ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TỐN CHƯƠNG Định thức hệ phương trình tuyến tính Số tiết: 12 (Lý thuyết: tiết; tập, thảo luận: tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên hiểu khái niệm: phép thế, dấu phép thế, ánh xạ đa tuyến tính, định thức, hệ phương trình tuyến tính - Sinh viên hiểu tính chất phép thế, định thức, hệ phương trình tuyến tính cách giải hệ phương trình tuyến tính - Sinh viên vận dụng giải tập liên quan 1.1 Phép dấu phép (hay hoán vị) 1.1.1 Định nghĩa: Phép bậc n song ánh σ từ tập {1,2,…, n} lên Ta thường viết:  σ =  σ (1) σ (2) n   σ ( n)  Rõ ràng tập phép bận n với phép lấy tích song ánh làm thành nhóm ký hiệu Sn Nhóm gọi nhóm đối xứng Nó gồm có n! phần tử Khi n >1, cặp số (không thứ tự) phân biệt {i, j} ⊂ {1,2,…, n} gọi nghịch σ i− j i − j σ (i ) − σ ( j ) trái dấu, tức σ (k ) Từ suy (σ oτ ) ( j ) = σ (k ) < σ ( j ) = (σ o τ )(k ) tức σ o τ = µ ∈ H , σ = µ o τ −1 = µ o τ Điều kiện α j = α k nghĩa aij = aik ∀i = 1, , n Do với µ ∈ Sn \ H ta có: aµ ( j ) j = a( µ oτ )( k ) j = a( µτ )( k ).k aµ ( k ).k = a( µτ )( j ).k = a( µτ )( j ) j Cịn aµ (i ).i = a( µ oτ )( i ).i , ∀i ≠ j , k nên aµ (1).1 = aµ ( n ).n = a( µ ,τ )(1).1 a( µ ,τ )( n ).n V ậy ∑ sgn(σ )aσ (1).1 .aσ ( n ).n = σ ∈S n = ∑ sgn( µ )aµ (1).1 .aµ ( n ).n + ∑ sgn( µ )aµ (1).1 ∑ sgn(σ ) aσ (1).1 aσ ( n ).n σ ∈ Sn \ H µ∈H .aµ ( n ).n + ∑ sgn( µ τ )a( µ τ )(1).1 a( µτ )( n ).n = µ∈H µ∈H ∑ (sgn( µ ) + sgn(µ.τ ))aµ (1).1 .aµ ( n ).n = µ∈H Vậy α j = α k ( j < k ) Dε (α1 , , α n ) = Do D3 thay phiên c Giả sử V K- không gian vectơ n chiều Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên η :V × × V → K n Còn gọi dạng n- tuyến tính thay phiên V Gọi An (V ) tập dạng n- tuyến tính thay phiên K- không gian vectơ n chiều V Dễ thấy An (V ) với phép toán cộng ánh xạ nhân ánh xạ với vô hướng thuộc K K- không gian vectơ Định lý: dim An (V ) = Thật vậy, giả sử α = (ε1 , , ε n ) sở V Khi theo ví dụ Dε ∈ An (V ) Dε (ε1 , , ε n ) = nên Dε ≠ Ta chứng minh ( Dε ) sở An (V ) n Với η = An (V ) , lấy α i = ∑ a ji ε j , i = 1, 2, , n thuộc V η đa tuyến tính nên j =1 n η (α1 , , α n ) = ∑ i1 in =1 ai1 ain nη (ε i1 , , ε in ) Do η thay phiên nên tổng xét số i1 , , in phân biệt cặp Vậy η (α1 , , α n ) = ∑ aσ (1).1 .aσ ( n ).nη (ε σ (1) ), ,η (ε σ ( n ) ) σ ∈S n = ∑ aσ (1).1 aσ ( n ).n sgn(σ )η (ε1 , , ε n ) = η (ε1 , , ε n ).D3 (α1 , , α n ) Đặt η (ε1 , , ε n ) = c ∈ K η = cDε Do ( Dε ) sở An (V ) dimV = Từ cách chứng minh ta có: Hệ quả: V K- khơng gian vectơ n chiều, ε = (ε1 , , ε n ) sở V c ∈ K có η ∈ An (V ) cho η = (ε1 , , ε n ) = c Ví dụ: Mọi dạng 3- tuyến tính thay phiên khơng gian vectơ hình học trung học tỷ lệ với tích hỗn tạp ba vectơ 1.3 Định thức 1.3.1 Định thức hệ vectơ sở Định nghĩa: Cho K- không gian vectơ n chiều V, ε = (ε1 , , ε n ) sở Giả sử n α i = ∑ a ji ε j , i = 1, , n Khi Dε (α1 , , α n ) = j =1 ∑ sgn(σ )aσ (1).1 .aσ ( n ).n gọi định thức hệ σ ∈ Sn vectơ (α i ), i = 1, 2, , n sở ε Tính chất: a) Dε dạng n- tuyến tính thay phiên V b) Dε (ε1 , , ε n ) = c) Nếu ε = (ε1 , , ε n ) , α = (α1 , , α n ) hai sở V Dε = Dε (α1 , , α n ) Dα , Dα = Da (ε1 , , ε n ).Dε thật vậy, dim An (V ) = 1, Dε Dα phần tử khác khơng thuộc An (V ) nên có c ≠ thuộc K để Dε = c.Dα Từ đó: Dε (α1 , , α n ) = c.Dα (α1 , , α n ) = c ≠ Vậy Dε = Dε (α1 , , α n ) Dα Tương tự Dα = Dα (α1 , , α n ) Dε d) Hệ α = (α1 , , α n ) phụ thuộc tuyến tính Dε (α1 , , α n ) = Điều kiện cần dễ dàng suy từ tính thay phiên D3 Điều kiện đủ tương đương với mệnh đề: Nếu hệ α độc lập tuyến tính Dε (α1 , , α n ) ≠ Thật vậy, hệ α độc lập tuyến tính sở V, theo cách chứng minh tính chất c) Dε (α1 , , α n ) ≠ Tính chất d) tương đương với tính chất d’) α = (α1 , , α n ) sở V Dε (α1 , , α n ) ≠ Ví dụ: Trong khơng gian vectơ hình học trung học Dε (α1 , α , α ) với ε = (ε1 , ε , ε ) sở nói ví dụ b) mục 1.2.2 tích hỗn tạp ba vectơ (α1 , α , α ) 1.3.2 Định thức tự đồng cấu Định lý: V K- khơng gian vectơ n chiều, f ∈ EndV có phần tử ký hiệu dèt ∈ K cho ∀η ∈ An (V ), ∀(α1 , , α n ) ta có η ( f (α1 ), , f (α n ) = det f η (α1 , , α n ) Chứng minh: Do dim An (V ) = lấy µ ≠ thuộc An (V ) Khi ∀η ∈ An (V ),η = a.