ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN)

1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN) 2 CHƯƠNG 1 Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được các khái niệm về lý thuyết chia hết trong vành số nguyên: Quan hệ chia hết và phép chia với dư; ước, ước chung lớn nhất, bội, bội chung nhỏ nhất; số nguyên tố; phần nguyên và phần phân của một số thực - Sinh viên hiểu được các tính chất của phép chia hết, phép chia với dư, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố, định lý cơ bản của số học và phân tích tiêu chuẩn của ! n . - Sinh viên biế t v ậ n d ụ ng lý thuy ế t đ ã h ọ c gi ả i các bài t ậ p liên quan. 1.1. Quan hệ chia hết và phép chia với dư 1.1.1. Quan hệ chia hết Định nghĩa 1.1.1 S ố nguyên a đượ c g ọ i là chia hết cho m ộ t s ố nguyên b , hay b chia hết cho a n ế u t ồ n t ạ i m ộ t s ố nguyên c sao cho a + bc . Khi a chia h ế t cho b ta vi ế t a ⋮ b ho ặ c b | a và b đượ c g ọ i là ước c ủ a a , còn a đượ c g ọ i là bội c ủ a b . Nhận xét 1.1.2. a chia h ế t cho 0 khi và ch ỉ khi a = 0. Do đ ó b ộ i c ủ a s ố 0 ch ỉ là 0. Tuy nhiên t ậ p các ướ c c ủ a 0 l ạ i là toàn b ộ Z . Các tính ch ấ t c ơ b ả n: (i) 1 | a v ớ i m ọ i a ∈ Z . (ii) a | a v ớ i m ọ i a ∈ Z . (iii) N ế u a | b và b | c thì a | c . (iv) N ế u b ≠ 0 và a | b thì |a| ≤ |b|. (v) N ế u a | b i thì a | 1 n i i i b x = ∑ v ớ i m ọ i x i ∈ Z . (vi) N ế u a | b và b | a thì a b = ho ặ c a b = − . (vii) Quan h ệ chia h ế t trong Z có tính ph ả n x ạ , b ắ c c ầ u, nh ư ng không có tính đố i x ứ ng. (viii) Quan h ệ chia h ế t trong Z có tính ph ả n đố i x ứ ng. 1.1.2. Phép chia với dư Định lí 1.1.5. V ớ i m ỗ i c ặ p s ố nguyên a và b ≠ 0, luôn luôn t ồ n t ạ i duy nh ấ t m ộ t c ặ p s ố nguyên q, r v ớ i 0 r ≤ < |b| để a = qb + r. 1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. 1.2.1. Ước chung lớn nhất Định nghĩa 1.2.1. Cho các s ố nguyên a 1 , ,a n . S ố nguyên d đượ c g ọ i là m ộ t ướ c chung c ủ a các a i n ế u d | a i v ớ i m ọ i i = 1 , ,n . Ký hi ệ u t ậ p t ấ t c ả các ướ c chung c ủ a a 1 , ,a n là Ư C( a 1 a n ) . Định lí 1.2.2. Cho các s ố nguyên a 1 , , a n . Khi đ ó ta có các kh ẳ ng đị nh sau: 3 (i) N ế u a 1 , ,a n không đồ ng th ờ i b ằ ng 0 thì Ư C(a 1 ,,a n ) là m ộ t t ậ p h ữ u h ạ n và khác r ỗ ng. (ii) N ế u a 1 = a 2 = = a n = 0 thì Ư C(a 1 , ,a n ) = Z . Định nghĩa 1.2.4. Cho các s ố nguyên a 1 , ,a n . S ố nguyên d đượ c g ọ i là 1 ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a các a i n ế u d là m ộ t ướ c chung c ủ a các a i và d chia h ế t cho m ọ i ướ c chung c ủ a chúng. Ng ườ i ta ký hi ệ u s ố l ớ n nh ấ t trong t ậ p các ướ c chung c ủ a a 1 , ,a n là ( a 1 , ,a n ). N ế u ( a 1 , ,a n ) = 1 thì a 1 , ,a n đượ c g ọ i là nguyên t ố cùng nhau . Các s ố nguyên a 1 , ,a n đượ c g ọ i là nguyên t ố sánh đ ôi , hay đ ôi