1. Trình bày và chứng minh các tính chất của các vành Euclide, chính, vành Gauss.
2. Trình bày và chứng minh các tính chất và ứng dụng của vành Noether.
3. Trình bày và chứng minh các tính chất của các vành Dedekin, vị nhóm nhân Iđêan phân khác không của vành Dedekin, chuẩn của một Iđêan. không của vành Dedekin, chuẩn của một Iđêan.
4. Giả sửp là một phần tử khác không của một vành chính A. Chứng minh p là bất khả quy khi và chỉ khi Ap là iđêan tối đại.
5. Trong một vành chính các iđêan nguyên tố khác { }0 đều là các iđêan tối đại.
6. Chứng minh một trường là một vành chính.
7. Vành thương của một vành chính có là một vành chính không?
8. Vành con của một vành chính có là một vành chính không?
9. Vành Z[ ]x có là một vành chính không?
11. Chứng minh vành A={a+bi 2 | ,a b∈ℤ} là vành chính.
12. Chứng minh rằng vành A={a+bi 2 | ,a b∈ℤ} là một vành Ơclít.
13. Chứng minh một trường là một vành Ơclít.
14. Giả sửA là một vành Ơclít. Chứng minh A là một trường khi và chỉ khi ( )δ x là hằng với mọi * *
x∈A .
15. Giả sử A là một vành Ơclít với ánh xạ Ơclít δ:A*→ℕ. Chứng minh tồn tại ánh xạ Ơclít * *
' :A
δ →ℕ sao cho δ'( )A* ={0,1,...,n},n≥0 hay '( )δ A =ℕ.
16. Chứng minh vành 1 19 1 19 | ,2 2 2 2 i i a b a b + + = + ∈ Z Z không phải là vành Ơclít.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hoàng Xuân Sính (2001), Số đại số (tập I), NXB Đại học Sưphạm, Hà Nội. [2]. Hoàng Xuân Sính (2001), Số đại số (tập II), NXB Đại học Sưphạm, Hà Nội. [3]. Hoàng Xuân Sính (2003), Đại sốđại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[4]. Ian Stewart – David Tall(2001), Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, Massachusetts.