Đề cương bài giảng học phần đại số cao cấp 1

MỤC LỤC CHƯƠNG 1. Nửa nhóm và nhóm 1 1.1. Nửa nhóm 1 1.1.1. Phép toán hai ngôi 1 1.1.2. Nửa nhóm 2 1.2. Nhóm 3 1.2.1. Nhóm 3 1.2.2. Nhóm con 4 1.2.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 6 1.2.4. Nhóm con Sylow 8 1.2.5. ðồng cấu nhóm 8 1.2.6. ðối xứng hoá 11 CHƯƠNG 2. Vành và trường 20 2.1. Vành và miền nguyên 20 2.1.1. Vành 20 2.1.2. Ước của không, miền nguyên 21 2.1.3. Vành con 21 2.1.4. Iñêan và vành thương 22 2.1.5. ðồng cấu 23 2.2. Trường 24 2.2.1. Trường 24 2.2.2. Trường con 24 2.2.3. Trường các thương 25 2.2.4. Trường hữu hạn 26 CHƯƠNG 3. Vành ña thức 31 3.1. Vành ña thức một ẩn 31 3.1.1. Vành ña thức một ẩn 31 3.1.2. Bậc của một ña thức 32 3.1.2. Phép chia với dư 33 3.1.3. Nghiệm của một ña thức 34 3.1.4. Phần tử ñại số và phần tử siêu việt 35 3.2. Vành ña thức nhiều ẩn 36 3.2.1. Vành ña thức nhiều ẩn 36 3.2.2. Bậc 38 3.2.3. ða thức ñối xứng 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 1 CHƯƠNG 1 Nửa nhóm và nhóm Số tiết:15 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết) *) Mục tiêu: - Cung cấp và giúp sinh viên hiểu các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số: nửa nhóm, nhóm, các phương pháp vận dụng các kiến thức này ñể giải toán. - Vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, từ ñó giúp sinh viên nắm vững các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn về toán ở bậc phổ thông về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát. - Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa. 1.1. Nửa nhóm 1.1.1. Phép toán hai ngôi - ðịnh nghĩa 1: Ta gọi phép toán hai ngôi (hay gọi tắt là phép toán) trong một tập hợp X một ánh xạ f từ X × X ñến X. Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y. - Chú ý: Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép cộng và phép nhân). Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi. Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý do nào khiến ta phải viết khác. - Ví dụ: 1) Trong tập ℕ các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những phép toán hai ngôi. Trong tập hợp ℕ * = ℕ - {0}, phép hợp thành x y của x và y là một phép toán hai ngôi. 2) Trong tập ℤ các số nguyên, phép trừ hai số nguyên thông thường là một phép toán hai ngôi, nhưng trong tập ℕ các số tự nhiên phép trừ hai số tự nhiên thông thường không là một phép toán hai ngôi. - ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận A của X gọi là ổn ñịnh ñối với phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu xy thuộc A với mọi x, y ∈ A. Phép toán hai ngôi * xác ñịnh trong bộ phận ổn ñịnh A bởi quan hệ x*y = xy với mọi x,y ∈ A gọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X. Hay * là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán hai ngôi “.” của X. Ta thường ký hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X. - ðịnh nghĩa 3: Một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu ta có: (xy)z= x(yz) với mọi x,y,z ∈ X; gọi là giao hoán nếu: xy = yx với mọi x,y ∈ X. - Ví dụ: Phép nhân, phép cộng trong ℕ là kết hợp, giao hoán; nhưng phép mũ hóa trong ℕ không kết hợp, không giao hoán. - ðịnh nghĩa 4: Giả sử cho một phép toán hai ngôi trong tập X. Một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị trái của phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu: 2 ex x = , với mọi x X ∈ . Tương tự, một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị phải của phép toán hai ngôi nếu và chỉ nếu: xe x = , với mọi x X ∈ . Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải thì e gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi. - Ví dụ: Trong ví dụ 1) ở trên, phần tử 0 là phần tử trung lập của phép cộng trong ℕ , phần tử 1 là phần tử ñơn vị của phép nhân trong ℕ . - ðịnh lý 1: Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có một ñơn vị trái e’ và một ñơn vị phải e’’, thì e’= e’’. Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập. 1.1.2. Nửa nhóm - ðịnh nghĩa 5: - Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp ñã cho trong X. - Một nửa nhóm X có phần tử trung lập ñược gọi là một vị nhóm. - Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán. - Một bộ phận ổn ñịnh A của nửa nhóm X, cùng với phép toán cảm sinh trên A ñược gọi là nửa nhóm con A của nửa nhóm X. - Ví dụ: Tập hợp ℕ cùng với phép toán + các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử trung lập là 0; Tập hợp ℕ cùng với phép toán x các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử ñơn vị là 1. - Chú ý: Cho nửa nhóm X : - Ta ký hiệu giá trị chung của hai vế của ñẳng thức: (xy)z = x(yz) bằng ký hiệu duy nhất xyz, gọi là tích của ba phần tử x, y, z lấy theo thứ tự ñó. - Cũng như vậy, ta ñặt: xyzt = (xyz)t và gọi là tích của bốn phần tử x, y, z, t lấy theo thứ tự ñó. - Tổng quát, ta ñặt: x 1 x 2 ….x n-1 x n = (x 1 x 2 …x n-1 )x n và gọi là tích của n phần tử x 1 , x 2 , …. x n lấy theo thứ tự ñó. - ðịnh lý 2 (ñịnh lý kết hợp): Giả sử x 1 , x 2 ,….x n là n phần tử của một nửa nhóm X (n ≥ 3) , thế thì: x 1 x 2 ……x n = (x 1 ….x i )(x i+1 ….x j )….(x m+1 …x n ) . - ðịnh nghĩa 6: Trong một nửa nhóm X, lũy thừa n (n là một số tự nhiên khác 0) của một phần tử a ∈ X là tích của n phần tử ñều bằng a, kí hiệu a n . - Từ ñịnh lý 2, ta có quy tắc: a m .a n = a m+n , (a m ) n = a mn . 3 - Trong trường hợp phép toán hai ngôi trong X ñược ký hiệu là + thì tổng của n phần tử ñều bằng a gọi là bội của a, ký hiệu na. Quy tắc trên ñược viết thành: ma + na = (m+n)a, n(ma)= (nm)a. - ðịnh lý 3: Trong một nửa nhóm giao hoán X, tích: x 1 x 2 …x n không phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử. - Ví dụ: 1) Tập hợp các số tự nhiên ℕ với một trong các phép toán hai ngôi sau: phép cộng, phép nhân, phép lấy ƯCLN, phép lấy BCNN là một nửa nhóm giao hoán. ðối với phép cộng, phép nhân ℕ còn là một vị nhóm giao hoán. 2) Tập hợp ( ) P X các bộ phận của một tập X là một vị nhóm giao hoán với mỗi phép toán hai ngôi là phép giao hai tập hợp và phép hợp hai tập hợp. 1.2. Nhóm 1.2.1. Nhóm - ðịnh nghĩa 1: * Nhóm X là một nửa nhóm X có các tính chất sau: (i) Có phần tử