ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ ĐẠI SỐ (Dùng cho sinh viên hệ Đại học Sư Phạm Toán – 3 TC)

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ ĐẠI SỐ (Dùng cho sinh viên hệ Đại học Sư Phạm Toán – TC) CHƯƠNG Sơ lược số cấu trúc đại số Số tiết: 10 (Lý thuyết tiết; tập, thảo luận: tiết) A) MỤC TIÊU: Sinh viên hiểu khái niệm, tính chất, kiến thức về đại số: Vành, số bổ đề iđêan, tính chia hết vành, vành chính; Khơng gian véctơ, vết định thức đa thức đặc trưng; Môđun, môđun tự do, môđun kiểu hữu hạn, hạng mô đun, môđun vành chính; Trường, đơn vị trường, đặc số trường, trường hữu hạn Vận dụng giải tập cấu trúc đại số B) NỘI DUNG : 1.1 Vành 1.1.1 Những khái niệm Các vành giả sử giao hốn có đơn vị Cho vành A, ta kí hiệu A[ x] hày A[ y ] vành đa thức biến A Ta kí hiệu A[ x1 , ,xn ] vành đa thức n biến A[[X]] vành chuỗi hình thức Theo quy ước đây, vành A vành B chứa đơn vị B Giả sử A vành vành B, x ∈ B , ta kí hiệu A[ x] vành B sinh A x, giao vành B chứa A x; phần tử A[ x] có dạng a0 + a1 x + … + an x n ( ∈ A) ; ta kí hiệu A[ x1 ,…,xn ] vành B sinh A họ hữu hạn ( x1 ,…, xn ) phần tử B Một vành A gọi miền ngun (hay khơng có ước khơng) a khác vành tích hai phần tử khác không tuỳ ý A phần tử khác không Một Iđêan I vành A nhóm cộng nhóm cộng A cho x ∈ I kéo theo ax ∈ I ; A {0} Iđêan A, gọi Iđêan tầm thường Một trường a∈ A có hai Iđêan tầm thường, đặc trưng cho vành Cho họ ( bi ) phần tử vành A, giao Iđêan A chứa bi Iđêan A, gọi Iđêan sinh bi , tập hợp họ hữu hạn ∑a b i i với ∈ A Một Iđêan sinh phần tử b gọi Iđêan chính, kí i hiệu Ab hay (b) Cho vành A Iđêan I A Các lớp tương đương a + I ( a ∈ A) làm thành vành, gọi vành thương A I kí hiệu A/I Các Iđêan A/I có dạng J/I J chạy khắp tập hợp Iđêan A chứa I Để A/I trường cần đủ tối đại Iđêan A khác A; lúc ta bảo I iđêan tối đại Một iđêan P nguyên tố A/P miền nguyên Cho hai vành A A ' , với đơn vị e e ' , đồng cấu vành f : A → A ' phải hiểu biến đơn vị thành đơn vị , nghĩa f (e) = e ' Cho vành A, A- đại số vành B trang bị đồng cấu ϕ : A → B , ta đặt ax = ϕ ( a ) x , với a ∈ A x ∈ B Nếu A trường ϕ đơn ánh, người ta thường đồng A với ảnh ϕ ( A) nó, ϕ ( A) vành vành B 1.1.2 Một số bổ đề iđêan Bổ đề Giả sử X vành, A B iđêan X cho A + B = X Thế A ∩ B = AB ánh xạ tắc f :X →X A ×X B x ֏ ( x + A, x + B ) Là toàn cấu ker f = AB ; ta có đẳng cấu f : X AB ɶ →X A ×X B Bổ đề (Định lí Trung Hoa dư) Giả sử X vành, ( Ai )1≤i ≤ n n iđêan X cho Ai + Aj = X với i ≠ j Lúc ta có đẳng cấu tắc X n A1 An  ∏ X → i =1 Ai 1.1.3 Khái niệm chia hết vành Giả sử A miền nguyên, K trường thương nó, x y phần tử K Ta bảo x chia hết y tồn a ∈ A cho y = ax ; ta nói x ước y, y bội x; ta kí hiệu x|y Quan hệ x y định nghĩa phụ thuộc vào vành A, ta nói quan hệ chia hết K A Cho x ∈ K , tập hợp bội x Ax Như x|y ⇔ y ∈ Ax ⇔ Ay ⊂ Ax Tập hợp Ax gọi iđêan phân K A; x ∈ A , Ax iđêan (mà ta biết) A sinh x Vì quan hệ chia hết x|y tương đương với quan hệ thứ tự: x | y; x | y y | z ⇒ x | z Nhưng ta khơng có x | y; x | y ⇒ x = y mà ta có Ax = Ay ; gạt trường hợp Ax = Ay = , nghĩa x = y = , ta x = vy (v ∈ A) , y = ux(u ∈ A) hay x = uvx , hay uv = , điều cho ta u v phần tử khả nghịch A; hai phần tử x y khác phần tử khả nghịch A gọi liên kết, người ta không phân biệt chúng quan điểm chia hết Các phần tử K liên kết với phần tử khả nghịch A, người ta thường gọi đơn vị A, chúng lập thành nhóm phép nhân, kí hiệu A* Việc xác định đơn vị mà vành toán hay xét tới, vừa làm cho vành ℤ nℤ số đơn vị ϕ (n) Chúng ta xét số vành đơn giản: 1) Nếu A trường, A* A – {0}; 2) Nếu A = ℤ; A* = {1; −1} 3) Các đơn vị vành B = A[X1 , ,X n ] đa thức khả nghịch, nghĩa * * A =B 4) Các đơn vị vành chuỗi hình thức B = A[[X]] chuỗi hình thức mà hạng tử khả nghịch Thật vậy, f = a0 + a1 X + + ak X k + có nghịch đảo g = b0 + b1 X + + bk X k + fg = a1b0 + (a0b1 + a1b0 ) X + + ( a1bk + a1bk + + ak b1 ) X k + = Vậy a0b0 = , nghĩa a0 khả nghịch Đảo lại giả sử f có a0 khả nghịch, nghịch đảo g f xác định sau: − b0 = a0 − b1 = −a0 (a1b0 ) ……………… − bk = −a0 (a1bk −1 + + ak b0 ) …………… Tương tự, ta có đơn vị vành chuỗi hình thức B = A[[X , , X n ]] chuỗi hình thức mà hạng tử khả nghịch Ta chứng minh tương tự cách viết f ∈ B sau: f = ( f , f1 , ., f k , ) Trong f dãy đa thức f k lấy hệ tử A, thức khơng có bậc K Phép cộng phép nhân sau: f + g = ( f + g , f1 + g1 , , f k + g k , ) fg = ( f g +, f g1 + f1 g , , f g k + f1 g k −1 + + f k g + ) Nếu f có nghịch đảo g fg = , nghĩa f khả nghịch Đảo lại, f đơn vị A, ta theo thứ tự có đa thức g , g1 , , g k , với g k hoặc có bậc k, cho f g = 1, f g1 + f1 g = 0, , f g k + f1 g k −1 + + f l g = 0, Thật vậy, ta xác định gi sau: gi = f 0−1 g1 = − f 0−1 ( f1 g ) ……………… g1k = − f 0−1 ( f1 g k −1 + + f k g ) ……………… Và rõ ràng g k có bậc k Đặt g = ( g , , g k , ) ta đặc fg = 1.1.4 Vành Giả sử A vành K trường thương Ta lấy lại quan hệ chia hết K A, trường hợp A vành chính; tổng qt hố khái niệm chia hêt vành A Hai phần tử u , v ∈ K có ước chung lớn (ƯCLN) d ∈ K x|u x|v ⇔ x|vd, ∀x ∈ K Điều có nghĩa Au Av có Ad iđêan bé tập hợp xếp thứ tự iđêan phân chứa chúng: Au ⊂ Ax Av ⊂ Ax ⇔ Ad ⊂ Ax, ∀x ∈ K Thông thường A khơng phải vành chính, Au + Av iđêan bé iđêan chứa p r Au , Ax Khi A vành chính, sau đưa u v có mẫu: u = , v = , ta được: s s 1 Au + Av = ( Ap + Ar ) = Aq ∈ A với d = q / s Vậy Ad iđêan bé iđêan phân s s chứa Au Av Như vậy, A vành ước chung lớn d hai phần tử tuỳ ý u, v ∈ K tồn tại, ta có đẳng thức Bezout: d = au + bv Với hai phần tử a, b ∈ A đó, từ đẳng thức iđêan: Ad = Au + Av Hai phần tử u , v ∈ K có bội chung nhỏ (BCNN) m ∈ K nếu: x|u x|v ⇔ m|x, ∀x ∈ k Vậy Am iđêan lớn tập hợp thứ tự iđêan phần chứa Au Av Cũng lí luận trên, với A vành bội chung nhỏ m u v luôn tồn tại, Am = Au ∩ Av Ta ý việc chuyển sang nghịch đảo t ֏ t −1 làm đổi chiều quan hệ chia hết cho ta: BCNN (u, v)= (ƯCLN( u −1 , v −1 )) −1 (với u , v ≠ ) Từ ta có cơng thức biết: ƯCLN (u, v) , BCNN (u, v) = uv Hai phần tử a, b ∈ A nguyên tố ƯCLN(a, b) môt đơn vị Trong vành A, giả sử a, b, c ∈ A a|bc: a nguyên tố với b a phải chia hết cho c Cuối ta nhắc lại phân tích thành nhân tử ngun tố (hay cịn gọi bất khả quy) vành Cho vành A trường thương K nó, có phận P (những phần tử vp ( x) bất khả quy) A cho c ∈ K * viết dạng cx = u ∏ p Trong u phần tử đơn vị A, mũ v p ( x ) số nguyên tất trừ số hữu hạn 1.2 Không gian véctơ 1.2.1 Định nghĩa không gian vectơ Giả sử E tập hợp mà phần tử kí hiệu x, y, z,…., K trường mà phần tử kí hiệu λ , µ , γ Giả sử cho hai phép giải tốn - Phép cộng: E → E ( x, y ) ֏ x + y - Phép nhân phần từ K với phần tử E K×E → E (λ , y ) ֏ λ + y Thoả mãn tính chất sau với λ , µ ∈ K 1) E với phép cộng nhóm Aben 2) Phép nhân phân phối với phép cộng K: (λ + µ )x = λ x + µ x 3) Phép nhân phân phối phép cộng E; λ ( x + y) = λ x + λ y 4) Phép nhân kết hợp: (λµ ) x = λ ( µ x) 5) 1x = x , đơn vị trường K Lúc ta bảo E với phép cộng E phép nhân với phân tử trường K, thoả mãn tính chất 1, 2, 3, 4, không gian véc tơ trường K, hay không gian K hiểu ngầm 1.2.2 Vết, định thức đa thức đặc trưng Giả sử E K – không gian véctơ n chiều, u tự đồng cấu E, ( ei )1≤i ≤ n sở E, (aij ) ma trận u sở Ta nhắc lại vết, định thức dạng đa thức đặc trưng n u: Tr ( u ) = ∑ aii det(u ) = det( aii ), det( XI E − u ) i =1 Các đại lượng không phụ thuộc vào sở ta chọn, ta có: Tr (u + u ') = Tr (u ) + Tr (u ') det(uu ') = det(u ) det(u ') det( X I E − u ) = X m − (Tru ) X n −1 + + (−1) n det u 1.3 Môđun 1.3.1 Định nghĩa môđun Giả sử E tập hợp mà phần tử kí hiệu x, y, z…., A vành (vẫn giả sử giao hốn có đơn vị quy ước từ đầu) mà phần tử kí hiệu λ , µ , γ Giả sử cho hai phép toán - Phép cộng: E×E → E ( x, y ) ֏ x + y - Phép nhân phần tử A với phần tử E; A× E → E (λ , x ) ֏ λ x Thoả mãn tính chất sau với với x, y ∈ E với λ , µ ∈ A : 1) E với phép cộng nhóm Aben 2) Phép nhân phân phối với phép cộng vành A: (λ + µ )x = λ x + µ x 3) Phép nhân phân phối với phép cộng E: λ ( x + y) = λ x + λ y 4, Phép nhân kết hợp (λµ ) = λ ( µ x) 5, 1x = x , đơn vị vành A Lúc ta bảo E với phép cộng E phép nhân với phần tử vành A thoả mã tính chất 1, 2, 3, 4, mơt môđun vành A, hay A- môđun, hay môn đun A hiểu ngầm 1.3.2 Môđun tự Cho vành A tập hợp L Ta kí hiệu A−1 mơđun tích: A−1 = {(ai )i∈I ; ∈ A} Với cấu trúc A- môđun xác định thành phần: ( ) + (bi ) = ( + bi ), λ ( ) = (λ ) : , bi , λ ∈ A Ta kí hiệu A(1) mơ đun sau A1 : A(1) = {(ai )i∈I | = tất trừ số hữu hạn} Trong A(1) ta xét phần tử e j = (δ ji ) j∈I cho δ ji = δ ji = với i ≠ j Mọi phần tử (a j ) j∈I A(1) viết cách dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn e j (do a j = tất trừ số hữu hạn): (a j ) j = ∑ a j e j j∈I Người ta bảo (e j ) j∈I sở tắc A(1) A(1) môn đun có sở Khi I hữu hạn AI = A( I ) ; đặc biệt I có phần tử AI = A( I ) = A A – môđun tự với sở tắc {1}, phần tử đơn vị vành A Giả sử M A–môđun, ( xi )i∈I họ phần tử M Cũng không gian véc tơ, ánh xạ e1 ֏ xi , i ∈ I mở rộng cách thành ánh xạ tuyến tính từ mơ đun tự A(1) vào mô đun M f : A(1) → M (ai )i∈I = ∑ ei ֏ ∑ xi i∈I i∈I Và ta có tương đương sau đây: ( xi )i∈I độc lập tuyến tính ⇔ f đơn ánh ( xi )i∈I hệ sinh ⇔ f toàn ánh ( xi )i∈I sở ⇔ f song ánh 1.3.3 Môđun kiểu hữu hạn Bổ đề Giả sử E tập hợp thứ tự Các điều kiện sau tương đương: a) Mọi họ không rỗng phần tử E có phần tử tối đại b) Mọi dãy tăng ( xn ) n ≥ phần tử E dừng (nghĩa tồn n0 cho xn = xn0 với n ≥ n ) Chứng minh: a) ⇒ b) Giả sử xm phần tử tối đại dãy tăng (xn) Với n ≥ m, ta có xn ≥ xm(dãy tăng), xm tối đại, nên xn = xm b) ⇒ a) Giả sử ∅ ≠ S ⊂ E , S phần tử tối đại Xới x ∈ S, gọi σ ( x ) tập hợp phần tử S chặt chẽ lớn x, σ (x) khơng rỗng S khơng có phần tử tối đại Theo tiên đề chọn ta có ánh xạ f: S S cho f(x) ∈ σ(x) hay f(x) > x với x ∈ S Vì S ≠ Ø, ta chọn xo ∈ S, ta xác định quy nạp dãy (xn)n ≥ cách đặt xn + = f(xn) Dãy chặt chẽ tăng, khơng dừng, trái với b) Từ có điều phải chứng minh Định lý Giả sử M A – môđun Các điều kiện sau tương đương: a) Mọi họ rỗng mô đun M có phần tử tối đại (đối với quan hệ bao hàm) b) Mọi dãy tăng ( M n ) n≥ (đối với quan hệ bao hàm) mô đun M dừng c) Mọi mơ đun M có kiểu hữu hạn Chứng minh: a) ⇒ c) Giả sử N môđun M E họ môđun kiểu hữu hạn N E ≠ Ø (0) ∈ E Theo a) E có phần tử tối đại P Với x∈ N, P + Ax mơđun kiểu hữu hạn N có hệ sinh hữu hạn hợp hệ sinh hữu hạn P với { x} Vậy, P + Ax ∈ E Nhưng P tối đại E nên P + Ax = P, từ x ∈ P, N ⊂ P Nhưng P ⊂ N, P = N, N có kiểu hữu hạn c) ⇒ b) Giả sử (Mn)n ≥ dãy tăng mơđun M Thế N = ∪ M n n≥0 môđun M Theo c) N có hệ sinh hữu hạn (x1,…., xs) Vì xi ∈ N, nên có xi ∈ M ni với số ni Giả sử n0 số lớn n1, , ns Vậy ta có xi ∈ M n0 với i, từ N ⊂ M n N = M n0 Với n ≥ n0, bao hàm thức M n0 ⊂ Mn ⊂ N đẳng thức M n = N cho ta M n = M Vậy dãy (Mn) dừng từ n0 0 Bổ đề cho ta a) ⇔ b) Vậy chứng minh kết thúc Hệ Trong vành A, họ khơng rỗng Iđêan A có phàn tử tối đại Chứng minh: Thật vậy, môđun A - môđun A iđêan Các iđêan có dạng Ax A chính, mơđun kiểu hữu hạn Áp dụng c) ⇒ a) định lý 1.3.4 Hạng Môđun Giả sử A miền nguyên K trường thương Xét A – môđun tự A(I) K– không gian vectơ K (I), với I tập hợp Hiển nhiên ta coi K(I) A – mơđun, lúc A(I) A–môđun A–môđun K(I) Bây ta xét môđun M A(I), mơđun A–môđun K(I) Gọi E K–không gian sinh A–môđun M K(I), phần tử E có dạng : 1  E =  x | ≠ a ∈ A, x ∈ M  a  Thật vậy, E không gian K(I) 1 1 x1 + x2 = (a2 x1 + a1 x2 ) = x; a1 a2 a1a2 a a = a1a1 ∈ A; x = a2 a1 + a1a2 ∈ M b1  1  x  = bx = y; d = ca ∈ A, y = bx ∈ M ; c  a  ca d Và hiển nhiên E chứa M Cuối cùng, không gian K(I) chứa M chứa E Giả sử ta có mơđun N A(I) đẳng cấu với M đẳng cấu f: M → N; giả sử F K–không gian sinh A–mơđun N K(I) Thế f mở rộng thành đẳng cấu (K không gian vectơ) ϕ : 1  x ֏ ϕ  x  = f ( x ) từ E lên F Trước hết ϕ ánh xạ vì: a a  a 1 1 x = x'⇒ a'x = ax ' ⇒ a ' x = ax ' a a' aa ' aa ' ⇒ f ( a ' x ) = f ( ax ') ⇒ a ' f ( x ) = af ( x ') ⇒ a' a f ( x) = f ( x ') aa ' aa ' ⇒ 1 1  1  f ( x ) = f ( x ') ⇒ ϕ  x  = ϕ  x '  a a' a   a'  Ta kiểm tra ϕ ánh xạ tuyến tính song ánh Như vậy, M ≃ N E ≃ F dim E = dim F Bây giả sử M môđun A – mô đun tự X, giả sử (xi)i ∈ I sở X Theo kết ta có song ánh xi ֏ ei, i∈I, từ sở (xi)i ∈ I lên sở tắc (ei)i ∈ I A–mô đun tự A(I) cho ta đẳng cấu f A–môđun tự X A–môđun tự A(I) Lúc f hạn chế vào M cho ta M ≃ f(M) Nếu ta thay đổi sở X, lấy ( xi' ) song ánh xi' ֏ ei cho ta đẳng cấu f ' : X ≃ A (I ) i∈I chẳng hạn, M ≃ f ' ( M ) Như vậy, M môđun môđun tự do, ta nhúng M vào mơđun tự A(I), phép nhúng khơng nhất, ảnh nhúng đẳng cấu Định nghĩa Giả sử M môđun môđun tự X = A( I ) miền nguyên A, K trường thương A Nhúng M A( I ) coi M môđun A( I ) , A( I ) nhúng K ( I ) Chiều không gian sinh M gọi hạng M 1.3.5 Mơđun vành Định lí Mọi mơđun M mô đun tự X vành A A – mơđun tự Chứng minh: Ta biết A – mô đun tự X với sở {ei }i∈I đẳng cấu với A– môđun tự A(I), để chứng minh định lí giả sử X = A(I), X A–mô đun tự với sở tắc {ei }i∈I Ta trang bị cho I thứ tự tốt, kí hiệu Xi môđun sinh {e } j j ≤i , đặt M i = X i ∩ M Các phép chiếu : pri : A( ) → A I ( xi )i∈I ֏ xi Cho ta môđun pri(Mi), i ∈ I, A–môđun A Nhưng môđun A– môđun A iđêan vành A, nên pri(Mi) = Aai, ∈A Mi ta chọn phần tử bi cho pri(bi) = ta quy ước lấy bi = = Ta chứng minh qui nạp siêu hạn ( b j ) ( bi )i∈I j ≤i sinh Mi với i∈I, từ kéo theo họ sinh M Giả sử với k < i , ta có Mk sinh ( b j ) j≤k Lấy x ∈Mi, ta có prj(x) = α a1, α ∈A; pri (x – α bi) = pri(x) – pri( α bi) = α – α = 0, từ x – α bi ∈Mk, với k < i Theo giả thiết quy nạp x – α bi tổ hợp tuyến tính họ ( b j ) c h ọ ( b j ) j ≤i j≤k , x tổ hợp tuyến tính Bây ta chứng minh phần tử khác họ (bi)i∈ I độc lập tuyến tính Ta chứng minh phản chứng Giả sử có tổ hợp tuyến tính bi khác cho ∑β b = i i i 10 Từ suy ước ζ + ℤ [ζ ] có chuẩn 41 Cho ζ − ước ζ + , tìm ước khác Chứng minh ζ − đơn vị (ζ + ) ℤ [ζ ] Bài Chứng minh nhóm nhân phần tử khác khơng ℤ xyclic với hệ sinh lớp thặng dư Nếu ζ = e 2π i , định nghĩa đơn cấu σ : ℚ (ζ ) → ℂ xác định σ (ζ ) = ζ Chứng minh tất đơn cấu từ ℚ (ζ ) đến ℂ có dạng σ i (1 ≤ i ≤ ) , với ζ = Với phần