GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tài liệu dành cho sinh viên ngành địa chất, tài nguyên môi trường )

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN §1. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC 1. Hệ quy chiếu quán tính Các định luật cơ học của Niutơn được kiểm nghiệm đúng đắn trong hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu trong đó các định luật Niutơn được nghiệm đúng gọi là hệ quy chiếu quán tính. Ngược lại, gọi là hệ quy chiếu không quán tính. Các chuyển động cơ học xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính là tuyệt đối. Còn xẩy ra trong hệ quy chiếu không quán tính là tương đối. Trong cơ học thiên thể thường người ta lấy hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gốc tâm mặt trời, ba trục đi qua ba ngôi sao cố định. Trong thực tế tính toán với mức độ chính xác nhất định, các chuyển động xảy ra gần mặt đất, ta cũng có thể chọn gần đúng hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gắn chặt với quả đất. 2. Định luật 1 Newton (Định luật quán tính) Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Tức là nếu thì . Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi là chuyển động theo quán tính của nó. 3 Định luật 2 Newton (Định luật cơ bản của Động lực học) Dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướng với hướng của lực và có độ lớn tỷ lệ với độ lớn của lực Tức là: (11) và F = ma (12) Trong đó m là khối lượng của chất điểm (m > 0) Hệ thức (11) còn gọi là phương trình cơ bản của động lực học. Trong cơ học cổ điển (cơ học của Niutơn), người ta coi khối lượng là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc chuyển động. Khối lượng là độ đo mức quán tính của chất điểm. Mọi vật ở trong tường trọng lực (với độ cao không lớn lắm) đều rơi với gia tốc và chịu tác dụng của trọng lực . Theo các hệ thức (11), (12) ta suy ra: và .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC ĐẠI CƯƠNG ĐẶNG TRẦN CHIẾN NGUYỄN SỸ HẢI CƠ HỌC LÝ THUYẾT Tài liệu dành cho sinh viên ngành địa chất, tài nguyên môi trường LƯU HÀNH NỘI BỘ HÀ NỘI 2016 Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN §1 HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC Hệ quy chiếu quán tính Các định luật học Niutơn kiểm nghiệm đắn hệ quy chiếu qn tính Hệ quy chiếu định luật Niutơn nghiệm gọi hệ quy chiếu qn tính Ngược lại, gọi hệ quy chiếu khơng quán tính Các chuyển động học xảy hệ quy chiếu qn tính tuyệt đối Cịn xẩy hệ quy chiếu khơng qn tính tương đối Trong học thiên thể thường người ta lấy hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu gốc tâm mặt trời, ba trục qua ba cố định Trong thực tế tính tốn với mức độ xác định, chuyển động xảy gần mặt đất, ta chọn gần hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu gắn chặt với đất Định luật Newton (Định luật qn tính) Chất điểm khơng chịu tác dụng lực đứng yên chuyển r r uuuuur động thẳng Tức F = v = cos nt Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng chất điểm gọi chuyển động theo qn tính Định luật Newton (Định luật Động lực học) Dưới tác dụng lực chất điểm chuyển động với gia tốc hướng với hướng lực có độ lớn tỷ lệ với độ lớn lực Tức là: r r (1-1) F = ma F = ma (1-2) Trong m khối lượng chất điểm (m > 0) Hệ thức (1-1) cịn gọi phương trình động lực học Trong học cổ điển (cơ học Niutơn), người ta coi khối lượng đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc chuyển động Khối lượng độ đo mức quán tính chất điểm Mọi vật tường trọng lực (với độ cao không lớn lắm) rơi với r u r gia tốc g chịu tác dụng trọng lực P Theo hệ thức (1-1), (1-2) ta u r r suy ra: P = mg P = mg Định luật độc lập tác dụng lực Dưới tác dụng đồng thời số lực, chất điểm có gia tốc tổng hình học gia tốc mà chất điểm có lực tác dụng riêng biệt Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng lực r r r r F1 ,F2 , ,Fn Gọi a gia tốc chất điểm chịu tác