Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 4.5.1. Một A- môđun P được gọi là xạảnh nếu với mọi đồng cấu :f P→M'' và mọi toàn cấu :g M →M'' các A- môđun đều tồn tại một đồng cấu :h P→M sao cho

.

gh= f

Từ định nghĩa trên ta suy ra ngay rằng một A- môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu với mọi toàn cấu A- môđun :g M →M'', ánh xạ cảm sinh:

*: A( , ) A( , '') g Hom P M Hom P M h gh → ֏ là toàn ánh.

Trong trường hợp vành A là giao hoán thì Hom P MA( , ) và Hom P MA( , '') trở thành các A- môđun. Khi đó g* là một toàn cấu A- môđun.

Nói cách khác, một A- môđun P là xạ ảnh nếu mọi biểu đồ dạng

đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán

Mệnh đề 4.5.2. Mọi A - môđun tự do đều là xạảnh.

Mệnh đề 4.5.3. Mọi A - môđun đều đẳng cấu với một môđun thương của một A - môđun xạ ảnh.

Định lý 4.5.4. Cho P là một A - môđun . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

(i) P là xạảnh.

(ii) Mọi dãy khớp ngắn các A -môđun: 0→Nf→M g→P→0 đều chẻ ra.

(iii) P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một A - môđun tự do.

C. TÀI LIỆU HỌC TẬP

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun và vành, NXBGD, 2001 [6] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết môđun, NXBĐHSP, 2008

4.1. Chứng minh rằng nếu Iđêan I của vành A là một A- môđun tự do thì nó phải là một iđêan chính.

4.2. ℤ- môđun ℚ có phải là một môđun tự do hay không.

4.3. Chứng minh rằng hai A- môđun tự do có cùng lực lượng thì đẳng cấu.

4.4. Cho S là một tập con của A- môđun M. Giả sử rằng mọi ánh xạ g từ S vào một A- môđun N đều mở rộng được thành một đồng cấu A- môđun duy nhất từ M vào .N Chứng minh rằng M là một A- môđun tự do với cơ sở .S

4.5. Cho M là một A- môđun. Chứng minh rằng có thể xây dựng một dãy khớp có dạng

0 1 1 0 ... n ... 0 n F ϕ F ϕ F ϕ M → → → → → →

trong đó Fi là một A- môđun tự do, i=0,1,... Khi đó phức

1 1 0 ... n ... 0 n F ϕ F ϕ F → → → → → được gọi là một phép giải tự do của M.

4.6. Chứng minh rằng dãy khớp các A- môđun

0→N→M →F→0 là chẻ ra nếu F là một môđun tự do.

4.7. Cho A là một vành giao hoán, M là một A- môđun tự do với cơ sở {x i Ji ∈ } và I là một iđêan của .A Chứng minh rằng :

/ i/ i

i J

M IM Ax Ix

∈

≅ ⊕ .

Từ đó suy ra M IM/ là một /A I- môđun tự do có cơ sở cùng lực lượng với .J

4.8. Chứng minh rằng ánh xạ hạng là một hàm cộng tính trên lớp các A- môđun tự do, tức là nếu có một lớp dãy khớp ngắn các A- môđun tự do

0→N →M →P→0 thì ( )r M =r N( )+r P( ).

4.9. Chứng minh rằng nếu M và N là hai A- môđun tự do có hạng hữu hạn thì ( , )

A

Hom M N cũng là các A- môđun tự do có hạng hữu hạn. Cho biết hạng và một cơ sở của nó.

4.10. Chứng minh rằng M là một A- môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M là một

* / ( )

A =A Ann M - môđun hữu hạn sinh.

4.11. Cho dãy khớp ngắn các A- môđun

0→N →M →P→0 Chứng minh rằng:

(i) Nếu M hữu hạn sinh thì P cũng hữu hạn sinh. (ii) Nếu N và P hữu hạn sinh thì M cũng hữu hạn sinh.

Chỉ ra một ví dụ mà ở đó M hữu hạn sinh, nhưng N không hữu hạn sinh.

4.12. Chứng minh rằng căn Jacobson của vành A là

( ) { 1

J A = x A∈ −xy là khả nghịch với mọi y A∈ }.