µ , a ∈ K Xét ánh xạ: θ :V × × V → K cho θ (α1 , , α n ) = µ ( f (α1 ), , f (α n )) dễ thấy θ ∈ An (V ) , nên θ = bµ , b ∈ K Do η ( f (α1 ), , f (α n )) = aµ ( f (α1 ), , f (α n )) = aθ (α1 , , α n )a = a.bµ (α1 , f (α n ) = bη (α1 , , α n ) Đặt b = det f suy điều phải chứng minh Định nghĩa: det f nói định lý gọi định thức tự đồng cấu f Tính chất: n a) ε = (ε1 , , ε n ) sở V, f (ε i ) = ∑ a ji ε j i = 1, , n áp dụng định lý cho j =1 trường hợp η = Dε , α i = ε i ta có det f = Dε ( f (ε ), , f (ε n )) = ∑ sgn(σ )aσ (1).1 .aσ ( n ).n σ ∈ Sn b) det(IdV ) = c) det ( gf ) = det g det f , ∀g , f ∈ EndV Thật vậy, giả sử ε = (ε1 , , ε n ) sở V det( gf ) = Dε ( g ( f (ε1 )), , g ( f (ε n )) = det g Dε ( f (ε1 ), , f (ε n )) = det g det f Dε (ε , , ε n ) = det g det f d) det f ≠ ⇔ f đẳng cấu Thật vậy, ε = (ε1 , , ε n ) sở V detf ≠ ⇔ Dε ( f (ε1 ), , f (ε n )) ≠ ⇔ f (ε1 ), , f (ε n ) độc lập tuyến tính ⇔ f đẳng cấu Vậy GL(V)= {f ∈ EndV|det f ≠ } 1.3.3 Định thức ma trận vuông 1.3.3.1 Định nghĩa: A = (a ji ) ∈ M(n, K) định thức ma trận vuông A ký hiệu a11 a12 a1n det A hay Được xác định bởi: det A = ∑ sgn(σ )aσ (1).1 a21 a22 a2 n an1 an ann .aσ ( n ).n σ ∈S n Nhận xét: Rõ ràng định thức ma trận A định thức hệ vectơ cột (coi phần tử K n ) sở tắc K n Ví dụ: a a a a  1  1  A =  11 12  ∈ M (2, K ) det A = 11 12 = sgn   a11a22 + sgn   a21a12 = a11a22 − a21a12 a21 a22 1   1  a21 a22   a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23  ∈ M (3, K )    a31 a32 a33    1  1  1  1  det A =   a11a12 a33 +   a31a12 a23 + sgn   a21a32 a13 + sgn   a31a22 a13 1  3 2  1  1 1  1  + sgn   a12 a32 a23 + sgn   a21a12 a23 1   3 = a11a12 a33 + a31a12 a23 + a21a32 a13 − a31a22 a13 − a12 a32 a23 − a21a12 a23 Cho K = ℝ ta định thức cấp biểu thức tọa độ tích hỗn tạp 1.3.3.2 Tính chất a) Nếu A ma trận tự đồng cấu f K- không gian vectơ n chiều V sở ε = (ε1 , , ε n ) det A = det f n Thật vậy, A = (a ji ) f (ε i ) = ∑ a ji ε j (i = 1, , n) Từ det f = b) Nếu α i = ∑a ji ∑ sgn(σ )aσ (1).1 .aσ ( n ).n = det A σ ∈S n j =1 ε j , i = 1, , n Dε (α1 , , α n ) = det A σ ∈S n c) det I n = d) det( B A) = det B.det A, A, B ∈ Mat(n,K) e) A khả nghịch det A ≠ Ma trận A gọi không suy biến det A ≠ Vậy A khả nghịch khơng suy biến Do đó: GL(n, K) = {A ∈ Mat(n, K)| det A ≠ } Các tính chất c) d) e) suy trực tiếp từ tính chất tương ứng định thức tự đồng cấu Chú ý: Từ tính chất b) Dε ánh xạ tuyến tính thay phiên nên tính chất ánh xạ đa tuyến tính thay phiên chuyển thành tính chất ctương ứng định thức Chẳng hạn: a11 pa1i + qb1i a1n a11 a1i a1n a11 b1i a1n = p + q an1 pani + qbni ann an1 ani ann an1 bni ann α ) β ) Đổi chỗ hai cột định thức định thức đổi dấu (ở ta nói tắt cột hay dịng định thức thay cho cột hay dịng ma trận vng tương ứng với định thức đó) γ ) Định thức có cột 0, định thức có hao cột nhau, định thức có cột tổ hợp tuyến tính cột cịn lại σ ) Nếu cộng thêm vào cột tổ hợp tuyến tính cột cịn lại định thức không thay đổi giá trị Người ta thường vận dụng tính chất để biến đổi định thức đưa việc tính định thức phức tạp việc tính định thức đơn giản 1.3.3.3 Định thức ma trận chuyển vị  a11  a A = (a ji ) =  21    an1 Định nghĩa: Cho ma trận  a11  a t A = (aij ) =  12    a1n a12 a1n   a22 a2 n  thuộc Mat(n, K) ma trận   an ann  a21 an1   a22 an  gọi ma trận chuyển vị A Dễ thấy:   a2 n ann  - Dòng thứ i ma trận At cột thứ i ma trận A - ( A + B)t = At + Bt , A, B ∈ Mat (n, K ) - ( B A)t = At Bt Định lý: det At = det A Thật vậy, At = (aij ) nên det At = ∑ sgn(σ )a σ (1) .an.