D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG: Bài 1 Tìm cơ sở nguyên và biệt thức của
c.Định lý 3 Trong một vành Noether, mọi Iđêan chứa tích một số hữu hạn những iđêan nguyên tố Trong một miền nguyên Noether A, mọi Iđêan khác (0) chứa tích một số hữu hạn những Iđêan
tố. Trong một miền nguyên Noether A, mọi Iđêan khác (0) chứa tích một số hữu hạn những Iđêan nguyên tố khác (0).
Chứng minh: Ta hãy chứng minh khẳng định thứ hai bằng phản chứng. Giả sử không phải như
vậy, thế thì họFcác iđêan khác (0) của A không chứa một tích nào những iđêan nguyên tố khác
(0) là khác rỗng. Vì A Noether nênF có phần tử tối đại, giả sử là iđêan M. Có M không nguyên tố vì M∈F. Mặt khác, M ≠ A, vì M = A sẽ dẫn tới A không chứa một tích nào những iđêan nguyên tố khác (0); nhưng theo giả thiết A có hơn hai iđêan ngoài A và (0), nằm giữa hai iđêan
đó có những iđêan tối đại (tức nguyên tố), mâu thuẫn với A∈F. Vậy A – M ≠ φ. Ta được A –
M ≠ φ và M không nguyên tố ⇒ ∃x, y ∈ A – M, xy ∈ M ⇒M M Ax ≠ ⊂ + và M M Ay ≠ ⊂ + và (M + Ax)(M + Ay) ⊂ M. ⇒ M + Ax, M + Ay ∉F ⇒ P1…Pr ⊂ M + Ax; Q1…Qs ⊂ M + Ay
⇒ P1…PrQ1…Qs ⊂ (M + Ax)(M + Ay)⊂M trong đó P1,…,Pr,Q1,…, Qs là những iđêan nguyên tố khác (0); mâu thuẫn.
Khẳng định thứ nhất của định lí chứng minh y hệt, chỉ cần xóa bỏ bốn lần “khác (0)” đã
in nghiêng ở phép chứng minh trên. ■
d. Nhận xét:
1) Trong chứng minh khẳng định thứ hai, ta không hề sử dụng tính không có ước của A của A,
mà chỉ sử dụng tính Noether của nó. Như vậy chứng minh có thể áp dụng cho một vành Noether, không cần là miền nguyên. Việc gán tính chất miền nguyên cho A chỉ để nói lên khi ta có một
tích P1...Pr những Iđêan nguyên tố khác (0); Điều đó không luôn đúng đối với một vành Noether. Thật vậy, xét vành Noether 6ℤ
ℤ(vì mọi Iđêan là chính), vành này có hai Iđêan nguyên tố 2ℤ6
ℤ và 3ℤ6
ℤ và tích của chúng bằng Iđêan (0).
2) Khẳng định thứ nhất đúng cho mọi vành Noether, vậy đúng cho mọi miền nguyên Noether. Nhưng Iđêan (0) là Iđêan nguyên tố trong mọi miền nguyên, và mọi Iđêan của một vành đều chứa Iđêan (0) nên khẳng định thứ nhất đúng cho mọi miền nguyên không cần thêm tính Noether.
3.3. Vành Dedekind 3.3.1. Vành dedekind 3.3.1. Vành dedekind