ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ SƠ CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN)

Qua nội dung của chương, trước hết người học thấy ñược sự phong phú ña dạng, phức tạp của các biểu thức toán học và sự cần thiết phải biến ñổi một biểu thức toán học nhằm phân loại nó, ñ

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

ðẠI SỐ SƠ CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN)

MỤC LỤC

Chương 1 Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất……… 2

1.1 Biểu thức toán học……… 2

1.2 Các phép biến ñổi hữu tỉ……… 3

1.3 Các phép biến ñổi vô tỉ……… 11

1.4 Các phép biến ñổi mũ và logarit……… 15

1.5 Các phép biến ñổi lượng giác……… 16

Chương 2 Hàm số và ñồ thị ……… 23

2.1 Khái niệm về hàm số và ñồ thị……… 23

2.2 Khảo sát hàm số……… 24

2.3 Các phép biến ñổi ñồ thị……… 26

2.4 Khảo sát sơ cấp hàm số bậc nhất và bậc hai……… 27

2.5 Khảo sát sơ cấp hàm phân thức……… 28

2.6 Khảo sát sơ cấp hàm số mũ và lôgarit……… 29

2.7 Khảo sát sơ cấp hàm số lượng giác……… 30

Chương 3 Bất ñẳng thức……… 34

3.1 ðại cương về bất ñẳng thức……… 34

3.2 Tính chất của bất ñẳng thức……… 34

3.3 Một số bất ñẳng thức thường gặp……… 35

3.4 Chứng minh bất ñẳng thức……… 35

3.5 Các bài toán cực trị hàm số……… 41

Chương 4 Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình……… 52

4.1 ðại cương về phương trình, hệ, tuyển phương trình và bất phương trình………… 52

4.2 Phương trình, bất phương trình hữu tỷ một ẩn Phương pháp khoảng……… 56

4.3 Phương trình và hệ phương trình hữu tỷ hai ẩn……… 60

4.4 Bất phương trình hữu tỷ hai ẩn Phương pháp hình học……… 64

4.5 Phương trình và bất phương trình vô tỷ……… 65

4.6 Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarít……… 66

4.7 Phương trình và bất phương trình lượng giác……… 67

Tài liệu tham khảo……… 83

CHƯƠNG 1 Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất

Số tiết: 14 (Lý thuyết: 08 tiết; bài tập, thảo luận: 06 tiết)

A) MỤC TIÊU

Chương này gồm năm phần Phần ñầu tiên của chương trang bị cho người học hiểu thế nào

là một biểu thức toán học và biết phân loại các biểu thức toán học Bốn phần tiếp theo rèn luyện cho người học các kĩ năng biến ñổi một biểu thức Qua nội dung của chương, trước hết người học thấy ñược sự phong phú ña dạng, phức tạp của các biểu thức toán học và sự cần thiết phải biến ñổi một biểu thức toán học nhằm phân loại nó, ñưa nó về dạng ñơn giản hơn, chỉ ra mối liên

hệ của nó với các biểu thức khác Bên cạnh ñó, người học ñược lần lượt ñược nghiên cứu, thao tác bốn loại biến ñổi phổ biến tương ứng với bốn loại biểu thức trong chương trình ñại số ở phổ thông

mũ hữu tỉ thực chất cũng có thể coi là những phép toán ñại số

b) Phép toán siêu việt

Phép toán siêu việt bao gồm các phép lũy thừa với số mũ vô tỉ, phép toán lấy lôgarit, phép toán lượng giác và lượng giác ngược

1.1.2 Các loại biểu thức toán học

Chúng ta có thể hiểu một cách khái quát, biểu thức toán học là một tập hợp chữ và số ñược gắn với nhau bởi những kí hiệu phép toán

Có nhiều loại biểu thức toán học, chúng ñược phân chia dựa theo ñặc ñiểm phép toán xuất hiện trong biểu thức

+) Biểu thức giải tích: Là cách viết kí hiệu một loạt phép toán cần thực hiện theo một thứ tự nhất

ñịnh trên các số biểu thị bởi các chữ (ñối số), hoặc các chữ số ñể tìm giá trị bằng số của biểu thức

ñã cho

+) Biểu thức ñại số: Là biểu thức giải tích trong ñó chỉ có các phép toán ñại số

+) Biểu thức ñại số hữu tỉ: Là biểu thức ñại số trong ñó chỉ có các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

trên những biểu thức chứa ñối số

+) Biểu thức ñại số vô tỉ: là biểu thức ñại số có chứa phép khai căn trên những biểu thức chứa ñối

số

Ví dụ 1.1.1 Cho , ,A B C là các tập hợp Khi ñó \ (A B∪C) không là một biểu thức toán học

Ví dụ 1.1.2 2

1

x y x

+

− là một biểu thức ñại số hữu tỉ

Ví dụ 1.1.3 3xy−x2+ x+ là một biểu thức ñại số vô tỉ 1

1.2 Các phép biến ñổi hữu tỷ

1.2.1 ða thức trên trường số

Xét vành ña thức [ ],A x ở ñây A là trường số thực hoặc trường số phức

a) Nghiệm của ña thức

Theo Bezout, ta ñã biết rằng dư của phép chia f x( ) cho (x c− ) là f c( ) Từ ñây suy ra nếu ña thức f x( ) nhận c làm nghiệm khi và chỉ khi f x( ) chia hết cho (x c− ) Giả sử ña thức

1

1 1 0

f x =a x +a− x − +⋯+a x+a có ñầy ñủ n nghiệm là x x1, , , 2 … x n Khi ñó ta có công thức

Viéte sau ñây:

n n

n n

n

n n

n

a

a a

ðịnh lí 1.2.1 Mọi ña thức một biến bậc lẻ trên trường số thực ñều có ít nhất một nghiệm thực ðịnh lí 1.2.2 Mọi ña thức một biến bậc dương trên trường số phức ñều có ít nhất một nghiệm

phức

*) Câu hỏi: Khẳng ñịnh của ðịnh lí 1.2.2 có còn ñúng không khi mở rộng sang ña thức nhiều

biến trên trường số phức?

b) Ứớc chung lớn nhất

Cho hai ña thức ( ), ( )f x g x ∈A x[ ] ða thức ( )d x ∈A x[ ] ñược gọi là một ước chung của

( ), ( )

f x g x nếu ( ) ( )f x d x⋮ và ( ) ( ).g x d x⋮ Nếu ước chung ( )d x chia hết cho mọi ước chung khác

thì nó ñược gọi là ước chung lớn nhất của ( ) f x và g x Ta ñã biết rằng vành ña thức trên một ( )trường là một vành chính, do ñó theo lý thuyết chia hết trong vành chính ta có kết quả sau

ðịnh lí 1.2.3 Ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên một trường luôn tồn tại ðặc

biệt, ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên trường số thực và trường số phức luôn tồn tại

Vì vành ña thức một biến trên một trường cũng là một vành Euclid nên ñể tìm ước chung lớn nhất của hai ña thức, người ta thường áp dụng thuật toán Euclid

c) ða thức bất khả quy

Cho ña thức ( ) p x ∈A x[ ] có bậc dương Ta nói ( )p x là bất khả quy trên A nếu nó không thể

phân tích thành tích của hai ña thức bậc dương Nếu trái lại, ta nói ( )p x là khả quy hoặc phân tích ñược trên A

Mệnh ñề 1.2.4 (i) Mọi ña thức bậc nhất ñều bất khả quy

(ii) ða thức bất khả quy ( ) p x chỉ có các ước là ña thức bậc 0 và dạng ap x a( ), ∈A\ 0 { }

(iii) ða thức ( ) p x ∈A x[ ] là bất khả quy khi và chỉ khi với mọi ña thức f x( )∈A x[ ]thì hoặc

( ) ( ),

f x ⋮p x hoặc ( ( ), ( )) 1.f x p x =

(iv) Nếu f x g x h x( ) ( ) ( )⋮ mà ( ( ), ( )) 1f x h x = thì g x h x( ) ( ).⋮

(v) Nếu ( ) p x bất khả quy và f x g x( ) ( ) ( )⋮p x thì f x( ) ( )⋮p x hoặc g x( ) ( ).⋮p x

ðịnh lí 1.2.5 Mỗi ña thức trên một trường ñều phân tích ñược thành một tích các ña thức bất

khả quy, hơn nữa sự phân tích là duy nhất nếu không kể ñến thứ tự các nhân tử và các phần tử khả nghịch.

