Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
630,9 KB
Nội dung
Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4 1.1. Đường cong trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4. Tích phân đường trong không gian . . . . 9 1.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4. Tích phân đường loại hai trong không gian 12 1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. TÍCH PHÂN MẶT 22 2.1. Khái niệm về mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Cách tính tích phân mặt loại một . . . . . 26 2.4. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. Cách tính tích phân mặt loại hai . . . . . 29 Mục lục 3 2.4.3. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4. Công thức Gauss - Ostrogradski . . . . . . 35 Chương 3. ÁNH XẠ KHẢ VI 39 3.1. Cấu trúc không gian Banach - Mêtric trong R n . 39 3.1.1. Không gian Mêtric . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2. Sự hội tụ trong không gian mêtric . . . . . 40 3.1.3. Lân cận của một điểm . . . . . . . . . . . 40 3.1.4. Tập hợp mở và tập hợp đóng . . . . . . . 41 3.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . 42 3.2.2. Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . 44 3.2.3. Không gian các ánh xạ tuyến tính . . . . . 45 3.3. Ánh xạ khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1. Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 49 Chương 4. GIẢI TÍCH VECTƠ 57 4.1. Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.1. Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2. Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.3. Dạng véctơ của công thức Ostrogradski . . 59 4.1.4. Dạng véctơ của công thức Stokes . . . . . 59 4.1.5. Trường thế . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2. Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.1. Khái niệm về dạng vi phân . . . . . . . . . 61 4.2.2. Biểu diễn tọa độ của dạng vi phân trên R n 61 4.2.3. Thay biến trong dạng vi phân . . . . . . . 61 4.2.4. Vi phân ngoài dạng vi phân . . . . . . . . 62 Chương 1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Mục tiêu - Nắm được các kiến thức cơ bản về tích phân đường để học các môn tiếp theo. Nắm được thế nào là tích phân đường loại một, cách tính tích phân đường loại một? Tích phân đường loại hai, cách tính tích phân đường loại hai? - So sánh và rút ra được mối liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai. - Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp hơn về tích phân đường. - Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. 1.1. Đường cong trong R n Cho x(t), y(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó tập các điểm L = {(x(t), y(t)); t ∈ [a, b]} gọi là một đường cong (liên tục) trong mặt phẳng Oxy. Ký hiệu A = (x(a), y(a)); B = (x(b), y(b)). Khi đó nếu t biến thiên từ a tới b (ký hiệu t : a → b) thì A gọi là điểm đầu, B là điểm cuối. Hệ x = x(t) y = y(t), t ∈ [a, b] (1.1) 1.1. Đường cong trong R n 5 gọi là phương trình tham số của đường cong L. Trong một số trường hợp, có thể cho L dưới dạng y = y(x), x : a → b hoặc x = x(y), y : c → d Đường cong gọi là trơn nếu các hàm x(t), y(t) có các đạo hàm liên tục không đồng thời bị triệt tiêu tại mọi t ∈ [a, b]. Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu nó gồm một số hữu hạn cung trơn. Một đường cong gọi là khép kín hay đóng nếu các điểm đầu và cuối trùng nhau. Một đường cong gọi là không có điểm tự cắt nếu với mọi t 1 = t 2 ∈ [a, b] đều có (x(t 1 ), y(t 1 )) = (x(t 2 ), y(t 2 )) trừ trường hợp t 1 = a, t 2 = b. Một đường cong không có điểm tự cắt gọi là chu tuyến. Một chu tuyến đóng, trơn từng khúc γ giới hạn một miền D đóng, bị chặn Dγ trong mặt phẳng Oxy. Miền Dγ xác định như vậy gọi là miền đơn liên. Nếu từ Dγ bỏ đi một số miền D γ 1 , D γ 2 , . . . , D γ n−1 ⊂ D γ thì miền D thu được gọi là miền n−liên. Ta quy ước gọi chiều dương biên của miền