CHƯƠNG 1 Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên Số tiết: 7 Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết * Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được các khái niệm về lý thuyết chia hết trong và
Trang 1ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
SỐ HỌC
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN)
Trang 2CHƯƠNG 1
Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được các khái niệm về lý thuyết chia hết trong vành số nguyên: Quan hệ chia hết và phép chia với dư; ước, ước chung lớn nhất, bội, bội chung nhỏ nhất; số nguyên tố; phần nguyên và phần phân của một số thực
- Sinh viên hiểu được các tính chất của phép chia hết, phép chia với dư, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố, định lý cơ bản của số học và phân tích tiêu chuẩn của !n
- Sinh viên biết vận dụng lý thuyết đã học giải các bài tập liên quan
1.1 Quan hệ chia hết và phép chia với dư
1.1.1 Quan hệ chia hết
Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên a được gọi là chia hết cho một số nguyên b, hay b chia hết cho a
nếu tồn tại một số nguyên c sao cho a + bc Khi a chia hết cho b ta viết a ⋮ b hoặc b | a và b được gọi là ước của a, còn a được gọi là bội của b
Nhận xét 1.1.2 a chia hết cho 0 khi và chỉ khi a = 0 Do đó bội của số 0 chỉ là 0 Tuy nhiên tập
các ước của 0 lại là toàn bộ Z
Các tính chất cơ bản:
(i) 1 | a với mọi a ∈ Z
(ii) a | a với mọi a ∈Z
b x
=
∑ với mọi x i∈ Z
(vi) Nếu a | b và b | a thì a b = hoặc a= − b
(vii) Quan hệ chia hết trong Z có tính phản xạ, bắc cầu, nhưng không có tính đối xứng (viii) Quan hệ chia hết trong Z có tính phản đối xứng
1.1.2 Phép chia với dư
Định lí 1.1.5 Với mỗi cặp số nguyên a và b ≠ 0, luôn luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên
q, r với 0 r ≤ < |b| để a = qb + r
1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
1.2.1 Ước chung lớn nhất
Định nghĩa 1.2.1 Cho các số nguyên a1, ,a n Số nguyên d được gọi là một ước chung của các a i
nếu d | a i với mọi i = 1, ,n Ký hiệu tập tất cả các ước chung của a1, ,a n là ƯC(a1 a n )
Định lí 1.2.2 Cho các số nguyên a 1 , , a n Khi đó ta có các khẳng định sau:
Trang 3(i) Nếu a 1 , ,a n không đồng thời bằng 0 thì ƯC(a 1 ,,a n ) là một tập hữu hạn và khác rỗng
(ii) Nếu a 1 = a 2 = = a n = 0 thì ƯC(a 1 , ,a n ) = Z
Định nghĩa 1.2.4 Cho các số nguyên a1, ,a n Số nguyên d được gọi là 1 ước chung lớn nhất của các a i nếu d là một ước chung của các a i và d chia hết cho mọi ước chung của chúng Người ta
ký hiệu số lớn nhất trong tập các ước chung của a1, ,a n là (a1, ,a n ) Nếu (a1, ,a n ) = 1 thì a1, ,a n
được gọi là nguyên tố cùng nhau Các số nguyên a1, ,a n được gọi là nguyên tố sánh đôi, hay đôi một nguyên tố cùng nhau nếu (a i , a j ) = 1 với mọi i, j = 1, ,n và i ≠ j
Nhận xét 1.2.5 Cho các số nguyên a1 a n Khi đó ta có:
(i) Nếu a1, ,a n không đồng thời bằng 0 và số nguyên d là ước chung lớn nhất của a1 a nthì 0
d ≠ và –d cũng là ước chung lớn nhất của a1, ,a n Trường hợp này (a1, ,a n) là số lớn nhất
nằm trong tập ƯC(a1, ,a n ) và (a1, ,a n) là một số dương
(ii) Nếu a1= a2 = = a n = 0 thì ƯC(a1, ,a n ) = Z , và do đó trong trường hợp này tập ước
chung lớn nhất chỉ là {0} và (a1 a n) = 0
Cho các số nguyên a1, ,a n Khi đó những tính chất sau đây của ước chung lớn nhất, được suy ra tức khắc từ định nghĩa
(i) (0, a1, ,a n )= (a1, ,a n )
(ii) (1, a1, ,a n ) = 1 = (–1, a1, ,a n )
(iii) (a1, ,a n ) = ((a1, ,a n-1), a n) Tính chất này chỉ ra cách tìm ước chung lớn nhất của nhiều số được quy về việc tìm ước chung lớn nhất của 2 số
(iv) (ka1, ,ka n ) = |k|( a 1, , ,a n ) với mọi k ∈ Z
(v) Nếu a = bc + d thì (a,b) = (b,d)
(vi) (0, a) = |a| với mọi a∈Z
Từ (v) người ta đưa ra được một thuật toán tìm ước chung lớn nhất của 2 số dưới đây:
Thuật toán Euclid: Giả sử a và b là hai số nguyên dương với a ≥ b và đặt r0 = a, r1 = b Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta được:
với r1 > r2 > > r n > 0 Cuối cùng, số 0 sẽ xuất hiện trong dãy phép tchia liên tiếp, vì dãy các
số dư b = r1 > r2 > > r n ≥ 0 không chứa quá b số được Hơn nữa từ (v) ta suy ra
(a, b) = (r0, r1) = (r1, r2) = = (r n-2, r n-1) = (r n-1, r n ) = (r n , 0) = r n
Do đó ước chung lớn nhất của a và b là số dư khác 0 cuối cùng trong dãy phép chia
Định lí 1.2.7 Cho các số nguyên a1, ,a n Khi đó ta có các khẳng định sau:
Trang 4(i) Nếu d = (a1, ,a n ) thì tồn tại các số nguyên x1 ,…., x n để d =
(ii) Nếu d = (a1, ,a n ) thì ideal chính sinh bởi d và ideal sinh bởi a1 a n c ủa Z là như nhau
Định nghĩa 1.2.8 cho các số nguyên a1, ,a n Số nguyên d được gọi là một tổ hợp tuyến tính nguyên của các a i nếu tồn tại các số nguyên xi để d =
1
n
j j j
a x
=
∑ .