σ ( n ) = σ ∈S n ∑ sgn(σ )aσ − .aσ − 1( n ).n (1).1 σ ∈ Sn Sở dĩ có đẳng thức sau σ (i ) = k i = σ −1 (k ) ,σ ( i ) = aσ − 1( k ).k Đặt µ = σ −1 sgn(σ ) = sgn(σ −1 ) = sgn( µ ) Để ý σ chạy lượt khắp Sn µ = σ −1 nên det At = ∑ sgn(µ )aµ (1).1 .aµ ( n ).n = det A µ∈ S n Vậy tính chất định thức ma trận vuông, xem ánh xạ K n → K hệ vectơ cột ma trận, hệ vectơ dịng Ví dụ: det A = ⇔ hệ vectơ dòng (coi dòng phần tử K n ) phụ thuộc tuyến tính 1.3.3.4 Định lý Laplace Cho A = (a ji ) ∈ Mat(n,K), ≤ q ≤ n, q ∈ N Với số nguyên ≤ j1 < j2 < j3 jq ≤ n ; ≤ i1 < i2 < < iq ≤ n 10 Vậy W1 , W2 , ,Wm không gian vectơ V mà Wi ⊥ W j (i ≠ j ) có khơng ⊥ ⊥ ⊥ gian tổng trực tiếp: W1 ⊕ W2 ⊕ ⊕ Wm ⊂ V (gọi tổng trực giao) W khơng gian vectơ V phần bù trực giao nó: W = {α ∈| V , α ⊥ W } làm thành không gian vectơ V V hữu hạn chiều ⊥ V = W ⊕ W ⊥ , (W ⊥ ) ⊥ = W Chứng minh: Rõ ràng vectơ ∈ W ⊥ → W ⊥ ≠ ∅ Với α , β ∈ W cặp số thực k, l ∈ ℝ với vectơ γ ∈W ta có γ (kα + l β ) = k (γ α ) + l (γ β ) = k + l.0 = Vậy W ⊥ không gian vectơ con, Lấy sở trực chuẩn {µ1 , µ2 , , µm } W, bổ sung để sở trực chuẩn V {µ1 , µ2 , , µn } rõ ràng {µm +1 , µm + , , µn } hệ vectơ độc lập tuyến tính W ⊥ n Mặt khác với vectơ α ∈ W ⊥ → α ∈ V = ∑ x j µ j ; xi = α µi = với ∀i = 1, 2, , m j =1 ⇒α = n ∑ x p µ p , {µm +1 , µm + , , µn } sở W ⊥ Từ suy điều phải chứng p = m +1 ⊥ minh: V = W ⊕ W ⊥ , (W ⊥ ) ⊥ = W 3.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 3.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ tuyến tính f : V → V ' không gian vectơ Euclid V V’ gọi tuyến tính trực giao bảo tồn tích vơ hướng , tức f (α ) f ( β ) = α β , ∀α , β ∈ V Chú ý: a Ánh xạ f : V → V ' không gian vectơ Euclid V V’ mà f (α ) f ( β ) = α β , ∀α , β ∈ V tuyến tính tuyến tính trực giao b Ánh tuyến tính f : V → V ' mà f bảo tồn chuẩn vectơ tức || f (α ) ||=|| f ( β ) || với α ∈ V f bảo tồn tích vơ hướng f tuyến tính trực giao c Ánh xạ tuyến tính f : V → V ' tuyến tính trực giao biến sở trực chuẩn thành hệ trực chuẩn 3.2.2 Tính chất a Ánh xạ tuyến tính trực giao f : V → V ' ln đơn cấu f (α ) = α = α α = f (α ) f (α ) = α = Vậy tự đồng cấu trực giao cảu không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều biến đổi tuyến tính trực giao (tức đẳng cấu trực giao) 38 b Tích ánh xạ tuyến tính trực giao ánh xạ tuyến tính trực giao Từ suy tập tự đẳng cấu trực giao không gian vectơ Euclid V làm thành nhóm gọi nhóm biến đổi tuyến tính trực giao V, ký hiệu O(V) 3.2.3 Tự đẳng cấu trực giao ma trận trực giao a f tự đẳng cấu trực giao không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều vectơ V Vì f trực giao nên biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn từ giả sử {µi } i = 1, 2, , n sở n trực chuẩn V f( µi ) = ∑ a ji µ j , A = (aij ) ma trận cùa f sở trực chuẩn {µi } thì: f j =1 trực giao n ⇔ f ( µi ) f ( µk ) = δ ik ⇔ ∑ a ji a ji = δ ki ⇔ At A = I n j =1 −1 t t ⇔ A A = I n ⇔ A = A Ma trận A gọi trực giao A không suy biến ma trận chuyển vị At ma trận nghịch đảo A−1 Vậy tập ma trận trực giao (cấp n) làm thành nhóm, ký hiệu O(n), đẳng cấu với nhóm biến đổi trực giao O (V) không gian vectơ Euclid n chiều b f tự đồng cấu trực giao V giá trị riêng f hay – Thật f (α ) = λα , α ≠ f (α ) f (α ) = α α suy (λα ).