dụng đồng thời r r r r r r lực đó, a1 ,a , ,a n gia tốc lực F1 ,F2 , ,Fn tác dụng riêng rẽ Theo tiên đề thứ ba ta có: r r r r (1-3) a = a1 + a + + a n Nếu nhân hai vế với khối lượng m chất điểm ý tới tiên đề thứ hai ta có: r r r r ma = ma + ma + + ma n hoặc: r n r ma = ∑ FK (1-4) K =1 Hệ thức (1-4) phương trình động lực học chất điểm tác dụng hệ lực Định luật Newton (Định luật tác dụng phản tác dụng) Những lực tác dụng tương hỗ hai chất điểm lực đường tác dụng, trái chiều có cường độ r Nếu chất điểm A tác dụng lên chất điểm B lực FB , chất điểm B r tác dụng lên chất điểm A lực FA ta có: r r FA = - FB r FA r FB A ã Hỡnh 1-1 B ã Đ2 HỆ ĐƠN VỊ CƠ HỌC Theo bảng đơn vị SI, đại lượng học là: độ dài, khối lượng thời gian Lực đại lượng dẫn xuất Các đơn vị tương ứng là: mét ký hiệu m; kilôgam ký hiệu kg, giây ký hiệu s Từ suy cho đơn vị lực từ phương trình dẫn xuất F = ma Với m = 1kg, a = m/s2, F = kg.1m/s2 hay F = mkg/s2 Người ta gọi đơn vị lực Niutơn, ký hiệu N và: 1N = mkg/s2 Vậy, Niutơn lực gây cho vật có khối lượng kilơgam gia tốc mét giây bình phương Thứ nguyên đại lượng ký hiệu: [Độ dài] = L, [Khối lượng] = M, [Thời gian] = T Thứ nguyên đại lượng học khác dẫn xuất từ ba thứ nguyên đại lượng Ví dụ: [Lực] = [Khối lượng][Gia tốc] = M L T2 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM Xét chuyển động chất điểm tự do, khối lượng m, hệ quy r r r r chiếu quán tính Oxyz, tác dụng lực F1 , F2 , , Fn , nhận gia tốc a r Lực tác dụng lên chất điểm nói chung phụ thuộc vào vị trí ( r ), vận r tốc ( v ) thời gian chuyển động (t) Tức là: r r rr F = F(r, v, t) Dưới ta lập phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ khác Dạng véc tơ Như biết động học, phương trình chuyển động chất r r điểm r = r(t) gia tốc là: r r d2 r r a = =& r& dt Theo phương trình động lực học ta có: r r F = ma K ∑ K r& m& r= Vậy suy r ∑F K K (2-1) Phương trình (2-1) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véctơ Dạng tọa độ Đề Chiếu phương trình (15-1) lên trục tọa độ Đề Ox, Oy, Oz ta được: x&= m& ∑X y&= m& ∑Y z&= m& ∑Z K K K K (2-2) K K Trong x, y, z tọa độ chất điểm hệ Oxyz Còn: X K, YK, ZK r thành phần lực FK trục tọa độ Ox, Oy, Oz Hệ (2-2) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ Đề Dạng tọa độ tự nhiên Chiếu phương trình (2-1) lên hệ trục tọa độ tự nhiên ta được: maτ = ∑F man = ∑F mab = ∑F K K K Kτ Kn Kb Theo kết biết động học: s&2 aτ = & s&, an = , ab ≡ O ρ Vì phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ tự nhiên là: &= ∑ FKτ ms& K s& = ∑ FKn ρ K O = ∑ FKb m (2-3) K Hệ (2-3) áp dụng thuận lợi biết trước quỹ đạo tuyệt đối chất điểm Dạng tọa độ cực Khi giải toán chuyển động chất điểm mặt phẳng ta dùng tọa độ cực Nếu chiếu phương trình (1-4) lên trục hướng theo r r bán kính véc tơ r trục vng góc với véc tơ r phía tăng góc ϕ ta được: r& m(r& − r&ϕ& ) = ∑ FKr K (2-4) m d (r ϕ&) = ∑ FKϕ r dt K Hệ phương trình (2-4) phương trình vi phân chuyển động chất điểm tọa độ cực Áp dụng phương trình vi phân chuyển động chất điểm ta giải hai tốn động lực học chất điểm §2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Bài toán thứ (Bài toán thuận) Phát biểu Cho biết chuyển động chất điểm khối lượng Hãy xác định lực tác dụng lên chất điểm Cách giải: Bài tốn giải dễ dàng cách đạo hàm phương trình chuyển động với số lần cần thiết, sau nhân với khối lượng chất điểm, ta tìm lực tác dụng lên chất điểm sở phương trình (2-1); (2-2); (2-3) (2-4) giới thiệu Ví dụ 2-1 Chất điểm có khối lượng m, chuyển động mặt phẳng Oxy với phương trình chuyển động là: x = acoskt, y = bsinkt Trong a, b, k số, k biến số thời gian Tìm lực tác dụng lên chất điểm đó? (Hình 2-1) Bài giải: Theo ta thấy phương trình quỹ đạo chất điểm là: y M • y r F r O r x x Hình 2-2 x y2 + =1 a b2 Đó E-líp, có bán trục tương ứng a, b Áp dụng phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ Đề ta có: & &= ∑ X K ,my & &= ∑ YK mx K K Trong đó: x = acoskt & x&= -k 2a cos kt = - k x y&= −k bsinkt = −k y y = bsinkt & Vậy: m& x&= -mk2acoskt = -mk2x = ∑ X K K y&= -mk2bsinkt = -mk2y = m& ∑Y K K r Khi lực tác dụng lên chất điểm ( F ) là: 2 F =  ∑ X K ÷ +  ∑ YK ÷ = mk x + y = mk r  K  K  r Trong r bán kính véc tơ mô tả chuyển động chất điểm Cô sin r phương lực F là: r x cos F, x = − F r y cos F, y = − F r r Suy lực F hướng ngược chiều với bán kính véc tơ r Vậy: r r F = -mk r Ví dụ 2.2: Chất điểm có khối lượng m chuyển động từ trạng thái đứng n theo vịng trịn bán kính R, với gia tốc tiếp tuyến a τ = const = a Xác định độ lớn lực ( ) ( ) tác dụng lên chất điểm thời điểm quãng S = R ? Bài giải: Áp dụng phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ tự nhiên: ma τ = ∑ FKτ K ma n = ∑ FKn K Trong đó: aτ = a = const Từ xác định được: ∑ FKτ = ma K Để xác định ∑F K Kn , ta xác định an Vì chuyển động từ trạng thái đứng yên aτ = a = const, nên suy ra: at V = at, S = Do ta có: v ma t FKn = m = ∑ K ρ R Khi chất điểm quãng đường S = R , thì: t2 = 2R a Từ đó:  ma 2 2R      F =  ∑ FKτ ÷ +  ∑ FKn ÷ = (ma) +  ÷ =  K   K  R a   2 = (ma ) 1 + (2 2)  = 3ma Bài toán thứ hai (Bài toán ngược) Phát biểu: Cho biết lực tác dụng lên chất điểm, biết khối lượng điều kiện ban đầu Hãy xác định chuyển động chất điểm Cách giải: Từ việc phát biểu tốn ta suy rằng: Muốn tìm chuyển động cụ thể chất điểm ta phải giải hệ phương trình vi phân chuyển động Đó hệ phương trình vi phân cấp II, ứng với điều kiện ban đầu cụ thể Vì việc giải tốn cịn gặp khó khăn tích phân phương trình vi phân cấp hai tổng quát Tuy nhiên số trường hợp đơn giản ta giải tốn dễ dàng Bây giờ, giả sử xét chuyển động chất điểm tọa độ Đề Phương trình vi phân chuyển động là: & &= ∑ X K (t, x, y,z, x, & y,z) && mx & &= ∑ YK (t, x, y,z, x, & y,z) && my &= ∑ ZK (t, x, y,z, x, & y,z) && mz& Đây hệ ba phương trình vi phân cấp II Nghiệm phụ thuộc vào sáu số tích phân: c1, c2, c3, c4, c5, c6 Tức là: x = x(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6) y = y(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6) z = z(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6) Các số tích phân xác định nhờ điều kiện đầu chuyển động Chẳng hạn cho biết: Tại t = vị trí chất điểm là: x t =0 = x , y t =0 = y , z t =0 = z vận tốc chất điểm là: x&t =0 = x&0 , y&t =0 = y&0 ,z&t =0 = z&0 Do ta có: x0 = x(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6) y0 = y(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6) z0 = z(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6) x&0 = x&(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6) y&0 = y&(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6) z&0 = z&(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6) Hệ thống phương trình cho ta giải sáu số tích phân c 1, c2, c3, c4, c5, c6 phụ thuộc vào điều kiện ban đầu: x 0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 Thay giá trị số tích phân vào nghiệm tổng quát phương trình vi phân ta tìm phương trình chuyển động chất điểm dạng: x = x(t, x0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 ) y = y(t, x0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 ) z = z(t, x0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 ) Chú ý rằng: Những điều kiện ban đầu tốn phải cho cho đảm bảo tính tồn nghiệm phương trình vi phân Trong số tốn điều kiện ban đầu cho chưa cụ thể ta cần chọn hệ tọa độ, gốc tọa độ cụ thể cho việc tính tốn đơn giản Ví dụ 2-3: Một chất điểm có khối lượng m, chuyển động mặt phẳng tác r r r r dụng lực F hút vào tâm O cố định theo luật F = - k2m r , r véc tơ định vị chất điểm k hệ số tỷ lệ Tìm phương trình chuyển động quỹ đạo biết thời điểm ban đầu (t = 0) x = l, y0 = 0, x&0 = 0, y&0 = V0 Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ có gốc tâm O cố định Theo ra: r r F= - k m r Nên phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véc