trung lập e. (ii) Với mọi x ∈ X, có một phần tử x’ sao cho: x’x = xx’ = e (phần tử x’ gọi là phần tử ñối xứnghay nghịch ñảo của x) Như vậy, nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử ñều có nghịch ñảo. * Nếu X là tập hợp hữu hạn thì ta gọi X là một nhóm hữu hạn, số phần tử của nhóm X ñược gọi là cấp của nhóm X. * Nếu phép toán hai ngôi trong X giao hoán thì X ñược gọi là nhóm giao hoán hay nhóm abel. - Ví dụ: 1) Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng thông thường các số nguyên là một nhóm, phần tử trung lập là 0, ta gọi là nhóm cộng các số nguyên. 2) Tập hợp các số hữu tỉ khác 0 cùng với phép nhân thông thường các số hữu tỷ là một nhóm, phần tử ñơn vị là 1, gọi là nhóm nhân các số hữu tỷ khác 0. 3) Nửa nhóm cộng các số tự nhiên ℕ không là một nhóm, nửa nhóm nhân các số nguyên Z không là một nhóm. 4) Tập hợp S n các phép thế của {1, 2, …, n} cùng với tích các phép thế lập thành một nhóm hữu hạn, không giao hoán với mọi 0 n ≥ . Ngoài các tính chất của nửa nhóm, nhóm còn có các tính chất sau mà chứng minh của chúng ñược xem như các bài tập: - ðịnh lý 1: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có một phần tử ñối xứng. - Chú ý: 4 + Nếu phép toán hai ngôi của nhóm ký hiệu là dấu . (dấu +) thì phần tử ñối xứng của x ký hiệu là x -1 (-x) gọi là phần tử nghịch ñảo (phần tử ñối) của x. + Từ ñịnh nghĩa ta có: (x -1 ) -1 = x ( hay -(- x) = x ). + Nếu nhóm là abel và phép toán của nhóm ký hiệu bằng dấu . (tương ứng dấu +) thì phần tử xy -1 = y -1 x (tương ứng x + (-y) = (-y) + x) ký hiệu là x/y (tương ứng x-y) và gọi là thương của x trên y (hiệu của x và y). - ðịnh lý 2 (luật giản ước): Trong một nhóm, ñẳng thức xy = xz ( yx = zx ) kéo theo ñẳng thức y = z. - ðịnh lý 3: Trong một nhóm, phương trình ax =b (xa = b) có nghiệm duy nhất x = a -1 b (x=ba -1 ). - ðịnh lý 4: Trong một nhóm, ta có: (xy) -1 =y -1 x -1 với x, y là hai phần tử bất kỳ của nhóm. - Chú ý: * ðịnh lý này mở rộng cho một số nguyên dương n tùy ý nhân tử: (x 1 x 2 … x n ) -1 = x n -1 … x 2 -1 x 1 -1 . ðặc biệt: (a n ) -1 = (a -1 ) n * Quy ước: + Ký hiệu: a -n = (a n ) -1 , vậy ta có: a -n = (a n ) -1 = (a -1 ) n . + a 0 = e. * Như vậy, ta ñã ñịnh nghĩa ñược a λ với mọi số nguyên λ . Ta vẫn có hai tính chất: a a a λ µ λ µ + = ( ) a a λ µ λµ = , với mọi , λ µ ∈ Z . - ðịnh lý 5: Một nửa nhóm X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: (i) X có một ñơn vị trái e (ii) Với mọi x X ∈ , có một ' x X ∈ sao cho ' x x e = . - Chú ý: Ta cũng ñược ñịnh lý tương tự nếu thay (i) và (ii) bởi phần tử ñơn vị phải và nghịch ñảo phải. - ðịnh lý 6: Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình: ax = b và ya = b có nghiệm trong X với mọi , a b X ∈ . 1.2.2. Nhóm con - ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận ổn ñịnh A của nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm. - Ví dụ: + Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ ℚ . 