 Vành Nother 35

5.5 Vành Actin 36

5.6 Miền Đơđơkin 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

CHƯƠNG 1 Môđun trên một vành

Số tiết: 06 (Lý thuyết: 05; bài tập, thảo luận: 01)

A MỤC TIÊU

- Sinh viên hiểu được một số tính chất cơ bản của các khái niệm: môđun, môđun con, môđun

thương, môđun sinh bởi một tập, tổng và giao một họ các môđun

- Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán được giới thiệu ở cuối chương

- Qua nội dung của chương, sinh viên thấy được môđun là khái niệm khái quát của các cấu trúc: không gian véctơ, vành, iđêan Trên cơ sở đó, sinh viên nhận thức được lý thuyết môđun đóng vai trò quan trọng của đại số hiện đại

B NỘI DUNG

1.1 Định nghĩa môđun

Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1 0 ≠ và M là một nhóm cộng

Abel, cùng với một ánh xạ µ từ A M× vào M tạo nên một phép toán nhân ngoài được xác ,định bởi: a x=µ( , )a x với mọi a A∈ và mọi x M∈ Với phép cộng vốn có trong M và phép nhân ngoài đã được xác định, thì M được gọi là một A - môđun trái nếu các tiên đề sau

Chú ý 1.1.2

(i) Nếu tiên đề (M ) được thay bởi 3 ( )ab x b ax= ( ) thì M được gọi là một A - môđun phải Và thấy ngay, nếu vành A giao hoán thì hai khái niệm môđun trái và môđun phải là như nhau Toàn bộ học phần này, ta chỉ xét các lớp môđun trái và ta sẽ dùng từ “môđun” thay

cho “môđun trái”

(ii) Kí hiệu 0 là môđun chỉ có một phần tử duy nhất đọc là “Môđun không”

Ví dụ 1.1.3

(i) Mỗi ideal trái của vành A là một A - môđun Đặc biệt, mỗi ideal của A là một A - môđun và bản thân A cũng là một A - môđun

(ii) K là một trường thì các K - môđun chính là các không gian vectơ trên K

(iii) Mỗi nhóm aben cộng M đều được coi là ℤ - môđun với phép toán nhân ngoài được xác định như sau: Với mỗi x M∈ và n ∈ ℤ thì nx x x= + + + (tổng gồm n phần tử x

x) với n nguyên dương, 0x=0 ;M nx= −( n)(−x) nếu n nguyên âm

Nhận xét 1.1.4 Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ rằng khái niệm môđun là một khái niệm tổng

quát của các khái niệm: vành, iđêan, không gian vectơ và nhóm aben Ngoài ra, mỗi môđun tự

Định lý 1.1.5 Với mỗi A - môđun M , ta luôn có:

(i) 0 A x a= 0M với mọi x M∈ và a A∈

(ii) (−a x) = −ax a x= (− ) với mọi x M∈ và a A∈

1.2 Môđun con

Định nghĩa 1.2.1 Một tập hợp con rỗng N của một A - môđun M được gọi là một A -

môđun con của M nếu bản thân N cùng với hai phép toán trong M thu hẹp vào N là một

A - môđun Khi N là một môđun con của môđun M thì ta nói rằng M là một môđun mở

rộng của N

Nhận xét 1.2.2 Từ định nghĩa ta thấy, để kiểm tra một tập con N của một A - môđun M có

là một môđun con của M hay không, ta cần kiểm tra ba điều kiện sau:

là một môđun con của M gọi là môđun con xyclic sinh bởi x

(iii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel đều là một ℤ- môđun con của M

(iv) Mọi iđêan của một vành A có đơn vị 1 0≠ đều là một môđun con của A khi xem A là một môđun con trên chính nó

(v) Cho A là một vành giao hoán, khi đó vành đa thức [ , ] A x y là một A- môđun nhận [ ]A x là một A - môđun con của nó

Định lý 1.2.4 Một tập con N của một A - môđun M là một A - môđun con của M nếu và

chỉ nếu 0 M∈N và ax by N+ ∈ với mọi , x y N∈ và mọi , a b A∈

1.3 Giao của một họ các môđun

Định lý 1.3.1 Giao của một họ bất kỳ những A - môđun con của M là một A - môđun con

của M

Chú ý: Hợp của một họ bất kỳ những A - môđun con của M nhìn chung không phải là một

A- môđun con của M

1.4 Môđun con sinh bởi một tập

Khi đó S là một môđun con của M .