ðịnh lí sau cho ta thấy rõ lớp các ña thức bất khả quy trên các trường số thực và phức

ðịnh lí 1.2.6 (i) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số phức là các ña thức bậc nhất

(ii) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số thực là các ña thức bậc nhất và các ña thức bậc hai với biệt thức âm

Ví dụ 1.2.7 Chứng minh rằng ña thức f x( )=x6+5x5−4x2− có ít nhất hai nghiệm thực phân 7

biệt (hướng dẫn: (0) 7 0, lim ( )

Ví dụ 1.2.8 Phân tích ña thức (1−x2 3) +8x3 thành nhân tử bất khả quy trên trường số thực

1.2.2 ða thức với hệ số hữu tỉ

Việc nghiên cứu ña thức với hệ số hữu tỉ là rất cần thiết, về mặt ñại số trước hết nó là cơ sở

ñể chúng ta tiếp cận với một lớp số quan trọng là số ñại số, tiếp ñó nó còn liên quan ñến bài toán giải phương trình bằng căn thức Về mặt hình học, nó là bước ñệm quan trọng giúp người học tiếp cận với vấn ñề dựng một ñại lượng bằng thước kẻ và compa

Ta ñã biết rằng mỗi ña thức trên một trường ñều phân tích ñược thành tích các ña thức bất khả quy Do ñó ña thức bất khả quy ñóng vai trò ñặc biệt quan trọng khi nghiên cứu về ña thức giống như vai trò của tập số nguyên tố trong số học Người ta ñã cố gắng ñưa ra nhiều dấu hiệu

ñể một ña thức là bất khả quy, dưới ñây là một trong những dấu hiệu hay ñược áp dụng

và p không là ước của số hạng tự do 2 a thì 0 f x là bất khả quy ( )

Ví dụ 1.2.11 Cho p là một số nguyên tố lẻ Khi ñó ña thức ( ) p1 p 2 [ ]

f x =x − +x − +⋯+ ± ∈x p ℤx

là bất khả quy

ðịnh lí 1.2.12 (Polya) Cho ( )f x ∈ℤ[ ], deg ( )x f x = >n 0. ðặt 1

.2

q là nghiệm của f x thì ( ) p là ước của a q là ước của 0, a n

Hệ quả 1.2.15 (i) Mọi nghiệm nguyên nếu có của ña thức với hệ số nguyên phải là ước của số

1.2.3 Những phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử

Có nhiều phương pháp ñể thực hiện việc phân tích một ña thức thành các nhân tử bất khả quy Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng việc phân chia các phương pháp chỉ mang tính tương ñối và mỗi phương pháp chỉ áp dụng cho những dạng ña thức phù hợp Do ñó trong các bài toán cụ thể cần biết vận dụng phối hợp tất cả các phương pháp

a) Phương pháp dùng nghiệm phức

b) Phương pháp chia liên tiếp

c) Phương pháp ñặt nhân tử chung

d) Phương pháp thêm bớt, nhóm các số hạng

e) Phương pháp ñặt ẩn phụ

f) Phương pháp dùng hằng ñẳng thức

g) Phương pháp ñề xuất bình phương ñủ

f) Phương pháp dùng ña thức ñối xứng

1.2.4 Các phép biến ñổi ña thức

ðịnh lí 1.2.18 (Lagrange) Cho f x là ña thức bậc ( ) n trên trường A và x x0, , ,1… x n∈A là

1.2.5 ða thức nhiều biến - ða thức ñối xứng

a) ða thức nhiều biến

ðịnh nghĩa 1.2.22 Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị Khi n= , ta ñịnh nghĩa vành ña 1thức A x[ ] 1 của biến x1 trên A ðặt A1=A x[ ], 1 A1 là vành giao hoán, có ñơn vị Vì thế lại ñịnh nghĩa ñược vành A2= A x1[ ]2 của biến x trên A2 1 ta kí hiệu A2 =A x[ 1, x2] và gọi là vành ña

thức của hai ẩn x1, x2 trên A, cứ tiếp tục như vậy, giả sử ta ñã ñịnh nghĩa ñược vành ña thức

[ 1, , , 2 n1]

A x x … x− của n 1 − ẩn x1, , , x2 … x n−1 trên A ðặt A n−1= A x[ 1, , … x n−1]. Khi ñó An-1

là vành giao hoán, có ñơn vị Do ñó ta ñịnh nghĩa vành A n = A n−1[ ]x n kí hiệu là

[ 1, , ,2 n],

A x x … x gọi là vành ña thức của n biến x1, , , x2 … x n trên A

Một phần tử của An ñược gọi là một ña thức của n biến x1, , , x2 … x n lấy hệ tử trong vành A, kí hiệu là f x( , , , )1 x2 … x n

ðịnh lí 1.2.23 ða thức f x x( , , ) 01 2 x n = nếu và chỉ nếu tất cả các hệ tử của nó ñều bằng 0

Hệ quả 1.2.24 Cho hai ña thức của A x[ 1, , , x2 … x n]:

Khi ñó f x( , , )1 … x n =g x( , , )1 … x n nếu và chỉ nếu c i=d i (i= …1, , ).m

ðịnh nghĩa 1.2.25 Giả sử f x x( , , , )1 2 … x n ∈A x[ 1,…,x n] là một ña thức khác ña thức 0

i

i i i

a X =a x x ⋯x

ñược gọi là một ñơn thức bậc i1+i2+⋯+i n của A x[ 1, , ,x2 … x n]

Chú ý 1.2.26 (i) Nếu trong ña thức f x( ,1 …, )x n ẩn xi không có mặt thì bậc của f x( ,1 …, )x n ñối với nó là 0

(ii) Nếu các hạng tử của ña thức có cùng bậc k thì f x( ,1 …, )x n gọi là một ña thức ñẳng cấp bậc k (một dạng bậc k) ðặc biệt một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phương , một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương

(iii) Bậc của ña thức 0 quy ước là −∞

ðịnh lí 1.2.27 Mọi ña thức f ∈A x x[ , , ,1 2 x n]có thể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng của các ñơn thức không ñồng dạng

ðịnh lí 1.2.28 Giả sử f x( ,1 …, )x n là một ña thức với hạng tử cao nhất là 1 2

Hệ quả 1.2.30 Nếu A là một miền nguyên thì A x x[ 1, , ,2 … x n] cũng là một miền nguyên.