Từ định lý vừa rồi ta suy ra các kết quả sau:
Hệ quả 1.2.9 (Định lý Bezout) Các số nguyên a 1 , ,a n nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên x1,x2, ,x n sao cho
1
n
j j j
a x
=
∑ = 1
Hệ quả 1.2.10 Cho các số nguyên a1 a n Khi đó c là một tổ hợp tuyến tính nguyên của a1, ,a n
nếu và chỉ nếu c là bội của d = (a1, ,a n )
Hệ quả 1.2.11 Nếu các số nguyên a1, ,a n cùng nguyên tố với một số nguyên a thì tích a1 a n
nguyên tố với a
Định lý 1.2.12 (Bổ đề Euclid) Cho các số nguyên a, b, c Khi đó nếu (a,b) = 1 và a chia hết
cho bc thì a chia hết cho c
Định nghĩa 1.2.13 Cho các số nguyên a, b, c Khi đó phương trình ax + by = c với các ẩn số
nguyên x, y được gọi là phương trình vô định hay phương trình Diophante
Định lý 1.2.14 Cho các số nguyên a, b, c Khi đó phương trình ax + by = c có ngiệm nguyên khi
và chỉ khi d = (a, b) chia hết c
Cách giải phương trình Diophante ax + by = c
Giả sử cho phương trình Diophante ax + by = c với a, b không đồng thời bằng 0
Khi đó lời giải của phương tình này thường được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Tìm (a, b) = d cùng cặp (x’, y’) ∈ Z2 để ax’ + by’ = d Kiểm tra nếu c không chia hết cho d thì phương trình vô nghiệm, và chuyển sang Bước 2
Bước 2: Giả sử c = ds Khi đó (x0, y0) = (sx’, sy’) là một nghiệm riêng của ax + by = c
Bước 3: Giả sử a = da’ và b = db’ Ta rút ra được: a’(x-x0) = b’(y0-y).
Do (a’, b’) = 1 và a’(x – x0) chia hết cho b’ nên theo bổ đề Euclid thì x – x0 chia hết cho b’ hay
x – x 0 = b’ với t ∈ Z Do đó y – y0 = – a’t
0
''
Trang 5Hệ quả 1.2.15 Giả sử d = (a, b) Khi đó nếu phương trình ax + by = c có một nghiệm riêng
Như vậy, mấu chốt của lời giải là tìm nghiệm riêng, mà thực chất nằm ở bước 1 Sau đây ta sẽ
chỉ ra một thuật toán nhằm tìm nghiệm riêng của phương trình này Xét phương trình ax + by =
c với (a, b) = d và a, b khác 0, d là ước của c Rồi bằng cách biến đổi ax = (–a)( –x) hay by = (–
b )( –y) (nếu cần), ta có thể luôn coi ax + by = c với a, b dương Bây giờ ta tìm hiểu thuật toán
tìm d cùng cặp (x’, y’) ∈ Z2 để ax’ + by’ = d
Trở lại thuật toán tìm (a, b) thì trong trường hợp này r n = d với r0 = a và r1 = b;
và ta cần tìm cả cặp (x’, y’) ∈ Z2 để ax’ + by’ = r n Nhận xét rằng, nếu ta thiết kế được một dãy
các bộ ba (x k , y k, r k ), sao cho luôn có ax k + by k = r n = d Do đó bộ ba ( x n , y k, r n) cho ta lời giải bài toán Mong muốn này đưa ta đến thiết kế sau: Chọn
(x0, y 0, r0) = (1, 0, a) và (x1, y 1, r1) = (0, 1, b), cùng dạng truy hồi ( x k , y k, r k ) = (x k-2 – x k-1q n-1, y k-2 – y k-1q k- 1, r k-2 – r k-1q k-1)
Để dễ kiểm tra được bằng quy nạp rằng ax k + by k = r k với mọi k = 0, 1,…, n Do đó (x’, y’, d) = (x n , y n , r n )
1.2.2 Bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa 1.2.17 Cho các số nguyên a1, , a n Số nguyên m được gọi là một bội chung của
a1, , a n nếu m chia hết cho tất cả các số a i Số nguyên s được gọi là một bội chung nhỏ nhất của a1, , a n nếu s là bội chung của các số a i và s chia hết cho mọi bội chung khác của các a i
Kí hiệu BC(a1, ., a n ) là tập tất cả các bội chung, BCNN(a1, , a n ) là tập các bội chung nhỏ
nhất, [a1, , a n ] là một số lớn nhất trong tập các bội chung nhỏ nhất của các số a1, ,a n
Trang 6Định lý 1.2.19 Cho a và b là hai số nguyên khác 0 Khi đó ta có [a, b](a, b) = |a||b|
Định lí 1.2.20 Cho n (n ≥ 1) số nguyên a 1 , ,a n khác 0 Khi đó ta có:
(i) [a 1 , ,a n ] luôn tồn tại [a 1 , ,a n ] = [[a 1 , ,a n-1 ], a n ]
(ii) Nếu a 1 , ,a n ;à các số nguyên tốt sánh đôi thì: [a 1 , ,a n ] = a 1 a 2 a n
Nhận xét 1.2.21 Cho các số nguyên a1, …, a n (n ≥ 3) thì đẳng thức
(a1, …, a n ) [a1, …, a n ] = |a1,a2, …, a n |
nói chung là không đúng Chẳng hạn (2,2,2) [2, 2, 2] = 2.2 = 4 < 8 = 2.2.2
Hệ quả 1.2.22 Cho a là bội chung của n số nguyên từng đôi mội nguyên tố cùng nhau a 1 , …, a n Khi đó a là bội tích của a 1 ,…, a n
1.3 Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học
1.3.1 Số nguyên tố
Định nghĩa 1.3.1 Một số nguyên p được gọi là một số nguyên tố nếu p > 1 và p không có một
ước số nguyên dương nào khác 1 và chính nó Một số nguyên m được gọi là một hợp số nếu |m|
> 1 và |m| có ít nhất một ước số nguyên dương khác 1 và |m| Số tự nhiên n được gọi là một số chính phương, nếu tồn tại một số nguyên d để n = d 2
Định lý 1.3.2 Cho một số nguyên tố p và các số nguyên tuỳ ý m, a, b Khi đó ta có:
(ii) Nếu m > 1 thì luôn tồn tại một ước nhỏ nhất, lớn hơn 1 của m và ước này là một số nguyên tố
(iii) Mỗi hợp số nguyên dương d có ít nhất 1 ước nguyên tố không vượt quá d
(iv) Nếu p | ab thì p | a hoặc p | b
Định lí 1.3.3 (Euclid) Tập hợp tất cả các số nguyên tố là một tập hợp vô hạn
1.3.2 Định lý cơ bản của số học
Định lý 1.3.4 (Định lý cơ bản của số học) Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành
một tích hữu hạn thừa số nguyên tố và phân tích này là suy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số
Hệ quả 1.3.5 Nếu một số tự nhiên n chia hết cho số nguyên tố p nhưng không chia hết cho p 2
, thì n là một số vô tỉ
Hệ quả 1.3.6 Cho một số tự nhiên d không chính phương, khi đó, nếu x, y là hai số nguyên thỏa