Mệnh đề 1.4.2 S là giao của tất cả các môđun con chứa S của M

Định nghĩa 1.4.3 Giả sử S là một tập con của một A - môđun M Khi đó giao của tất cả các

môđun con chứa S của M cũng là một môđun con của M Môđun con này được gọi là

môđun con của M sinh bởi S Kí hiệu : S

Nếu môđun con sinh bởi S chính là M thì ta nói S là một hệ sinh của M Hệ sinh

S của M được gọi là một hệ sinh cực tiểu nếu S không chứa thực sự một hệ sinh nào khác

của M

Nếu M có một hệ sinh hữu hạn, thì ta nói rằng M là một môđun hữu hạn sinh Khi

M có một hệ sinh chỉ gồm 1 phần tử thì M được gọi là một môđun đơn sinh (môđun xyclic)

Nhận xét 1.4.4 Nếu S là tập rỗng thì môđun con sinh bởi S = ∅ chính là môđun con 0 Cho

nên, từ nay về sau, khi nói đến môđun con sinh bởi tập S thì ta luôn coi S khác rỗng

Giả sử S là một tập con khác rỗng của một A - môđun M Khi đó mỗi tổng

1

n

i i i

Định lý 1.4.5 Cho S là một tập con khác rỗng của một A - môđun M Khi đó môđun con

sinh bởi S chính là môđun con nhỏ nhất chứa S của M và môđun con này cũng là tập tất

cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S

Định lý 1.4.6 Cho S là một tập con khác rỗng của một A - môđun M và , I là một tập con khác rỗng của A Khi đó IS là một môđun con của M nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn :

(i) I là một ideal trái của A

(ii) Các phần tử của I là các hoán tử của A và S là một môđun con của M

Hệ quả 1.4.7 Cho S là một môđun con của A - môđun M Khi đó, nếu A là một vành giao

hoán và I là một tập khác rỗng của , A thì IS là một môđun con của M

Tập ∑α∈I Nα được gọi là tổng của họ { Nα α} ∈I các môđun con của M

Đinh lý 1.5.1 Giả sử { Nα α} ∈I là một họ tùy ý các môđun con của A - môđun M Khi đó ta

có:

(i) ∑α∈I Nα là một A - môđun con của M

(ii) Nếu họ { N } lồng nhau, tức là với ,α β∈ bất kì thì N I ⊆N hoặc N ⊆N

với mọi a A∈ và mọi x N M N+ ∈ / lập thành một A - môđun

Định nghĩa 1.6.1 Cho N là một môđun con của A - môđun M Khi đó A - môđun M N /

xác định như trên được gọi là môđun thương của M theo N

Nhận xét 1.6.2

(i) ax by ax by+ = + với mọi ,a b A∈ và mọi ,x y M∈

(ii) P là một môđun con của M chứa N thì A - môđun thương P N/ là một A -

môđun con của M N /

Ví dụ 1.6.3

(i) Vành thương của một vành A cũng là một A - môđun thương của A

(ii) Trường các số hữu tỉ ℚ làm một ℤ - môđun và ℤ chính là ℤ - môđun con của ℚ

Ta nhận được ℤ - môđun thương /ℚ ℤ là một môđun chỉ bao gồm các phần lẻ của các số hữu

tỷ

1.7 Môđun con xoắn

Định nghĩa 1.7.1 Giả sử A là một miền nguyên và M là một A - môđun Một phần tử x

của M được gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại một phần tử 0 a A≠ ∈ sao cho ax = Tập các 0

phần tử xoắn của M được kí hiệu là ( ).τ M

Mệnh đề 1.7.2 Giả sử A là một miền nguyên và M là một A - môđun Khi đó ( )τ M là một môđun con của M