(λα ) = α tức λ = Ví dụ: a A ∈ O(2) A có dạng  cosϕ   sin ϕ − sin ϕ   cosϕ   cosϕ   sin ϕ sin ϕ   − cosϕ  a c  Thật gọi A =   ma trận biến đổi tuyến tính f không gian cr Euclid b d  chiều V sở trực chuẩn (a,b,c,d∈ ℝ ) f tuyến tính trực giao A trực giao tức là: a + b = 1, c + d = 1, ac + bd = ax + by = Xét nghiệm hệ phương trình Cramer:  cx + dy = Suy nghiệm phải ( x = c, y =d ), ta a d c b a c= =− = ;d= det A det A det A det A Do det A = 1, c = – b, d = a, 39 a A= b  cosϕ Tức có góc ϕ để A =   sin ϕ −b 2  = a +b =1 a − sin ϕ   cosϕ  Và det A= –1, c = b, d = –a a A= b  cosϕ Tức có góc ϕ để A =   sin ϕ b 2 =a +b =1 −a sin ϕ   − cosϕ  b f tự đẳng cấu trực giao không gian vectơ Euclid n chiều, W không gian bất biến f phần bù trực giao W ⊥ f – bất biến  cosϕ c Nếu tự đẳng cấu trực giao f có ma trận : A =   sin ϕ sin ϕ   − cosϕ  Trong sở trực chuẩn {ε1 , ε } khơng gian vectơ Euclid chiều V có sở trực chuẩn {µ1 , µ2 } để: f ( µ1 ) = µ1 f ( µ )= µ d Định nghĩa: Ánh xạ tuyến tính f khơng gian vectơ Euclid hai chiều V có ma trận dạng:  cosϕ   sin ϕ − sin ϕ   cosϕ   cosϕ   sin ϕ sin ϕ   − cosϕ  Đối với sở trực chuẩn theo thứ tự gọi phép quay (tuyến tính) góc ϕ hay phép đối xứng trục e Từ tính chất trên, suy với tự đồng cấu trực giao f không gian vectơ Euclid n chiều V, có sở trực chuẩn V để sở ma trận f có dạng:  cosϕ1 I p ⊕ (− I q ) ⊕   sin ϕ1 − sin ϕ1   cosϕ r  ⊕ ⊕  cosϕ1   sin ϕ r − sin ϕr   cosϕ r  ϕ1 , ϕ2 , , ϕ r số thực khác kπ (k ∈ Z ) Nói cách khác cho ma trận trực giao A có ma trận trực giao C mà C −1 AC ma trận dạng trên, ma trận gọi ma trận trực giao dạng tắc Ví dụ: f ∈ O (V ) có sở trực chuẩn V để ma trận f sở có dạng sau: 40  1 0  1 0  1        ,  −  ,  cosϕ − sin ϕ  0 0        0 −   sin ϕ cosϕ   0   −1 0   0   −1        −  ,   ,  cosϕ − sin ϕ  0     − 1  0 − 1  sin ϕ cosϕ    3.3 Tự đồng cấu đối xứng 3.3.1 Định nghĩa: đồng cấu f : V → V không gian vectơ Euclid V gọi đối xứng (hay tự liên hợp) với vectơ α , β ∈ V f (α ).β = α f ( β ) Chú ý: a Nếu {µi } i = 1, 2, , n sở tùy ý V tự đồng cấu f V đối xứng f( µi ).µ j = µi f ( µ j ) i, j = 1, 2, , n Chứng minh: Điều kiện cần rõ ràng, nên cần chứng minh điều kiện đủ n n i =1 j =1 Với vectơ α = ∑ xi µi , β = ∑ y j µ j n n   n   n f (α ).β = ∑ xi y j f ( µi ).µ j = ∑ xi y j µi f ( µ j ) =  ∑ xi µi  f  ∑ y j µ j  = α f ( β )  i =1   j =1 i =1 j =1  b Nếu {µi } i = 1, 2, , n sở trực chuẩn V f ( µi ) = ∑ a ji µ j , A = (a ji ) ma trận f sở trực chuẩn {µi } đồng cấu f đối xứng khi: At = A tức A ma trận đối xứng 3.3.2 Tính chất a f tự đồng cấu đối xứng không gian vectơ hữu hạn chiều V, W không gian f - bất biến V thò rõ ràng f|W: W → W tự đồng cấu đối xứng phần bù trực giao W ⊥ W không gian vectơ f - bất biến Chứng minh: Với β ∈ W ⊥ vectơ α ∈ W f ( β ).α = β f (α ) = (do f (α ) ∈W ), tức f ( β ) trực giao với W → f ( β ) ∈W ⊥ b Mọi nghiệm (phức) đa thức đặc trưng tự đồng cấu đối xứng f thực Chứng minh: Giả sử A = (aij ) ma trận f sở trực chuẩn V λ nghiệm đặc trưng đa thức đặc trưng Xét hệ phương trình ma trận (trên trường số phức ℂ ): 41 ( A − λ I n ) x = (x ma trận cột, coi ẩn) ns có nghiệm không tầm thường x = z t t (ma trận cột có phần tử số phức) Vậy có z ≠ mà A.z = λ z từ z A.z = λ z z Lấy chuyển t t t t vị phức liên hợp hai vế (để ý At = A = A ) ta z A.z = λ z z Vậy λ z z = λ z z mà t z z > nên λ = λ tức λ số thực Hệ quả: Mọi tự đồng cấu đối xứng không gian vectơ r hữu hạn chiều có vectơ riêng c Nếu f tự đồng cấu đối xứng không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều V, V có sở trực chuẩn gồm vectơ riêng f d Nếu f tự đồng cấu đối xứng khơng gian vectơ Euclid không gian riêng ứng với giá trị riêng phân biệt trực giao với Ví dụ: Cho ma trận  −1 A =  −1   −1 −  − 1 −1    2 Tìm ma trận trực giao C để C −1 AC có dạng chéo Giải: Đa thức đặc trưng A 2−λ −1 −1 −1 2−λ −1 −1 −1 = − λ −1 λ −3 3− λ −1 λ − 4λ + −3 + λ = (λ − 3)(3 − λ − λ + 4λ − 3) = −λ (λ − 3)2 2−λ Vậy A có hai nghiệm đặc trưng λ1 = 0; λ2 = 2 x1 − x2 − x3 =  Với λ1 = giải hệ phương trình: − x1 + x2 − x3 = − x − x + x =  Ta x1 = x2 = x3 chọn vectơ µ1 ' = (1,1,1)  x1 + x2 + x3 =  Với λ2 = ta có hệ:  x1 + x2 + x3 = ⇔ x1 + x2 + x3 = ⇔ x1 = − x2 − x3 x + x + x =  Chọn hai vectơ µ2 ', µ3 ' trực giao nhau: µ2 ' = (1, −1, 0) , µ3 ' = (1,1, −2) Chuẩn hóa hệ vectơ riêng {µ1 ', µ2 ', µ3 '} ta sở trực chuẩn: 42      1   1 −2   1  µ1 =  , , , ,  ; µ3 =  , ,  ; µ2 =   C =   2   3 3  6 6     0  Và C AC = A ' =  0  −1     −    −  6 1 1 − 3 0 0   3 3.4 Dạng toàn phương 3.4.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dạng tồn phương a Định nghĩa: Giả sử η : V × V → R (α , β ) ֏ η (α , β ) Là dạng song tuyến tính đối xứng ℝ - không gian vectơ V Ánh xạ (tức hàm số): H :V → ℝ α ֏ H (α ) = η (α , α ) Gọi dạng toàn phương V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η b Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương H ℝ - khơng gian vectơ V dạng song tuyến tính đối xứng η V nhận H làm dạng toàn phương tương ứng hoàn toàn xác định: η (α , β ) = [H (α + β ) − H (α ) − H ( β )] η gọi dạng cực dạng toàn phương H c Biểu thức tọa độ Ta biết ℝ - không gian vectơ V với sở (ε1 , ε , , ε n ) dạng song tuyến tính đối xứng η với ma trận A = (aij ) sở có biểu thức tọa độ dạng: n η (α , β ) = ∑ aij xi y j i , j =1 với α = ( x1 , x2 , , xn ), β = ( y1 , y2 , , yn ) ∈ V n Từ suy biểu thức tọa độ dạng toàn phương H ứng với η có dạng: H (α ) = ∑a x y ij i j i , j =1 với α = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ V 43 Ma trận A = (aij ) gọi ma trận dạng toàn phương H d Các ma trận dạng song tuyến đối xứng ℝ - không gian vectơ V sở khác Giả sử η dạng song tuyến tính đối xứng ℝ - khơng gian vectơ ℝ Trong V cho sở n (ε1 , ε , , ε n ) ( µ1 , µ2 , , µn ) Ta có µi = ∑ cij ε i , j = 1, 2, , n; C = (cij ) ma trận đổi sở i =1 A ma trận η sở (ε1 , ε , , ε n ) , A’: ma trân η sở n n j =1 k =1 ( µ1 , µ2 , , µn ) thì: a 'il = η ( µi , µl ) = η (∑ c ji ε j , ∑ ckl ε k ) = ∑ c ji cklη (ε j , ε k ) = ∑ c ji a jk ckl j ,k j ,k Tức A ' = C t AC e Biểu thức tọa độ dạng tắc dạng tồn phương Nếu ℝ - khơng gian vectơ V có sở ( µ1 , µ2 , , µn ) , η ( µi , µ j ) = với i ≠ j sở ma trận A = (aij ), aij = η ( µi , µ j ) có dạng chéo Dạng tồn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η V sở có biểu thức tọa độ dạng n ∑a x i i , = aii Cơ sở gọi sở η trực giao V, hay gọi tắt sở trực giao V i =1 η rõ Biểu thức gọi biểu thức tọa độ dạng tắc H Chú ý: “Trực giao” nói chương trước trực giao tích vơ hướng cho không gian vectơ Euclid 3.4.2 Đưa biểu thức tọa độ dạng tồn phương dạng tắc (phương pháp Lagrange) Giả sử sở (ε1 , ε , , ε n ) ℝ - khơng gian vectơ V cho dạng tồn phương n có biểu thức tọa độ: ∑ aij xi x j , aij = a ji i j =1 a Trường hợp 1: Giả sử có aii ≠ tiện ta giả thiết a11 ≠ biểu thức tọa độ cho viết ưới dạng : n n    a a  a11  x12 + x1 ∑ 1i xi  + số hạng không chứa x1 = a11  x1 + ∑ 1i xi  + số hạng i = a11 i = a11     không chứa x1 = a11 x '12 n ∑ a' k1 x 'k x '1 (a 'kl = a 'lk ) k ,l = n a1i  xi  x '1 = x1 + ∑ Trong đặt  i = a11  x ' = x , x = 2,3, , n k  k 44 n Đây công thức phép đổi tọa V Vậy ta đưa xét biểu thức ∑ a' kl x 'k x 'l với n – tọa k ,l = độ b Trường hợp 2: Nếu aii = có aij ≠ chẳng hạn a12 ≠ , n ∑a xx ij i j ta đặt : i j =1  x1 = x '1 + x '2   x2 = x '1 − x '2  x = x ' , s = 3, , n  s s (đây công thức phép đổi tọa độ) số hạng 2a12 x1 x2 trở thành 2a12 ( x '12 − x '2 ) nên n ∑a xx ij i n j i j =1 ∑ a' trở thành ij x 'i x ' j biểu thức hệ số x '12 2a12 ≠ Vậy ta lại đưa i j =1 trường hợp