m ộ t nguyên t ố cùng nhau n ế u ( a i , a j ) = 1 v ớ i m ọ i i, j = 1 , ,n và i ≠ j. Nhận xét 1.2.5. Cho các s ố nguyên a 1 a n . Khi đ ó ta có: (i) N ế u a 1 , ,a n không đồ ng th ờ i b ằ ng 0 và s ố nguyên d là ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a a 1 a n thì 0 d ≠ và –d c ũ ng là ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a a 1 , ,a n . Tr ườ ng h ợ p này ( a 1 , ,a n ) là s ố l ớ n nh ấ t n ằ m trong t ậ p Ư C( a 1 , ,a n ) và ( a 1 , ,a n ) là m ộ t s ố d ươ ng. (ii) N ế u a 1 = a 2 = = a n = 0 thì Ư C( a 1 , ,a n ) = Z , và do đ ó trong tr ườ ng h ợ p này t ậ p ướ c chung l ớ n nh ấ t ch ỉ là {0} và ( a 1 a n ) = 0. Cho các s ố nguyên a 1 , ,a n . Khi đ ó nh ữ ng tính ch ấ t sau đ ây c ủ a ướ c chung l ớ n nh ấ t, đượ c suy ra t ứ c kh ắ c t ừ đị nh ngh ĩ a. (i) (0 , a 1 , ,a n ) = ( a 1 , ,a n ) . (ii) (1 , a 1 , ,a n ) = 1 = (–1 , a 1 , ,a n ) (iii) ( a 1 , ,a n ) = (( a 1 , ,a n-1 ), a n ). Tính ch ấ t này ch ỉ ra cách tìm ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a nhi ề u s ố đượ c quy v ề vi ệ c tìm ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a 2 s ố . (iv) ( ka 1 , ,ka n ) = |k| ( a 1, , ,a n ) v ớ i m ọ i k ∈ Z . (v) N ế u a = bc + d thì ( a,b ) = ( b,d ) . (vi) (0 , a ) = |a| v ớ i m ọ i a ∈ Z . T ừ (v) ng ườ i ta đư a ra đượ c m ộ t thu ậ t toán tìm ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a 2 s ố d ướ i đ ây: Thuật toán Euclid: Gi ả s ử a và b là hai s ố nguyên d ươ ng v ớ i a ≥ b và đặ t r 0 = a, r 1 = b . B ằ ng cách áp d ụ ng liên ti ế p thu ậ t toán chia, ta đượ c: r 0 = r 1 q 1 + r 2 r 1 = r 2 q 2 + r 3 … R n-2 = r n-1 q n-1 + r n R n-1 = r n q n v ớ i r 1 > r 2 > > r n > 0. Cu ố i cùng, s ố 0 s ẽ xu ấ t hi ệ n trong dãy phép tchia liên ti ế p, vì dãy các s ố d ư b = r 1 > r 2 > > r n ≥ 0 không ch ứ a quá b s ố đượ c. H ơ n n ữ a t ừ (v) ta suy ra (a, b) = (r 0 , r 1 ) = (r 1 , r 2 ) = = (r n-2 , r n-1 ) = (r n-1 , r n ) = (r n , 0 ) = r n . Do đ ó ướ c chung l ớ n nh ấ t c ủ a a và b là s ố d ư khác 0 cu ố i cùng trong dãy phép chia. Định lí 1.2.7. Cho các s ố nguyên a 1 , ,a n . Khi đ ó ta có các kh ẳ ng đị nh sau: 4 (i) N ế u d = ( a 1 , ,a n ) thì t ồ n t ạ i các s ố nguyên x 1 ,…., x n để d = 1 n j j j a x = ∑ . (ii) N ế u d = ( a 1 , ,a n ) thì ideal chính sinh b ở i d và ideal sinh b ở i a 1 a n c ủ a Z là nh ư nhau. Định nghĩa 1.2.8. cho các s ố nguyên a 1 , ,a n . S ố nguyên d đượ c g ọ i là m ộ t t ổ h ợ p tuy ế n tính nguyên c ủ a các a i n ế u t ồ n t ạ i các s ố nguyên x i để d = 1 n j j j a x = ∑ . T ừ đị nh lý v ừ a r ồ i ta suy ra các k ế t qu ả sau: Hệ quả 1.2.9 (Định lý Bezout). Các s ố nguyên a 1 , ,a n nguyên t ố cùng nhau n ế u và ch ỉ n ế u t ồ n t ạ i các s ố nguyên x 1 , x 2 , ,x n sao cho 1 n j j j a x = ∑ = 1. Hệ quả 1.2.10. Cho các s ố nguyên a 1 a n . Khi đ ó c là m