tử α ∈ ℚ (ζ ) , xác định c (α ) = ασ (α ) σ (α ) N (α ) = c (α ) σ c (α ) Chứng minh c (α ) = σ c (α ) = σ c (α ) Bằng cách sử dụng đẳng thức + ζ + + ζ = , chứng minh phần tử α ∈ ℚ (ζ ) viết dạng ∑ a ζ ( a ∈ ℚ) i i i Suy c (α ) = a1θ1 + a2θ với i =1 θ1 = ζ + ζ + ζ , θ = ζ + ζ + ζ Từ ta có θ1 + θ = −1 tính θ1θ Chứng minh c (α ) viết dạng b0 + b1θ1 với b0 , b1 ∈ ℚ , σ c (α ) = b0 + b1θ Do đó, N (α ) = b02 + b0b1 + 2b2 Hãy tính, N (ζ + 5ζ ) Bài Cho p số nguyên tố ζ = e 2π i p Biết nhóm phần tử khác không ℤ p xyclic, chứng minh tồn đơn cấu σ : ℚ (ζ ) → ℂ cho σ p −1 ánh xạ đồng tất đơn cấu từ ℚ (ζ ) đến ℂ có dạng σ i (1 ≤ i ≤ p − 1) Với p − = kr , xác định ckσ (α ) = ασ r (α ) σ r (α ) σ ( k −1) r (α ) Chứng minh: N (α ) = ck (α ) σ ck (α ) σ ( k −1) ck (α ) Chứng minh phần tử ℚ (ζ ) biểu diễn dạng p −1 ∑aζ i i i =1 σ k {ck (α )} = ck (α ) , suy ck (α ) = b1η1 + b2η2 + + bkηk , với: η1 = ζ + σ r (ζ ) + σ r (ζ ) + + σ ( k −1)r (ζ ) ηi +1 = σ i (η1 ) Giải thích kết trường hợp p = 5, k = r = , cách lớp thặng dư hệ sinh nhóm phần tử khác khơng ℤ Chứng minh c2 (α ) có dạng b1η1 + b2η2 với η1 = ζ + ζ , η1 = ζ + ζ Tính chuẩn vết phần tử sau ℚ (ζ ) : 42 a ζ + 2ζ b ζ + ζ c 15ζ + 15ζ d ζ + ζ + ζ + ζ Bài 10 Trong ℤ  −5  , có hai phân tích nhân tử là:   ( )( = 2.3 = + −5 − −5 ( )( ) ) Chứng minh 2, 3, + −5 , − −5 khơng có nhân tử thực ℤ  −5  (Gợi ý:   Nếu γ = αβ N ( γ ) = N (α ) N ( β ) ) Suy ℤ  −5  có ước không thực sự,   ước tích αβ mà khơng ước αβ β 43 CHƯƠNG Một số vành số học Số tiết: 10 (Lý thuyết: tiết; tập, thảo luận: tiết) A) MỤC TIÊU: Sinh viên hiểu khái niệm, tính chất số vành số học: Vành Euclide, vành chính, vành Gauss; Vành Noether, ứng dụng vào vành phần tử nguyên, iđêan vành Noether; Vành Dedekin, vị nhóm iđêan phân khác không vành Dedekin, chuẩn iđêan Vận dụng giải tập liên quan đến tính chất số học vành: chính, Gauss, Euclide B) NỘI DUNG: 3.1 Các vành Euclid, Gauss 3.1.1 Vành Euclide a Định nghĩa: Giả sử A miền nguyên, A* = A − {0} Miền nguyên A với ánh xạ (gọi ánh xạ Euclide) δ : A* → ℕ từ A * đến tập hợp số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau: i) Nếu b|a a ≠ δ (b) ≤ δ (a ) ; ii) Với hai phần tử tùy ý a b A, b ≠ có q r thuộc A cho a = bq + r δ (r ) ≤ δ (b) r ≠ ; Gọi Vành Euclide Phần tử r (theo thứ tự q) gọi dư (theo thứ tự thương) phép chia a cho b Ta nói Vành Euclide vành có phép chia với dư b Tính chất: 1) Nếu a, b ∈ A * liên kết δ (b) ≤ δ (a ) Điều suy trực tiếp từ tính chất 1) ánh xạ Euclide 2) Nếu a|b δ (b) ≤ δ (a ) a b liên kết Thật lấy a chia cho b ta a = bq + r Nếu r ≠ δ (r ) ≤ δ (b) = δ (a ) Mặt khác a|b nên a chia hết r = a − bq ; δ (a ) ≤ δ (r ) , mâu thuẫn với δ (r ) ≤ δ (a ) Từ r = 0, a = bq, nghĩa a|b Kết hợp với giả thiết a|b, ta a b liên kết 3) Nếu u đơn vị (phần tử khả nghịch A) δ (u ) = δ (1) đảo lại Thật vậy, u đơn vị u l liên kết, nên δ (u ) = δ (1) theo 1) Đảo lại, giả sử δ (u ) = δ (1) ; Vì l|u, nên theo 2) ta có u l liên kết, nghĩa u đơn vị c Ví dụ: 1) Các vành số nguyên ℤ vành K[X] đa thức ẩn trường K vành Euclide quen thuộc 44 2) Vành số nguyên Gauss A = ℤ [i] = {a + bi | a, b ∈ ℤ } vành Euclide A vành phần tử nguyên trường toàn phương ℚ  −1    3) Vành A = {a + bi | a, b ∈ ℤ } phần tử nguyên trường toàn phương ℚ  −2    vành Euclide 3.1.2 Vành a Định nghĩa Một miền nguyên A gọi vành nến iđêan b Định lí Nếu A vành Euclide A vành Ví dụ: 1) Các vành ví dụ vành vành Euclide    1+i 19    2) Vành A = a + b    | a, b ∈ ℤ  phần tử nguyên trường toàn phương        ℚ  19  vành chính, khơng phải vành Euclide   c Định lí Giả sử A vành chính, a, b ∈ A Thế ƯCLN d BCNN m a b tồn tại, ta có đẳng thức iđêan Aa + Ab = Ad , Aa ∩ Ab = Am d Định lí Giả sử A vành chính, thì: 1) Mọi phần tử A khác khác đơn vị (phần từ khả nghịch) viết thành tích phần tử bất khả quy 2) Sự phân tích không kể đến thứ tự phần bất khả quy nhân tử đơn vị 3.1.3 Vành Gauss a Định nghĩa Một miền nguyên A vành Gauss thỏa mãn điều kiện sau: G1) Mọi phần tử khác không khác đơn vị A viết thành tích phần tử bất khả quy G2) Sự phân tích không kể đến nhân tử đơn vị thứ tự phần tử bất khả quy b Định lí Đối với miền nguyên A thỏa mãn G1) điều kiện G2) tương đương với điều kiện sau: G3) Nếu p phần tử bất khả quy A p chia hết cho tích ab p chia hết nhân tử a, b Trong vành Gauss A, ƯCLN BCNN hai phần tử a,b ∈A tồn tại; a b khác khác đơn vị, có G1 G2 nên cách lấy ƯCLN BCNN làm số nguyên cách xem phân tích thành tích phần tử bất khả quy Nếu ƯCLN a b đơn vị, ta bảo a b nguyên tố Nếu c|ab c nguyên tố với a, c|b Nếu a b nguyên tố a|c b|c ab|c 45 Ta biết vành đa thức K[X] ẩn X trường K vành Euclide, vành Gauss Định lí quan trọng mở rộng kết c