mãn x d = thì x = y = 0 y
n
p < e +
1.4 Phần nguyên và phân tích tiêu chuẩn của n!
Trang 7Định nghĩa 1.4.1 Cho một số thực a, phần nguyên của a, ký hiệu là [a], là số nguyên lớn nhất
không vượt quá a Hiệu a – [a] = {a} được gọi là phần phân hay phần lẻ của a
Nhận xét 1.4.2 Từ định nghĩa của phân nguyên và phần phân, ta dễ dàng suy ra một số tính chất
sau:
(i) Thương hụt của phép chia mỗi số nguyên dương a cho một số nguyên dương b là [ ] a
b (ii) [x] = x khi và chỉ khi x ∈Z
(iii) Nếu a ∈ Z và x < a thì [x] < a
(iv) Nếu x ≤ y thì [x] ≤ [y]
(v) [x] = n nếu và chỉ nếu n ≤ x < n+1
(vi) [x] = n nếu và chỉ nếu x – 1 < n ≤ x
Định lý 1.4.3 Phần nguyên của một số thực có các tính chất sau đây:
(i) Nếu n ∈Z thì [a + n] = [a] + n
∈ R và d ∈ ℕ thì số các số nguyên dương là bội của d không lớn hơn a đúng bằng +
Định lý 1.4.7 Cho hàm số f(x) ≥ 0 xác định và liên tục trên đoạn [a, b] Gọi T là số tất cả các
điểm nguyên của miền D={( , )x y ∈Z2|a≤ ≤x b ; 0< y≤ f x( )} Khi đó ta có
1.4.2 Phân tích tiêu chuẩn của n!
Định lý 1.4.8 Cho một số nguyên n > 1 Khi đó n! Có dạng phân tích tiêu chuẩn là:
*) Tài liệu tham khảo:
[1] Dương Quốc Việt (2009), Lý thuyết số và đa thức, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà
Nội, Hà Nội
Trang 8[2] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1.1 Quan hệ chia hết và phép chia với dư 1.1.1 Chứng minh rằng:
(i) Trong 3 số nguyên liên tiếp phải có một số chia hết cho 3
(ii) Trong 4 số nguyên liên tiếp phải có một số chia hết cho 4
(iii) Trong n số nguyên liên tiếp phải có 1 số chia hết cho n
1.1.2 Chứng minh rằng:
(i) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
(ii) Tích của 2 số chẵn liên tiếp phải chia hết cho 8
(iii) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương
1.1.3 Chứng minh rằng trong 11 số nguyên bất kỳ phải có hai số có hiệu chia hết cho 10 1.1.4 Chứng minh rằng:
(i) n3
– n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
(ii) n5
– n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n
1.1.5. Chứng minh rằng không có các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2
+ 2b2 = 4c2
1.1.6. p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: (p2
1.1.9. Cho m, n là hai số nguyên dương
Tìm dư của phép chia (5m)!(5n)! Cho m!n!(3m+n)!(3n+m)!
1.1.10. Cho m, n là những số nguyên dương Tìm dư của phép chia (2m)!(2n)! Cho m!n!(m+n)!
1.1.11. Cho x1 và y1 là những nghiệm của phương trình x2 – 6x +1 = 0 Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương n, tổng 1n 2n
x +x là một số nguyên và tìm dư của phép chia số đó cho 3
1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
1.2.1 Chứng minh chi tiết tất cả các nhận định còn chưa được chứng minh trong lý thuyết 1.2.2. Cho n là một số tự nhiên lẻ Tìm (8, n2 – 1)
1.2.3. Cho các số nguyên a, b, k, l, m, n Chứng minh rằng:
(i) (5a + 3b, 13a + 8b) = (a, b)
(ii) Chứng minh rằng nếu kn – lm = 1 ± thì (ma + nb, ka + lb) = (a,b )
Trang 91.2.6. Chứng minh rằng (n! + 1, (n+1)! +1) = 1 nếu n là một số nguyên dương
1.2.7. Cho các số nguyên đương m, n với m > n Chứng minh rằng (22m 1, 22n 1) 1
1.2.9. Cho dãy các số nguyên a1, a2, sao cho a1 = a2 = 1; a n+2 = a n a n+1, n= 1, 2,
Chứng minh rằng a1946không chia hết cho 4
1.2.10. Cho đa thức f(x) = x n + a1x n-1 + … + a n∈ Z[ ]x với a n > 0 và n ≥ 1 Với số nguyên m ta đặt t0 = m, t i = f(f(…(f(m))…)) , i lần f Chứng minh rằng (t t , t s ) = t (r, s) với mọi r, s nguyên không
1.2.12. Cho f(x) là một đa thức với các hệ số nguyên và f(x) > 0 với mọi x nguyên Ký hiệu a0 =
0, a n = f(a n-1) với mọi n ≥ 1 Chứng minh rằng (a m , a n ) = a (m, n) Khi f(x) =
1.2.14. Cho các số nguyên a và b Chứng minh rằng (a + b, [a, b]) = (a, b)
1.2.15. Cho n ≥ 2 số nguyên a 1 , , a n Chứng minh rằng |a1a2 a n | ≥ [a1, , a n ]( a1, , a n ).
1.2.16. Cho ba số nguyên dương m, n, p Chứng minh rằng:
1.2.18. Tìm rất cả các số nguyên x và y sao cho 3xy – 7y = 3x + 1
1.2.19. Giải phương trình nghiệm nguyên 13x + 21y = 12
1.2.20. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 31y = 15
Trang 101.3 Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học
1.3.1 Chứng minh rằng với số nguyên dương n, thì đoạn [(n+1)!+2,(n+1)!+n+1] không chứa
một số nguyên tố nào
1.3.2 Chứng minh rằng tồn tại nhiều vô hạn các số nguyên tố dạng 4n + 3 với n ∈ ℕ
1.3.3 Tìm số nguyên p sao cho p + 10 và p + 14 cũng là những số nguyên tố
1.3.4 Cho một số nguyên n > 2 Chứng minh rằng nếu một trong hai số 2 , 2n− 1 n+ 1 là một số nguyên tố thì số còn lại là hợp số
1.3.5 Tìm tất cả các số tự nhiên n để sao cho n(n+1)(n+2)(n+3) có đúng 3 ước nguyên tố 1.3.6 Cho một số tự nhiên n > 1 có phân tích chính tắc 1 2
1 2 s
s
n=q qα α qα Chứng minh rằng r n
là một số nguyên khi và chỉ khi αi chia hết cho r với mọi i =1, 2, 3 ,s
1.3.7 Giả sử p, q là hai số nguyên tố phân biệt thỏa mãn pq | n2 Chứng minh rằng pq | n
1.3.8 Cho ba số nguyên dương a, b, c với (a, b) =1 Chứng minh rằng vợi mọi số nguyên dương
n thì từ ab = c n ta suy ra tồn tại x, y +
∈ ℕ để sao cho a = x n và b = y n
1.3.9 Cho f(n) = n4
+ 2n3 - n2 + 1 Xác định các số nguyên n sao cho |f(n)| là một số nguyên tố
1.3.10 Số 4p + 1 có là một số nguyên tố không? Nếu biết các số p, 2p+1 là nguyên tố và p > 3 1.3.11 Giả sử a > 1 là một số nguyên dương, n ≥ 2 và a n
