D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG: Bài 1 Tìm cơ sở nguyên và biệt thức của
c.Hệ quả 1 Vành các phần tử nguyên của một trường những số đại số là vành Dedekind.
Ví dụ: Xét trường toàn phương ℚ( −5) vì − ≡5 3 mod 4( ) nên vành A các phần tử nguyên của
( −5)
ℚ có dạng A={a+b −5 | ,a b∈ℤ} (2.2.3 Định lí 4). Chuẩn N(x) của mỗi 5
x= +a b − ∈A là một số nguyên, mà ởđây là một số tự nhiên:
( )x (a b 5)(a b 5) a2 5b2
Ν = + − − − = + ∈ Ν
Dễ kiểm tra các đơn vị của A là: ±1.
Bây giờ ta hãy xét hai phân tích của 6 trong A: 6 2.3= =(1−i 5 1)( +i 5)
1+ i 5 là phần tử bất khả quy của A. Thật vậy, ta hãy xét 1+i 5, chuẩn của nó bằng 6; nếu nó có một ước thực sự u+v −5 thì chuẩn của phần tử này phải bằng u2+5v2=2 hay 3, ước thực sự của 6.
Dễ thấy nếu v≠0thì 5v2>2,3; còn v=0thì không có u sao cho u2 =2,3với mọi u∈Z. Cũng bằng cách xét chuẩn, ta có 1– i 5 , 2 và 3 là bất khả quy trong A. Mặt khác, các phần tửđó
không liên kết. Vậy phân tích 6 thành tích những phần tử bất khả quy là không duy nhất. Cho nên A là vành Dedekind theo hệ quả trên, nhưng không là vành chính.
Tương tự, ta có vành các phần tử nguyên của ℚ( −15) là Dedekind nhưng không phải là vành chính. Nhưng vành các phần tử nguyên của ℚ( −1)và ℚ( −2) không là những vành chính mà còn là Euclide.
3.2.2. Vị nhóm các Iđêan phân khác (0) của vành Dedekind
a. Định lí 1. Giả sử A là một vành Dedekind, nhưng không phải là một trường, và K là trường phân thức của nó. Mọi Iđêan tối đại M của A là khả nghịch trong vị nhóm các Iđêan phân của A,