tơ: r r& m& r = - k2 m r y ur M V0 y r • F r x O r M0 Hình 2-3 x k= 2c , 3m1 + m + 2m phương trình vi phân dao động có dạng & x&+ k x = , với chu kỳ T= 2π 3m1 + m + 2m = 2π k 2c Chú thích Đối với tốn hệ bậc tự do, nói chung, người ta giải dễ dàng đơn giản định lý tổng quát động lực học, mà khơng cần sử dụng phương trình Lagrăng Phương trình Lagrăng áp dụng có hiệu cho hệ có nhiều bậc tự §6 NGUN LÝ HAMILTƠN Ta khảo sát hệ hơlơnơm có N chất điểm với s bậc tự Vị trí hệ phù hợp với liên kết đặt lên xác định s tọa độ suy rộng qk(t, α) (k = 1, 2,… s) t biến số α thông số thực Khi quay α α + δα hàm qk(t, α) thay đổi dạng chuyển từ hàm qk(t, α) thành hàm qk(t, α + δα) Đại lượng ∂q δq k = q k (t, α + δα) − q k (t, α) = k δα ∂α gọi biến phân hàm qk Chú ý khái niệm biến phân δqk khác với khái niệm vi phân Trong khái niệm biến phân δqk, có hai hàm qk(t, α + δα) qk(t, α) lấy giá trị biến số t, khái niệm vi phân, có hàm lấy hai giá trị khác biến số t: dq dq k = q k (t + dt, α) − q k (t, α) = k dt = q&k dt dt uu r uu r Tương tự, biến phân δr i (hay gọi di chuyển ảo δr1 uu r uu r uu r S S  uu r ∂r i uu r uuur ∂r i ∂q k ∂r i  δr i = δα = ∑ δα = ∑  δ q khác với vi phân dr i = v i dt ÷ k ∂α k =1 ∂q ∂α k =1 ∂q k  k Giả sử ứng với giá trị α = hàm qk(t, 0) = qk(t) (k = 1, 2,… s) diễn tả chuyển động thực hệ khoảng thời gian từ t đến t2 Khi chuyển động phù hợp với liên kết đặt lên hệ gần với chuyển 125 động thực khoảng thời gian từ t1 đến t2 diễn tả hàm qk(t, α) (k = 1, 2… s) với α số thực có trị nhỏ Ta hạn chế khảo sát trường hợp chuyển động chuyển động thực hệ có chung điểm đầu qk(t1) chung điểm cuối qk(t2) (k = 1, 2… s) Hình 7.23 biểu diễn phụ thuộc qk vào thời gian t Đường liền nét ứng với α = diễn tả chuyển động thực hệ gọi đường cong thực, đường đứt nét ứng với trị khác α nhỏ khác không diễn tả chuyển động hệ gần với chuyển động thực gọi đường cong lệch Tại thời điểm t1 t2 hàm qk trùng ta có: δq k (t1 ) = 0, δq k (t ) = (7.56) Bây ta trình bày ngun lý Hamiltơn mơ tả chuyển động hôlônôm khoảng thời gian từ t1 đến t2 Mỗi hệ hôlônôm đặt trưng hàm L có dạng: L = L(q1 ,q , q s ,q&1 ,q&2 , q&s , t) ≡ L(q k ,q&k , t) gọi hàm Lagrănggiơ Hàm xác định đặc tính vật lý hệ hôlônôm Lượng vô hướng Ldt gọi tác dụng nguyên tố theo Hamiltơn tích phân: t2 S = ∫ L(q k ,q&k , t) (7.57) t1 gọi tác dụng theo Hamiltơn khoảng thời gian từ t1 đến t2 Đặt qk = qk(t, α) q&k = q&k (t, α) vào (7.57) ta có tác dụng S hàm biến α: S(α) = ∫ L [ q k (t, α),q&k (t, α), t ] dt Hình 7-72 126 (7.58) Biến phân tác dụng S là: t t ∂S  ∂L  δS = δα = ∫  δα ÷dt = ∫ δLdt (7.59) ∂α  t  ∂α t Trên sở khảo sát biến phân này, Hamiltơn tìm nguyên lý gọi nguyên lý Hamiltơn hay nguyên lý biến phân Hamiltơn có nội dung sau: Chuyển động thực hệ từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 xảy cho tác dụng S có giá trị cực trị (chính xác có giá trị dừng), tức 2 1  ∂S   ÷ = hay  ∂α α=0 δS = (7.60) Trong vật lý, người ta thừa nhận nguyên lý biến thiên Hamiltơn tiên đề tổng quát Từ nguyên lý ta rút phương trình Lagrănggiơ loại II Muốn thế, trước tiên ta tính biến phân δS  s  ∂L ∂q k ∂L ∂q&k   δS = ∫ δLdt = ∫ ∑  δα + δα  dt = ∂q&k ∂α   t t  k =1  ∂q k ∂α t  s  ∂L  ∂L = ∫ ∑  δq k + δq&k   dt ∂q&k t  k =1  ∂q k  Chú ý rằng: d δq k (t1 ) = , δq k (t ) = , δq k = δq&k , dt  d  ∂L  ∂L ∂L d d  ∂L δq&k = (δq k ) =  δq k ÷−  ÷δq k & ∂q&k ∂q&k dt dt  ∂q&k dt ∂ q   k t2 t2 1 t t ∂L ∂L d  ∂L  & δ q dt = δ q − | k k ∫t ∂q& ∫t dt  ∂q& ÷.