Định lí Vành đa thức A [ X ] ẩn X vành Gauss A vành Gauss d Định nghĩa Một đa thức f ( X ) ∈ A [ X ] , với A vành Gauss, gọi nguyên hệ tử khơng có ước chung (khác đơn vị) e Bổ đề (Bổ đề Gauss) Nếu f ( X ), g ( X ) ∈ A [ X ] c( fg ) = c( f )c( g ) Đặc biệt biệt tích củaa hai đa thức nguyên đa thức nguyên Chứng minh: Đặt c = c(f), d = c(g), lúc f(X) = cf1(X), g(X) = dg1(X), với f1(X) g1(X) nguyên Vì fg = (cd)f1g1, ta cần chứng minh f1g1 nguyên – nghĩa cần chứng minh khẳng định thứ hai bổ đề Nếu f1g1 không nguyên bản, giả sử p phần bất khả quy A chia hết hệ tử f1g1 Giả sử f1(X) = ∑ aiXi, g1(X) = ∑ bjXj, ai, bj ∈A as, bt hệ tử f1 g1 khơng chia hết cho p (điều có f1 g1 nguyên bản) Hệ tử Xs+t f1(X)g1(X) là: (1) … + as – bt + + asbt + as + 1bt – + … Vì A vành Gauss, nên p khơng chia hết cho asbt Vì p chia hết cho tổng (1) chia hết hạng tử đứng trước sau asbt (1), nên p chia hết asbt, mâu thuẫn với p không chia hết asbt Vậy f1(X) g1(X) nguyên ■ f Bổ đề Nếu g ( X ) chia hết bf ( X ) , b ∈ a g ( X ) nguyên g ( X ) chia hết cho f ( X ) Chứng minh: Ta có bf(X) = g(X)h(X), với h(X) ∈ A[X] Theo bổ đề 1, b.c(f) = c(g).c(h) = c(h) Vậy b chia hết c(h) từ chia hết h(X), g(X) chia hết f(X) ■ Chứng minh Định lí 2: Ta chứng minh A[X] thỏa mãn G1 G3 (tương đương với G2 theo định lí 1) Chứng minh A[X] thỏa mãn G1 Hiển nhiên phần tử A bất khả quy (hay đơn vị) A[X] bất khả quy (hay đơn vị) A Vì A vành Gauss, nên từ ta suy đa thức A[X] có bậc phân tích thành phần tử bất khả quy Giả sử f(X) có bậc n dương giả sử đa thức có bậc nhỏ n phân tích thành phần tử bất khả quy Ta viết f(X) = c(f)f1(X) với c = c(f) ∈A f1(X) nguyên bản, ta cần chứng minh f1(X) tích đa thức bất khả quy Nếu f1(X) bất khả quy ta khơng cịn để chứng minh Nếu khơng f1(X) = g(X) h(X), với g(X), h(X) ∈A[X] có bậc > f1(X) nguyên bản; hai đa thức g(X), h(X) có bậc chặt chẽ nhỏ n, nên theo giả thiết quy nạp chúng phân tích thành tích đa thức bất khả quy, f1(X) Chứng minh A[X] thỏa mãn G3 Giả sử p(X), f(X), g(X) ∈A[X], p(X) bất khả quy p(X) chia hết f(X).g(X), ta phải chứng minh p(X) chia hết f(X) g(X) Ở ta phải chia làm hai trường hợp Trường hợp p(X) có bậc 0, p(X) = p ∈A, p chia hết c(fg) = c(f).c(g), từ theo G3 p chia hết (chẳng hạn) c(f), chia hết f(X) 46 Trường hợp p(X) có bậc dương, p(X) ngun p(X) bất khả quy Gọi K trường thương A, ta chứng tỏ p(X) bất khả quy K[X] Giả sử p(X) khả quy K[X], p(X) = h(X) k(X) với h(X), k(X) ∈K[X] hai có bậc nhỏ bậc p(X) Sau đồng quy mẫu hệ tử h(X) k(X), ta viết p(X) = c h1(X) k1(X) d với ≠ d, c ∈A, h1(X), k1(X) ∈A[X] h1, k1 nguyên Vậy dp(X) = ch1(X) k1(X) Từ bổ đề 1, ta suy c = d từ p(X) = h1(X)k1(X), mâu thuẫn với p(X) bất khả quy A[X] Bây ta p(X), f(X), g(X) ∈K[X], p(X) bất khả quy K[X], p(X)|f(X) g(X) vành K[X] vành Euclide, vành Gauss Theo G3, p(X) chia hết f(X) g(X), chẳng hạn f(X), nghĩa ta có p(X).q(X) = f(X), với q(X) ∈ K[X] Cũng trên, ta viết sau quy đồng mẫu hệ tử q(X) p(X)q1(X) = f(X) b Với ≠ b ∈ A, q1(X) ∈ A[X] Từ p(X) q1(X) = bf(X) Theo bất đẳng thức trên, p(X) chia hết bf(X), mặt khác p(X) nguyên bản; áp dụng bổ đề 2, ta có p(X) chia hết f(X) A[X] ■ g Hệ Vành đa thức n ẩn K [ X , X n ] trường K vành Gauss; hay tổng quát vành A [ X , X n ] với A làm vành Gauss, vành Gauss Ví dụ: Vành ℤ [ X ] đa thức ẩn X với hệ số nguyên vành Gauss Ta chứng minh ℤ [ X ] vành Thật vậy, xét iđêan I ℤ [ X ] sinh X 2; I gồm đa thức có hạng tử tự số chẵn, I ≠ ℤ [ X ] Nếu I iđêan sinh f(X) ∈ ℤ [ X ] , f(X) phải ƯCLN X 2, X có ước chung ± 1, nghĩa f(X) = hay I = ℤ [ X ] , mâu thuẫn với I ≠ ℤ [ X ] 3.2 Vành Noether 3.2.1 Mơđun vành Noether a Định lí Giả sử A vành, M A–môđun Các điều kiện sau tương đương: a) Mọi họ khơng rỗng mơđun M có phần tử tối đại b) Mọi dãy tăng môđun M dừng c) Mọi môđun M có kiểu hữu hạn b Định nghĩa Một A–mơđun M gọi mơđun Noether thỏa mãn điều kiện tương đương Định lý Một vành A gọi Noether nếu, coi A–Mơđun, môđun Noether 47 c Định lý Giả sử A vành, M A–môđun, M’ mơđun M Thế thì, M Noether M’ M/M’ Noether Chứng minh: ⇒ Tập hợp thứ tự (theo quan hệ bao hàm) môđun M′(theo thứ tự M/M′) đẳng cấu với tập hợp thứ tự môđun M chứa M′ (theo thứ tự chứa M′); M′ M/M′ Noether theo a) hay b) định lí Thực ta áp dụng c) ⇐ Đảo lại giả sử M′ M/M′ Noether Lấy môđun N tùy ý M, ta chứng minh N có kiểu hữu hạn Thật vậy, M/M′ Noether nên mơđun N + M′/M′ có kiểu hữu hạn Nhưng N + M′/M′ ≈ N/N ∩ M′, N/N ∩ M′ có kiểu hữu hạn, giả sử (x1 + N ∩ M′, … , xn + N ∩ M′) hệ sinh Với x∈N, ta có x + N ∩ M′ = n ∑ a ( x + N ∩ M') , ∈ A i i n =1 n Từ đó, x − ∑ xi ∈ N ∩ M ' i =1 Nhưng M′ Noether, nên môđun N ∩ M′ có kiểu hữu hạn, giả sử (y1,…, yp) hệ n p i =1 j =1 sinh nó; từ đó: x − ∑ xi = ∑ b j y j n p i =1 j =1 Hay, x = ∑ xi + ∑ b j y j Vậy N có kiểu hữu hạn; (theo định lí 1, c)) M Noether ■ d Hệ Giả sử A vành, M , , M n A–môđun Noether Lúc A– mơđun tích M × × M n Noether Chứng minh: Trong trường hợp n = 2, ta có M1 ≈ M1 × (0) M2 ≈ M1 × M2/M1 × (0) Noether; M1 × M2 Noether theo định lí Trường hợp tổng quát suy quy nạp theo n e Hệ Giả sử A vành Noether M A – môđun kiểu hữa hạn Thế M A–mơđun Noether Chứng minh: Giả sử M có hệ sinh có n phần tử Ta có M đẳng cấu với mơđun thương An/N Theo hệ 1, An Noether, An/N Noether theo định lí ■ 3.2.2 Ứng dụng vào vành phần tử nguyên a Định lý Giả sử A vành Noether đóng nguyên, K trường thương A, L mở rộng bậc n K, A’ đóng nguyên A L Ta giả sử K có đặc số Thế A’ A – mơđun kiểu hữu hạn vành Noether Chứng minh: Theo trên, A′ môđun A–môđun tự hạng n, A′ môđun A–môđun Noether (3.1.2 hệ định lí 2), có kiểu hữu hạn, Noether theo hệ Mặt khác, iđêan vành A′ A–môđun A–môđun A′, chúng thỏa mãn điều kiện tối đại, A′ vành Noether ■ 48 b Ví dụ Lấy A = ℤ, K = ℚ , L trường hữu hạn số đại số; vành phần tử nguyên L Noether 3.2.3 Iđêan vành Noether a Định lý Giả sử A vành, P Iđêan nguyên tố A B vành A Thế P ∩ B Iđêan nguyên tố B Chứng minh: Xét f: B → A/P tích hai đồng cấu tắc B → A → A/P Vì A/P miền nguyên, nên B/P ∩ B miền nguyên sau đồng B/P ∩ B với ảnh đơn cấu f Từ ta suy P ∩ B iđêan nguyên tố B ■ b Định lý Nếu Iđêan nguyên tố P vành A chứa tích I1 I I n Iđêan, P chứa I j Chứng minh: Thật Ij ⊄ P với j = 1, …, n, với j tồn aj ∈ Ij cho aj ∉ P Lúc a1 … an ∉ P P nguyên tố Nhưng a1 … an ∈ I1 … In ⊂ P, mâu thuẫn ■ Trước đưa định lí 3, có nhận xét vành A giao hốn có đơn vị khác mà có hai iđêan A (0), A trường vành Noether đặc biệt Định lí đề cập tới vành Noether, trường, có iđêan khác ngồi A (0) c Định lý Trong vành Noether, Iđêan chứa tích số hữu hạn iđêan nguyên tố Trong miền nguyên Noether A, Iđêan khác (0) chứa tích số hữu hạn Iđêan nguyên tố khác (0) Chứng minh: Ta chứng minh khẳng định thứ hai phản chứng Giả sử vậy, họ F iđêan khác (0) A khơng chứa tích iđêan ngun tố khác (0) khác rỗng Vì A Noether nên F có phần tử tối đại, giả sử iđêan M Có M khơng ngun tố M∈ F Mặt khác, M ≠ A, M = A dẫn tới A khơng chứa tích iđêan ngun tố khác (0); theo giả thiết A có hai iđêan ngồi A (0), nằm hai iđêan có iđêan tối đại (tức nguyên tố), mâu thuẫn với A∈ F Vậy A – M ≠ φ Ta A – M ≠ φ M không nguyên tố ⇒ ∃ x, y ∈ A – M, xy ∈ M ⇒ M ⊂ M + Ax M ⊂ M + Ay (M + Ax)(M + Ay) ⊂ M ≠ ≠ ⇒ M + Ax, M + Ay ∉ F ⇒ P1…Pr ⊂ M + Ax; Q1…Qs ⊂ M + Ay ⇒ P1…Pr Q1…Qs ⊂ (M + Ax)(M + Ay) ⊂ M P1,…,Pr,Q1,…, Qs iđêan nguyên tố khác (0); mâu thuẫn Khẳng định thứ định lí chứng minh y hệt, cần xóa bỏ bốn lần “khác (0)” in nghiêng phép chứng minh ■ d Nhận xét: 1) Trong chứng minh khẳng định thứ hai, ta khơng sử dụng tính khơng có ước A A, mà sử dụng tính Noether Như chứng minh áp dụng cho vành Noether, khơng cần miền ngun Việc gán tính chất miền nguyên cho A để nói lên ta có 49 tích P .Pr Iđêan ngun tố khác (0); Điều khơng ln vành Noether Thật vậy, xét vành Noether ℤ t ố 2ℤ 6ℤ 3ℤ 6ℤ 6ℤ (vì Iđêan chính), vành có hai Iđêan ngun tích chúng Iđêan (0) 2) Khẳng định thứ cho vành Noether, cho miền nguyên Noether Nhưng Iđêan (0) Iđêan nguyên tố miền nguyên, Iđêan vành chứa Iđêan (0) nên khẳng định thứ cho miền ngun khơng cần thêm tính Noether 3.3 Vành Dedekind 3.3.1 Vành dedekind a Định nghĩa Một miền nguyên A gọi Vành dedekind Noether, đóng nguyên, Iđêan nguyên tố khác (0) A tối đại b Định lí Giả sử A vành Dedekind, K trường thương nó, L mở rộng có bậc hữu hạn K, A’ đóng nguyên A L; K giả sử có đặc số o Thế A’ A-mơđun kiểu hữu hạn, vành Dedekind Chứng minh: Theo (3.2.2 Định lí), A′ A–mơđun kiểu hữu hạn vành Noether; theo cách xây dựng A′, vành miền nguyên đóng nguyên Ta chứng minh iđêan nguyên tố P′ ≠ (0) A′ tối đại Giả sử ≠ x ∈ P′, xét phương trình phụ thuộc nguyên x, có bậc bé nhất: (1) xn + an – 1xn +1 + … + a1x + ao = 0, ∈A, i = 0, … , n – Ta có ao ≠ 0, khơng ta giản ước (1) x, phương trình phụ thuộc ngun có bậc n – Theo (1) ta có ao ∈ A′x ∩ A ⊂ P′ ∩ A; P′ ∩ A ≠ (0) Nhưng P′ ∩ A iđêan nguyên tố A (3.2.3 Định lí 1); P′ ∩ A iđêan tối đại A A/ P′ ∩ A trường Nhưng A/ P′ ∩ A đồng với vành A′/P′, A′/P′ nguyên A/P′ ∩ A A′ nguyên A Vậy A′/P′ trường (2.1.1 Định lí 4), P′ tối đại ■ c Hệ Vành phần tử nguyên trường số đại số vành Dedekind Ví dụ: Xét trường tồn phương ℚ ℚ ( ) −5 có dạng ( { ) −5 −5 ≡ ( mod ) nên vành A phần tử nguyên } A = a + b −5 | a, b ∈ ℤ (2.2.3 Định lí 4) Chuẩn N(x) x = a + b −5 ∈ A số nguyên, mà số tự nhiên: ( )( ) Ν ( x ) = a + b −5 a − b −5 = a + 5b ∈ Ν Dễ kiểm tra đơn vị A là: ± ( )( Bây ta xét hai phân tích A: = 2.3 = − i + i ) 1+ i phần tử bất khả quy A Thật vậy, ta xét + i , chuẩn 6; có ước thực u + v −5 chuẩn phần tử phải u + 5v = hay 3, ước thực Dễ thấy v ≠ 5v > 2,3; cịn v = khơng có u cho u = 2,3 với u ∈ Z Cũng cách xét chuẩn, ta có 1– i , bất khả quy A Mặt khác, phần tử 50 khơng liên kết Vậy phân tích thành tích phần tử bất khả quy không Cho nên A vành Dedekind theo hệ trên, không vành Tương tự, ta có vành phần tử nguyên ℚ vành Nhưng vành phần tử nguyên ℚ ( ( ) −15 Dedekind ) −1 ℚ ( ) −2 khơng vành mà cịn Euclide 3.2.2 Vị nhóm Iđêan phân khác (0) vành Dedekind a Định lí Giả sử A vành Dedekind, trường, K trường phân thức Mọi Iđêan tối đại M A khả nghịch vị nhóm Iđêan phân A, nghĩa có Iđêan phân M’ cho M’ M = A; lúc ta kí hiệu M ' = M −1 gọi nghịch đảo M Chứng minh: Giả sử M iđêan tối đại A; ta có M ≠ A khơng phải trường Đặt (1) M ' = { x ∈ K | xM ⊂ A} Hiển nhiên M’ A–môđun A–môđun K Mặt khác, lấy d ∈ M d ≠ , ta có a ∀x ∈ Μ ' ⇒ xΜ ⊂ Α ⇒ xd = a ∈ Α ⇒ x = d Vậy, M ' ⊂ d −1 A , hay M’ iđêan phân A; phần tử M’ chấp nhận d khác M làm mẫu chung Chúng ta chứng minh MM’ = A Theo (1) A ⊂ M MM’ iđêan nguyên A Ta suy ra: M = AM ⊂ MM ' Nhưng M tối đại A, nên từ M ⊂ MM ' ta phải có MM’ = A, MM’ = M Nếu MM’ = A chứng minh hồn thành Bây ta xét MM’ = M x ∈ M ' , ta có xM ⊂ M từ x M ⊂ xM ⊂ M , x n M ⊂ xM ⊂ M , với n ∈ ℕ* theo quy nạp; x n chấp nhận mẫu chung d, với d ∈ M d ≠ , hay A [ x ] ⊂ d −1 A , nghĩa A [ x ] iđêan phân; A Noether nên A [ x ] A–môđun kiểu hữu hạn (3.2.3), x nguyên A (2.1.1 Định lí 1) Nhưng A đóng nguyên, nên x ∈ A Như vậy, MM’ = M kéo theo M’ = A Ta chứng tỏ khơng có M’ = A Thật vậy, ta lấy phần tử khác 0, a ∈ Μ Iđêan Aa chứa tích P P2 Pn iđêan nguyên tố khác (0) (2.2.3, Định lí 3); ta giả xử n số bé Ta có M ⊃ Aa ⊃ P P2 Pn M chứa Pi (2.2.3, Định lí 2), chẳng hạn P 1 Vì P tối đại theo giả thiết, ta có M = P 1 Đặt N = P2 Pn ta có Aa ⊃ MN Aa ⊇ P2 Pn tính bé n Vậy tồn b ∈ N cho b ∉ Αa Vì Aa ⊃ MN , nên Mb ⊂ Αa, từ Mba −1 ⊂ A; theo (1) ba −1 ∈ M ' Nhưng b ∉ Aa nên ba −1 ∉ A , ta suy M’ ≠ A, có MM’ = M ■ b Định lí Giả sử A vành Dedekind Thế thì: ℘ tập hợp Iđêan nguyên tố khác (0) A a) Mọi Iđêan phân khác (0) A viết cách nhất, dạng I =∏P P∈ ℘ 51 n p( I ) Trong nP( I ) số nguyên tố tất trừ số hữu hạn; ta quy ước P = A ) (Đơn vị nhóm) b) Vị nhóm Iđêan phân khác (0) A lập thành nhóm Chứng minh: a) Ta chứng minh sư tồn Giả sử I iđêan phân khác (0) A Vì I iđêan phân, nên tồn ≠ d ∈ A cho I ⊂ d −1 A dI ⊂ A , từ dI iđêan nguyên A Mặt khác, ta có dA.d −1 A = A , d −1 A = ( dA ) −1 nghịch đảo dA vị nhóm iđêan phân khác (0) A Từ ta viết: dI Ad hai iđêan nguyên A Như tốn đưa phân tích iđêan ngun A Ta chứng minh phản chứng Giả sử họ F iđêan khác (0) A tích iđêan nguyên tố khác rỗng Vì A Noether, nên họ F có phần tử tối đại M lúc M ≠ A , A viết dạng tích iđêan nguyên tố với lũy thừa băng tất Do M chứa iđêan tối đại P Giả sử P’ iđêan (phân) nghịch đảo P (Định lí 1) Ta có M ⊂ P ⇒ P'M ⊂ P'P = A Vậy P’M iđêan nguyên Mặt khác theo chứng minh định lí 1, ta có P ' ⊃ A, P ≠ A , P ' M ⊃ AM = M Ta chưng minh P ' M ≠ M Thật vậy, giả sử P ' M = M , lấy x ∈ P ' ta có xM ⊂ P ' M = M , tứ x M ⊂ xM ⊂ M , x n M ⊂ M với ∀n ∈ ℕ* Tiếp tục chứng minh định lý 1, ta x nguyên A, x ∈ Α A đóng ngun, ta suy P ' ⊂ A Kết hợp với P ' ⊃ A , ta P’ = A, điều khơng thể có Vậy P’M iđêan nguyên A thực chứa M Do M tối đại F, nên P ' M ∉ F , P’M tích P P2 Pn iđêan nguyên tố Bằng cách nhân với P ta có M = P P2 Pn mâu thuẫn với 1 M ∈ F Vậy F phải rỗng, iđêan nguyên A tích iđêan nguyên tố Bây ta chứng minh khẳng định a) Giả sử ta có ∏Ρ p∈ ℘ là, ∏ Ρ np − mp np = ∏ Ρ mp Nghĩa p∈ ℘ =Α p∈ ℘ Nếu n p − m p khơng tất cả, ta tách lũy thừa âm lũy thừa dương ta β Pα1 Prαr = Q1β1 Qs s Với Pi ,Qi ∈ P, α i > 0, βi > 0, Pi ≠ Q j với i, j Lúc P chứa Q1β1 Qsβ s P chứa 1 Q j (3.2.3 Định lý 2), chẳng hạn Q1 Nhưng Q1 tối đại, P = Q1 , mâu thuẫn với P ≠ Q1 Vậy n p − m p với P ∈℘ b) Từ a) ta có ∏Ρ −n p( I ) nghịch đảo I, vị nhóm iđêan khác (0) A nhóm p∈ ℘ c Định nghĩa Cho A vành Dedekin, ta gọi j(A) nhóm iđean phân khác (0) A Khi đó, Iđêan phân chính, nghĩa có dạng Ax với x ∈ K * , lập thành nhóm M ( A ) j(A) 52 c Hệ Giả sử A vành Dedekind A vành C(A) nhóm thu gọn vào phần tử trung hịa Chứng minh: Giả sử A vành I ∈ J(A) Theo định lí 2, I viết dạng I = Pα1 Prαr Q1β1 Qsβs Với Pi ,Q j ∈ P, α i ≥ 0, β j ≥ Vì A vành nên: α Ρ1 Ραr = Ax , x ∈ Α r Q1β1 Qsβ s = Ay , y ∈ A −1 Vậy I = Ax ( Ay ) = Axy −1 ∈ M ( A ) Vậy nhóm thương ζ ( A ) thu gọn vào phần tử trung hòa Đảo lại, giả sử ζ ( Α ) thu gọn vào phần tử trung hòa, nghĩa J ( A) = M ; I ∈ J(A) iđêan chính, dặc biệt iđêan nguyên A chính, A vành ■ d Hệ Giả sử A vành