4.2.1. Môđun tự do và hạng của môđun tự do
Định nghĩa 4.2.1. Cho tập con Scủa A- môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính
nếu từ mỗi đẳng thức
1 1 2 2 ... n n 0
a x +a x + +a x =
với x x1, ,...,2 xn∈S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1=a2=...=an=0.
Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu môđun M có một hệ sinh độc lập tuyến tính thì nó được gọi là một môđun tự do và tập S được gọi là một cơ sở
của M.
Định lý 4.2.2. Nếu M là một môđun tự do trên vành giao hoán A thì hai cơ sở bất kỳ của M có cùng lực lượng.
Định nghĩa 4.2.3. Cho M là một môđun tự do trên một vành giao hoán A. Khi đó lực lượng của một cơ sở của M được gọi là hạng của M và được ký hiệu là ( )r M .
4.2.2. Một số tính chất của môđun tự do
Định lý 4.2.4. Một A - môđun M là tự do nếu và chỉ nếu tồn tại một tập chỉ số I sao cho
( )I
M ≅A
Định lý 4.2.5. (Tính phổ dụng của môđun tự do) Giả sử M là một A - môđun tự do với cơ sở là S và N là một A - môđun bất kỳ. Khi đó mỗi ánh xạ g S: →N đều mở rộng được thành một đồng cấu duy nhất f M: →N.
Định lý 4.2.6. Mỗi A - môđun đều đẳng cấu với một môđun thương của một A - môđun tự do.
Hệ quả 4.2.7. Một A - môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một môđun thương của A vn, ới n nguyên dương nào đó.
4.2.3. Xây dựng môđun tự do nhận một tập cho trước làm cơ sơ.
Giả sử A là một vành và S là một tập hợp tùy ý. Gọi C là tập hợp tất cả các tổng hình thức có dạng s Sa ss ,
∈
∑ trong đó as∈A bằng 0 hầu hết với s S∈ , trừ ra một số hữu hạn phần tử có thể khác 0. Trên C ta định nghĩa quan hệ bằng nhau như sau :
as s s S s S s b s ∈ ∈ = ∑ ∑
nếu và chỉ nếu as=bs ,∀ ∈s S. Khi đó C cùng với phép cộng
as s (as s) s S s S s S s b s b s ∈ ∈ ∈ + = + ∑ ∑ ∑ và phép nhân ngoài (aa ) s s s S s S a a s s ∈ ∈ = ∑ ∑ lập thành một A- môđun tự do nhận S làm cơ sở.