Môđun tự do

4.2.1. Môđun tự do và hạng của môđun tự do

Định nghĩa 4.2.1. Cho tập con Scủa A- môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính

nếu từ mỗi đẳng thức

1 1 2 2 ... _{n n} 0

a x +a x + +a x =

với x x₁, ,...,₂ x_n∈S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a₁=a₂=...=a_n=0.

Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu môđun M có một hệ sinh độc lập tuyến tính thì nó được gọi là một môđun tự do và tập S được gọi là một cơ sở

của M.

Định lý 4.2.2. Nếu M là một môđun tự do trên vành giao hoán A thì hai cơ sở bất kỳ của M có cùng lực lượng.

Định nghĩa 4.2.3. Cho M là một môđun tự do trên một vành giao hoán A. Khi đó lực lượng của một cơ sở của M được gọi là hạng của M và được ký hiệu là ( )r M .

4.2.2. Một số tính chất của môđun tự do

Định lý 4.2.4. Một A - môđun M là tự do nếu và chỉ nếu tồn tại một tập chỉ số I sao cho

( )I

M ≅A

Định lý 4.2.5. (Tính phổ dụng của môđun tự do) Giả sử M là một A - môđun tự do với cơ sở là S và N là một A - môđun bất kỳ. Khi đó mỗi ánh xạ g S: →N đều mở rộng được thành một đồng cấu duy nhất f M: →N.

Định lý 4.2.6. Mỗi A - môđun đều đẳng cấu với một môđun thương của một A - môđun tự do.

Hệ quả 4.2.7. Một A - môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một môđun thương của A vn, ới n nguyên dương nào đó.

4.2.3. Xây dựng môđun tự do nhận một tập cho trước làm cơ sơ.

Giả sử A là một vành và S là một tập hợp tùy ý. Gọi C là tập hợp tất cả các tổng hình thức có dạng _{s S}a s_s ,

∈

∑

a_{s s} s S s S s b s ∈ ∈ =

∑ ∑

nếu và chỉ nếu a_s=b_s ,∀ ∈s S. Khi đó C cùng với phép cộng

a_{s s} (a_{s s}) s S s S s S s b s b s ∈ ∈ ∈ + = +

∑ ∑ ∑

∑ ∑