Dedekind, I , I ' ∈ j(A), P ∈ ℘ Thế thì: a) n p ( II ') = n p ( I ) + n p ( I ') b) I ⊂ A ⇔ n p ( I ) ≥ 0, ∀P ∈℘ c) I ⊂ I ' ⇔ n p ( I ) ≥ n p ( I ') , ∀P ∈℘ ( = sup ( n d) n p ( I + I ') = inf n p ( I ) , n p ( I ') e) n p ( I ∩ I ') p(I ) , n p ( I ') ) ) Chứng minh: a) Hiển nhiên, theo quy tắc xα x β = xα + β b) I ⊂ A ⇒ I iđêan nguyên A; theo chứng minh định lí 2, a), I phân tích thành tích iđêan nguyên tố, n p ( Ι ) ≥ với P ∈℘ Phần đảo lại hiển nhiên c) I ⊂ I ⇔ II '−1 ⊂ A ⇔ nΡ( Ι ) − nΡ( Ι ') ≥ với P ∈℘ (theo a) (b) ⇔ nP( I ) − nP( I ') ≥ 0, ∀P ∈℘ ( ) d) I + I ' = sup ( I , I ') theo quan hệ bao hàm ⇒ nΡ( Ι+Ι ') = inf nΡ( Ι ) , nΡ( Ι ') theo c) ( ) e) I ∩ I ' = inf ( I , I ') theo quan hệ bao hàm ⇒ nΡ( Ι ) − nΡ( Ι ') = sup nΡ( Ι ) , nΡ( Ι ') theo c) ■ 3.2.3 Chuẩn Iđêan Định lí Nếu x phần tử khác A, ta có |N(x)| = card(A/Ax) Chứng minh: Ta biết A ℤ –môđun tự hạng n (2.3.2, Hhệ định lí 4), Ax ℤ - môđun A, Ax ℤ - mơđun tự hạng n ánh xạ a ֏ ax đẳng cấu A Ax Theo (1.2.5, định lí 2), tồn sở ( e1 , , en ) A, tồn số ( ) nguyên dương m1 , , mn cho m1e1 , , mn en sở Ax Từ ta có đẳng cấu A n Ax ≃ ∏ ℤ /mi ℤ i =Ι 53 Vậy card(A/Ax)= m1 , m2, , mn Mặt khác, xét đẳng cấu u : K → K xác định ei ֏ mi ei , i = 1, , n , ta có det(u) = m1 , , mn Thêm nữa, ( xe1 , , xen ) sở ℤ –môđun tự Ax, v: A ֏ Ax xác định mi ei ֏ xei , i = 1, , n đẳng cấu ℤ –mơđun, từ det(v) ∈ ℤ khả nghịch ℤ , det (v) = ± Bây ta xét tích v u từ K vào K: ei ֏ mi ei ֏ xei , i = 1, , n , đồng cấu hx xác định phép nhân với x Vậy det( hx ) = det( v u ) = det(v).det(u) = ± m1 , , mn = ± card (A/Ax) Nhưng theo (2.3.1, định nghĩa 1) det ( hx ) = N(x) ■ Định nghĩa Giả sử I Iđêan nguyên khác (0) A, ta gọi chuẩn I kí hiệu N(I) số card(A/I) Định lý Giả sử I J hai Iđêan ngun khác (0) A, ta có N(IJ)=N(I)N(J) Chứng minh: Theo (3.3.2, Định lí 2), J phân tích thành tích P P2 Pn iđêan tối đại Cho nên ta cần chứng minh N(PI) = N(I)N(P), với P tối đại Vì IP ⊂ I , nên ta có card(A/IP) = card(A/I)card(I/IP) Như vậy, ta cần chứng minh card(I/IP) = card(A/P) Thật vậy, I/IP A-mơđun triệt tiêu P, từ I/IP không gian vectơ A/P cách đặt (a + P)(x + IP) = ax + IP Từ đó, A–môđun I/P không gian I/IP Mặt khác, A–mơđun I/IP có dạng Q/IP với IP ⊂ Q ⊂ Ι Nhưng (hệ 2, c) cho biết khơng có Q thực nằm IP I Vậy không gian vectơ I/IP có chiều A/P, từ ta có card(I/IP) = card(A/P) C) TÀI LIỆU HỌC TẬP: [1] Hồng Xn Sính (2001), Số đại số (tập I), NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Tom Weston (2001), Algebraic Number Theory, Massachusetts D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ƠN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG: Trình bày chứng minh tính chất vành Euclide, chính, vành Gauss Trình bày chứng minh tính chất ứng dụng vành Noether Trình bày chứng minh tính chất vành Dedekin, vị nhóm nhân Iđêan phân khác khơng vành Dedekin, chuẩn Iđêan Giả sử p phần tử khác khơng vành A Chứng minh p bất khả quy Ap iđêan tối đại Trong vành iđêan nguyên tố khác {0} iđêan tối đại Chứng minh trường vành Vành thương vành có vành khơng? Vành vành có vành khơng? Vành Z [ x ] có vành không? 10 Giả sử A tập hợp số phức có dạng a + b −3 với a, b ∈ ℤ 54 { } 11 Chứng minh vành A = a + bi | a, b ∈ ℤ vành { } 12 Chứng minh vành A = a + bi | a, b ∈ ℤ vành Ơclít 13 Chứng minh trường vành Ơclít 14 Giả sử A vành Ơclít Chứng minh A trường δ ( x) với x ∈ A* 15 Giả sử A vành Ơclít với ánh xạ Ơclít δ : A* → ℕ Chứng minh tồn ánh xạ Ơclít δ ' : A* → ℕ cho δ '( A* ) = {0,1, , n} , n ≥ hay δ '( A) = ℕ  1 + i 19    + i 19    16 Chứng minh vành Z   | a, b ∈ Z  khơng phải vành Ơclít  = a + b            55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Xn Sính (2001), Số đại số (tập I), NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Hồng Xn Sính (2001), Số đại số (tập II), NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (2003), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Ian Stewart – David Tall(2001), Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, Massachusetts [5] Tom Weston(2001), Algebraic Number Theory, Massachusetts 56 ... + n nb n −1    Cho n 3, vế hai đẳng thức a − 4b −4a − 27b ■ 2 .3. 3 Trường số đại số Ta gọi trường số đại số mở rộng có bậc hữu hạn ℚ , có phần tử đại số ℚ Cho trường số đại sô K, bậc [ K... đại số trường Mở rộng đại số 2.2.1 Phần tử đại số trường Mở rộng đại số Định nghĩa Giả sử K trường vành R Một phần tử x ∈ R đại số K tồn phần tử không tất a0 , , an ∈ K cho an x n + + a1 x +...CHƯƠNG Sơ lược số cấu trúc đại số Số tiết: 10 (Lý thuyết tiết; tập, thảo luận: tiết) A) MỤC TIÊU: Sinh viên hiểu khái niệm, tính chất, kiến thức về đại số: Vành, số bổ đề iđêan, tính chia