5 + Tập con {1,-1} là 1 bộ phận ổn ñịnh của nhóm nhân Z , nhưng lại không là 1 nhóm con của nhóm nhân Z . - ðịnh lý 7: Một bộ phận của một nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau là thỏa mãn: (i) Với mọi , x y A ∈ thì xy A ∈ (ii) e A ∈ , với e là phần tử trung lập của X (iii) Với mọi 1 , x A x A − ∈ ∈ . - Hệ quả: Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Khi ñó, các ñiều sau là tương ñương: (a) A là một nhóm con của X, (b) Với mọi , , x y A xy A ∈ ∈ và 1 x A − ∈ , (c) Với mọi 1 , , x y A xy A − ∈ ∈ . - Ví dụ: 1) Bộ phận { , } m ma a = ∈ Z Z , gồm tất cả các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z . 2) Cho nhóm con X, bộ phận { , } A a λ λ = ∈ Z gồm các lũy thừa nguyên của phần tử a X ∈ là một nhóm con của nhóm X. (ví dụ 1 là trường hợp ñặc biệt của ví dụ 2) 3) Bộ phận {e} chỉ gồm một phần tử trung lập của nhóm X, và bộ phận X là hai nhóm con của nhóm X. Người ta gọi chúng là những nhóm con tầm thường của nhóm X. - ðịnh lý 8: Giao một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X. - Nhận xét: Giả sử U là một bộ phận của nhóm X, khi ñó U chứa trong ít nhất một nhóm con của X, giao tất cả các nhóm con chứa U của nhóm X là một nhóm con của X, và là nhóm con nhỏ nhất của X chứa U. - ðịnh nghĩa 3: Giả sử U là một bộ phận của nhóm X. Nhóm con A nhỏ nhất của X chứa U gọi là nhóm con sinh ra bởi U. Trong trường hợp A=U thì ta nói U là hệ sinh của X, hay X ñược sinh ra bởi U. Nhận xét: Nếu { }, U a a X = ∈ thì dễ dàng thấy nhóm con A sinh ra bởi U có các phần tử là lũy thừa nguyên của a. Ta gọi A là nhóm con sinh ra bởi a. - ðịnh nghĩa 4: Một nhóm X gọi là xyclic nếu và chỉ nếu X ñược sinh ra bởi một phần tử a X ∈ . Phần tử a ñược gọi là phần tử sinh của X. Như vậy, theo nhận xét trên nhóm X là xyclic nếu và chỉ nếu các phần tử của nó là các lũy thừa ,a λ λ ∈ Z , của một phần tử a X ∈ . - Ví dụ: 1) Xét nhóm phép thế S 3 , mà các phần tử lần lượt là: 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; ; 1 2 3 2 3 1 3 1 2 e f f       = = =             3 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; 2 1 3 3 2 1 1 3 2 f f f       = = =             6 Ta xét A là nhóm con của S 3 sinh ra bởi 1 f . Ta có: 2 3 1 2 1 ; f f f e = = . Với mọi λ ∈ ℤ , giả sử r là số dư của λ cho 3, tức là: 3 ;0 3 q r r λ = + ≤ < . Ta có: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) q r q r q r r r f f f f f f ef f λ + = = = = = . Vỉ r chỉ có thể lấy một trong 3 giá trị 0,1,2 nên 1 f λ chỉ có thể là một trong 3 phần tử: 0 1 2 1 1 1 1 2 ; ; f e f f f f = = = . Do ñó, nhóm con A của S 3 sinh ra bởi 1 f là: 1 2 { , , } A e f f = Lập luận tương tự, ta ñược: + 3 { , } e f là nhóm con sinh ra bởi 3 f . + 4 { , } e f là nhóm con sinh ra bởi 4 f . + 5 { , } e f là nhóm con sinh ra bởi 5 f . + Nhóm con sinh ra bởi 2 f trùng với nhóm con sinh ra bởi 1 f . Vậy, S 3 không ñược sinh ra bởi bất kỳ phần tử nào của nhóm nên S 3 không là nhóm xyclic, còn các nhóm con của nhóm S 3 kể trên là những nhóm con xyclic. 2) Nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 và -1. Ngoài hai phần tử sinh này, nhóm không có phần tử sinh nào khác. Ta thấy: Z là nhóm vô hạn, còn các nhóm ở ví dụ 1 là hữu hạn. - Nhận xét: Giả sử X là một nhóm, và e là phần tử trung lập của X. Khi ñó: + Nếu không có một số nguyên dương nào sao cho a n = e thì nhóm con sinh ra bởi a là vô hạn. + Ngược lại, gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho: a m = e, lập luận tương tự ví dụ trên ta có nhóm con sinh ra bởi a có m phần tử là: a 0 = e; a 1 = a, a 2 ,…, a m-1 . - ðịnh nghĩa 5: Cho a là phần tử bất kỳ của nhóm con X và A là nhóm con sinh ra bởi a. Phần tử a ñược gọi là có cấp vô hạn khi A vô hạn; trong trường hợp này không có một số nguyên dương nào sao cho a n = e. Phần tử a ñược gọi là có cấp m nếu A có cấp m; trong trường hợp này m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a m =e. 1.2.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương - Giả sử A là một nhóm con của nhóm X, ta ñịnh nghĩa quan hệ tương ñương ∼ trong tập X như sau: với mọi , x y X ∈ , x y ∼ nếu và chỉ nếu 1 x y A − ∈ . - Bổ ñề 1: Quan hệ ∼ trong X là một quan hệ tương ñương. - Nhận xét: + Do ∼ là một quan hệ tương ñương trên X, nên ta xác ñịnh ñược tập thương / X ∼ . Với mỗi phần tử x X ∈ , ta kí hiệu lớp tương ñương chứa x là x . 7 + Ta kí hiệu bộ phận của X gồm các phần tử có dạng xa với a chạy khắp A là xA, tức { } xA xa a A = ∈ . - Bổ ñề 2: x xA = - ðịnh nghĩa 6: Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X. Tương tự, các lớp phải Ax của nhóm con A trong X bộ phận mà các phần tử của nó có dạng là ax với a A ∈ . - Nhận xét: Cũng như với các lớp trái, ta có thể chứng minh các lớp phải của A là các lớp tương ñương theo quan hệ tương ñương: 1 x y xy A − ⇔ ∈ ∼ . * Từ các bổ ñề 1, 2 và các tính chất của tập thương ta suy ra: - Hệ quả : Giả sử x và y là hai phần tử tùy ý của nhóm X, thế thì: (i) xA = yA nếu và chỉ nếu 1 x y A − ∈ (ii) xA yA ∩ = ∅ nếu và chỉ nếu 1 x y A − ∉ . Tập thương của X trên quan hệ tương ñương ∼ gọi là tập thương của nhóm X trên nhóm A, kí hiệu là X/A. Các phần tử của X/A là các lớp trái xA. - ðịnh lý 9 (ðịnh lý Lagrănggiơ): Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm con của nó. - Vì mọi phần tử x của nhóm X sinh ra một nhóm con có cấp bằng cấp của x, nên: - Hệ quả 1: Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ước cấp của X. - Vì mọi phần tử x e ≠ của một nhóm X ñều sinh ra một nhóm có cấp không nhỏ hơn 2, nên: - Hệ quả 2: Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố ñều là xyclic ñược sinh ra bởi một phần tử bất kỳ khác phần tử trung lập của nhóm. - ðịnh nghĩa 7: Một nhóm con A của X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu 1 x ax A − ∈ với mọi , a A x X ∈ ∈ . - ðịnh lý 10: Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc thì: (i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ / / X A X A × ñến / X A . (ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: ( , ) xA yA xyA ֏ là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A. - ðịnh lý sau ñây cho ta biết ñịnh nghĩa tương ñương của nhóm con chuẩn tắc. - ðịnh lý 11: Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X. Các ñiều sau là tương