Định nghĩa 1.7.3 Giả sử M là một môđun trên miền nguyên A Tập ( )τ M các phần tử

xoắn của M được gọi là môđun con xoắn của M Nếu ( ) {0 } τ M = M thì M được gọi là một

môđun không xoắn, còn nếu ( )τ M =M thì M được gọi là môđun xoắn

1.8 Cái triệt của môđun

Cho một môđun, ta đã biết rằng ngoài phần tử không trong vành cơ sở nhìn chung còn nhiều phần tử làm triệt tiêu mô đun đã cho Thực tế nghiên cứu cho thấy những phần tử này không mang lại nhiều ứng dụng và còn gây cản trở việc nghiên cứu Do đó người ta thường gộp chúng lại thành một tập riêng biệt để dễ kiểm soát

Định nghĩa 1.8.1 Cho M là một A - môđun Cái triệt của M được kí hiệu là Ann M( ), là

tập tất cả các phần tử a A∈ sao cho ax = với mọi 0 x M∈

Mệnh đề 1.8.2 Với mỗi A - môđun M Cái triệt của M là một iđêan của A

C TÀI LIỆU HỌC TẬP

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và vành, NXB

Giáo dục

[6] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, NXB Đại học Sư phạm

D CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

1.1 Chứng minh rằng tiên đề (M4) :1x x= trong định nghĩa môđun độc lập với các tiên đề còn lại

1.2. Tập con I của một vành A là một Iđêan trái của A khi và chỉ khi I là một A - môđun

con của A

1.3. Cho A - môđun M và I là một Iđêan của A chứa trong Ann M Chứng minh rằng có ( )

thể biến M thành một / A I - môđun sao cho một tập con của M là A - môđun con của

M nếu và chỉ nếu nó là một /A I - môđun con của M

1.4. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và M là một A - môđun Với , V W là các A -

môđun con của M còn I là một Iđêan của A , ta kí hiệu: ,

1.7 Chỉ ra một môđun hữu hạn sinh nhưng có môđun con không hữu hạn sinh

1.8. Chứng minh rằng nếu S là một hệ sinh của A - môđun M thì

s S

∈

=∑

1.9 Chứng minh rằng một môđun có thể không có một hệ sinh cực tiểu

1.10 Tìm một ví dụ về một môđun có các hệ sinh cực tiểu không có cùng số phần tử

1.11 Chứng minh rằng tổng của một họ { )Nα α∈I các môđun con của một môđun M chính là

1.12 Chứng minh rằng hệ sinh cực tiểu cả một môđun hữu hạn sinh chỉ có hữu hạn phần tử 1.13 Chứng minh rằng, nếu ,I J là các iđêan của vành A còn , S U là tập con khác rỗng của ,

A - môđun M thì (I J S+ ) =IS JS+ và (I S U∪ )=IS IU+

CHƯƠNG 2 Đồng cấu môđun

Số tiết: 09 ( Lý thuyết: 07; bài tập, thảo luận: 02)

A MỤC TIÊU

- Sinh viên hiểu được các khái niệm: đồng cấu môđun, nhóm cộng Hom, hàm tử Hom, các

định lí về tính chất của đồng cấu môđun: tích trực tiếp, tổng trực tiếp của họ môđun

- Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài tập của chương

- Qua nội dung của chương sinh viên có điều kiện đối chiếu, so sánh để nhận ra mối quan hệ mật thiết giữa đồng cấu môđun và đồng cấu trên các cấu trúc đại số khác đã học (không gian véctơ, nhóm, vành, trường) Từ đó, một mặt sinh viên có điều kiện củng cố các kiến thức đã học, mặt khác thấy được sự liên quan, thống nhất, hệ thống giữa các học phần thuộc lĩnh vực đại số hiện đại