+ 1 là một số nguyên tố Chứng minh
rằng n = 2 k với số nguyên dương k nào đó
1.3.12 Biết p và 8p2
+ 1 là các số nguyên tố, tìm p Các số p, p+10, p+14 là các số nguyên tố, tìm p
1.3.13 Chứng minh rằng số dư của phép chia một số nguyên tố p cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc
1.3.16 Chứng minh rằng không tồn tại một đa thức bậc dương hệ số nguyên f(x) để f(n) là số
nguyên tố với mọi n nguyên dương
1.4 Phần nguyên và phân tích tiêu chuẩn của n!
1.4.1 Chứng minh rằng
a
ab b
với mọi a, b và c nguyên dương
1.4.2 Giải hệ phương trình x|x| + y|y| = 1, [x] + [y] =1
1.4.3 Cho biết khi nào [–x] = – [x]
1.4.4 Cho n là một số nguyên dương hãy xác định phần nguyên [ n n( +1)(n+2)(n+3)]
Trang 111.4.5 Chứng minh rằng [(2+ 3) ] là một số lẻ với mọi số tự nhiên n
1.4.6 Tìm số mũ của 2 trong phân tích tiêu chuẩn của [(1+ 3) ]n với n là một số nguyên dương
cho trước
1.4.7 Cho ,a b ∈ R và a, b ≥ 0 Chứng minh rằng:
[5a] + [5b] ≥ [3a + b] + [3b + a]
1.4.8 Chứng minh rằng với số nguyên dương n bất kì và số thực a ≥ 0 ta có bất đẳng thức
m n n+m là một số nguyên với mọi số tự nhiên m và n
1.4.13 Chứng minh rắng với mọi số thực x và số nguyên dương n ta có
1 1
1[ ] n [x + ] [ ]
Trang 12CHƯƠNG 2 Các hàm số học
Số tiết: 4 (Lý thuyết: 3 tiết; bài tập, thảo luận: 1 tiết)
τ và hàm ( )σ n , hàm Euler ( )ϕ n , luật thuận nghịch
- Sinh viên biết vận dụng giải các bài tập liên quan
2.1 Hàm nhân và công thức tổng trải
2.1.1 Hàm nhân
Định nghĩa 2.1.1 Một hàm số f xác định trên tập ℕ+ (tập các số nguyên dương) và nhận các giá
trị trong các trường các số phức ℂ , được gọi là một hàm số học Như vậy, mỗi hàm số học xác định một ánh xạ f : +
→
ℕ ℂ
Định nghĩa 2.1.2 Hàm số học f khác hàm không, được gọi là một hàm nhân,
nếuf ab( )= f a f b( ) ( )với mỗi cặp số nguyên dương ,a b nguyên tố cùng nhau
∑ lấy theo tất cả các ước dương của n
Định lí 2.1.4 ( Công thức tổng trải) Nếu một số nguyên dương n có phân tích tiêu chuẩn
Với mỗi số nguyên dương n, ta kí hiệu ( )τ n là các ước số nguyên dương của n và ( )σ n là tổng
các ước nguyên dương của n Khi đó dễ thấy ,τ σ là những hàm số học
n= p pα α ⋯pα thì (i)
Định nghĩa 2.1.7 Số nguyên dương n được gọi là một số hoàn thiện nếu ( ) 2σ n = n
Định lí 2.1.8 (Euclid- Euler) Một số chẵn m là một số hoàn thiện khi và chỉ khi m có dạng
Trang 13Bổ đề 2.1.9 Nếu p là một số nguyên tố thì ϕ( )p = p−1, (ϕ pα)= pα− pα− 1 với α nguyên dương
( ) ( 1) neu co phan tich tieu chuan
0 neu chia het cho voi nguyen to
µ =
∑
2.2.2 Luật thuận nghịch
Định lí sau đây được gọi là Luật thuận nghịch Dedekind-Liouville
Định lí 2.2.5 Cho f là một hàm nhân, và một hàm số học g được xác định bởi
Trang 14p n
*) Tài liệu tham khảo:
[1] Dương Quốc Việt (2009), Lý thuyết số và đa thức, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà
Nội, Hà Nội
[2] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1 Hàm nhân và công thức tổng trải 2.1.1 Cho một số tự nhiên p > Chứng minh rằng p là một số nguyên tố khi và chỉ khi 1
( )p p 1
ϕ = −
2.1.2 Cho một số tự nhiên n> Chứng minh rằng1
0 ( , ) 1
( )2
2.1.4. Chứng minh rằng nếu n lẻ thì ( )σ n ≡τ( ) (mod 2)n
2.1.5 Chứng minh rằng nếu n≡7 (mod 8) thì ( ) 0 (mod 8)σ n ≡
2.1.6. Tìm giá trị của n biết:
(i) n=2 3α β và ϕ( ) 8n = (ii) n=3 4 5α β γ và ( ) 48ϕ n =(iii) n=25 7α β và ( ) 120ϕ n =
2.1.7 Tìm giá trị của n biết:
(i) ϕ( ) 12n =(ii) ϕ( ) 17n =
Trang 15(iii) ϕ( ) 24n =
( , )
n k n
2.1.9 Chứng minh rằng: nếu n≡23 (mod 24) thì ( ) 0 (mod 24)σ n ≡
2.1.10 Chứng minh rằng : ( )τ n là một số lẻ khi và chỉ khi n là một số chính phương
2.1.11 Chứng minh rằng: nếu p là một số nguyên tố và n≥ thì 2 σ(p n2−1) là hợp số
2.1.12 Số tự nhiên n được gọi là một số thừa nếu ( ) 2σ n > n và được gọi là một số thiếu nếu
( ) 2n n
σ < Chứng minh rằng:
(i) Lũy thừa một số nguyên tố là một số thiếu
(ii) Có vô số số tự nhiên n thỏa mãn ( ) 2 1σ n = n− (iii) Số lẻ chỉ có hai ước nguyên tố khác nhau là một số thiếu
2.1.13 Tìm các số tự nhiên n biết rằng n có dạng phân tích tiêu chuẩn n= p q r s và
( ) 6,n ( ) 28n
τ = σ =
2.1.14 Cho dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n= p q r s và ( ) 18)τ n = Tính τ(n2007)
2.1.15 Cho hai số tự nhiên ,m n≥ Chứng minh rằng: 1
2.1.19 Cho một số nguyên tố p Chứng minh rằng:
(i) Nếu p≡1 (mod 4) thì ( k) 1 (mod 4)
k
i i
Trang 162.2 Hàm Mobius và Luật thuận nghịch 2.2.1 Cho dãy số nguyên tố bất kì p1=1, p2≥3, p n+1−p n ≥2, n≥ Đặt 1