ñương: (a) A là nhóm con chuẩn tắc. (b) xA= Ax với mọi x A ∈ . - Nhận xét: Do ñịnh lý trên, nên nếu A là chuẩn tắc thì không phân biệt lớp trái, lớp phải của A và gọi chung là một lớp của A. - Ví dụ: 1) Trong một nhóm con X, các nhóm con tầm thường {e} và X là các nhóm con chuẩn tắc. 2) Trong một nhóm abel, mọi nhóm con là chuẩn tắc. 3) Xét nhóm cộng các số nguyên Z và nhóm con n Z của Z gồm các số nguyên là bội nguyên của n ñã cho. Vì nhóm cộng các số nguyên là abel, nên n Z là chuẩn tắc, do ñó các 8 lớp trái và các lớp phải của n Z là trùng nhau. Các lớp của n Z ñược ký hiệu là ,x n x + ∈ Z Z . Quan hệ tương ñương xác ñịnh bởi n Z là: x y x y n x y ⇔ − ∈ ⇔ − ∼ Z là bội của n. Quan hệ này là quan hệ ñồng dư môñun n. Vậy, nhóm thương / n Z Z gồm n lớp tương ñương: / {0 ,1 , ,( 1) } n n n n n = + + − + Z Z Z Z Z gọi là nhóm cộng các số nguyên môñun n. Ký hiệu x n + Z bằng x . - Lấy n=4, hãy lập bảng cộng của 4 ℤ ℤ . 4) Trong nhóm các phép thế S 3 ta hãy xét một nhóm con A 3 gồm các phép thế chẵn (2, ví dụ 1). Ta có: { } 3 1 2 , , eA e f f = Vì 1 2 3 , f f eA ∈ , nên 3 1 3 2 3 eA f A f A = = . Vì các lớp trái của A 3 là các lớp tương ñương, nên chúng thành lập một sự chia lớp của S 3 , vậy ngoài lớp trái eA 3 ra ta chỉ còn một sự chia lớp trái gồm các phần tử còn lại f 3 , f 4 , f 5 . Ta suy ra f 3 A 3 = f 4 A 3 = f 5 A 3 ={f 3 , f 4 , f 5 } Cũng bằng lý luận tương tự, ta ñược A 3 = A 3 e= A 3 f 1 = A 3 f 2 ={e, f 1 , f 2 } A 3 f 3 = A 3 f 4 = A 3 f 5 ={f 3 , f 4 , f 5 } Do ñó, A 3 là chuẩn tắc theo ðịnh lý 11. 1.2.4. Nhóm con Sylow ðịnh nghĩa 8. Giả sử p là một số nguyên tố. (i) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p. (ii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G vừa là một p- nhóm. (iii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con Sylow của G nếu H là một p- nhóm con của G và n H p = là lũy thừa cao nhất của p chia hết G . Ta có một số kết quả chính: ðịnh lý 12. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết G . Khi ñó tồn tại một p- nhóm con Sylow của G. ðể chứng minh ñịnh lý này ta cần bổ ñề sau: Bổ ñề 3. Giả sử G là một nhóm abel hữu hạn cấp m và p là một số nguyên tố chia hết m. Khi ñó G chứa một nhóm con cấp p. 1.2.5. ðồng cấu nhóm - ðịnh nghĩa 9: Một ñồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X ñến một nhóm Y sao cho: 9 f(ab)=f(a)f(b) với mọi , a b X ∈ . Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của X. Một ñồng cấu mà là một ñơn ánh thì gọi là ñơn cấu, một ñồng cấu toàn ánh gọi là một toàn cấu, một ñồng cấu song ánh gọi là một ñẳng cấu, một tự ñồng cấu song ánh gọi là một tự ñồng cấu. Nếu : f X Y → là một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y thì ta viết  : f X Y → . Trong trường hợp X, Y là những nửa nhóm ta cũng ñịnh nghĩa ñồng cấu nửa nhóm tương tự. - Ví dụ: 1) Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. ðơn ánh chính tắc: A X → a a ֏ là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc. 2) Ánh xạ ñồng nhất của một nhóm X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X. 