B NỘI DUNG

2.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản

Định nghĩa 2.1.1 Một ánh xạ f từ A - môđun M vào A - môđun M được gọi là đồng cấu '

A - môđun hay ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất sau:

(i) (f x y+ )= f x( )+ f y( ) ∀x y M, ∈

(ii) ( )f ax =af x( ) ∀ ∈a A x M,∀ ∈

Nếu đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng được gọi là đơn

cấu, toàn cấu, đẳng cấu Nếu f M =( ) {0 }M' thì f được gọi là đồng cấu không và được viết

là 0

Một đồng cấu từ M vào M được gọi là một tự đồng cấu của M

Hai A - môđun M và M' được gọi là hai môđun đẳng cấu , kí hiệu là M ≅M', nếu

tồn tại một đẳng cấu A - môđun từ M đến M'

Mệnh đề 2.1.2 Ánh xạ : f M →M' là một đồng cấu các A - môđun khi và chỉ khi

( ) ( ) ( )

f ax by+ =af x +bf y

với mọi , a b A∈ và mọi , x y M∈

Mệnh đề 2.1.3 Nếu các ánh xạ f M: →M' và g M: '→M'' là hai đồng cấu các A - môđun, thì ánh xạ gf cũng là một đồng cấu A - môđun từ M vào M '

Cho M và N là các A - môđun, kí hiệu Hom M N là tập tất cả các A - đồng cấu A( , )

từ M vào N Nếu A là một vành giao hoán thì mọi , f g Hom M N∈ A( , ) và mọi , a b A ∈ , ta

xác định af bg+ như sau:

(af +bg)(x)=af x( )+bg x( )

với mọi x M∈

Khi đó af +bg Hom M N∈ A( , ) và tập Hom M N với các phép toán xác định như trên trở A( , )

thành một A - môđun, được gọi là môđun các đồng cấu từ M đến N Chú ý rằng, nếu vành

A không giao hoán, Hom M N chỉ là một nhóm aben với phép cộng đồng cấu A( , )

2.2 Ví dụ

(i) Cho N là một môđun con của A - môđun M , thì ta có môđun thương M N Khi /

đó quy tắc :p M →M N/ cho ( )p x = là một đồng cấu A - môđun Hơn nữa, p còn là x

một toàn cấu, được gọi là toàn cấu chiếu chính tắc và Ker p N=

(ii) Với mỗi môđun con N của một A - môđun M , ánh xạ nhúng:

Định nghĩa 2.3.1 Ánh xạ :f M →N là một đồng cấu các A - môđun, x là một phần tử tùy

ý của M , M' là một bộ phận tùy ý của M , ' N là một bộ phận tùy ý của N Ta gọi:

- ( )f x là ảnh của x bởi f

- f M( ') {= y N∈ tồn tại x M∈ ' sao cho ( )f x =y} là ảnh của M bởi f '

- f− 1( ') {N = x M f x∈ ( )∈N'} là tạo ảnh toàn phần của ' N bởi f

- K fer {x M f x( ) 0 }N f− 1(0)

= ∈ = = được gọi là hạt nhân của f

Đặc biệt, với y N f∈ , − 1({ }) {y = x M f x∈ ' ( )= y}, để đơn giản kí hiệu ta viết f− 1( )y

thay cho f− 1({ })y và gọi là tạo ảnh toàn phần của y bởi f Mỗi phần tử x∈ f− 1( )y gọi là

một tạo ảnh của y bởi f

được gọi là hợp thành của hai đồng cấu f và g

Mệnh đề 2.4.2 Hợp thành của hai đồng cấu A - môđun là một đồng cấu A - môđun

2.5 Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu môđun

Định lý 2.5.1 Cho f M: →M' là một đồng cấu các A - môđun Khi đó ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu ' N là một môđun con của M thì ' f− 1( ')N là một môđun con của M , trường hợp riêng, Ker f là một môđun con của M

(ii) Nếu N là một môđun con của M thì ( ) f N là một môđun con của M trường ',

hợp riêng, Im f là một môđun con của M '