Trang 17ℤ , căn nguyên thủy, chỉ số
- Sinh viên hiểu được các tính chất của quan hệ đồng dư, vành các lớp thặng dư, căn nguyên thủy và chỉ số
- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan
Định nghĩa 3.1.1 Cho một số nguyên dương m Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư
modulo m nếu hiệu a – b chia hết cho m Nếu a đồng dư với b modulo m, thì ta viết a b≡ (mod
m) và gọi đó là một đồng dư thức
Nhận xét 3.1.2 a b ≡ (mob m) khi và chỉ khi a và b chia cho m (với Thuật toán Euclid) thì nhận
cùng một số dư
Mệnh đề 3.1.3 Cho một số nguyên dương m Khi đó ta có:
(i) a ≡ b( mod m) khi và chỉ khi a b mt≡ + với t ∈ℤ
(ii) Quan hệ đồng dư modulo m là một quan hệ tương đương trong tập ℤ
Định nghĩa 3.1.4 Cho các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư modulo m được gọi là các lớp
thặng dư modulo m
Mệnh đề 3.1.5 Số các lớp thặng dư modulo m đúng bằng m
3.1.2 Hệ thặng dư
Định nghĩa 3.1.7 Nếu từ mỗi lớp thặng dư modulo m ta lấy ra một đại diện, thì tập hợp các lớp
đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ modulo m Nếu từ mỗi lớp thặng dư modulo m ta lấy ra một đại diện không âm bé nhất, thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất modulo m
Nhận xét 3.1.8 Từ định nghĩa của một hệ thặng dư đầy đủ ta suy ra: Một hệ thặng dư đầy đủ
modulo m là một hệ số gồm m số nguyên, đôi một không dư modulo m
Hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất modulo m là {0,1, ,m−1} Còn hệ thặng dư đầy đủ với
giá trị tuyệt đối nhỏ nhất modulo m được xác định như sau:
Trang 18Định lí 3.1.10 Cho m là một số nguyên dương và a, b là những số nguyên, với a nguyên tố với
m Khi đó nếu x lấy giá trị trong toàn bộ một hệ thặng dư đầy đủ modulo m, thì ax + b cũng lấy giá trị trong toàn bộ một hệ thặng dư đầy đủ nào đó modulo m
(ii) Nếu a b c ≡ + (mod m) thì a c − ≡ (mod m) b
(iii) Nếu a b ≡ (mod m) thì a hm+ ≡ (mod m) b
(iv) Nếu a i ≡b i (mod m) với i=1, ,n, thì
(v) Nếu a b ≡ (mod m) thì ah≡bh (mod m)
(vi) Nếu a i ≡b i (mod m) với i=1, ,n và x≡ y (mod m), thì
(viii) Nếu a b ≡ (mod m) thì ah≡bh(modmh)
(ix) Nếu a b ≡ (mod m) và d ∈ƯC ( , , ) a b m thì a b
d ≡ d (mod m
d ) (x) Nếu a b ≡ (mod m) thì ( , ) a m =( , )b m
(xi) ( )n n(mod )
am b+ ≡b m
Định nghĩa 3.1.12 ( , ) a m được cho bằng (b,m) với một số b∈a Khi ( , )a m = 1 thì lớp a được
gọi là một lớp thặng dư nguyên tố với môđun m
Định nghĩa 3.1.15 Nếu từ mỗi lớp thặng dư nguyên tố với modulo m, ta lấy ra một đại diện, thì
tập các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư thu gọn modulo m
Nhận xét 3.1.16 Thông thường, ta chọn hệ thặng dư thu gọn modulo m từ một hệ thặng dư đầy
đủ không âm bé nhất {0,1, ,m−1} Vì rằng số các số trong tập {0,1, ,m−1} nguyên tố với m
là ( )ϕ m , nên số các phần tử của một hệ thu gọn modulo m là ( )ϕ m
Định lí 3.1.18 Cho một số nguyên dương m và một số nguyên a nguyên tố với m Khi đó nếu x
lấy giá trị trong toàn bộ một hệ thặng dư thu gọn modulo m, thì ax cũng lấy giá trị trong toàn bộ một hệ thặng dư thu gọn nào đó modulo m
Đinh lí 3.1.19 Nếu m và k là các số nguyên dương, thì mỗi lớp thặng dư modulo m là tập hợp
của đúng k lớp thặng dư modulo km
3.2 Vành ℤm
3.2.1 Vành ℤm các lớp thặng dư modulo m
Trang 19Cho tập thương ℤm={a a| ∈ ℤ các lớp thặng dư modulo m Để biến tập này thành một vành ta }
định nghĩa hai quy tắc cộng và nhân các lớp thặng dư như sau
a b+ = +a b và a b =ab với mọi ,a b∈ ℤ Khi đó để kiểm tra được các quy tắc này là những phép toán, và gọi là phép toán cộng và nhân
các lớp thặng dư modulo m Cũng dễ kiểm tra được rằng, hai phép toán này sẽ làm cho ℤmlập thành một vành giao hoán có đơn vị 1 và phần tử không 0
Định nghĩa 3.2.1 Cho một số nguyên dương m Khi đó vành ℤmvới hai phép toán cộng và nhân
các lớp thặng dư modulo m, được gọi là vành các lớp thặng dư modulo m Lớp a∈ℤmđược gọi
là một lớp khả nghịch, nếu tồn tại b∈ℤmđể a b =1
Định lí 3.2.3 Lớp a∈ℤm là khả nghịch nếu và chỉ nếu ( , ) 1 a m =
Đinh lí 3.2.4 *
m
ℤ là một nhóm nhân giao hoán có cấp là ( )ϕ m
Nhận xét 3.2.5 Khi m p= là một số nguyên tố, thì mọi phần tử khác không trong ℤpđều khả nghịch Do đó ℤplà một trường và *
3.3 Căn nguyên thủy và chỉ số
3.3.1.Căn nguyên thủy
Định nghĩa 3.3.1 Cho số nguyên m > 1 và số nguyên a nguyên tố với m Khi đó số nguyên
dương d nhỏ nhất sao cho d 1(mod )