xét Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc x12 + x2 + x32 + x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 Hệ quả: ℝ - không gian vectơ V ln có sở η - trực giao dạng song tuyến tính đối xứng η cho trước V Nếu (ε1 , ε , , ε n ) sở η - trực giao V thì, biểu thức tọa độ H có dạng t ắc a1 x12 + + a p x p + a p +1 x p +12 + + a p + q x p + q a1 , , a p > 0, a p +1 , , a p + q < 0, p + q > η ≠ Ta xây dựng sở η - trực giao (ε1 ', ε ', , ε n ') cách đặt ε k , k = 1, 2, , p + q, ε s ' = ε s , s = p + q + 1, , n sở dạng toàn phương | ak | εk ' = tương ứng η có biểu thức tọa độ là: X 12 + + X p − X p +12 − − X p + q Biểu thức tọa độ gọi biểu thức tọa độ dạng chuẩn tắc dạng toàn phương tương ứng η 3.4.3 Hạng hạch dạng toàn phương Cho H dạng tồn phương có ma trận A sở (ε1 , ε , , ε n ) ℝ - không gian vectơ V Nếu ( µ1 , µ , , µ n ) sở khác V, C = (cij ) ma trận đổi sở, tức n µ j = ∑ cij ε i , j = 1, 2, , n sở ( µ1 , µ2 , , µn ) , H có ma trận A ' = C t AC Từ Hạng i =1 A’ ≤ Hạng A Mặt khác A = (C −1 )t A ' C −1 nên Hạng A ≤ Hạng A’ Vậy Hạng A = Hạng A’ 45 Hạng A gọi hạng H (hay hạng dạng cực η H) Khi dim V = hạng H ta nói H (hay η ) không suy biến Khi dim V > hạng H ta nói H (hay η ) suy biến η dạng song tuyến tính đối xứng ℝ - không gian vectơ hữu hạn chiều V a W khơng gian vectơ V η |W dạng song tuyến tính đối xứng (dạng tồn phương) W (có thể η khơng suy biến η |W suy biến) b Hai vectơ α, β g ọi trực giao với nế u η (α , β ) = Đặt W o = {α ∈ V | η (α , β ) = 0, ∀β ∈ W } W o khơng gian vectơ V Thực vậy, rõ ràng W o ổn định với phép toán cộng vectơ phép toán nhân vectơ với số W o khơng rỗng (vì ∈ W o ) c Nếu tổng trực tiếp W ⊕ Z hai không gian vectơ W, Z V có tính chất η (α , β ) = với α ∈ W , β ∈ Z ta viết W ⊕ Z thành W ⊕ Z gọi tổng trực tiếp trực giao W, Z d Gọi V o = {α ∈ V | η (α , β ) = 0, ∀β ∈ V } hạch η hạng η = dim V – dim V o với bù tuyến tính W V o V ta có η |W khơng suy biến V = V o ⊕ W V = V o ⊕ W rõ ràng V = V o ⊕ W Nếu η |W suy biến có α ∈ W − {0} cho η (α , β ) = 0, ∀ β ∈ W , từ α ∈ V o Điều vơ lý V o ∩ W = {0} Vậy η |W không suy biến 3.4.4 Định lý số qn tính Định nghĩa: H dạng tồn phương ℝ - khơng gian vectơ V Khi đó, H ánh xạ từ V đến ℝ Nói ℝ xác định H (α ) = kéo theo α = Nói H khơng âm H (α ) ≥ với α ∈V Nói H không dương H (α ) ≤ với α ∈ V Khi H xác định không âm (hay khơng dương) thường H xác định dương (xác định âm) Ta nói dạng cực η H xác định, không âm, không dương H Định lý: H dạng toàn phương ℝ - khơng gian vectơ hữu hạn chiều V tổng trực tiếp trực giao (đối với H): V = V+ ⊕ V− ⊕ Vo mà H | V+ xác định dương, H | V− xác định âm , H | Vo = Có thể có nhiều cách phân tích thế, nhứng Vo ln hạch H dim V+ = p, dim V− = q không đổi, p, q theo thứ tự gọi số dương quán tính, số âm quán tính H, cặp số (p,q) gọi số quán tính H (hay dạng cực η hay ma trận đối xứng A H sở V) Định lý thường gọi định lý số quán tính Sylvester 46 3.4.5 Định lý Sylvester Bổ đề: H dạng toàn phương ℝ - không gian vectơ V, (ε1 , ε , , ε n ) hệ vectơ độc lập tuyến tính V mà với k=1,2,…,n đặt Vk =< ε1 , ε , , ε k > H | Vk khơng suy biến xây dựng hệ vectơ ( µ1 , µ2 , , µn ) cách qui nạp sau: µ1 = e1 η (ek +1 µi ) µi H ( µi ) i =1 k µ k +1 = e k +1 − ∑ Thỏa mãn Vk =< µ1 , µ2 , , µk >,η ( µk , µi ) = (k ≠ i, i = 1, 2, , n) Định lý Sylvester: H dạng tồn phương ℝ - khơng gian vectơ hữu hạn chiều, A ma trận H sở Khi đó: H xác định dương ma trận vng góc trái A có định thức dương H xác định âm ma trận vuông góc trái A cấp chẵn có định thức dương, cấp lẻ có định thức âm 3.4.6 Dạng tồn phương không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều Cho dạng song tuyến tính đối xứng η khơng gian vectơ Euclid hữu hạn chiều E tương đương với cho tự đồng cấu đối xứng f E xác định bởi: f (α ).