D là chiều mà đi trên biên theo chiều đó thì D nằm về bên trái. Tương tự, đường cong trong không gian Oxyz có phương trình tham số là x = x(t) y = y(t) z = z(t) trong đó x(t), y(t), z(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Vectơ τ = (x (t), y (t), z (t)) là vectơ tiếp tuyến của đường cong tại điểm có tọa độ (x(t), y(t), z(t)). Giả sử L là đường cong trơn hay trơn từng khúc, có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] Độ dài s của đường cong L được tính bởi công thức s = b a x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt 6 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Biểu thức ds = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt được gọi là vi phân cung. Ta có ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.2. Tích phân đường loại một 1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số f(M) = f(x, y) xác định trên một cung phẳng AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A 0 = A, A 1 , A 2 , . . . , A n = B. Gọi độ dài cung A i−1 A i là ∆s i . Trên cung A i−1 A i lấy một điểm tùy ý M i (ζ i , η i ). Nếu khi cho n → ∞ sao cho max ∆s i → 0, tổng n i=1 f(M i )∆s i dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm M i trên cung A i−1 A i , thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x, y) dọc theo cung AB và được ký hiệu là AB f(x, y)ds Nếu tích phân ấy tồn tại thì ta nói rằng hàm số f(x, y) là khả tích trên AB 1.2.2. Tính chất Độ dài cung không phụ thuộc vào hướng của cung, do đó từ định nghĩa ta có AB f(x, y)ds = BA f(x, y)ds Trường hợp f(x, y) = l với (x, y) ∈ L thì AB f(x, y)ds = AB ds = l 1.2. Tích phân đường loại một 7 Từ định nghĩa ta có tích phân đường loại một có các tính chất như các tích phân của tích phân xác định. Tính chất 1. Giả sử L là đường cong trơn hay trơn từng khúc; f(x, y, z), g(x, y, z) là những hàm khả tích trên L. Khi đó L [f(x, y, z) + g(x, y, z)] ds = L f(x, y, z)ds + L g(x, y, z)ds; L αf(x, y, z)ds = α L f(x, y, z)ds Tính chất 2. Giả sử đường cong trơn hay trơn từng khúc AB= AC ∪ CB. Nếu f(x, y, z) là hàm khả tích trên các đường cong AC và CB thì f(x, y, z) cũng khả tích trên AB và ta có AB f(x, y, z)ds = AC f(x, y, z)ds + CB f(x, y, z)ds 1.2.3. Cách tính Nếu đường cong L có phương trình y = g(x), x ∈ [a, b] trong đó g(x) là một hàm có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì AB f(x, y)ds = b a f(x, g(x)) 1 + g 2 (x)dx nếu L có phương trình tham số x = x(t) y = y(t), a ≤ t ≤ b trong đó các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục thì AB f(x, y)ds = b a f(x(t), y(t)) x 2 (t) + y 2 (t)dt Ví dụ 8 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1. Tính tích phân I 1 = OB xdx OB là cung parabol y = x 2 từ điểm O(0, 0) đến B(2, 4). Ta có I 1 = 2 0 x 1 + 4x 2 dx = 1 8 2 0 (1+4x 2 ) 1 2 d(1+4x 2 ) = 1 12 (17 √ 17−1) 2. Tính tích phân I 2 = L x 2 + y 2 ds L là đường tròn x 2 + y 2 = ax Phương trình của đường tròn có thể viết là x − a 2 2 + y 2 = a 2 4 vì vậy phương trình tham số của nó là x = a 2 (1 + cos t), y = a 2 sin t), −π ≤ t ≤ π Do đó x 2 + y 2 = a 2 4 x 2 + y 2 = a 2 2 (1 + cos t) = a 2 cos 2 t 2 x 2 + y 2 = a cos t 2 = a cos t 2 , vì − π 2 ≤ t 2 ≤ π 2 I 2 = a 2 2 π −π cos t 2 dt = a 2 π 0 cos t 2 dt = 2a 2 sin t 2 | π 0 = 2a 2 3. Tính tích phân I 3 = L (x 2 + y 2 + z 2 )ds 1.3. Tích phân đường loại hai 9 trong đó L là đường xoắn ốc có phương trình tham số x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π, a, b ≥ 0 Ta có: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (cos 2 t + sin 2 t) + b 2 t 2 = a 2 + b 2 t 2 ds = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt = a 2 + b 2 dt Do đó I 3 = a 2 + b 2 2π 0 (a 2 + b 2 t 2 )dt = 2π a 2 + b 2 a 2 + 4 3 π 2 b 2 1.2.4. Tích phân đường trong không gian Nếu đường cong AB nằm trong không gian Oxyz thì hoàn toàn tương tự trong mặt phẳng, ta cũng có tích phân đường loại một