4.13. Phần tử x của một vành giao hoán A được gọi là nguyên trên một Iđêan I nếu tồn tại

các i i a ∈I với i=1, 2,...,n để 1 1 ... 0 n n n x a x − a + + + = . Chứng minh rằng nếu M là một A- môđun hữu hạn sinh có: Ann M( ) 0= và xM ⊆IM thì x nguyên trên .I Hãy mở rộng kết quả này.

4.14. Cho I là một Iđêan hữu hạn sinh của một vành địa phương ( , ).A m Chứng minh rằng các hệ sinh cực tiểu của I có cùng số phần tử, và nếu gọi S là một hệ sinh cực tiểu của I thì

S∩mI = ∅. Hãy mở rộng kết quả này sang môđun.

4.15. Chứng minh rằng, mọi ma trận vuông trên một vành giao hoán đều là nghiệm của phương trình đặc trưng của nó.

4.16. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán A. Chứng minh rằng: (i) Nếu :ϕ M →M là một toàn cấu A- môđun, thì nó cũng là một đẳng cấu.

(ii) Nếu M là một môđun tự do hạng n thì mọi hệ sinh gồm n phần tử của M đều là một cơ sở của M .

4.17. Cho { }Pj j J∈ là một họ các A- môđun. Chứng minh rằng ⊕j J∈ Pj là một A- môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu mỗi Pj là xạ ảnh với mọi j J∈ .

4.18. Giả sử M là một A- môđun và N là một môđun con của M. Chứng minh rằng nếu N

và M N/ là các môđun xạ ảnh thì M cũng là một môđun xạ ảnh.

4.19. Cho A là một vành giao hoán. Chứng minh rằng một A- môđunP là xạ ảnh nếu và chỉ nếu với mọi đãy khớp ngắn các A- môđun

0→M'f→M g→M''→0 Dãy

* *

0→Hom P M( , ')f→Hom P M( , )→g Hom P M( , '')→0 Trong đó f*=Hom id( P, ) àf v g*=Hom id g( P, ) cũng là khớp ngắn.

4.20. Chứng minh rằng với M là một A- môđun bất kì, có thể xây dựng một dãy khớp có dạng 0 1 1 0 ... n ... 0 n P ϕ P ϕ P ϕ M → → → → → →

trong đó các Pi là những A- môđun xạ ảnh với mọi i≥0. Khi đó, người ta gọi phức

1 1 0 ... n ... 0 n P ϕ P ϕ P → → → → → là một phép giải xạ ảnh của M.

4.21. Cho ,m n>1 là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ℤm là một

mn

ℤ - môđun xạ ảnh nhưng không tự do. Tìm thêm những ví dụ về môđun xạ ảnh không là tự do.

4.22. Một phần tử a A∈ được gọi là lũy đẳng nếu a2=a. Hãy chứng minh rằng (i) Nếu a là một phần tử lũy đẳng của A thì Aa là một A- môđun xạ ảnh.

(ii) Nếu J là một Iđêan trái của A sao cho A J/ là một A- môđun xạ ảnh thì

J =Aa với a là một phần tử lũy đẳng của .A

4.23. Chứng minh rằng trường các số hữu tỉ ℚ không phải là một ℤ- môđun xạ ảnh.

4.24. Cho { }Ij j J

∈ là một họ các A- môđun. Chứng minh rằng j JIj

∈

∏ là một A- môđun nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi Ij là nội xạ với mọi j J∈ .

4.25. Cho A là một vành giao hoán. Chứng minh rằng một A- môđun I là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi dãy khớp ngắn các A- môđun

Dãy

* *

0→Hom M I( '', )→g Hom M I( , )→f Hom M I( ', )→0 trong đó f*=Hom f id v g( , I) à * =Hom g id( , I) cũng là khớp ngắn.

4.26. Một nhóm Aben D được gọi là chia được nếu với mọi d∈D và mọi số nguyên n≠0, tồn tại c D∈ sao chod =nc.

Chứng minh rằng :

(i) Thương, hạng tử trực tiếp, tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm Aben chia được là chia được.

(ii) Mọi trường có đặc số 0 là chia được.

(iii) Một nhóm Aben là chia được nếu và chỉ nếu nó là một ℤ- môđun nội xạ. Từ đó suy ra /ℚ ℤ là một ℤ- môđun nội xạ.

(iv) Mỗi ℤ- môđun tự do đều được nhúng vào một ℤ- môđun chia được. (v) Mỗi ℤ- môđun đều được nhúng vào một ℤ- môđun chia được.