δq k dt = ∂q&k t  k k t2 2 1 t2 = −∫ t1 d  ∂L   ÷δq k dt dt  ∂q&k  ta  s  ∂L d ∂L   δS = ∫ ∑  − δ q (7.61) ÷ k  dt dt ∂q&k  t  k =1  ∂q k  Vì biến phân δqk độc lập tùy ý từ điều kiện δS = ta rút hệ s phương trình Lagrănggiơ: ∂L d ∂L − = , (k = 1, 2… s) (7.62) ∂q k dt ∂q&k t2 127 Do ∂L (q k ,q&k , t) hàm qk, q&k t từ (7.62) suy ∂q&k phương trình Lagrănggiơ phương trình vi phân hạng hai Điều phù hợp với thực nghiệm Đó lý trước xây dựng nguyên lý Hamiltơn giả thiết hàm L phụ thuộc vào qk, q&k t §7 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTƠN Ta biết phương trình chuyển động Lagrănggiơ phương trình vi phân hạng hai Hàm Lagrănggiơ L hàm q k, q&k t Giải hệ s o o phương trình Lagrănggiơ với điều kiện đầu q k q&k ta hoàn toàn xác định qk(t) q&k (t) thời điểm Trạng thái học hệ xác định qk q&k (k = 1, 2…s) Việc mô tả trạng thái hệ cách cho qk q&k cách Trong nhiều trường hợp, nghiên cứu vấn đề khác học, ta xác định trạng thái hệ s tọa độ suy rộng q1, q2,… qs s xung lượng suy rộng pk: ∂L ∂T pk = = p (7-63) ∂q&k ∂q&k (k = 1, 2… s) Chuyển từ tập hợp biến số độc lập q k, q&k sang tập hợp biến số độc lập khác q k, pk dùng để mô tả trạng thái hệ cần phải thực phép biến đổi sau Vi phân toàn phần hàm Lagrănggiơ cho ta: s   ∂L ∂L ∂L dL = ∑  dq k + dq&k  + dt (7.64) & k =1  ∂q ∂ q ∂ t  k k Lưu ý ∂L = pk , ∂q&k ∂L d  ∂L  =  ÷ = q&k ∂q k dt  ∂q&k  ta được: s dL = ∑ { q&k dq k + p k dq&k } + k =1 s ∂L dt = ∂t = ∑ { q&k dq k + d(p k q&k ) − q&k dp k } + k =1 128 ∂L dt ∂t hay s dH = ∑ { q&k dp k − p&k dp k } − k =1 ∂L dt , ∂t (7.65) s H = H(q k ,p k , t) = ∑ p k q&k − L k =1 (7.66) hàm qk, pk, t gọi hàm Hamiltơn Trong biểu thức hàm Hamiltơn H, vận tốc suy rộng q&k biểu diễn qua qk, pk t nhờ hệ thức (7.63) Biểu thức vi phân toàn phần hàm Hamiltơn viết dạng: s   ∂H ∂H ∂H dH = ∑  dp k + dq k  + dt (7.67) ∂q k k =1  ∂p k  ∂t Từ (7.3) (7.5) dễ dàng thấy rằng: ∂H ∂H q&k = , p&k = − ∂p k ∂q k (7.68) (k = 1, 2,… s) dH ∂H ∂L = =− (7.69) dt ∂t ∂t Các phương trình vi phân hạng (7.66) gọi phương trình Hamiltơn Đó hệ 2s phương trình chuyển động biến số q k pk Giải hệ 2s phương trình vi phân hạng này, ta tìm q k = q k (t, α1 , α α 2s ), (7.70)  p k = p k (t1 , α1 , α , α 2s ); (k = 1,2 s) α1, α2,… α2s tích phân chuyển động xác o o định từ điều kiện ban đầu q k ,p k (k = 1, 2… s) Chú ý phương trình Hamiltơn suy từ nguyên lý biến phân δS = Thật vậy, tác dụng S biểu diễn dạng: t2 t2 t1 t1 k =1 s S = ∫ Ldt = ∫ ∑ { δp k dq k + p k d(δq k ) − − ∂H ∂H δq k dt − ∂p k dt = ∂q k ∂p k 129 s t2 t2  t1 t1  k =1  s  ∑ p δq | + ∫ ∑ δq k =1 k k  ∂H  dq − dt ÷− k k ∂p k    ∂H   −δq k  dp k + dt ÷ = ∂q k     s    ∂H  ∂H    & = ∫ ∑ δp k  q&k − − ∂ q p + ÷ ÷ dt = (7.71) k k ∂ p ∂ q t  k =1        k k  Từ (7.71) lưu ý đến tính chất độc lập biến phân δqk δpk, ta tìm phương trình (7.66) Như vậy, mơ tả định luật chuyển động hệ ta dùng s phương trình Lagrănggiơ hay 2s phương trình Hamiltơn Nếu định luật chuyển động hệ mô tả phương trình Lagrănggiơ trạng thái hệ xác định q k q&k Những biến số qk, q&k t gọi biến số Lagrănggiơ Nếu định luật chuyển động hệ mơ tả phương trình Hamiltơn trạng thái hệ xác định qk pk Những biến số qk, pk t gọi biến Hamiltơn Giải hệ 2s phương trình Hamiltơn dẫn đến cần nghiên cứu dạng hàm Hamiltơn Ta tìm hệ thức hàm Hamiltơn với động hệ Chú ý T = T0 + T1 + T2 (xem phương trình Lagrănggiơ loại 2) ta có: s s s ∂T ∂T ∂T H=∑ q&k − L = ∑ q&k + ∑ q&k − L &k &k &k k =1 ∂q k =1 ∂q k =1 ∂q (7.72) = T1 + 2T2 − L = T1 + 2T2 − (T0 + T1 + T2 − U) t2 = T2 − T0 + U Đặc biệt, liên kết đặt lên hệ liên kết dừng uu r ∂r i = (i = 1, 2… N) ta có T = 0, T1 = T2 = T Trong trường hợp ∂t này, hàm Hamiltơn trùng với hệ: r (p ) r r r H = T + U = ∑ i + U(r1 , r2 rN ) (7.73) 2m i Từ (7.7) suy liên kết đặt lên hệ dừng ∂H ∂L dH =− = = hay H = const Ta dẫn vài ví dụ việc ∂t ∂t dt thành lập phương trình Hamiltơn 130 Ví dụ 7.1 Một chất điểm có khối lượng m, diện tích e chuyển động r ur r ur tác dụng lực điện từ F = e(E + [v ∧ B]) Tìm hàm Hamiltơn chất điểm Hàm Lagrănggiơ L xung lượng suy rộng P chất điểm có dạng r ∂L r ur mv r ur u P = = mv + eA L= − eϕ + evA ; r ∂v Hàm Hamiltơn chất điểm bằng: u r ur 2 P − eA ∂L mv H=v r −L= + eϕ = + eϕ ∂v 2m Ví dụ 7.2 Một chất điểm có khối lượng m chuyển động tác dụng lực F = -kx, k số Tìm định luật chuyển