ðịnh lí 1.2.31 Nếu A là một miền nguyên và f x( ,1 …, ), ( , , )x n g x1… x n ∈A x[ 1,…,x n]thì

deg( ) deg( ) deg( ).fg = f + g

b) ða thức ñối xứng

Khái niệm ña thức ñối xứng không chỉ ñóng vai trò quan trọng trong ñại số hiện ñại mà còn mang nhiều ứng dụng trong giải các bài toán ñại số sơ cấp

ðịnh nghĩa 1.2.32 Giả sử A là vành giao hoán có ñơn vị, f x( ,1 …, )x n ∈A x[ 1,…,x n]

Ta nói f x( ,1 …, )x n là một ña thức ñối xứng của n biến nếu với mọi phép thế

n n

ta luôn có f x( ,1 …, )x n = f x( τ(1),…,xτ( )n ), ở ñây f x( τ(1),…,xτ( )n )ñược suy ra từ f x( ,1 …, )x n

bằng cách thay thế x1 bởi xτ(1), x2 bởi xτ(2), …, xn bởi xτ( )n

ðịnh lí 1.2.33 Bộ phận M các ña thức ñối xứng của vành A x[ 1,…,x n] là một vành con của vành A x[ 1,…,x n]

Các ña thức ñối xứng cơ bản

f x … x ∈A x … x ñều biểu diễn ñược duy nhất dưới dạng một ña thức h( ,σ1 …,σn)

của các các ña thức ñối xứng cơ bản với các hệ tử trong A

Ứng dụng lý thuyết ña thức ñối xứng vào ñại số sơ cấp

ða thức ñối xứng ñóng vai trò quan trọng trong ñại số sơ cấp, cụ thể là có thể ứng dụng nó

ñể giải một số bài toán thuộc các chủ ñiểm sau:

+) Phân tích ña thức thành nhân tử

+) Chứng minh hằng ñẳng thức

+) Chứng minh bất ñẳng thức

+) Giải các bài toán về phương trình bậc hai

+) Tìm nghiệm nguyên của các phương trình ñối xứng

+) Giải các hệ phương trình

+) Trục căn thức ở mẫu

1.2.6 Các phép biến ñổi phân thức

a) Nhắc lại về xây dựng trường phân thức hữu tỉ

Cho K là một trường, ta ñã biết rằng vành ña thức A=K[ , , ]x1… x n là một miền nguyên ðặt

{ }

* \ 0

A =A Xét quan hệ tương ñương trên A A× * như sau: ( , ), ( ,f g1 1 f g2 2)∈ ×A A* ñược gọi

là tương ñương nếu f g1 2 = f g2 1 Kí hiệu lớp tương ñương ñại diện bởi ( , )f g ∈ ×A A* là f

là trường phân thức hay trường phân thức hữu tỉ của n biến x1, ,… x n trên K kí hiệu

( , , )

( , , )( , , )

n

n n

… K ñược gọi là một phân thức trên trường ;K f x( , , )1 … x n

ñược gọi là tử thức và g x( , , )1 … x n ñược gọi là mẫu thức của phân thức ñã cho

b) Phân thức tối giản- Rút gọn phân thức

ðịnh nghĩa 1.2.35 Phân thức 1

1 1

( , , )

( , , )( , , )

n

n n

g x ∈ K ñược gọi là thực sự nếu deg ( ) deg ( ).f x < g x

ðịnh nghĩa 1.2.37 Rút gọn một phân thức là việc ñưa một phân thức ñã cho về dạng tối giản

2 2

là phân thức ñã ñược rút gọn về dạng tối giản

Chú ý 1.2.39 Nhờ thực hiện phép chia ña thức, chúng ta luôn ñưa ñược một phân thức về dạng

phân thức thực sự Thật vậy, giả sử ( )f x =g x q x( ) ( )+r x( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ).r x = ∨ r x < g x Khi

c) Biểu diễn phân thức dưới dạng tổng của những phân thức ñơn giản

B

x px q

++ + (∆ = p2−4q<0)ñược gọi là các phân thức ñơn giản nhất loại I, II, III, IV

ðối với nhiều bài toán người ta thường ứng dụng việc phân tích một phân thức dưới dạng tổng của những phân thức ñơn giản ñể giải, chẳng hạn như: bài toán tính tổng, bài toán chứng minh bất ñẳng thức, tìm ñạo hàm cấp cao, tìm nguyên hàm của hàm phân thức ðiều này cho thấy các phân thức ñơn giản ñóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về phân thức

ðịnh lí 1.2.40 Cho một phân thức hữu tỉ tối giản thực sự ( )

.( )

1

( )( )

1

( )( )

+

1.3 Các phép biến ñổi vô tỉ

Khái niệm căn thức ñóng vai trò ñặc biệt quan trọng trong lý thuyết các phương trình ñại số Biểu thức chứa căn thức ñối với ñối số còn ñược biết ñến với tên gọi biểu thức ñại số vô tỉ và nhìn chung khá phức tạp Phần này sẽ trình bày các khái niệm liên quan ñến căn thức và giới thiệu một số phép biến ñổi vô tỉ

ðịnh lí 1.3.1 Cho số nguyên dương n và số thực không âm A Khi ñó tồn tại số thực không âm

x duy nhất sao cho n

x là ñiểm (giới hạn) chung của dãy ñoạn này, ta ñược x n =A

ðịnh nghĩa 1.3.2 Cho số nguyên dương n≥ và số thực không âm 2 A Khi ñó số thực không

âm x duy nhất sao cho x n = Añược gọi là căn số số học bậc n của A Kí hiệu x=n A

Ví dụ 1.3.3 4 2, 27 3, 16 2.= 3 = 4 =

ðịnh nghĩa 1.3.4 Cho số nguyên dương n≥ và số thực 2 A Căn số bậc n của A là số thực x

(nếu có) sao cho x n =A

Chú ý 1.3.5 (i) Căn bậc lẻ của một số thực luôn tồn tại và duy nhất

(ii) Căn bậc tùy ý của 0 bằng 0

(iii) Căn bậc chẵn của một số thực dương gồm hai giá trị ñối nhau

(iv) Căn bậc của một số thực âm không tồn tại

(v) Với mọi số thực không âm ,a ta có n n

(vii) Với mọi số thực ,a ta có 2n 2n

a = a

(viii) Cho ,a b là hai số thực không âm, ta có: n a =n b ⇔a= ⇔b a n=b n

(ix) Cho ,a b là hai số thực không âm, ta có: n a < n b ⇔a< ⇔b a n<b n

(x) Cho ,a b là hai số thực bất kì và n là số tự nhiên lẻ, ta có: n a =n b ⇔a= ⇔b a n =b n.(xi) Cho ,a b là hai số thực bất kì và n là số tự nhiên lẻ, ta có: n a< n b⇔a< ⇔b a n <b n

*) Câu hỏi: Hai khẳng ñịnh cuối cùng trong Chú ý 1.3.5 còn ñúng không khi n là số chẵn?