β = η (α , β ), ∀α , α ∈ E Thật dạng song tuyến tính đối xứng η E có ma trận đối xứng sở trực chuẩn E, mà tự đồng cấu f E đối xứng ma trận sở trực chuẩn E đối xứng dimE = n Xét ma trận đối xứng A η sở trực chuẩn (ε1 , ε , , ε n ) E Gọi n ( µ1 , µ2 , , µn ) sở trực chuẩn gồm vectơ riêng A, µi = ∑ c ji ε j , i = 1, 2, , n j =1 −1 t A ' = C AC = C AC ma trận dạng chéo η sở ( µ1 , µ2 , , µn ) Các phần tử 0  λ1    λ2  đường chéo giá trị riêng của: A ' =     λn  0 *) Tài liệu học tập: [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội *) Câu hỏi, tập, nội dung ôn tập thảo luận: 47 Trong sở trực chuẩn ( µ1 , µ2 , , µn ) khơng gian vectơ Euclid V, với vectơ α ≠ gọi θ i số đo hướng xác định µi α Chứng minh : n n i =1 i =1 α =|| α || ∑ (cosθi ) µi , ∑ cos 2θi = Trong không gian ℝ cho dạng song tuyến tính đối xứng xác định bởi: η (( xl1, x2 ), ( y1 , y2 )) = x1 y1 − x2 y1 + x5 y2 − x1 y2 Chứng minh (ℝ ,η ) không gian vectơ Euclid, trực chuẩn hóa Gram- Smit sở tắc ℝ Với không gian vectơ W không gian vectơ Euclid V hữu hạn chiều, xét phép chiếu lên thành phần thứ ⊥ p: V = W ⊕ W ⊥ → W Lấy sở trực chuẩn (ε1 , ε , , ε m ) W, chứng minh với m α ∈ V p (α ) = ∑ (α ε i ).ε i i =1 Hai hệ vectơ (α1 , , α m ), ( β1 , , β m ) không gian vectơ Euclid V gọi tương hỗ nếu: α i β j = δ ij , i, j = 1, , m Chứng minh a Nếu hệ (α1 , , α m ) độc lập tuyến tính hệ vectơ ( β1 , , β m ) tương hỗ với độc lập tuyến tính b Cho sở (ε1 , ε , , ε n ) V có hệ ( µ1 , µ2 , , µn ) tương hỗ với nó; n n n i =1 i =1 i =1 α = ∑ xi ε i xi = α µi β = ∑ yi µi α β = ∑ xi yi Giả sử W1 , W2 hai không gian vectơ không gian vectơ Euclid V hữu hạn chiều dim W1 < dim W2 chứng minh W2 có vectơ khác vectơ trực giao với vectơ W1 Gọi W không gian vectơ sinh hàm số 1, cosqx, sinqx với q = 1,2,…, m không gian vectơ thực hàm số liên tục giá trị thực xác định [0, 2π ] với tích vơ 2π hướng: f o g = ∫ f (t ).g (t ) dt o a Chứng minh W không gian vectơ Euclid b Chứng minh hệ {l, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosmx, sinmx} sở W c Hãy trực chuẩn hóa Gram- Smit sở W 48 Giả sử ( µ1 , µ2 , , µm ) hệ vectơ trực chuẩn không gian vectơ Euclid hay Unita Hãy chứng minh với vectơ α khơng gian đó, đặt xi = α µi (i = 1, 2, , m) m α ≥ ∑ | xi |2 (bất đẳng thức Betxen) i =1 Chứng minh với không gian vectơ Euclid n chiều V ánh xạ: V → Hom(V , R ) α ֏ ( x ֏ x.α ) đẳng cấu (giữa không gian vectơ thực ) Cho sở trực chuẩn (ε1 , ε , ε ) không gian vectơ Euclid chiều V Xét tự đồng cấu f V mà 1− 1+ f (ε1 ) = ε1 + ε2 + ε3 3 f (ε ) = 1+ λ− ε1 + ε + ε3 3 Hãy tìm f (ε ) để f tự đồng cấu trực giao; xác định tất không gian f- bất biến 10 Cho hai hệ vectơ {α1 , α , , α m },{β1 , β , , β m } không gian vectơ Euclid n chiều V Chứng minh có đồng cấu trực giao V biến α i thành βi (i = 1,2,…, m) α i α j = βi β j với i, j = 1, 2,…, m 11 Gọi SO( V ) nhóm biến đổi tuyến tính trực giao khơng gian vectơ Euclid hai chiều V có định thức dương Chứng minh rằng: a Nếu f ∈ SO (V ) ma trận sở trực chuẩn hướng V giống b Nhóm SO (V ) nhóm giao hốn c Nhóm SO (V ) tác động bắc cầu đơn lên tập S = {α ∈ V ,|| α ||= 1} , tức cho α , α ' ∈ S có f ∈ SO (V ) mà f (α ) = α ' 12 Chứng minh đẳng cấu khơng gian vectơ Euclid n chiều, hốn vị vectơ sở trực chuẩn cho trước biến đổi tuyến tính trực giao Tính định thức biến đổi tuyến tính trực giao Viết ma trận trực giao dạng tắc trường hợp n = 2, n = 13 Cho đồng cấu trực giao f không gian vectơ Euclid n chiều V Chứng minh có khai triển thành tổng trực tiếp trực giao không gian f- bất biến: 49 V = W p ⊕ Z q ⊕ V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Ws