động chất điểm Động chất điểm: mx T= Thế chất điểm: Chọn tọa độ suy rộng ϕ Động chất điểm: mv ml 2ϕ&2 T= = 2 Thế chất điểm: U = mgh = mg(l - lcosϕ), Hàm Lagrănggiơ L xung lượng suy rộng Pϕ có dạng: ml 2ϕ&2 L=T−U= − mg(l − lcos ϕ) , ∂L pϕ = = ml 2ϕ& ∂ϕ& ( Hàm Hamiltơn H chất điểm: p ϕ2 ∂L H = ϕ& − L = T + U = + mg(l − lcos ϕ) ∂ϕ& 2ml Những phương trình Hamiltơn: ∂H pϕ ϕ&= = , ∂pϕ ml ∂H = − mglsin ϕ ∂ϕ Từ hai phương trình suy ra: q&ϕ = − 131 ) g & &+ sin ϕ = ϕ l Nếu góc ϕ bé sinϕ ≈ ϕ, ta có: & &+ ω2ϕ = hay ϕ = ϕocos(ωt + α), ϕ  2π  g ω =  ÷ = , ϕo α số xác định từ điều l  T  kiện ban đầu Qua ví dụ ta thấy giải toán học cụ thể dùng hệ phương trình Hamiltơn hồn tồn khơng có ưu điểm khác so với việc dùng hệ phương trình Lagrănggiơ Cả hai phương pháp dẫn đến phải giải phương trình vi phân hạng hai Ưu điểm bật phương pháp dùng hệ phương trình Hamiltơn vị trí lý thuyết nó, phương pháp Hamiltơn làm sở cho việc xây dựng học thuyết đại vật lý học §8 MĨC PỐT XƠNG (POISSON) Những đại lượng vật lý coi hàm tọa độ suy rộng q k, vận tốc suy rộng q&k thời gian t Nếu dùng biến số tọa độ suy rộng q k, xung lượng suy rộng pk thời gian t thay đổi theo thời gian đại lượng f(qk, pk, t) xác định đạo hàm: s   df ∂f ∂f ∂f = + ∑ q&k + q&k ÷ dt ∂t k =1  ∂q k ∂p k  (7.74) s  ∂f ∂f ∂H ∂f ∂H  = + ∑ − ÷ ∂t k =1  ∂q k ∂p k ∂p k ∂q k  Đưa vào ký hiệu: s  ∂f ∂g ∂f ∂g  f ,g = − { } ∑ (7.75) ÷ ∂p k ∂q k  k =1  ∂q k ∂p k gọi móc Pốt xơng Khi phương trình (7.1) viết lại sau: df ∂f = + { f ,H} (7.76) dt ∂t Nếu đại lượng f không phụ thuộc tường minh vào thời gian t, nghĩa ∂f = 0, ta được: ∂t 132 df = { f ,H} (7.77) dt Đại lượng f không phụ thuộc tường minh vào thời gian t bảo quản {f, H} = Trong trường hợp tổng quát, df ∂f = + { f ,H} = (7.78) dt ∂t đại lượng f bảo toàn Gọi f(qk, pk, t) tích phân chuyển động phương trình Hamiltơn: q&k = ∂H ∂H , q&k = − (k = 1, 2… s) có hệ chuyển động ∂p k ∂q k hàm f(qk, pk, t) có giá trị khơng đổi, nghĩa thỏa mãn phương trình (7.78) hay f(qk, pk, t) = α = const Rõ ràng f1, f2,… fn tích phân chuyển động hàm tùy ý tích phân chuyển động F(f 1, f2…fn) tích phân chuyển động Vì say ta cần ý tích phân chuyển động độc lập Nếu biết 2s tích phân chuyển động độc lập: fk(t, qi, pi) = αk(k = 1, 2,… 2s) giải 2s phương trình tương đối q i pi ta nhận phương trình chuyển động hệ: qi = qi(t, α1, α2,… α2s), pi = pi(t, α1, α2,… α2s) (i = 1, 2…s) Thành thử biết 2s tích phân chuyển động độc lập ta biết đầy đủ quy luật chuyển động hệ Nếu biết m tích phân chuyển động (m < 2s) ta biết phần quy luật chuyển động hệ Nếu số m lớn hiểu biết ta quy luật chuyển động hệ nhiều Vì ta ln ln trọng tìm số tích phân chuyển động độc lập lớn Sau ta thấy rõ, biết hai tích phân chuyển động độc lập ta tìm tích phân chuyển động nhờ tính chất móc Pốtxơng Để thực mục đích ta nêu tính chất móc Pốtxơng sau đây: Nếu hốn vị f cho g móc Pốtxơng đổi dấu: {f, g} = -{g, f} (7.79) 133 Nếu hai đại lượng số, chẳng hạn g = const, móc Pốtxơng khơng: {f, const} = (7.80) Nếu có đại lượng f = f1 + f2 thì: {f, g} = {(f1 + f2), g} = {f1, g} + {f2, g}.(7.81) Nếu f = f1f2 {f, g} = {f1f2, g} = f1{f2, g} + f2{f1, g} Đạo hàm riêng phần móc Pốtxơng bằng: ∂ ∂f ∂g { f ,g} =  ,g  + f ,  (7.82) ∂t  ∂t   ∂t  Móc Pốtxơng thỏa mãn đồng thức sau đây, gọi đồng thức Jacôbi: {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = (7.83) Các tính chất móc Pốtxơng từ (7.79) đến (7.82) rút cách trực tiếp sở định nghĩa móc Pốtxơng Tuy nhiên, đồng thức (7.83) việc tính trực tiếp phức tạp, để giảm nhẹ phần khó khăn này, ta ý khai triển vế trái đồng thức (7.83) số hạng tích hai đạo hàm hạng với đạo hàm hạng hai Nếu ta chứng minh vế trái đồng thức (7.83) không chứa đạo hàm hạng hai điều có nghĩa số hạng chứa đạo hàm hạng hai vế trái đồng thức (7.83) khử lẫn vế trái đồng thức (7.83) đồng không Vậy để chứng minh đồng thức (7.83) ta cần chứng minh vế trái (7.83) không chứa