của hàm f(x, y, z) xác định trên cung AB và có công thức tính như sau AB f(x, y, z)ds = b a f(x(t), y(t), z(t)) x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt 1.3. Tích phân đường loại hai 1.3.1. Định nghĩa Cho đường cong L từ A đến B trong mặt phẳng Oxy và các hàm P (x, y), Q(x, y) xác định trên L. Chia cung nhỏ AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A 0 = A, A 1 , A 2 , . . . , A n = B. Gọi hình chiếu của vectơ −−−−→ A i−1 A i lên hai trục Ox, Oy là ∆x i , ∆y i ; M i (ζ i , η i ) là một điểm tùy ý chọn trên cung A i−1 A i . Nếu khi n → ∞ sao cho max ∆x i → 0, max ∆y i → 0, tổng n i=1 [P (ζ i , η i )∆x i + Q(ζ i , η i )∆y i ] dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm M i trên cung A i−1 A i thì giới hạn đó được 10 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P (x, y), Q(x, y) dọc theo cung AB và được ký hiệu là AB (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) (1.2) Chú ý : Khác với tích phân đường loại một, trong tích phân đường loại hai, chiều trên đường lấy tích phân đóng vai trò quan trọng. Nếu ta đổi chiều trên đường lấy tích phân thì hình chiếu của vectơ A i−1 A i lên hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó AB (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = − BA (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) 1.3.2. Tính chất Tích phân đường loại hai có các tính chất như tích phân xác định. 1.3.3. Cách tính Giả sử cung AB được cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), t : a → b các mút A, B ứng với giá trị t A , t B của tham số. Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó ta có AB P (x, y)dx = t B t A P (x(t), y(t))x (t)dt AB Q(x, y)dy = t B t A Q(x(t), y(t))y (t)dt vậy AB (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = t B t A [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt (1.3) Nếu cung AB được cho bởi phương trình y = y(x), a là hoành độ của A, b là hoành độ của B, ta có AB (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = b a [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx (1.4) 1.3. Tích phân đường loại hai 11 Ví dụ 1. Tính tích phân I = L xdy − ydx L là đường elip x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Phương trình tham số của L là x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, chiều tăng của t ứng với chiều dương của L. Ta có dx = −a sin tdt, dy = b cos tdt, do đó I = 2π 0 [a cos t.b cos t −b sin t(−a sin t)] dt = 2π 0 abdt = 2πab 2. Tính I = L (x − y)dx + (x + y)dy L là đường nói điểm (0, 0) với điểm (1, 1) nếu L là: - đường y = x - đường y = x 2 - đường y = √ x Ta có - Trên đường y = x, ta có dy = dx, do đó I = 1 0 2xdx = 1 - Trên đường y = x 2 , ta có dy = 2dx, do đó I = 1 0 (x + x 2 + 2x 3 )dx = x 2 2 + x 3 3 + x 4 2 | 1 0 = 4 3 - Trên đường y = √ x, ta có x = y 2 , do đó dx = 2ydy, vậy I = 1 0 (2y 3 − y 2 + y)dy = y 4 2 − y 3 3 + y 2 2 | 1 0 = 2 3 [...]... x ≥ 0 Giải: Gọi L là đường cong gồm nửa đường tròn C và đoạn OA Rõ ràng: 3 (xarctgx + y 2 )dx + (x + 2xy + y 2 e−y )dy I=J+ AO trong đó I là tích phân của ví dụ 2 ở trên Đoạn thẳng AO có phương trình x = 0, 0 ≤ y ≤ 2 ⇒ dx = 0 Áp dụng công thức tính tích phân đường ta có: 2 −y 3 2 (xarctgx+y )dx+(x+2xy +y e 0 AO 2 0 =− 1 3 2 Vậy: J = π 2 + 1 3 1 1 3 3 e−y d(−y 3 ) = − e−y |0 = − 2 3 3 1− 1 e8 3 y 2... khái niệm về tích phân mặt loại một, tích phân mặt loại hai và cách tính chúng - Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp hơn về tích phân đường - Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề 2.1 Khái niệm về mặt cong o Giả sử D là một tập đo được theo Jordan có phần trong D = ∅ trong mặt phẳng R2 , γ : D → R3 (u, v) → γ(u,... 