a ≡ m được gọi là số mũ của a modulo m, hay còn gọi là a thuộc số mũ d modulo m
Vì ( )m 1(mod )
aϕ ≡ m theo đinh lí Euler nên số mũ d của số nguyên a tồn tại
Mệnh đề 3.3.3 Cho một số nguyên dương m Khi đó ta luôn có :
(i) Số mũ d của a modulo m là ước của ( )ϕ m
(ii) Nếu a≡b(mod )m thì a và b cùng thuộc số mũ modulo m
(iii) Nếu a thuộc số mũ d modulo m, thì 0, , ,1 d 1
a a a − đôi một không đồng dư với nhau modulo m
Trang 20(iv) Nếu a thuộc số mũ d modulo m và s là một số nguyên dương sao cho ( , ) 1 s d = , thì s
a cũng thuộc số mũ d
(v) Nếu a thuộc số mũ d modulo m, thì 0, , ,1 d 1(mod )
x≡a a a − m là các nghiệm phân biệt của phương trình d 1(mod )
x ≡ m
Mệnh đề 3.3.6 Cho một số nguyên m > 1 và một số nguyên g Khi đó ta có:
(i) g là căn nguyên thủy modulo m khi và chỉ khi *
m
ℤ là một nhóm cyclic sinh bởi g
(ii) g là căn nguyên thủy modulo m khi và chỉ khi 0, , ,1 ( ) 1m
g g gϕ − lập thành một hệ thặng dư thu gọn modulo m
(iii)Nếu g là căn nguyên thủy modulo m, thì s
g là căn nguyên thủy modulo m nếu và chỉ nếu
Định lí 3.3.12 Giả sử g là căn nguyên thủy modulo p với p là một số nguyên tố lẻ và 0 < g < p
Khi đó tồn tại b sao cho 0 < b < p, gb ≡ 1 (mod p) và b cũng là căn nguyên thủy modulo p Hơn nữa hoặc g hoặc b là căn nguyên thủy modulo p2
Định lí 3.3.13 Nếu p là một số nguyên tố lẻ và g là căn nguyên thủy modulo p2 thì g là căn nguyên thủy modulo p n với mọi n ≥ 2
Định lí 3.3.14 Cho một số nguyên m > 1 Khi đó *
a≡g m d ≥
thì d được gọi là chỉ số của a modulo m với cơ số g
Trang 21Kí hiệu d = ind g a hay d = ind a khi g đã xác định Dễ dàng chỉ ra nếu d = ind g a thì số 'd
không âm mà 'd ≡d(mod ( ))ϕ m cũng là chỉ số của a modulo m
Bổ đề 3.3.16 Chỉ số các tính chất sau:
(i) a ≡ b (mod ( ))ϕ m nếu và chỉ nếu ind g a≡ indg b(mod ( ))ϕ m
(ii) ind g g k≡k(mod ( ))ϕ m
(iii) ind g 1 = 0 và ind g g≡ 1(mod ( ))ϕ m
(iv) ind g (ab) ≡ indg a + indg b (mod ( ))ϕ m
(v) ind g (a 1 a2 …a n ) ≡ ind g a1 + indg a2 + … + indg a n (mod ( ))ϕ m
(vi) Nếu a chia hết cho b thì indg ( a
b )=indg a – indg b
Định lí 3.3.18 Cho một số nguyên tố p Khi đó ta có các kết quả sau đây:
(i) Với mỗi số nguyên a nguyên tố với p., khi đó a thuộc số mũ δ modulo p nếu và chỉ nếu
− Suy ra a là căn nguyên thủy modulo p nếu và chỉ nếu (ind a, p – 1) = 1
(ii) Cho δ là một số tự nhiên cho trước, và là ước của (p – 1) Khi đó trong một hệ thặng
dư thu gọn modulo p có ( )ϕ δ số thuộc mũ δ modulo p Trong trường hợp riêng có (ϕ p−1) căn nguyên thủy modulo p
*) Tài liệu tham khảo:
[1] Dương Quốc Việt (2009), Lý thuyết số và đa thức, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà
Nội, Hà Nội
[2] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
3.1 Quan hệ đồng dư và thặng dư 3.1.1 Hãy chứng minh tất cả các kết quả còn chưa chứng minh trong phần lí thuyết
Trang 22(ii) Chứng minh rằng tồn tại số a của dãy trên sao cho
5a +4a +5a +8a +2a +11a +48 chia hết cho 1992
3.1.6 Tìm hệ thặng dư thu gọn theo các modulo: 6;10;12;15;16
3.1.7 Cho , ,a b c∈ ℤ
Chứng minh rằng100a+10b c+ ≡0(mod 21) khi và chỉ khi a−2b+4c≡0(mod 21)
3.1.8 Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lẻ thì ta có
3.2.2 Với số nguyên tố p > 7 hãy chỉ ra 3 p−2p≡1(mod 42 )p
3.2.3 Cho n là một số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng 2n! 1(mod )
3.2.6 Chứng minh rằng nếu ( ,561) 1a = thì a560≡1(mod 561)
3.2.7 Chứng minh rằng 2n − không chia hết cho n với mọi số nguyên dương n>1 1
3.2.8 Cho ( , ) 1a n = thỏa mãn n1 1(mod )
a − ≡ n và k 1
a − không chia hết cho n với mọi số nguyên dương k là ước của n – 1 , k < n –1 Chứng minh rằng n là một số nguyên tố
3.2.9 Tìm số dư trong phép chia số (20052006+20062007+200720086 18) chia 53
3.2.10 Cho một số nguyên tố p > 3 Chứng minh rằng nếu dư của phép chia số p cho 8 bằng 1
(i) n 1(mod )
a ≡ m khi và chỉ khi n≡0(mod )d
(ii) n k(mod )
a ≡a m khi và chỉ khi n≡k(mod )d
3.2.12 Cho ( , ) 1a m = và d là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho d 1(mod )
a ≡ m Chứng minh rằng dlà ước của ( )ϕ m
Trang 23− ≡(ii) ( ,f n f m) 1= với mọi số nguyên dương m ≠ n
7 −7 chia hết cho 10 còn số 22225555+55552222 chia hết cho 7
3.2.17 Chứng minh rằng: Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì 1(mod r)
3.3 Căn nguyên thủy và chỉ số
10; 14; 12
ℤ ℤ ℤ Hãy tìm các hệ sinh cực tiểu của các nhóm này
3.3.2 Tìm căn nguyên thủy modulo 47