4.27. Cho I là một A- môđun. Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương: (i) I là nội xạ.

(ii) Mọi dãy khớp ngắn các A- môđun

0→ I f→M g→M''→0 đều chẻ ra.

(iii) I đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một A- môđun đối tự do.

4.28. Chứng minh rằng với mỗi A- môđunM ta luôn xây dựng được một dãy khớp dạng

0 0 1 0 ... n ... n M I ϕ I I ϕ → → → → → →

trong đó các Ii là các A- môđun nội xạ với mọi i≥0. Trong trường hợp này, phức

0 0 1 0 ... n ... n I ϕ I I ϕ → → → → → được gọi là một phép giải nội xạ của M.

CHƯƠNG 5

Một số vành số học và ứng dụng

Số tiết: 04 (Lý thuyết: 03; bài tập, thảo luận: 01)

A. MỤC TIÊU

- Giới thiệu một số vành số học và các tính chất, ứng dụng và mối quan hệ giữa các vành đó:

Vành chính, vành Gauxơ, vành Nother, vành Actin và miền Đơđơkin.

- Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài tập liên quan, chủ yếu là các bài toán chứng minh.

- Sinh viên tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có năng lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo.

B. NỘI DUNG 5.1. Vành chính

Định nghĩa 5.1.1. Miền nguyên A được gọi là vành chính nếu mọi iđêan của A đều là iđêan chính (iđêan được sinh bởi một phần tử).

Ví dụ 5.1.2.

(i) Vành các số nguyên ℤ là vành chính. (ii) Nếu K là một trường thì K là vành chính.

(iii) Vành đa thức [ ]K x trên trường K là một vành chính. Tuy nhiên vành đa thức [ ]x

ℤ không là vành chính.

Định nghĩa 5.1.3. Một dãy tăng những iđêan của miền nguyên A

1 2 ... n... (1)

J ⊂J ⊂ ⊂J

được gọi là dừng nếu tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho

0

n n

J =J với mọi n n> 0.

Mệnh đề 5.1.4. Trong một vành chính A mọi dãy tăng những iđêan đều dừng.

Hệ quả 5.1.5. Mọi họ khác rống những iđêan của vành chính A đều có iđêan tối đại.

Định nghĩa 5.1.6.

(i) Một dãy những phần tử khác không của một miền nguyên A

1, ,..., ,...2 n (2)

a a a

được gọi là một dãy giảm những ước nếu an+1 an, với n=1, 2,...

(ii) Dãy (2) được gọi là dừng nếu tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho an liên kết với

0

n

a với mọi n n> 0.

Hiển nhiên, dãy (2) dừng khi và chỉ khi nó chỉ có một số hữu hạn các phần tử ai đôi một không liên kết.

Hệ quả 5.1.7. Mọi vành chính A đều thỏa mãn điều kiện dừng những ước.

Định lý 5.1.8. Trong một vành chính A , mọi cặp phần tử khác không a b , đều có ước chung

5.2. Vành Gauxơ

Định nghĩa 5.2.1. Miền nguyên A được gọi là thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất nếu

trong A mọi cặp phần tử ,a b đều có ước chung lớn nhất.

Ví dụ 5.2.2. Vành số nguyên ℤ thỏa mãn điều kiện có ƯCLN.

Bổđề 5.2.3. Cho a b c thu, , ộc miền nguyên A thỏa mãn điều kiện có ƯCLN. Khi đó ta có:

(i) c a b( , ) ( , )= ca cb

(ii) Nếu ( , ) 1a b = và ( , ) 1a c = thì ( , ) 1a cb =

Định lý 5.2.4. Cho A là một miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ƯCLN, p là phần tử bất khả quy thuộc A . Khi đó với mọi a A∈ hoặc a chia hết cho p hoặc a và p nguyên tố cùng nhau.

Định lý 5.2.5. Trong vành A thỏa mãn điều kiện có ƯCLN, một phần tử là bất khả quy khi và chỉ khi nó là nguyên tố.

Bổ đề 5.2.6. Cho A là miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ƯCLN, p A∈ là phần tử bất khả quy. Nếu a a1, ,..., , (2 an n≥2) là những phần tử của A sao cho p a a a thì t1 2... n ồn tại a sao k cho p a . k

Bổ đề 5.2.7. Cho A là một miền nguyên thỏa mãn điều kiện dừng những ước thực sự. Nếu

, 0

a A a∈ ≠ và a không khả nghịch thì a có một ước bất khả quy.