(iii) f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker f = 0

Định lý 2.5.2 (Định lý đồng cấu môđun) Cho : f M →N là một đồng cấu các A - môđun

và p M: →M K/ er f là toàn cấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất một đơn cấu:

sao cho biểu đồ sau giao hoán

Hệ quả 2.5.3 Cho f M: →N là một đồng cấu các A - môđun Khi đó ta có

M K f ≅ f và nếu f là toàn cấu thì M K/ er f ≅ N

Hệ quả 2.5.4 (Định lý đẳng cấu Noether thứ nhất) Cho P là một môđun con của N và N

là một môđun con của môđun M Khi đó

2.6 Các định lý về hạt nhân và đối hạt nhân

Định nghĩa 2.6.1 Giả sử : Mϕ →N là đồng cấu A -môđun Khi đó:

Co ϕ=N ϕ là đối hạt nhân của ϕ

/ er

Coimϕ= A K ϕ là đối ảnh của ϕ

Như vậy, Cokerϕ ≅Imϕ

Định lý 2.6.2 (Định lý về tính phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân)

(i) Trong biểu đồ các đồng cấu A - môđun

Nếu ϕψ = thì tồn tại duy nhất đồng cấu 0 ψ' :P→Kerϕ sao cho iψ'=ψ với i là phép nhúng chính tắc

(ii) Trong biểu đồ các đồng cấu A - môđun

Nếu ρϕ= thì tồn tại duy nhất đồng cấu ' :0 ρ Cokerϕ→C sao cho ρ' p=ρ với p là phép chiếu chính tắc

2.7 Nhóm cộng Hom A (M, N)

Giả sử M N là những A -môđun tùy ý trên vành có đơn vị , A Gọi Hom M N là A( , )

tập hợp tất cả các đồng cấu A -môđun từ M vào N Rõ ràng, Hom M N A( , ) là một tập con của nhóm aben Hom M N ( , )

Mệnh đề 2.7.1 Hom M N là một nhóm con của nhóm aben A( , ) Hom M N ( , )

Như vậy, Hom M N A( , ) lập thành một nhóm aben với phép cộng các đồng cấu

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị, ta định nghĩa phép nhân vô hướng như sau: Với a A∈ và f∈Hom M N A( , ), ta định nghĩa một hàm:

Định lý 2.7.3 Nếu A là một vành giao hoán có đơn vị thì tập hợp Hom M N lập thành A( , )

một A -môđun với phép cộng và phép nhân vô hướng các hàm

2.8 Hàm tử Hom

Để đơn giản, từ nay nếu không sợ nhầm lẫn, ta sẽ kí hiệu Hom M N A( , ) là ( , )

Hom M N

Mệnh đề 2.8.1 Cho X là một A - môđun bất kì Khi đó Hom A X( , )≃ X

Chú ý 2.8.2 Giả sử :f M →M', g N: →N' là các đồng cấu túy ý cho trước của các A -

Rõ ràng, h là một đồng cấu môđun và kí hiệu h là Hom f g( , ).

Mệnh đề 2.8.3

(i) Hom Id( M,Id N) :Hom M N( , )→Hom M N( , ) chính là ánh xạ đồng nhất của

( , )

Hom M N , nghĩa là Hom Id( M,Id N)=Id Hom M N( , )

(ii) Cho : f M'→M, f ' :M''→M', g N: →N', g N' : '→N'' là những đồng cấu môđun Khi đó : Hom f( f g g', ' )=Hom f g( ', ') Hom f g( , )

Hệ quả 2.8.4 Nếu : f M'→M, g N: →N' là những đẳng cấu môđun thì Hom f g cũng ( , )

là một dãy khớp chẻ ra thì dãy

0→Hom C M( , )→g Hom B M( , )→f Hom A M( , )→0

cũng là một dãy khớp chẻ ra với mọi R - môđun M

Định lý 2.8.10 Cho R - môđun M và một dãy khớp gồm những R - môđun và những R -

đồng cấu:

0→A→B→C Khi đó, dãy:

0→Hom M A( , )f→Hom M B( , )→g Hom M C( , )

với f*=Hom Id( M, )f và g*=Hom Id( M, )g cũng là một dãy khớp

2.9.1 Xây dựng tổng trực tiếp và tích trực tiếp

Cho I là một tập khác rỗng Giả sử ( Mα α) ∈I là một họ các A -môđun được chỉ số hóa bởi I Kí hiệu M I Mα

α ∈

=∏ là tích đềcác của họ (Mα α) ∈I Khi đó ta có thể xây dựng phép

cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M như sau:

Định nghĩa 2.9.1 A -môđun M được xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của họ các

A-môđun (Mα α) ∈I Nếu Mα =N ∀ ∈ thì ta kí hiệu α I I Mα

α ∈

∏ bởi N I Bây giờ trong M I Mα

⊕ là một A -môđun con của M

Định nghĩa 2.9.2 A -môđun ⊕α∈I Mα được gọi là tổng trực tiếp của họ các A -môđun con

(Mα α) ∈I Nếu Mα =N ∀ ∈ thì ta kí hiệu α I ⊕α∈I Mα bởi N( )I

Nhận xét 2.9.3 Nếu họ các A -môđun ( Mα α) ∈I chỉ gồm một số hữu hạn các môđun thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nó là trùng nhau

2.9.2 Tính phổ dụng của tích và tổng trực tiếp

Định lý 2.9.4 (Định lý về tính phổ dụng của tích trực tiếp) Cho N là một họ A -môđun

cùng một họ các đồng cấu qβ :N→Mβ với mọi β∈ Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu I

Định lý 2.9.5 (Định lý về tính phổ dụng của tổng trực tiếp) Cho N là một họ A -môđun

cùng một họ các đồng cấu sβ :Mβ →N với mọi β∈ Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu I

Định nghĩa 2.9.6 Cho {Nα α} ∈I là một họ tùy ý các môđun con của một A - môđun M Khi .

∑ được gọi là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con đã cho, kí

hiệu là ⊕α∈I Nα. Một môđun con N của M được gọi là một hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại một môđun con F của M để M =N⊕F

Định lý 2.9.7 Giả sử { Nα α}∈I là một họ tùy ý các môđun con của một A - môđun M và

I

α ∈

=∑ Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) N là tổng trực tiếp trong của họ { Nα α} ∈I

(ii) Mỗi phần tử x của N đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng

trong đó xα∈Nα bằng 0 hầu hết với các α∈ , chỉ xảy ra khi I xα =0 ∀ ∈ α I

Định lý 2.9.8 Nếu họ các môđun { Nα α}∈I của một A - môđun M có tổng trực tiếp trong thì tổng trực tiếp trong của nó đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoài

Định lý 2.9.9 Cho A - môđun M và N là một môđun con của nó Khi đó nếu N là một

hạng tử trực tiếp của M thì M ≅N⊕(M N/ )

C TÀI LIỆU HỌC TẬP

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và vành, NXB

Giáo dục

[6] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, NXB Đại học Sư phạm

D CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

2.1 Cho , WV là các không gian vecto con của cùng một không gain vectơ Chứng minh rằng:

dim (V+W) dim= V +dim W - dim(V∩W)

2.2 Giả sử N và F là các môđun con của M và M =N F+ Chứng minh rằng thu hẹp các đồng cấu chiếu chính tắc p F:F →M N/ là một đẳng cấu khi và chỉ khi F∩N là môđun không

2.3 Giả sử M M1, 2, N là các môđun con của A - môđun M với M1⊆M2 Chứng minh rằng:

2.4 Cho :f M →N là một đồng cấu A - môđun và M là một 1 A - môđun con của M thỏa

mãn M1⊆Ker f Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu f M M: / 1→N sao cho

là một đơn cấu A - môđun Hơn nữa, nếu f là một toàn cấu thì f là một đẳng cấu

2.6 Cho A là một vành giao hoán và một A - môđun M khi đó với mỗi a A, ∈ ta có một ánh xạ nhân λa:M →M cho bởi ( )λa x =ax với mọi x M∈ Chứng minh rằng:

(i) λa là một tự đồng cấu của M với mọi a A∈

(ii) Nếu a là phần tử khả nghịch thì λa là một tự đồng cấu

(iii) λa là một đơn cấu khi và chỉ khi 0 :M aA =0 M

(iv) λab=λ λa b vàλa b+ =λa+λb

2.7 Cho A là một vành giao hoán, M N, là những A - môđun Chứng minh rằng quy tắc xác định af bg+ với mọi ,a b A∈ và mọi f g Hom M N, ∈ A( , ) sẽ cho ta phép cộng trong ( , )

A

Hom M N và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của Hom M N A( , ), làm cho Hom M N A( , ) trở thành một A - môđun Tiếp tục chứng minh rằng, / A AnnM đẳng cấu

A- môđun với một môđun con của Hom M N A( , )

2.8 Cho A là một vành giao hoán Giả sử

2.9 Cho A là một vành giao hoán và M là một A - môđun Chứng minh rằng:

A

2.10 Cho một tập khác rỗng I và một họ các A - môđun ( Mα α) ∈I Chứng minh rằng tồn tại

duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một A - môđun M cùng với một họ các đồng cấu

(qβ :N →Mβ β) ∈I đều tồn tại duy nhất một đồng cấu :q N→M sao cho p q qβ = β với mọi

I

β∈

2.11 Cho tập khác rỗng I , và một họ các A - môđun ( Mα α) ∈I Chứng minh rằng tồn tại duy

nhất (sai khác một đẳng cấu) một A - môđun M , cùng với một họ các đồng cấu

(γβ :Mβ →M)β∈I sao cho , với mỗi A - môđun N cùng một họ các đồng cấu

( :sβ Mβ →N)β∈I đều tồn tại duy nhất một đồng cấu :s M →N sao cho sγβ =sβ với mọi

khi và chỉ khi p v qà nguyên tố cùng nhau

2.13 Chứng minh rằng ℤ không phải là một hạng tử trực tiếp của ℤ - môđun ℚ

2.14 Chứng minh rằng một không gian con của một không gian vectơ V đều là một hạng tử

(iii) Với mỗi số nguyên dương n > , ℤ - môđun 1 ℤn là không phân tích được nếu và

chỉ nếu n là lũy thừa của một số nguyên tố

2.16 Cho (Nα α) ∈I là một họ khác rỗng tùy ý các A - môđun Đặt

∈

CHƯƠNG 3 Dãy khớp Dãy nửa khớp

Số tiết: 06 (Lý thuyết: 05; bài tập, thảo luận: 01)

A MỤC TIÊU

- Sinh viên hiểu được các khái niệm: dãy khớp, dãy nửa khớp, tích Tenxơ và một số tính chất

cơ bản của chúng

- Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài tập

- Qua nội dung của chương, sinh viên bước đầu thấy được vai trò của dãy khớp và dãy nửa khớp trong nghiên cứu về cấu trúc môđun

được gọi là chẻ ra tại M nếu Im f =K ger là một hạng tử trực tiếp của M Nếu một dãy

khớp chẻ ra tại mọi môđun không ở hai đầu của dãy thì ta nói rằng dãy khớp đó chẻ ra

Ví dụ 3.1.3

(i) Với N là một A - môđun con của M thì ta luôn có một khớp ngắn :

0→Ni→M p→M N/ → 0

trong đó i là ánh xạ nhúng, còn p là phép chiếu chính tắc Nói riêng, với mỗi số nguyên

dương ,n ta có dãy khớp sau :

Nhận xét 3.1.4

(i) 0→Nf→M g→P→ là một dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn 0

cấu, g là toàn cấu và Im f =K ger

(ii) Mỗi dãy khớp ngắn đều có thể coi có dạng:

0→M i→X p→X M/ →0,