đạo hàm hạng hai hàm f, g h Bây ta chứng minh vế trái (7.83) không chứa đạo hàm hạng hai hàm f(pk, qk, t) Móc Pốtxơng {g, h} chứa tích đạo hàm hạng hàm g h Móc Pốtxơng {f, {g, h}} khơng chứa đạo hàm hạng hai hàm f Mỗi số hạng khai triển {f, {g, h}} tích hai đạo hàm hạng với đạo hàm hạng hai hàm g hàm h Như đạo hàm hạng hai hàm f nằm móc {g, {h, f}} {h, {f, g}} Ta cần chứng minh tổng móc Pốtxơng {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = {g, {h, f}} - {h, {g, f}} không chứa đạo hàm hạng hai hàm f đủ Để tiện việc trình bày ta đặt qk = xk, pk = xs+k (k = 1, 2…s} Khi 2s biến số q1, q2… qs, p1, p2… ps thay 2s biến số x i (I = 1, 2,… 2s) móc Pốtxơng {g, f} viết dạng: 134 s  ∂g ∂f ∂g ∂f  2s ∂f g,f = − , { } ∑ ÷= ∑ Gi k =1  ∂q ∂p ∂ p ∂ q i = ∂ x k k k k  i ∂g ∂g G i = G i (x1 , x x 2s ) = − =− ≤ i ≤ s ∂x s+i ∂pi G i = G i (x1 , x x 2s ) = ∂g ∂g = s + ≤ i ≤ 2s ∂x i −s ∂pi −s (7.84) (7.85) Thay hàm g hàm h vào (7.84) (7.85) Gi → Hi ta có: 2s ∂f { h,f } = ∑ Hi , (7.86) i =1 ∂x i Hi hàm xi (i = 1, 2,…, 2s) Đặt A = {h, f}, B = {g, f} ta có: 2s 2s ∂f ∂f A = { h,f } = ∑ H i B = Gi ∑ , i =1 ∂x i i =1 ∂x i {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = {g, A} - {h, B} = 2s ∂A 2s ∂B = ∑Gj − ∑Hj = j=1 ∂x j i =1 ∂x i   ∂f   ∂f   ∂  Hi ∂  ÷  Gi ÷ 2s ∂x i  ∂x i      = ∑ G j − Hj = i, j=1 ∂ x ∂ x j j      ∂ 2f ∂H ∂f ∂H ∂f  + Gj i − Hj i ∑ ( G jH i − H jG i )  i, j=1  ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x  j i j i j i  ∂ 2f ∂ 2f = Chú ý thay số tổng I cho j tổng ∂x i ∂x j ∂x j∂x i 2s ∑ G jH i i, j ∂ 2f chuyển thành tổng ∂x j∂x i 2s ∑ G jH i i, j=1 ∑ GiH j j,i ∂ 2f Vậy ta có: ∂x j∂x i 2s ∂ 2f ∂ 2f = ∑ GiH j ∂x j∂x i i, j=1 ∂x j∂x i Từ suy ra: 2s {g, {h, f}} + {h, {f, g}} =  ∑ G i, j=1  j ∂H i ∂H  ∂f − Hj i  ∂x j ∂x j  ∂x i 135 (7.87) Hệ thức (7.87) tổng móc Pốtxơng {g, {h, f}} + {h, {f, g}} khơng chứa đạo hàm hạng hai hàm f Đó điều cần chứng minh Vì hàm f, g h đưa vào vế trái đồng thức (7.83) đối xứng nên cách lập luận tương tự trên, dễ dàng thấy vế trái đồng thức (7.83) không chứa đạo hàm hạng hai hàm g h Vậy vế trái đồng thức (7.83) không chứa đạo hàm hạng hai hàm f, g h đồng thức (7.83) chứng minh Một tính chất quan trọng móc Pốtxơng f g hai tích phân chuyển động móc Pốtxơng {f, g} tích phân chuyển động Ta chứng minh tính chất Đặt ϕ = {f, g}, ta có: dϕ ∂ϕ = + { ϕ,H} dt ∂t hay ∂ { f ,g} d + { { f ,g} ,H} { f ,g} = dt ∂t (7.88)  ∂f   ∂g  =  ,g  + f ,  − { H,{ f ,g} }  ∂t   ∂t  Dùng đồng thức (7.83), ta thu được: - {H, {f, g}} = {f, {g, H}} + {g, {H, f}} = {f, {g, H}} - {{H, f}, g} (7.89) = {f, {g, H}} + {{f, H}, g} Đặt biểu thức {H, {f, g}} từ (7.89) vào (7.88) cho ta: d ∂f { f ,g} =  ,g  + { { f ,H} ,g} + dt  ∂t   ∂g  + f ,  + { f ,{ g,H} } (7.90)  ∂t   df   dg  =  ,g  + f ,   dt   dt  df dg d = 0, = { f ,g} = nghĩa {f, g} Từ ta thấy dt dt dt tích phân chuyển động Như vậy, biết hai tích phân chuyển động độc lập f g ta tìm tích phân chuyển động thứ ba {f, g} Nhờ tính chất ta tìm số tích phân chuyển động lớn Tuy nhiên, 136 nhiều trường hợp xây dựng đại lượng bảo tồn theo cách vừa trình bày dẫn đến kết tầm thường Bây ta xét vài ví dụ móc Pốtxơng Ví dụ 7.1 Tính móc Pốtxơphương trình: {qi, qk}, {pi, pk} {qi, pk} Theo định nghĩa: s  s  ∂q ∂q ∂q ∂q  ∂p ∂p ∂p ∂p  { q i ,q k } = ∑  i k − i k ÷; { pi ,pk } = ∑  i k − i k ÷ l =1  ∂q ∂p ∂pl ∂q l  l =1  ∂p ∂p ∂pl ∂pl  l l l l  ∂q i ∂q k ∂q i ∂p k  − ÷ ∂pl ∂q l  l =1  ∂q l ∂p l Vì qi pi biến độc lập nên ta có: ∂pi ∂q i ∂pi = δil , = δil , =0, ∂pl ∂q l ∂q l s { q ,p } = ∑  i k ∂q i =0, ∂pl δil = I = l δil = i ≠ Vậy {qi, qk} = 0, {pi, pk} = 0, {qi, pk} = δik Ví dụ 7.2 Tính {Lz, x} {Lz, x} = {(xpy - ypx), x} = {xpy, x} - {ypx, x} = x{py, x} + py{x, x} - y{px, x} - px{y, x} = = y{x, px} = y Tính tương tự, ta có: {Lz, y} = -x,{Lz, z} = Ví dụ 7.3 Tính {px, py}, {px, Ly}, {Lx, Ly} Từ định nghĩa dễ thấy rằng: {px, py} = ∂L ∂L { p