dim W p = p, dim Z q = q, dim V j = 2( j = 2, , s ) f | W p = Id w p, f | Z q = − Id Z q V j có sở trực chuẩn để f| V j có ma trận  cosϕi dạng:   sin ϕi − sin ϕi   , < ϕi < π cosϕi  Chứng minh số p, q, s, ϕi (i = 1, 2,…, s) hoàn tồn xác định, khơng gian W p , Z q hoàn toàn xác định ϕ1 , ϕ , , ϕ s khác cặp khơng gian V1 ,V2 , ,Vs hồn toàn xác định 14 Cho ma trận thực A: 0  a  1  1 1 1   0 2  −1 b   −1   11  c   −8  2 10 −8  10    5 1  e  1  1 1 −1 −1 −1 −1 1  −1  −1   1 −1  2   2  17  d  −8 4  −8 17 −4    f       −4    11         Hãy tìm ma trận trực giao C để C −1 AC có dạng chéo 15 Chứng minh từ hai ba tính chất sau suy tính chất thứ ba tự đồng cấu f không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều V: f đối xứng, f trực giao, f đối hợp (tức f = id ) 16 Cho f: V → V ánh xạ từ không gian vectơ Euclid đến Chứng minh ánh xạ thỏa mãn f (α ).β = α f ( β ) với vectơ α , β ∈ V f ánh xạ tuyến tính (tức f trở thành đối xứng) 17 Chứng minh ánh xạ tuyến tính f : V → V khơng gian vectơ Euclid đến thỏa mãn f (α ).α = 0, ∀α ∈ V f (α ).β = − f ( β ).α ∀α , β ∈ V điều tương đương với ma trận A f sở trực chuẩn V phải ma trận phản đối xứng 18 Viết ma trận biểu thức tọa độ dạng cực dạng toàn phương H ℝ sở tắc, biết biểu thức tọa độ cực H sở là: a x12 + x2 − x33 + x1 x2 − x2 x3 b ( x1 + x2 − x3 )( x1 − x2 ) 50 19 Trong không gian vectơ Euclid ℝ cho dạng toàn phương a x12 + x2 − x32 + x1 x2 − x1 x3 b x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 Dùng phương pháp Lagrange đưa biểu thức tọa độ dạng tắc, viết cơng thức biến đổi, viết số qn tính dạng tồn phương đó, viết ma trận dạng toàn phương trước sau đổi biến 20 Trong ℝ , tìm hạch hạng dạng toàn phương sau: a x1 x3 + x2 x3 + x3 b x12 + x2 − x3 + x1 x2 − x1 x3 21 Xác định λ để dạng toàn phương sau xác định dương: a x12 + x2 + λ x3 + x1 x2 − x1x3 − x2 x3 b x12 + x2 + x3 + 2λ x1 x2 + x1 x3 c x12 + x2 + x3 + 2λ x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 Xác định giá trị riêng sở trực chuẩn gồm vectơ riêng ma trận sau, đưa chúng dạng chéo: 6  a  −2 2  22 −2 2 0   7 1  b  1  −5 1 2   1 5  c  −1 2  −1 2 2   2 η dạng song tuyến tính đối xứng R- khơng gian vectơ hữu hạn chiều V Với hệ vectơ (α1 , α , , α n ) V, đặt Gr (α1 , α , , α n ) định thức ma trận vuông cấp n (η (α i , α j )) (gọi định thức Gram hệ vectơ đó) a Chứng minh hệ (α1 , α , , α n ) phụ thuộc tuyến tính Gr (α1 , α , , α n ) =0 b Chứng minh cộng vào vectơ hệ tổ hợp tuyến tính cá vectơ khác hệ định thức Gram hệ vectơ cho không đổi c Khi η xác định dương, chưng sminh hệ vectơ cho độc lập tuyến tính định thức Gram hệ vectơ số dương d Khi η xác định dương, dim V = n ký hiệu ∆ định thức hệ vectơ {α1 , α , , α n } sở η - trực chuẩn V, Chứng minh Gr (α1 , α , , α n ) = ∆ 51 Tài liệu tham khảo [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Dỗn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Duy Thuận (2003), Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP, Hà Nội [5] Nguyễn Duy Thuận, Nông Quốc Chinh (2003), Bài tập Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP Hà Nội 52 ... ∈ M (2, K ) det A = 11 12 = sgn   a11a 22 + sgn   a21a 12 = a11a 22 − a21a 12 a21 a 22 1   1  a21 a 22   a11 a 12 a13  A =  a21 a 22 a23  ∈ M (3, K )    a31 a 32 a33    1  1  1... a11a 12 a33 +   a31a 12 a23 + sgn   a21a 32 a13 + sgn   a31a 22 a13 1  3 2? ??  1  1 1  1  + sgn   a 12 a 32 a23 + sgn   a21a 12 a23 1   3 = a11a 12 a33 + a31a 12 a23 + a21a 32 a13... ? ?2 + a11 a21 a 12 a 22 ε3 tích hỗn tạp: E3 x E3 x E3 → R (α1 , α , α ) ֏ (α1 ∧ α )α = a13 a21 a31 a 22 a 32 + a23 a31 a11 a 32 a 12 + a33 a11 a21 a 12 a 22 = ∑ sgn σ (a)σ σ ∈ S3 (1)1 aσ (2) 2 aσ (3)3