3.3.3 Tìm căn nguyên thủy modulo 16
3.3.4 Liên hệ với lí thuyết để phát biểu các kết quả và khái niệm nêu trong lí thuyết, theo ngôn
ngữ của nhóm
3.3.5 Cho ,m n là những số nguyên lớn hơn 1 nguyên tố cùng nhau Giả sử m
n là một số thập
phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm a chữ số Chứng minh rằng a là số mũ của 10 modulo n
3.3.6. Cho p là một số nguyên tố lẻ, a là số nguyên lớn hơn 1 Hãy chứng minh rằng:
(i) Mọi ước nguyên tố lẻ của a p− thì hoặc là ước của 1 a− hoặc là ước có dạng 21 pn− 1(ii) Mọi ước nguyên tố lẻ của p 1
a + thì hoặc là ước của a+ hoặc là ước có dạng 21 pn+ 1(iii) Có vô số số nguyên tố có dạng 2pn+ 1
Trang 24CHƯƠNG 4 Phương trình đồng dư
Số tiết: 9 (Lý thuyết: 6 tiết; bài tập, thảo luận: 3 tiết)
Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được các khái niệm về: phương trình đồng dư một ẩn, phương trình đồng
dư một ẩn bậc cao, phương trình đồng dư bậc hai
- Sinh viên hiểu được các tính chất và cách giải các phương trình đồng dư
- Sinh viên biết vận dụng giải các bài tập liên quan
4.1 Phương trình đồng dư 1 ẩn
4.1.1 Khái niệm phương trình đồng dư
Định nghĩa 4.1.1 Cho m là một số nguyên dương và a a0, , ,1 a n là các số nguyên Khi đó đồng
dư thức chứa biến x có dạng
Được gọi là một phương trình đồng dư ẩn x Nếu a0 ≡/ (mod m), thì (1) được gọi là phương 0
trình đồng dư bậc n Việc tìm tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn (1) được gọi là giải phương trình đồng dư
Định nghĩa 4.1.2 Cho phương trình đồng dư
f x =a x +a x − + +a−x+a ≡ m (*)
Số nguyên α được gọi là một nghiệm đúng của phương trình (*), và viết là x = α, nếu f(α) 0≡
(mod m) Lớp α (mod )m được gọi là một nghiệm của phương trình (*), và viết là
Nhận xét 4.1.4 Ta có một vài nhận xét dưới đây khi giải phương trình (1)
(i) Ta có thể đưa tất cả các hệ số a a0, , ,1 a n của phương trình về các số không âm, nhỏ hơn m
(ii) Tập các nghiệm của (1) nhằm trong tập {0, 1, ,m− Vì vậy, ta chỉ cần tìm tất cả các 1}nghiệm đúng của (1) nằm trong tập {0,1, ,m−1}là suy ra tất cả các nghiệm hay nghiệm đúng
Do đó về nguyên tắc, (1) bao giờ cũng giải được, vì ta chỉ việc duyệt các nghiệm đúng của nó trên một hệ thặng dư đầy đủ nào đó
(iii) Thực chất của việc giải (1) chính là đi giải phương trình
Trang 25(i) f x( ) 0 (mod )≡ m tương đương ( ) f x +mb≡0 (mod )m
(ii) f x( ) 0 (mod )≡ m tương đương ( ) 0 (mod ) a f x ≡ m
(iii) f x( ) 0 (mod )≡ m tương đương ( ) 0 (mod a f x ≡ am) v ới a > 0, a ∈ Z
(iv) Nếu d∈UC a a( , , , )0 1 a n và (d, m) = 1 thì f x( ) 0 (mod )≡ m tương đương
Mệnh đề 4.1.9 Nếu (a, m) = 1 thì phương trình (2) có đúng một nghiệm
Mệnh đề 4.1.10 Nếu (a, m) = d thì phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi d | b Khi đó nó sẽ
có d nghiệm
Một vài phương pháp giải phương trình ax≡b (mod )m
Theo lập luận trên, thì phương trình bậc nhất luôn đưa được về phương trình dạng (mod )
ax≡b m với ( , ) 1a m = , và nghiệm của phương trình này là duy nhất Do đó ta chỉ cần tìm một nghiệm của ax≡b (mod )m , ( , ) 1a m = , 0< <a m b, <m Sau đây ta nêu một số cách giải thường được sử dụng:
Thử qua một hệ thặng dư đầy đủ: Thông thường, để tiết kiệm tính toán, người ta thử qua một
hệ thặng dư đầy đủ có trị tuyệt đối nhỏ nhất Vì ( , ) 1a m = , nên khi x chạy qua một hệ thặng dư
đầy đủ modulo m Do đó luôn tồn tại x0∈ là một nghiệm đúng của phương trình Từ đó ta có A
nghiệm của phương trình làx≡x0 (mod )m
Dùng thuật toán đệ quy: Giả sử t ∈ ℤ sao cho \ ( a b+mt) Khi đó x b mt (mod )m
Trang 26Vậy ( ) 1m (mod )
x≡aϕ −b m là nghiệm của phương trình (2)
Dùng liên phân số: Biểu diễn m [q q0; , ,1 q n]
au+mv= Khi đó au≡1 (mod )m , hay ( )a ub ≡b (mod )m
Do đó x≡ub(mod )m là nghiệm của phương trình
(3)( ) 0 (mod )
trong đó f x i( )∈ ℤ[ ]x m, i là các số nguyên dương với i=1, 2, ,n
Định nghĩa 4.1.17 Phần tử α∈ ℤ được gọi là một nghiệm đúng của hệ (3), và viết là x=α, nếu ( ) 0 (modf i α ≡ m i)
Mệnh đề 4.1.18 Giả sử m=[m m1, 2, ,m n] Khi đó nếu αlà một nghiệm đúng của hệ (3) thì
(mod )
x≡α m là một nghiệm của hệ (3)
Định nghĩa 4.1.19 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập
nghiệm đúng
Giả sử mỗi phương trình ( ) 0 (modf x i ≡ m i)có nghiệm x≡a i (mod m i) Khi đó nghiệm của hệ
(3) chính là nghiệm của hệ phương trình
(mod )(mod )
(4)(mod )
Trang 27Định lí 4.1.22 Cho các số nguyên dương m1, ,m và n a1, a n ∈ ℤ Khi đó hệ .