3) Xét ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương + ℝ ñến nhóm cộng các số thực ℝ : log : + → ℝ ℝ log x x ֏ là một ñồng cấu nhóm. ðồng cấu này còn là một song ánh, nên là một ñẳng cấu. 4) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ: : / h X X A → ( ) x h x xA = ֏ là một ñồng cấu, hơn nữa ánh xạ này toàn ánh. Nên ñồng cấu này là một toàn cấu. Ta gọi là toàn cấu chính tắc. 5) Giả sử X và Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ X Y → x e ֏ với e là phần tử trung lập của X, là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu tầm thường. 6) Nếu : f X Y → là một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, thì ánh xạ ngược 1 : f X Y − → cũng là một ñẳng cấu. - ðịnh nghĩa 10: Giả sử : f X Y → là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, các phần tử trung lập của X và Y ñược ký hiệu theo thứ tự là e X và e Y . Ta kí hiệu: Imf= f(X); Kerf= f -1 (e Y ) và gọi Imf là ảnh của ñồng cấu f, Kerf là hạt nhân của ñồng cấu f. - ðịnh lý 13: Giả sử X, Y, Z là những nhóm và : f X Y → và : g Y Z → là những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích: : gf X Z → cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt, tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu. - ðịnh lý 14: Giả sử : f X Y → là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y. [...]... theo th t là e1, e2 và G là nhóm tích G1 × G2 , A, B là các b ph n G1 × {e 2 } ; {e 1} × G2 c a G Xét các ánh x p1 : G → G1 ( x1 , x2 ) ֏ x 1 p2 : G → G2 ( x1 , x2 ) ֏ x 1 q1 : G1 → G x1 ֏ ( x1 , e2 ) q2 : G2 → G x2 ֏ (e1 , x2 ) a) Ch ng minh p1, p2 là nh ng toàn c u Xác ñ nh Ker p1 và Ker p2 b) Ch ng minh q1, q2 là nh ng ñơn c u Xác ñ nh Im q1 và Im q2 T ñó suy ra G1 ñ ng c u v i A, G2 ñ ng c u v i B... b ∈ b} A 1 = {a 1 | a ∈ A} Ch ng minh các ñ ng th c sau: a) (AB)C=A(BC) b) (A -1) -1= A c) (AB) -1= B-1A -1 d) N u A là m t nhóm con c a X thì A -1= A Bài 1. 19: Cho X là m t nhóm và A là m t b ph n khác r ng c a X Ch ng minh A là m t nhóm con c a nhóm X khi và ch khi AA -1= A Bài 1. 20: Cho A là m t nhóm con c a nhóm X và a ∈ X Ch ng minh aA là m t nhóm con c a X khi và ch khi a ∈ A Bài 1. 21: Trong m t nhóm... aX=Xa=X Bài 1. 13: Ch ng minh m i b ph n khác r ng n ñ nh c a m t nhóm h u h n X là m t nhóm con c a X Bài 1. 14: Trong các nhóm bài 1. 7, nhóm nào là nhóm con c a nhóm nào? Bài 1. 15: Ch ng minh r ng trong nhóm c ng các s nguyên ℤ , m t b ph n A c a ℤ là m t nhóm con c a ℤ n u và ch n u A có d ng mℤ, m ∈ ℤ Bài 1. 16: Trong nhóm phép th S4, ch ng minh r ng các phép th sau: e, a= (1 2) (3 4), b= (1 3) (2... an + an 1 x + + a0 x n , (an ≠ 0) cho ña th c (x-c) ta ñư c ña th c thương g = bn 1 + bn − 2 x + + b0 x n 1 cho b i công th c b0 = a0 , bi = ai + c.bi 1 , ∀i = 1, 2, n − 1 và dư r = an + c.bn 1 L i vì r = f(c) nên ta có lư c ñ Hoocne như sau x a0 a1 an 1 an c b0 b1 bn 1 r trong ñó b0 = a0 , bi = ai + c.bi 1 , ∀i = 1, 2, n − 1 Ví d : Tìm nghi m nguyên c a phương trình sau: x3 -12 x +16 =0 Gi i... = -2x2+2x -1 Ta th c hi n phép chia − x3 − 7 x 2 + 2 x − 4 −2 x 2 + 2 x − 1 − x3 + x 2 − 1 x 2 1 x + 4 = q ( x) 2 5 x−4 2 −8 x 2 + 8 x − 4 f1 ( x) = − 8 x 2 + f 2 ( x) = r ( x) = − 11 x 2 T ñó ta có f(x) = -x3-7x2+2x- 4 = (-2x2+2x -1) (x/2+4) - 11 x/2 Ví d 2: Cho A là trư ng các s nguyên modun 11 Ta ñ t a = a ∈ ℤ 11 Ta tìm thương và s dư trong phép chia c a f(x)=-x3-7x2+2x- 4 cho g(x)=-2x2+2x -1 Ta th c... có d ng 2n, n ∈ ℤ v i phép nhân 11 ) T p h p các căn b c n c a 1 v i phép nhân 12 ) M= {1, -1} v i phép nhân 13 ) T p h p các s th c dương v i phép nhân 14 ) T p h p các s th c có d ng a + b 3(a, b ∈ ℤ) v i phép c ng 15 ) T p h p các s th c d ng a + b 3(a, b ∈ ℚ) và a 2 + b 2 ≠ 0 v i phép nhân 16 ) T p h p các s ph c d ng a + ib( a, b ∈ ℤ) v i phép c ng 17 ) T 18 ) T 19 ) T 20) T 21) T ph ph ph ph ph p các véctơ... vành các s nguyên Bài 2 .17 : Hãy tìm t t c các t ñ ng c u c a vành X Ch ng minh r ng t p h p A = { x ∈ X | f ( x) = x} là m t vành con c a vành X Bài 2 .18 : Gi s X là m t vành tuỳ ý, ℤ là vành các s nguyên Xét t p h p tích ð các X × ℤ Trong X × ℤ ta ñ nh nghĩa các phép toán như sau: ( x1 , n1 ) + ( x2 , n2 ) = ( x1 + x2 , n1 + n2 ) ( x1 , n1 )( x2 , n2 ) = ( x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1n2 ) a) Ch ng minh... ( 1 , 1 ) ֏ ∆ Trong ñó 1 , ∆ 2 , ∆ l n lư t có phương trình là: y=a1x+b1, y=a2x+b2, y=a1 a2x+( b1+ b2) xác ñ nh m t phép toán hai ngôi trong D a) Ch ng minh D là m t nhóm v i phép toán trên b) Ánh x : ϕ : D → ℝ* ∆֏a trong ñó ℝ* là nhóm nhân các s th c khác 0, và ∆ là ñư ng th ng có phương trình y=ax+b là m t ñ ng c u 16 c) Xác ñ nh Kerϕ Bài 1. 41: Cho G1,G2 là nh ng nhóm v i ñơn v theo th t là e1,... Ch ng minh X là m t vành Bài 2.5: Tìm các ư c c a không trong vành ℤ 6ℤ Bài 2.6: Ch ng minh ℤ ( n ≠ 0 ) là m t mi n nguyên khi và ch khi n nguyên t nℤ Bài 2.7: Ch ng minh t p h p X = ℤ × ℤ cùng v i hai phép toán (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 ).(a2 , b2 ) = (a1a2 , b1b2 ) là m t vành giao hoán, có ñơn v Hãy tìm t t c các ư c c a không c a vành này Bài 2.8: Gi s X là m t vành... ℤ = ℕ ∪ { 1, −2, −3, , −n, } Trong khi ñó, v i m i a,b ∈ ℕ* , không ph i bao gi ta cũng có ax=b có nghi m trong ℕ* , hay bx=a có nghi m trong ℕ* Ch ng h n, a=2, b=3, c 2x=3 và 3x=2 ñ u không có nghi m trong ℕ* Nên ta không có: 1 1 1 1  ℚ+ = ℕ* ∪  , , , , ,  2 3 4 n   12 *) Tài li u h c t p 1 Hoàng Xuân Sính (19 98), ð i s ñ i cương, NXB GD 2 Bùi Huy Hi n (19 96), Bài t p ñ i s ñ i cương, NXBGD . CHƯƠNG 1. Nửa nhóm và nhóm 1 1. 1. Nửa nhóm 1 1. 1 .1. Phép toán hai ngôi 1 1. 1.2. Nửa nhóm 2 1. 2. Nhóm 3 1. 2 .1. Nhóm 3 1. 2.2. Nhóm con 4 1. 2.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 6 1. 2.4 có: * 1 1 1 1 , , , , , 2 3 4 n +   = ∪     ℚ ℕ 13 *) Tài liệu học tập 1. Hoàng Xuân Sính (19 98), ðại số ñại cương, NXB GD. 2. Bùi Huy Hiền (19 96), Bài tập ñại số ñại cương, . Sylow 8 1. 2.5. ðồng cấu nhóm 8 1. 2.6. ðối xứng hoá 11 CHƯƠNG 2. Vành và trường 20 2 .1. Vành và miền nguyên 20 2 .1. 1. Vành 20 2 .1. 2. Ước của không, miền nguyên 21 2 .1. 3. Vành con 21 2 .1. 4.