19 BÀI TẬP Bài 1: Tính các tích phân đường AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(0, 0), B(4, 3) 1 AB , 2 L xyds, L là biên của hình ABCD, A(0, 0), B(4, 0), C(4, 2), D(0, 2) 3 + y 2 )ds, L là biên của hình tam giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(−1, 1) 4 L (x L (x chữ nhật 2 4 3 4 2 2 2 + y 3 )ds, L là đường axtrôit x 3 + y 3 = a 3 , (a > 0) 2 2 y x L xyds, L là cung đường elip a2 + b2 = 1 nằm trong góc phần. .. mặt S đối xứng đối với các mặt phẳng x = 0, y = 0 và hàm số dưới dấu tích phân là lẻ đối với x và y 2.4 Tích phân mặt loại 2 2.4 .3 33 Công thức Stokes Dưới đây ta sẽ có công thức mở rộng công thức Green, đó là mối liên hệ giữa tích phân đường loại hai trong không gian với tích phân mặt loại hai Ta có định lý Stokes sau đây Định lý 2.2 Giả sử mặt cong S định hướng được, trơn từng mảnh có biên là đường... y 3 )dx + (x3 + y 3 )dy, L là đường tròn x2 + y 2 = 1 theo chiều dương 3 + y 2 )dx + (x2 − y 2 )dy, OABO là đường gấp khúc kín với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) L (2xy L (2x 3 OABO (x 2 Bài 4: Tính các tích phân đường 1 2 2(x2 + y 2 )dx + (4y + 3) xdy, ABC là đường gấp khúc với các đỉnh A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2) ABC L (xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy, L là đường tròn x2 +y 2 = ax theo chiều dương (a > 0) 3. .. (??) • Tính tích phân đường loại hai khi L ⊂ R3 thường rất khó khăn (ta mới chỉ đưa ra công thức tính khi L cho bởi phương trình tham số) Do đó công thức Stokes tỏ ra rất hiệu lực khi mà L là biên của các mặt cong nào đó mà tích phân mặt loại hai trên có thể tính dễ dàng dxd 34 TÍCH PHÂN MẶT • Xuất phát từ công thức Stokes, ta nhận được định lý bốn mệnh đề tương đương xét trong không gian R3 tương tự... x2 + y 2 ≤ R2 z=0 D: I= zdxdy + S+ (2.-1) zdxdy S− Tích phân lấy theo phía trên của S+ và tích phân lấy theo phía dưới của S− Từ công thức (2.1) ta có R2 − x2 − y 2 dxdy zdxdy = S+ D − R2 − x2 − y 2 dxdy zdxdy = − D S− Vậy R2 − x2 − y 2 dxdy I=2 D Chuyển sang tọa độ cực ta có 2π I=2 R dϕ 0 0 3 2 R2 − r2 r.dr = 2π − (R2 − r2 ) 2 3 4 |R = R3 0 3 32 TÍCH PHÂN MẶT 2 Tính I = S (y − z)dydz + (z − x)dzdx...12 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 3 Tính (2xy − x2 )dx + (x + y 2 )dy I= L L là cung của đường parabol y 2 = 1 − x từ điểm A(0, −1) đến điểm B(0, 1) Hình 1.1 Trên đường L, ta có x = 1 − y 2 , do đó dx = −2ydy, vì vậy 1 (2y 5 + 4y 4 − 4y 3 − 4y 2 + 2y + 1)dy = I= −1 1 =2 0 1 .3. 4 y3 14 y5 (4y − 4y + 1)dy = 2 4 − 4 + y |1 = 0 5 3 15 4 2 Tích phân đường loại hai trong không gian Cho các hàm ba biến P... sin2 t)dt = πab 0 3 Ví dụ 2: Tính I = L (xarctgx+y 2 )dx+(x+2xy+y 2 e−y )dy; L là biên nửa hình tròn cho bởi bất phương trình x2 + y 2 ≤ 2y, x > 0 Giải: Đường L cho trên hình vẽ đó là biên của nửa hình tròn bán kính là 1 Đặt: P = xarctgx + y 2 ⇒ ∂P = 2y ∂y 18 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Hình 1.5 3 Q = x + 2xy + y 2 e−y ⇒ ∂Q = 2y + 1 ∂x Vậy: ∂Q ∂P − ∂x ∂y I= D dxdy = dxdy = D π 2 Ví dụ 3 Tính 3 (xarctgx + y 2 )dx... của mặt S 2 .3 2 .3. 1 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa Cho một mặt cong S và một hàm số f (M ) = f (x, y, z) xác định trên S Chia S thành n mảnh nhỏ Gọi tên và cả diện tích của các mảnh ấy là ∆S1 , ∆S2 , , ∆Sn Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tùy ý Mi (ξi , ηi , ζi ) Nếu khi n → ∞ sao cho maxdi → 0, di là đường kính của ∆Si , tổng n f (Mi ).∆Si dần tới một giới hạn xác định không phụ i=1 26 TÍCH PHÂN . tính tích phân đường ta có: AO (xarctgx+y 2 )dx+(x+2xy +y 2 e −y 3 )dy = 0 2 y 2 e −y 3 dy = = − 1 3 0 2 e −y 3 d(−y 3 ) = − 1 3 e −y 3 | 0 2 = − 1 3 1 e 8 − 1 Vậy: J = π 2 + 1 3 1. x 2 + 2x 3 )dx = x 2 2 + x 3 3 + x 4 2 | 1 0 = 4 3 - Trên đường y = √ x, ta có x = y 2 , do đó dx = 2ydy, vậy I = 1 0 (2y 3 − y 2 + y)dy = y 4 2 − y 3 3 + y 2 2 | 1 0 = 2 3 12 TÍCH PHÂN. tính tích phân mặt loại hai . . . . . 29 Mục lục 3 2.4 .3. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4. Công thức Gauss - Ostrogradski . . . . . . 35 Chương 3. ÁNH XẠ KHẢ VI 39 3. 1.