(mod )(mod )
⋯ có nghiệm, thì có duy nhất nghiệm
4.2 Phương trình đồng dư một ẩn bậc cao
Cho m> là một số nguyên Xét phương trình đồng dư 1
1
2
1 2
( ) 0(mod )( ) 0(mod )
(6)( ) 0(mod s)
i= s thì ta sẽ giải hệ sau đây
Trang 28Với p là một số nguyên tố và n > nguyên Khi đó mỗi nghiệm đúng của (7) cũng là một nghiệm 1
đúng của (8) Ngược lại, giả sử 1
(i) Nếu f '( )x không chia hết cho p, thì trong S sẽ có đúng một lớp là nghiệm của (7) 1
(ii) Nếu f '( )x chia hết cho p và 1 f x chia hết cho ( )1 p , thì tất cả các lớp của S đều là nghiệm n của (7)
(iii) Nếu f '( )x chia hết cho p và 1 f x không chia hết cho ( )1 n
f x ≡ p (10)
với p là một số nguyên tố và α> nguyên Khi đó mỗi nghiệm đúng của (9) cũng là một nghiệm 1
đúng của (10) Ngược lại, giả sử x≡x1 (mod )p là một nghiệm của (10), và kí hiệu L là tập tất
cả các lớp modulo pαcủa x1(mod )p Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu f '( )x không chia hết cho p, thì trong L sẽ có đúng một lớp là nghiệm của (9) 1
(ii) Nếu f'( )x chia hết cho p và 1 f x chia hết cho p( )1 α, thì tất cả các lớp của L đều là nghiệm của (9)
(iii) Nếu f'( )x chia hết cho p và 1 f x không chia hết cho ( )1 p , thì tất cả các phần tử của lớp 2
1(mod )
x p đều không là nghiệm của (9), do đó các lớp của L đều không là nghiệm của (9)
Trong phần này, ta quy định các đa thức không có bậc là −∞
Định lí 4.2.8 Cho p là một số nguyên tố và f x( )∈ Z[ ]x cùng phương trình ( ) 0(mod ) f x ≡ p Khi đó ta có các khẳng định sau:
Trang 29(i) Phương trình đã cho tương đương với một phương trình có bậc không vượt quá p − 1
(ii) Nếu hệ số cao nhất của ( ) f x không chia hết cho p, thì số nghiệm của phương trình không vượt quá min{p,deg ( )f x }
(iii) Nếu deg ( ) f x < p và số nghiệm phân biệt của phương trình đã cho lớn hơn deg ( ) f x thì tất cả các hệ số của ( ) f x đều chia hết cho p
Hệ quả 4.2.9.(Định lí Wilson) Nếu p là một số nguyên tố thì ( p−1)! 1 0(mod )+ ≡ p
Hệ quả 4.2.10 Nếu một số tự nhiên p > thỏa mãn (1 p−1)! 1 0(mod )+ ≡ p thì p là một số nguyên tố
x ≡a p
Xét phương trình x n≡a(mod )p (4.1) trong đó p là một số nguyên tố lẻ và ( , ) 1 a p =
Mệnh đề 4.2.12 Phương trình (4.1) có nghiệm khi và chỉ khi d =( ,n p−1) \ind a Trong trường hợp này nó có d nghiệm
Hệ quả 4.2.15 Kí hiệu d =( ,n p−1),a là một thặng dư bậc n modulo p, tức là phương trình
4.3 Phương trình đồng dư bậc hai
Cho p là một số nguyên tố lẻ và phương trình đồng dư bậc hai
ax +bx+ ≡c p Với a nguyên tố với p Do p nguyên tố lẻ và ( , ) 1 a p = , nên phương trình đồng dư bậc hai
Cho phương trình x2≡a(mod )p , trong đó p là một số nguyên tố lẻ và a nguyên tố với p
Định lí 4.3.1 Số nguyên a được gọi là một thặng dư bậc hai theo modulo p, hay thặng dư toàn
phương modulo p, nếu phương trình đồng dư bậc hai x2 ≡a(mod )p có nghiệm Số nguyên a
Trang 30được gọi là một bất thặng dư bậc hai modulo p, hay thặng dư phi toàn phương modulo p, nếu phương trình đồng dư bậc hai x2≡a(mod )p vô nghiệm
Mệnh đề 4.3.3 Cho một số nguyên tố lẻ p và một số nguyên a nguyên tố với p Khi đó
(i) Nếu a là một thặng dư bậc hai modulo p thì mọi phần tử thuộc lớp thặng dư
(mod )
a p cũng là thặng dư bậc hai modulo p
(ii) Nếu a là một bất thặng dư bậc hai modulo p thì mọi phần tử thuộc lớp thặng dư
(mod )
a p cũng là bất thặng dư bậc hai modulo p
Định lí 4.3.4 Nếu a là một thặng dư bậc hai modulo p thì phương trình x2≡a(mod )p có đúng hai nghiệm
p−
bất thặng dư bậc hai
Định lí 4.3.7 Cho một số nguyên tố lẻ p và một số nguyên a nguyên tố với p Khi đó ta có:
(i) Nếu a là một thặng dư bậc hai modulo p thì
Hệ quả 4.3.8 Cho một số nguyên tố lẻ p và một số nguyên a nguyên tố với p Khi đó ta có:
(i) a là một thặng dư bậc hai modulo p khi và chỉ khi
Để giải quyết vấn đề về thặng dư bậc hai có hiệu quả, Legendre đã đưa ra một toán tử, còn gọi là
Kí hiệu Legendre, được đề cập ngay dưới đây
Định nghĩa 4.3.9 Cho một số nguyên tố lẻ p và một số nguyên a nguyên tố với p Kí hiệu
Legendre a
p
(đọc là kí hiệu Legendre a trên p) được xác định như sau:
+1 nêu là môt thang du bâc 2 modulo
1 nêu là môt bât thang du bâc 2 modulo
Trang 31có thặng dư âm trong hệ thặng
dư thu gọn modulo p với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất Khi đó ta có a ( 1)t
a p
p p
2( 1)
Hệ quả 4.3.23 Cho p,q là hai số nguyên tố lẻ phân biệt Khi đó ta có:
(i) Nếu p≡q≡3(mod 4)thì q p
Định nghĩa 4.3.25 Giả sử m= p p1 2…p k với p i là các số nguyên tố lẻ, không nhất thiết khác
nhau và a là một số nguyên, nguyên tố với m Khi đó Kí hiệu Jacobi được xác định như sau:
Trang 32Khi đó ta có a≡a1+a2+ +a k(mod 2)và b≡b1+b2+ +b k(mod 2)
Định lí 4.3.28 Kí hiệu Jacobi có các tính chất sau:
4.3.4 Phương trình đồng dư bậc hai
Định lí 4.3.30 Cho p là một số nguyên tố Khi đó nếu p≡1(mod 4)thì phương trình
2 1(mod )
x ≡ − p có nghiệm; còn nếu p≡3(mod 4)thì phương trình x2 ≡ −1(mod )p vô nghiệm