1.3.2 Các tính chất của phép khai căn

Sau ñây ta sẽ xét căn số của các số thực không âm, còn các trường hợp riêng sẽ ñược ghi chú Thay cho căn số ta sẽ nói căn khi chú ý ñến giá trị, còn nói căn thức khi chú ý ñến các phép

biến ñổi căn

ðịnh lí 1.3.6 (i) Với mọi số thực không âm a a1, , ,2 … a k , ta có n 1 2 n 1n 2 n

a a ⋯a = a a ⋯ a (ii) Với mọi số thực a a1, , ,2 … a k , ta có 2 1 2 1 2 1 2 1

+

=

(v) Với mọi số thực không âm a , ta có n a =nk a k ( ,n k∈ ℕ*)

(vi) Với mọi số thực không âm a , ta có n k a =nk a ( ,n k∈ ℕ*)

Hệ quả 1.3.7 (i) Với mọi số thực không âm a , ta có ( )n a k = n a k ( ,n k∈ ℕ*)

(ii) Với mọi số thực không âm , , a b ta có n a b n =a b n (n∈ ℕ*)

(iii) Với mọi số thực a , ta có (2n+1a)k =2n+1a k ( ,n k∈ ℕ*)

(iv) Với mọi số thực , , a b ta có 2n+1a2n+1b =a2n+1b (n∈ ℕ*)

(v) Với mọi số thực a và mọi số thực không âm b ta có , 2n a b2n = a2n b (n∈ ℕ*)

1.3.3 Một số phép biến ñổi vô tỉ thường gặp

Dựa theo các tính chất ñã biết về căn thức, dưới ñây sẽ chỉ ra một số phép biến ñổi vô tỉ thường gặp nhất ðể việc trình bày ñược thuận lợi, chúng ta sẽ chỉ xét ñến các căn số số học

Và do ñó các chữ nằm dưới dấu căn ñều biểu thị các số thực không âm hoặc các biểu thức với giá trị không âm Tuy nhiên, người học hoàn toàn có thể thêm những giả thiết khi muốn mở rộng những kết quả ñã trình bày

a) Phép giản lược căn thức của tích

Phép biến ñổi này còn ñược gọi là phép rút gọn các căn thức ñồng dạng

e) Nhân, chia các căn thức có chỉ số bậc khác nhau

ðể thực hiện việc này, trước hết chúng ta cần quy ñồng chỉ số căn thức bằng cách lấy bội số chung của các chỉ số ñang xét

f) ða thức của một căn thức

Từ các phép biến ñổi ñã biết, không mấy khó khăn ta hoàn toàn có thể ñưa mọi ña thức của

một căn bậc n về dạng một ña thức bậc không quá n− của cùng căn thức ñó Thật vậy, nếu cho 1biểu thức

thì bằng cách thay x bởi X ta ñược

chung không duy nhất, nhưng trong thực hành làm toán chúng ta nên cố gắng tìm nhân tử ñơn giản nhất Sau ñây ta sẽ minh họa việc tìm nhân tử liên hợp trong một số trường hợp biểu thức vô

, ,

S

S

= là các biểu thức chứa căn Giả sử M2 là một biểu

thức liên hợp của S2 Khi ñó 1 1 2

2 2 2

S S M S

S S M

= = là phân thức không chứa căn thức ở mẫu thức

1.4 Các phép biến ñổi mũ và logarit

1.4.1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương và một số hữu tỉ r m,n *

n

= ∈ ℕ Ta ñịnh nghĩa r n m

a = a Từ các tính chất ñã biết của căn thức, chúng ta dễ dàng kiểm tra ñược ñịnh nghĩa này không phụ thuộc vào biểu diễn của số hữu tỉ r Tương tự như lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số

1.4.2 Lũy thừa với số mũ thực

Bổ ñề 1.4.1 Cho a > và ( )0 r là một dãy số hữu tỉ hội tụ Khi ñó n ( r n)

a hội tụ và hơn nữa nếu

( ')r n cũng là một dãy số hữu tỉ hội tụ, lim n lim 'n

1.4.3 Các phép biến ñổi logarit

Cho a là một số thực dương khác 1 và x là một số thực dương Ta kí hiệu y=loga x là số thực thỏa mãn x=a y Từ các tính chất của hàm mũ, ta có các tính chất sau ñây của hàm logarit (i) log (a x x1 2) log ( ) log ( ).= a x1 + a x2

1 2 2

loga x log ( ) log ( ).a x a x

b

x x

1.5 Các phép biến ñổi lượng giác

Nhìn chung các phép biến ñổi lượng giác rất phong phú và ña dạng Tùy vào ñặc ñiểm của mỗi biểu thức cụ thể mà ta ñưa ra biến ñổi phù hợp Dưới ñây xin trình bày lại một số công thức biến ñổi cơ bản

1.5.1 Công thức cộng cung

(i) sin(α β+ ) sin cos= α β+sin cos β α

(ii) sin(α β− ) sin cos= α β−sin cos β α

(iii) cos(α β− ) cos cos= α β+sin sin α β

(iv) cos(α β+ ) cos cos= α β −sin sin α β

1.5.2 Công thức cung nhân ñôi

(i) sin2 2sin cos 2tg2

(iii) tg2 2tg2

1 tg

αα

α

=

−

1.5.3 Công thức cung nhân ba

(i) sin3α=3sinα−4sin 3α

(ii) cos3α =4cos3α−3cos α

(iii)

3 2

3tg tg

1 3tg

α αα

(i) 2cos cosα β =cos(α+β) cos(+ α β− )

(ii) 2sin cosα β =sin(α+β) sin(+ α β− )

(iii) 2sin sinα β =cos(α β− ) cos(− α β+ )

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:

[2] Phan Huy Khải (1995), Toán nâng cao cho học sinh lớp 11, Nhà Xuất bản Giáo dục

[5] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà Xuất bản

Nội dung thảo luận

1) Hãy trình bày các phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử Nêu các ví dụ minh họa và xem xét việc mở rộng các phương pháp trên các trường bất kì

2) Hãy trình bày ứng dụng của ña thức ñối xứng trong ñại số sơ cấp

3) Hãy trình bày ý nghĩa hình học của ña thức ñối xứng

Bài tập

I Các phép biến ñổi hữu tỉ

1) Chứng minh rằng (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) 1+ có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một tam thức bậc 2

2) Tìm , ,m n a sao cho x3+mx+ =n (x−1)(x−2)(x−a)

3) Tìm ña thức ( )f x biết f x( )− f x( −1)=x2

4) Tìm ñiều kiện ñể f x( )=ax3+bx2+cx+ là lập phương của một nhị thức bậc nhất d

5) Tìm ñiều kiện ñể f x( )=x3+px+ chia hết cho q g x( )=x2+mx− 1

6) Tìm UCLN ( )d x của hai ña thức f x g x và tìm các ña thức ( ), ( ) u x v x thỏa mãn: ( ), ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

u x f x +v x g x =d x với f x( )=x4+2x3−x2−4x−2, ( )g x =x4+x3−x2−2x−2

7) Tìm UCLN (x m−1,x n−1)

8) Tìm các ña thức với hệ số thực có bậc bé nhất với các nghiệm:

a) nghiệm kép là 1, các nghiệm ñơn là 2,3,1 ;+ i

x − x+ ñược thương là x+ và còn dư 1

13) Chứng minh rằng trong vành [ ]ℚx mọi ña thức nhận làm nghiệm ñều chia hết cho x2−3

14) Cho ña thức ( )f x với hệ số nguyên p Chứng minh rằng nếu f(0), (1)f là các số lẻ thì ( )f x

không có nghiệm nguyên

15) Tìm các số , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện

1

b x A

25) Tìm một nhân tử liên hợp của biểu thức S= +1 32+34.