Định nghĩa 5.2.8. Miền nguyên A được gọi là vành Gaoxơ (hay vành nhân tử hóa) nếu mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch của nó đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích những nhân tử bất khả quy, sai khác thứ tự các nhân tử và sai khác các nhân tử khả nghịch.

Mệnh đề 5.2.9. Miền nguyên A là vành Gaoxơ khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện dừng những ước thực sự và điều kiện có ƯCLN.

Hệ quả 5.2.10. Mọi vành chính đều là vành Gaoxơ.

5.3. Vành Ơclít

Định nghĩa 5.3.1. Ta gọi vành Ơclit là một miền nguyên X cùng với ánh xạ:

* : ( ). X x x δ δ →ℕ ֏

từ tập các phần tử khác 0 của X đến tập các số tự nhiên ℕ thỏa mãn: (i) ∀a b X a b, ∈ *, kéo theo ( )δ a ≤δ( )b

(ii) ∀a b X b, ∈ , ≠0, tồn tại ,q r∈X sao cho a bq r= + với r=0 hoặc nếu r≠0 thì ( )r ( ).b

δ ≤δ

Ánh xạ δ được gọi là ánh xạƠclit.

Ví dụ 5.3.2.

* : ( ) n n n δ δ → = ℤ ℕ ֏

(ii) Cho K là một trường. Khi đó K cùng với ánh xạ

* : ( ) K n n c δ δ → = ℕ ֏

với c là một số tự nhiên cho trước, là một vành Ơclit.

(iii) Vành đa thức một ẩn [ ]K x trên trường K là một vành Ơclit với ánh xạ:

* : ( ) ( ( )) deg ( ) K f x f x f x δ δ → = ℕ ֏

Bổđề 5.3.3. Đối với hai phần tử khác không x u c, ủa vành Ơclit E , δ( )xu =δ( )x nếu u khả nghịch và δ( )xu >δ( )x trong trường hợp ngược lại.

Hệ quả 5.3.4. Trong vành Ơclit E phần tử u khả nghịch khi và chỉ khi δ( )u =δ(1), và nếu hai phần tử a b liên k, ết thì δ( )a =δ( ).b

Định lý 5.3.5. Mọi vành Ơclit đều là vành chính.

Bổđề 5.3.6. Trong vành Ơclit E n, ếu a bq c= + thì ( , ) ( , ).a b = b c

5.4. Vành Noether

Định lý 5.4.1. Cho M là một A - môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương :

(i) Mọi tập hợp không rỗng những môđun con của M đều có phần tử cực đại.

(ii) Mọi dãy tăng những môđun con của M :

1 2 ... n ... M ⊂M ⊂ ⊂M ⊂ đều dừng, nghĩa là tồn tại n sao cho 0 0 n n M =M với mọi n n≥ 0.

(iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh.

Định nghĩa 5.4.2. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Khi đó, một A- môđun M được gọi là một một môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương nói trong Định lý 5.4.1.

Vành A được gọi là vành Noether nếu nó là một A- môđun Noether.

Nhắc lại rằng, một tập con khác rỗng của A là một A- môđun con của A- môđun A

khi và chỉ khi nó là một iđêan của A. Do đó, A là một vành Noether khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây:

(i) Mỗi tập khác rỗng các iđêan của A đều có phần tử cực đại. (ii) Mỗi dãy tăng các iđêan của A: I1⊂I2⊂...⊂In⊂... đều dừng. (iii) Mỗi iđêan của A đều hữu hạn sinh.

Mệnh đề 5.4.3. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và một đãy khớp ngắn các A - môđun

Hệ quả 5.4.4. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các A - môđun Noether là một A - môđun Noether.

Hệ quả 5.4.5. Mỗi một A - môđun hữu hạn sinh trên vành Noether là một A - môđun Noether.

Mệnh đề 5.4.6. Nếu M là một A - môđun Noether và S là một tập đóng nhân của A thì

1 S M− là một S A−1 - môđun Noether. Mệnh đề 5.4.7. Nếu A là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của A thì S A−1 cũng là một vành Noether.