x ,L y } = − ∂∂pp x ∂∂Lx = p z ; { L x ,L y } = ∂∂Lzx ∂p y − ∂∂Lp x ∂zy = xp y − yp x = Lz x z z Hốn vị vịng quanh chữ x, y, z ta nhận được: {px, py} = 0, {py, pz} = 0, {pz, px} = {px, Ly} = pz, {py, Lz}px, {pz, Lx} = py {Lx, Ly} = Lz, {Ly, Lz} = Lx, {Lz, Lx} = Ly Nếu px = const, Ly = const {px, Ly} = const, nghĩa px, Ly đại lượng bảo tồn pz đại lượng bảo toàn Tương tự, L x = const, Ly = const {Lx, Ly} = Lz = const 137 TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 11 12 13 14 15 16 X.M.Targ Giáo trình gian yếu học lý thuyết NXB ĐHTHCN, 1979 Đỗ Sanh Cơ học, tập Động lực học, NXB Giáo dục, 1999 Nguyễn Hoàng Phương Cơ học Nhà xuất ĐH THCN, 1977 Nguyễn Khắc Nhạp, Nguyễn Hữu Mình Giáo trình học lý thuyết - Trường ĐHSP Hà Nội 1, 1978 Nguyễn Trọng Chuyên - Nguyễn Văn Đạo - Ngô Văn Thảo - Nguyễn Thế Tiến Cơ học lý thuyết - Nhà xuất ĐH THCN, 1969 Chu Tạo Đoan Cơ học lý thuyết, tập –Nhà xuất giao thông vận tải, 2007 Nguyễn Hữu Mình Cơ học lý thuyết, Nhà Xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 1998 H B Бутенин Я Jl Лунц Д P Меркин Kypc теоретической механики том 2."Наука" Москва 1979 A А Яблонскии Курс теоретической механики, частъ 7, "Вышая школа", 1971 И В Мешерский Сборник задач по теоретической механике "Наука" Москва 1975 К С Колесникова Сборник задач по теоретической механике "Наука" Москва 1983 L.D Landau - E.M Lifshits Mekhanika - Fizmatgiz, 1973 M.I Olkhovski Kurs teoreticheskoi mekhaniki dlia fizikov - Fizmatgiz, 1970 O.B Golubeva Teoreticheskaia mekhanika - Fizmatgiz, (sách dịch : Galubeva - Cơ học lý thuyết - Nhà XBGD, 1973) A.C Kompaneets Teoreticheskaia fizika - Gostekhizdat, 1957 G Gomdstein Klassicheskaia mekhanika, - Fizmatgiz, 1975 138 MỤC LỤC Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN §1 HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC .1 §2 HỆ ĐƠN VỊ CƠ HỌC Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM .4 §2 HAI BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ 14 Chương HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG .15 §1 KHỐI TÂM CỦA HỆ 15 §2 MƠ MEN QN TÍNH .17 Chương CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ .25 §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ 25 §2 ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ 26 Chương CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 31 §1 ĐỊNH LÝ ĐỘNG LƯỢNG 31 §2 ĐỊNH LÝ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG 39 §3 ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG .50 §3 TRƯỜNG LỰC - THẾ NĂNG - ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 65 Chương NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN CÓ THỂ 69 §1 LIÊN KẾT VÀ PHÂN LOẠI CÁC LIÊN KẾT 69 §2 DI CHUYỂN CÓ THỂ CỦA CƠ HỆ SỐ BẬC TỰ DO CỦA CƠ HỆ 72 §3 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN CÓ THỂ CỦA HỆ 78 Chương NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE-LAGRĂNG 87 §1 NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE-LAGRĂNG 87 §2 TỌA ĐỘ SUY RỘNG VÀ VẬN TỐC SUY RỘNG 94 §3 LỰC SUY RỘNG 98 §4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ TRONG TỌA ĐỘ SUY RỘNG 107 §5 PHƯƠNG TRÌNH LAGRĂNG LOẠI 112 §6 NGUYÊN LÝ HAMILTƠN 125 §7 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTƠN 128 §8 MĨC PỐT XÔNG (POISSON) 132 139 ... z ) K K K  x ∑ K  2 (3. 5) J y = ∑ m K (z K + x K ) K  J z = ∑ m K (x K2 + y K2 )  K 17 Và mơ men qn tính tâm O (gốc tọa đ? ?) là: J o = ∑ m K (x K2 + y K2 + z K2 ) (3. 6) K Từ (3. 5) (3. 6). .. = V0 cos αi + V0 sin α j Thay vào phương trình ( 3) ta suy ra:  x = (V0 cos ? ?). t  ( 4)  gt  y = (V0 sin α)t − Khử t hệ phương trình ( 4) ta phương trình quỹ đạo: g y = xtgα − x2 2 2V0 cos α... yKcosβ + zKcosγ ( 4) Thay ( 3) vào ( 4) vào ( 2) ta có: h 2K = x 2K + y 2K + z 2K − (x K cos α + y K cos β + z K cos γ ) = x 2K (1 − cos ? ?) + y 2K (1 − cos ? ?) + z 2K (1 − cos γ ) − 2x K y K cos α