28) Cho log 1812 =α, log 5424 =β Chứng minh rằng αβ+5(α β− ) 1.=

29) Cho log 754 =a, log 458 =b Tính log3 25135 theo , a b

30) Chứng minh rằng log 3 là số vô tỉ 2

31) Biết rằng log ,logk x m x, logn x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng

2 k m

n = nk

32) Tìm số chữ số của số 2100 (biết lg 2 0,3010= … )

33) Cho là a, b, c ba cạnh của một tam giác vuông, trong ñó c là cạnh huyền Chứng minh rằng

logb c+ a+logc b− a=2logb c+ alogc b− a

36) Cho a, b, c là ba số dương phân biệt khác 1 Cho N >0,N ≠1 Chứng minh rằng ñiều kiện

cần và ñủ ñể a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là log log log

38) ðơn giản biểu thức P=log 3.log 4.log 5 log2 3 4 ⋯ 19921993

39) Không dùng bảng số và máy tính, so sánh hai số A=log 16,3 B=log 729.16

40) Chứng minh các ñẳng thức sau

a)

2 2

2 2

3cotg cotg

−

=+

41) ðơn giản biểu thức sin 2 sin 5 sin 32

CHƯƠNG 2 Hàm số và ñồ thị

Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

A) MỤC TIÊU

Chương này củng cố và hệ thống lại cho người các kiến thức về hàm số và ñồ thị của hàm

số, bao gồm: phân loại hàm số; khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp và vẽ ñồ thị của hàm số; các phép biến ñổi ñồ thị Các dạng bài tập giúp người học rèn luyện thành thạo các kĩ năng giải và khai thác các bài toán về hàm số và ñồ thị trong chương trình toán phổ thông Qua nội dung của chương, người học thấy rõ hơn về mối quan hệ hàm giữa các ñại lượng, ưu ñiểm nổi bật cùng mối quan hệ mật thiết giữa phương pháp ñại số và phương pháp ñồ thị trong quá trình giải các bài toán

ðịnh nghĩa 2.1.1 Cho ,X Y là hai tập hợp Một quan hệ hai ngôi từ X ñến Y là bộ phận S của

tích ðềcác X Y× Phần tử x X∈ ñược gọi là có quan hệ S với y Y∈ nếu ( , )x y ∈S Ta diễn tả ñiều này bởi kí hiệu xSy

Chú ý 2.1.2

(i) Khái niệm quan hệ hai ngôi từ X ñến Y có quan hệ mật thiết với khái niệm tương ứng

từ X ñến Y Mỗi quan hệ hai ngôi xác ñịnh ñồ thị của một tương ứng nào ñó

(ii) Trong trường hợp mỗi phần tử x X∈ luôn có quan hệ S với ñúng một phần tử y Y∈ thì

quan hệ hai ngôi từ X ñến Y xác ñịnh ñồ thị của một ánh xạ từ X ñến Y

2.1.2 Hàm, hàm số

ðịnh nghĩa 2.1.3 Cho ,X Y là hai tập hợp Một hàm từ X ñến Y là quy tắc f cho ứng với mỗi phần tử x X∈ với một phần tử duy nhất y∈Y. Khi ñó ta nói y là ảnh của x và kí hiệu ( );

y= f x x là một tạo ảnh của y và kí hiệu x∈ f−1( );y X ñược gọi là tập nguồn hay tập xác ñịnh hoặc miền xác ñịnh; Y ñược gọi là tập ñích; tập các ảnh của tất cả các phần tử x X∈ ñược

gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm f

Kí hiệu hàm ñã cho bởi :f X →Y

x֏ y= f x( )

ðịnh nghĩa 2.1.4 Hàm f như trên ñược gọi là một hàm số thực n biến nếu n

X ⊆ ℝ và

Y ⊆ ℝ

ðể ñơn giản, trong suốt tài liệu này, mỗi khi nhắc ñến khái niệm hàm số nếu không nói gì thêm thì ta hiểu ñó là hàm số thực một biến

Chú ý 2.1.5

(i) Tại bậc học phổ thông, chúng ta chỉ giới hạn khảo sát một số dạng hàm số một biến thực

(ii) ðối với hàm hàm số một biến, khi nó là song ánh, ta gọi ánh xạ ngược của nó là hàm số

ngược của hàm số ñã cho

(iii) Ngoài kí hiệu hàm như ñã biết, ñể ñơn giản người ta thường viết hàm số :f X →Ydưới dạng y= f x( ) (x∈X)

2.1.3 ðồ thị

ðể xác ñịnh một hàm ñiều kiện cần và ñủ là biết ñược ảnh của mỗi phần tử thuộc tập xác ñịnh ðiều này ñồng nghĩa với việc xác ñịnh ñược ñồ thị của hàm

ðịnh nghĩa 2.1.6 Cho hàm :f X →Y Ta gọi tập{( , ( )) |x f x x∈X} là ñồ thị của f

ðối với hàm số một biến số, ñể tăng tính trực quan người ta thường cố gắng minh họa ñồ thị của hàm trên mặt phẳng tọa ñộ ðây cũng chính là một yêu cầu của bài toán khảo sát hàm số tại bậc học phổ thông

Chú ý 2.1.7 ðồ thị của hàm số ñã cho và hàm số ngược của nó ñối xứng với nhau qua ñường

phân giác thứ nhất (ñường thẳng y x= )

2.2 Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp

Việc khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp căn cứ chủ yếu vào các phép toán số học và ñặc thù của mỗi hàm số, hoàn toàn không có một phương pháp chung ñể áp dụng cho tất cả các hàm như dùng ñạo hàm ñối với phương pháp giải tích Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, từ cách làm sơ cấp này ta có thể thu ñược những cách giải ñộc ñáo hơn, gọn hơn góp phần làm tăng thêm kĩ năng vận dụng các kiến thức sơ cấp trong giải toán của người học

2.2.1 Tập xác ñịnh

Trong phần này, ta hiểu rằng hàm số ñược cho dưới dạng biểu thức y= f x( ), không phải ñược viết dưới dạng ánh xạ Tập xác ñịnh của hàm số ñối với bài toán khảo sát ñược hiểu là tập tất cả các giá trị của ñối số x sao cho biểu thức ( )f x có nghĩa

ðể tìm miền xác ñịnh của hàm số sơ cấp ta dựa vào các quy tắc sau:

(i) Mẫu thức của các phân thức phải khác 0

(ii) Các biểu thức nằm dưới dấu căn bậc chẵn phải không âm

(iii) Các biểu thức cần nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ phải dương

(iv) Các biểu thức trong dấu lôgarit phải dương

(v) Cần chú ý rằng 0 không xác ñịnh 0

(vi) Miền xác ñịnh của một hàm số là giao của các miền xác ñịnh của các hàm số thành phần

2.2.2 Tính chẵn lẻ

ðịnh nghĩa 2.2.1 Cho hàm số :f X →Y, sao cho với mỗi x X∈ thì − ∈x X

(i) f ñược gọi là một hàm số chẵn nếu với mọi x X∈ : ( )f x = f(−x);

(ii) f ñược gọi là một hàm số lẻ nếu với mọi x X∈ : ( )f x = −f(−x)

Chú ý 2.2.2 (i) ðồ thị của hàm số chẵn ñối xứng qua trục tung Oy

(ii) ðồ thị của hàm số lẻ ñối xứng qua gốc tọa ñộ O (0; 0)

Ví dụ 2.2.5 Các hàm y=s inx,y=cosx là tuần hoàn với chu kì 2 ,π các hàm y=tg ,x y=cotgx

là tuần hoàn với chu kì π

2.2.4 Sự biến thiên và ñồ thị hàm số

ðịnh nghĩa 2.2.6 Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh trên tập D⊆ ℝ Khi ñó:

(i) Ta nói f là hàm ñồng biến nếu với mọi x x1, 2∈D x, 1<x2 ta luôn có f x( )1 < f x( ).2

(ii) Ta nói f là hàm nghịch biến nếu với mọi x x1, 2∈D x, 1<x2 ta luôn có f x( )1 > f x( ).2

Chú ý 2.2.7 ðể xét tính ñồng biến và nghịch biến của hàm số, người ta thường xét dấu biểu thức

ðịnh lí 2.2.8 Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh trên tập D ⊆ ℝ Khi ñó:

(i) Hàm số y= f x( )+ với c c là hằng số tùy ý có cùng chiều biến thiên với hàm số y= f x( )

(ii) Hàm số y=cf x( ) với c là hằng số dương có cùng chiều biến thiên với hàm số y= f x( )

(iii) Hàm số y=cf x( ) với c là hằng số âm biến thiên ngược chiều với hàm số y= f x( )

ðịnh lí 2.2.9 Cho hai hàm số y= f x y( ), =g x( ) xác ñịnh trên tập D ⊆ ℝ và biến thiên cùng chiều Khi ñó hàm tổng y= f x( )+g x( ) cũng có cùng chiều biến thiên với hai hàm ñã cho

Hệ quả 2.2.10 (i) Tổng của các hàm ñồng biến là hàm ñồng biến

(ii) Tổng của các hàm nghịch biến là hàm nghịch biến

(iii) Hiệu của một hàm ñồng biến và một hàm nghịch biến là một hàm ñồng biến

(iv) Hiệu của một hàm nghịch biến và một hàm ñồng biến là một hàm nghịch biến

ðịnh lí 2.2.11 Hàm số 1

( )

y

f x

= biến thiên ngược chiều với hàm số y= f x( )trên những khoảng

mà f x không ñổi dấu ( )

ðịnh lí 2.2.12 Hàm số hợp y= f u x[ ( )] biến thiên cùng chiều với u x nếu hàm số ( ) f x ñồng ( )

biến; ngược chiều với hàm số u x nếu hàm số ( ) f x nghịch biến ( )

Hệ quả 2.2.13 (i) Hàm số y=2n+ 1 f x( ) biến thiên cùng chiều với f x( )

(ii) Hàm số y=2n+ 1 f x( ) biến thiên cùng chiều với f x trên những khoảng mà ( ) f x( ) 0.≥

ðịnh lí 2.2.14 (i) Hàm số chẵn có các chiều biến thiên ngược nhau trên các khoảng ( ; )a b và

( ;− −b a)

(ii) Hàm số lẻ có các chiều biến thiên cùng nhau trên các khoảng ( ; ) a b và ( ;− −b a)

ðể vẽ ñồ thị của hàm số khi ñã biết ñược sự biến thiên của nó, ta cần lưu ý thêm một số ñiểm sau ñây:

+) Tìm một số ñiểm ñặc biệt của hàm số, ñó là các ñiểm ứng với các giá trị ñơn giản của ñối số, chẳng hạn x=0, 1, 2,± ± … ; giao ñiểm với trục tung, trục hoành; các ñiểm cực trị…

+) Tìm các ñường tiệm cận

+) Tìm trục ñối xứng, tâm ñối xứng

ðịnh lí 2.2.15 ðồ thị của hàm số y= f x( )nhận ñường thẳng ∆: x a = làm trục ñối xứng khi và chỉ khi f(2a−x)= f x( ) với mọi x∈D. ðặc biệt, ñồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung làm trục ñối xứng.

ðịnh lí 2.2.16 ðồ thị của hàm số y= f x( )nhận ñường ñiểm I( , )α β làm trục ñối xứng khi và chỉ khi f(2α−x) 2= β − f x( ) với mọi x∈D. ðặc biệt, ñồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung làm trục ñối xứng ðặc biệt, ñồ thị của hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa ñộ O(0; 0) làm tâm ñối xứng

2.3 Các phép biến ñổi ñồ thị

ðồ thị của hàm một biến thường là các ñường cong Trong hình học, ñể nghiên cứu một ñường cong, người ta thường cố gắng tìm ra mối liên hệ của chúng với các ñường cong ñã biết thông qua những phép biến hình

0 0

Y = f X +x −y Hàm số mới này cũng cĩ đồ thị là ( )C khi biểu diễn trong hệ trục tọa độ cũ

Ox y Chú ý rằng những sự kiện đang khảo sát được xét trên một mặt phẳng cố định, chỉ cĩ vị trí

các hệ trục tọa độ là thay đổi ðối với mỗi hệ trục tọa độ, một điểm trên mặt phẳng đang xét cĩ

một tọa độ tương ứng Chẳng hạn đối với hệ trục tọa độ Oxy điểm I cĩ tọa độ ( ; ),x y0 0 nhưng

nĩ lại cĩ tọa độ (0; 0) đối với hệ trục tọa độ X I Y

Từ những khẳng định trên, ta rút ra một số định lí sau đây

ðịnh lí 2.3.1 ðồ thị của hàm số y= f x( )+ được suy ra từ đồ thị của hàm số b y= f x( ) bằng phép tịnh tiến song song với trục tung một đồn bằng b

Khi áp dụng định lí này ta cần lưu ý, khi b > thì tịnh tiến được thực hiện lên phía trên; khi 00

b < thì tịnh tiến được thực hiện xuống phía dưới của hệ trục tọa độ

ðịnh lí 2.3.2 ðồ thị của hàm số y= f x( +a) được suy ra từ đồ thị của hàm số y= f x( ) bằng phép tịnh tiến song song với trục hồnh một đồn bằng − a

Tương tự như đối với việc áp dụng ðịnh lí 4.2.1, khi áp dụng định lí này ta cần lưu ý, với 0

a > thì tịnh tiến được thực hiện sang bên trái; khi a < thì tịnh tiến được thực hiện sang bên 0phải của hệ trục tọa độ

2.3.2 Phép co dãn

Bên cạnh việc sử dụng phép tịnh tiến là một phép biến đổi đẳng cự, trong nhiều trường hợp người ta cũng dùng những phép biến đổi afin khơng phải đẳng cự để nghiên cứu về hình dạng các đường cong

ðịnh lí 2.3.3 (i) ðồ thị của hàm số y=kf x( ) với k > được suy ra từ đồ thị của hàm số 0( )

y= f x bằng phép co (0< < ) hay phép dãn ( k 1 k > ) theo tỉ số k dọc theo trục tung 1

(ii) ðồ thị của hàm số y= f kx( ) với k > được suy ra từ đồ thị của hàm số 0 y= f x( ) bằng phép co ( k > ) hay phép dãn ( 01 < < ) theo tỉ số k 1 1

+) a> hàm số đồng biến trên tồn trục số 0

+) a< hàm số nghịch biến trên tồn trục số 0

ðồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm (0; ),(b b;0)

a

−

2.4.2 Khảo sát sơ cấp hàm số bậc hai

Hàm bậc hai ñược ñưa vào chương trình toán bậc THCS Việc nghiên cứu hàm này là rất quan trọng vì nó ñóng vai trò xuyên xuốt trong nghiên cứu về nhiều lớp hàm số sơ cấp

Từ sự biến thiên của hàm y=x2 và các ñịnh lí ñã biết, ta dễ dàng suy ra sự biến thiên của hàm

số dạng y=ax2+ Áp dụng vào hàm ñã cho ta rút ra kết luận: c

+) Với a>0 : hàm ñồng biến trên khoảng ;

2

b a

−+) Thực hiện một phép co dãn dọc theo trục tung với tỉ số a

+) Tịnh tiến song song với trục tung một ñoạn bằng

4a

∆

−

2.5 Khảo sát sơ cấp hàm phân thức

Bên cạnh lớp hàm ña thức, phần này trình bày việc khảo sát một số hàm phân thức bằng phương pháp sơ cấp

2.5.1 Khảo sát sơ cấp hàm số y 1

x

=ðây là hàm số lẻ nên ta chỉ cần khảo sát sự biến thiên của nó khi ñối số dương Ta có:

Vậy hàm số luôn ñồng biến trên khoảng (0;+∞ và nghịch biến trên khoảng () −∞;0) Ta có

'

a y

= và dựa vào công thức trên, ta hoàn toàn có thể suy ra ñược sự

biến thiên của hàm phân tuyến tính tổng quát Song ta có thể dùng các phép biến ñổi ñồ thị ñể có ñược ñồ thị của hàm phân tuyến tính tổng quát xuất phát từ ñồ thị của hàm y 1

−

+) Thực hiện một phép co dãn dọc theo trục tung với tỉ số 2

'

a∆ +) Tịnh tiến song song với trục tung một ñoạn bằng

'

a a

2.6 Khảo sát sơ cấp hàm số mũ và lôgarit

Trong hai phần trước, chúng ta ñã khảo sát các lớp hàm sơ cấp mà công thức có dạng một biểu thức ñại số Phần này sẽ ñề cập ñến một số hàm sơ cấp ñơn giản liên quan ñến các phép toán siêu việt

và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang phía bên phải

2.6.2 Hàm số logarit y=loga x

Hàm số logarit y=loga x là hàm ngược của hàm số mũ x

y=a , có tập xác ñịnh (0;+∞ và )tập giá trị là ℝ

ở vô cực và nhận trục tung làm tiệm cận ñứng phía dưới

*) Nhận xét: Do tính chất của ñồ thị hàm số ngược, hai ñường cong x

y=a và y=loga x ñối

xứng nhau qua ñường phân giác thứ nhất

2.7 Khảo sát sơ cấp hàm số lượng giác

2.7.1 Hàm số y= f x( ) sin= x

Tập xác ñịnh của hàm số là ℝ Do f x( ) sin= x= −f(−x)= −sin(−x) nên hàm ( ) sinf x = x

là hàm lẻ Ta cũng dễ dàng chứng minh ñược ( ) sinf x = x là hàm tuần hoàn với chu kì 2 π Xét trên một chu kì [0; 2 ],π hàm ñồng biến trên các ñoạn 0;

 , hàm nghịch biến trên các khoảng ;

2

ππ

và có tính lặp lại sau mỗi ñoạn có ñộ dài 2 π

2.7.3 Hàm số y= f x( ) tg= x

Tập xác ñịnh của hàm số là \ |

ππ

chu kì π Hàm ñồng biến trên các khoảng ;

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

Câu hỏi thảo luận

1) Hãy trình bày và khai thác mối quan hệ giữa các khái niệm ña thức và hàm ña thức, phân thức

và hàm phân thức

2) Hãy vẽ hình minh họa cho từng nội dung của chương nếu có thể

3) Hãy thảo luận về trục ñối xứng, tâm ñối xứng của ñồ thị hàm ña thức, hàm phân thức

6) Một người ñi xe máy từ Hà Nội vào Vinh (quãng ñường dài 310km), ban ñầu ñi với tốc ñộ

30km/h, ñược 150km thì nghỉ khoảng 1 giờ, sau ñó tiếp tục ñi Vinh với vận tốc 40km/h Trong thời gian ñó, một chiếc ôtô con chạy từ Vinh ñi Hà Nội, khởi hành muộn hơn xe máy 1 giờ, chạy

với vận tốc 60 km/h

a) Viết các hàm số biểu thị chuyển ñộng của xe máy và ôtô

b) Dùng ñồ thị ñể chỉ thời gian và ñịa ñiểm mỗi xe ñến ñích, hai xe gặp nhau

c) Nghiệm lại kết quả trên bằng phương pháp ñại số

7) Các hàm số xác ñịnh trên ℝ sau ñây có hàm số ngược không? Hoặc có hàm số ngược trong

khoảng nào? Xác ñịnh hàm số ngược và ñồ thị của chúng

y=

8) Cho hàm số: y=2x2−6x+4;

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số theo phương pháp sơ cấp

b) Dùng các phép biến ñổi ñồ thị ñể suy ra ñồ thị của hàm ñã cho từ parabol y=x2

9) Khảo sát và vẽ ñồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ tọa ñộ bằng phương pháp sơ cấp

a)

3 3

=

15) Bằng cách áp dụng công cụ ñạo hàm, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của các hàm số:

a) y=sinx+sin 2x; b) cos cos ;

Áp dụng kết quả trên, hãy tìm giao ñiểm của (C) với trục hoành

= là các ña thức) Chứng minh rằng nếu hàm số ñạt cực

ñại tại x thì giá trị cực trị tại ñây bằng 0 0

0

( ).( )

x mx m y

x

=

+ Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và giá trị cực ñại

cùng dấu với giá trị cực tiểu

21) Tìm m ñể hàm số

3 3( 1) 2 (3 2 7 1) 2 1

y= −x + m+ x − m + m− x+m − ñạt cực tiểu tại một ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1

x m

− +

=+ có ñồ thị (C m). Chứng minh rằng khi m thay ñổi khác hai giá trị

mà ta phải xác ñịnh thì (C m) luôn qua hai ñiểm cố ñịnh

25) Cho parabol: y=x2+(2m+1)x+m2− với m là tham số 1

a) Tìm quỹ tích ñỉnh của parabol khi m biến thiên

b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao ñiểm của ñường thẳng y x= với parabol

không phụ thuộc vào m

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m parabol luôn tiếp xúc với một ñường thẳng cố

a) Tìm ñiểm cố ñịnh mà ñồ thị hàm số ñi qua với mọi m

b) Tìm m sao cho hàm số ñạt cực ñại tại x1, ñạt cực tiểu tại x2sao cho x1+2x2 =1.

c) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên [2;+∞ )

CHƯƠNG 3 Bất ñẳng thức

Số tiết: 19 (Lý thuyết: 13 tiết; bài tập, thảo luận: 06 tiết)

A) MỤC TIÊU

Chương này củng cố và hệ thống lại cho người học các kiến thức về bất ñẳng thức, bao gồm: các phương pháp chứng minh bất ñẳng thức, ứng dụng của bất ñẳng thức Hệ thống các ví dụ và bài tập giúp người học rèn luyện các kĩ năng giải và khai thác các bài toán về bất ñẳng thức và các bài toán về cực trị Qua nội dung của chương, người học thấy ñược vai trò quan trọng của bất ñẳng thức trong nhiều vấn ñề của toán học phổ thông như: bài toán cực trị; giải phương trình và bất phương trình;… Ngoài ra, người học cũng nhận ra ñược rằng bất ñẳng thức là một chuyên ñề khó, với nhiều kĩ thuật giải, các dạng bất ñẳng thức rất phong phú, ña dạng và nhìn chung không

có phương pháp giải trừ một vài dạng quen thuộc

Chú ý 3.1.2 (i) Có thể mở rộng ñịnh nghĩa trên cho một vành sắp thứ tự

(ii) Người ta không xét bất ñẳng thức trên vành có ñặc số khác 0 và trên trường số phức ℂ (iii) ðể ñơn giản, chúng ta sẽ viết bất ñẳng thức:

⋯

⋯ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 =⋯=a n

(iii) Bất ñẳng thức Bunhiacôpski: Cho các số thực a1, , , , ,… a b n 1… b n Ta có

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(a b +a b +⋯+a b n n) ≤(a +a +⋯+a n)(b +b +⋯+b n)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( , , , ), ( , , , )a a1 2 … a n b b1 2 … b n tỉ lệ, nghĩa là tồn tại một số thực

k sao cho a1=kb a1, 2=kb2, ,… a n =kb n hoặc b1=ka b1, 2=ka2, ,… b n =ka n

3.4 Chứng minh bất ñẳng thức

Chứng minh bất ñẳng thức là chỉ ra bất ñẳng thức ñó ñúng Thực chất ñây cũng là một bài toán lôgic về chứng minh mệnh ñề nhận giá trị ñúng Tuy nhiên, thông thường có vô số trường hợp của ñối số nên chúng ta không thể xét lần lượt tất cả các trường hợp cụ thể Nhìn chung bài toán chứng minh bất ñẳng thức là một bài toán khó và phải vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức, nhiều phương pháp, dưới ñây là một số phương pháp thường gặp:

a) Phương pháp dựa vào ñịnh nghĩa và biến ñổi tương

Tư tưởng chủ ñạo của phương pháp này là dùng phép biến ñổi tương ñương ñể ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về bất ñẳng thức ñơn giản hơn

Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với a+ −b 2 ab 0 ≥ ⇔( a− b)2≥0 ðây là một bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng

Ví dụ 3.4.3 Chứng minh bất ñẳng thức x4+y4≥xy3+x y3 (∀x y, ∈ ℝ )

HD: Thực hiện chuyển vế và nhóm các hạng tử, ta ñược bất ñẳng thức tương ñương với

3 3

(x−y x)( −y ) Bất ñẳng thức cuối cùng này luôn ñúng

b) Phương pháp quy nạp toán học

Tư tưởng chủ ñạo của phương pháp này là sử dụng phép chứng minh bằng quy nạp theo các bước ñã biết ñể chứng minh bất ñẳng thức Nó thường ñược áp dụng ñối với các bất ñẳng thức phụ thuộc vào tham số là số tự nhiên

Ví dụ 3.4.4 Chứng minh bất ñẳng thức 3n ≤n! (n∈ℕ,n>6)

Ví dụ 3.4.5 Chứng minh bất ñẳng thức 2n 2 ( , 3)

≥ ∈ℕ >

c) Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai

ðể chứng minh A B≥ ta viết biểu thức A B− dưới dạng một tam thức bậc hai theo một biến số nào ñó trong A B− Sau ñó dựa vào các ñịnh lí về dấu tam thức bậc hai ñể rút ra bất ñẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 3.4.6 Cho các số thực a1, , , , ,… a b n 1… b n Chứng minh bất ñẳng thức Bunhiacôpski:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(a b +a b +⋯+a b n n) ≤(a +a +⋯+a n)(b +b +⋯+b n)

Ví dụ 3.4.7 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi , ,x y z ta có:

x +y +z ≥ yz A+zx B+xy C

HD: Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với x2−2 ( cosx z B+ycos )C +y2+z2−2 cosyz A≥0 Coi

vế trái là một tam thức bậc hai của x Bất ñẳng thức này ñúng vì biệt thức thu gọn của tam thức

vế trái là ∆ = −' ( sinz B−sin )C 2≤0

qa m

3 3 3 3 3 3

27

a b+ +c ≤a +b +c + a+ + + + +b b c c a ðến ñây ta dễ dàng suy ra bất ñẳng thức cần chứng minh

e) Phương pháp hàm lồi và bất ñẳng thức Jensen

Hàm số y= f x( ) ñược gọi là một hàm lồi (lồi xuống phía dưới) trong khoảng (a; b) nếu

với mọi x x1, 2∈( ; )a b và mọi cặp số thực α α1, 2: α1+α2 = ta luôn có 1

1f x( )1 2f x( )2 f( 1 1x 2 2x )

α +α ≥ α +α

Hàm số y= f x( ) ñược gọi là một hàm lõm trong khoảng (a; b) nếu y= −f x( ) là hàm lồi Hàm lồi có các tính chất sau ñây:

(i) Tích hàm lồi với một số dương là một hàm lồi

(ii) Tổng hai hàm lồi là một hàm lồi

(iii) Nếu u=g x( ) là một hàm lồi và y= f u( ) là một hàm lồi ñơn ñiệu tăng thì ( ( ))f g x cũng là một hàm lồi

Dưới ñây là một số ñịnh lí về hàm lồi

ðịnh lí 3.4.10 Cho hàm số y= f x( )xác ñịnh, liên tục và có ñạo hàm hữu hạn trong khoảng

( ; ).a b Khi ñó y= f x( )là hàm lồi trong khoảng ( ; )a b nếu và chỉ nếu f'( )x ñồng biến trên khoảng ( ; ).a b

ðịnh lí 3.4.11 Cho hàm số y= f x( )xác ñịnh, liên tục và có ñạo hàm cấp hai liên tục trong khoảng ( ; ).a b Khi ñó y= f x( )là hàm lồi trong khoảng ( ; )a b nếu và chỉ nếu f''( ) 0x ≥ trên khoảng ( ; ).a b

ðịnh lí 3.4.12 Cho hàm số y= f x( )xác ñịnh, liên tục và có ñạo hàm hữu hạn trong khoảng

( ; ).a b Khi ñó nếu y= f x( )là hàm lồi trong khoảng ( ; )a b thì f u( )− f v( ) (≥ u−v f v) '( ) với mọi

Chứng minh: Ta chứng minh bất ñẳng thức trong ñịnh lí bằng phương pháp quy nạp toán học

theo n Với n= bất ñẳng thức ñúng theo ñịnh nghĩa Giả sử bất ñẳng thức ñúng với 2 n≥2 Ta chứng minh bất ñẳng thức ñúng cho n+ Xét 1 , , , ,x x1 2 … x x n n+1∈( ; )a b và các số thực không

âm ,α α1 2, ,… α αn, n+1 với α1+α2+⋯+αn+αn+1=1 Theo giả thiết quy nạp, ta có:

Vì y= f x( ) là hàm lồi trong khoảng ( ; ),a b nên ta có:

1

n

i i

Cộng hai bất ñẳng thức này lại ta ñược ñiều phải chứng minh

(iii) Sử dụng (ii) và phương pháp chứng minh quy nạp

(iv) Suy ra từ (i) bằng cách cho 1 2 n 1

Hệ quả 3.4.16 (Cauchy – Holder) Cho các số thực , a b > sao cho 0 a + = và các số thực b 1

f) Phương pháp lượng giác

Nhận dạng và ñưa bất ñẳng thức ñã cho về dạng lượng giác, sau ñó dùng các kiến thức liên quan ñến những hàm lượng giác ñể giải quyết Sau ñây là một số dấu hiệu ñể lượng giác hóa bài toán chứng minh bất ñẳng thức

(i) Nếu x2+y2=r r2, >0,thì ta ñặt cos ( [0; 2 ])