ộ t t ổ h ợ p tuy ế n tính nguyên c ủ a a 1 , ,a n n ế u và ch ỉ n ế u c là b ộ i c ủ a d = (a 1 , ,a n ). Hệ quả 1.2.11. N ế u các s ố nguyên a 1 , ,a n cùng nguyên t ố v ớ i m ộ t s ố nguyên a thì tích a 1 a n nguyên t ố v ớ i a. Định lý 1.2.12. (Bổ đề Euclid) Cho các s ố nguyên a, b, c. Khi đ ó n ế u ( a,b ) = 1 và a chia h ế t cho bc thì a chia h ế t cho c. Định nghĩa 1.2.13. Cho các s ố nguyên a, b, c . Khi đ ó ph ươ ng trình ax + by = c v ớ i các ẩ n s ố nguyên x, y đượ c g ọ i là ph ươ ng trình vô đị nh hay ph ươ ng trình Diophante. Định lý 1.2.14 . Cho các s ố nguyên a, b, c. Khi đ ó ph ươ ng trình ax + by = c có ngi ệ m nguyên khi và ch ỉ khi d = ( a, b ) chia h ế t c. Cách giải phương trình Diophante ax + by = c. Gi ả s ử cho ph ươ ng trình Diophante ax + by = c v ớ i a, b không đồ ng th ờ i b ằ ng 0. Khi đ ó l ờ i gi ả i c ủ a ph ươ ng tình này th ườ ng đượ c th ự c hi ệ n qua các b ướ c sau: Bước 1: Tìm ( a, b ) = d cùng c ặ p ( x’, y’ ) ∈ Z 2 để ax’ + by’ = d . Ki ể m tra n ế u c không chia h ế t cho d thì ph ươ ng trình vô nghi ệ m, và chuy ể n sang B ướ c 2. Bước 2: Gi ả s ử c = ds . Khi đ ó ( x 0 , y 0 ) = (sx’, sy’) là m ộ t nghi ệ m riêng c ủ a ax + by = c. Bước 3: Gi ả s ử a = da’ và b = db’ . Ta rút ra đượ c: a’(x-x 0 ) = b’(y 0 -y). Do ( a’, b’ ) = 1 và a’ ( x – x 0 ) chia h ế t cho b’ nên theo b ổ đề Euclid thì x – x 0 chia h ế t cho b’ hay x – x 0 = b’ v ớ i t ∈ Z . Do đ ó y – y 0 = – a’t . Ta đượ c 0 0 ' ' x x b t y y a t = +   = −  v ớ i t ∈ Z T ừ các b ướ c l ậ p lu ậ n v ừ a r ồ i, ta d ễ suy ra: {( x 0 + b’t , y o – a’t | t ∈ Z } là t ậ p t ấ t c ả các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình. Ng ườ i ta còn g ọ i 0 0 ' ' x x b t y y a t = +   = −  ( t ∈ Z ) là nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình đ ã cho. 5 Hệ quả 1.2.15. Gi ả s ử d = (a, b). Khi đ ó n ế u ph ươ ng trình ax + by = c có m ộ t nghi ệ m riêng ( x o , y 0 ) thì nó có nghi ệ m t ổ ng quát là 0 0 b x x t d a y y t d  = +     = −   (t ∈ Z ) Nh ư v ậ y, m ấ u ch ố t c ủ a l ờ i gi ả i là tìm nghi ệ m riêng, mà th ự c ch ấ t n ằ m ở b ướ c 1. Sau đ ây ta s ẽ ch ỉ ra m ộ t thu ậ t toán nh ằ m tìm nghi ệ m riêng c ủ a ph ươ ng trình này. Xét ph ươ ng trình ax + by = c v ớ i ( a, b ) = d và a, b khác 0, d là ướ c c ủ a c . R ồ i b ằ ng cách bi ế n đổ i ax = ( –a )( –x ) hay by = ( – b )( –y ) (n ế u c ầ n), ta có th ể luôn coi ax + by = c v ớ i a, b d ươ ng. Bây gi ờ ta tìm hi ể u thu ậ t toán tìm d cùng c ặ p ( x’, y’ ) ∈ Z 2 để ax’ + by’ = d. Tr ở l ạ i thu ậ t toán tìm (a, b) thì trong tr ườ ng h ợ p này r n = d v ớ i r 0 = a và r 1 = b; r 0 = r 1 q 1 + r 2 r 1 = r 2 q 2 + r 3 r n-2 = r n-1 q n-1 + r n r n-1 = r n q n d = r n và ta c ầ n tìm c ả c ặ p ( x’, y’ ) ∈ Z 2 để ax’ + by’ = r n . Nh ậ n xét r ằ ng, n ế u ta thi ế t k ế đượ c m ộ t dãy các b ộ ba ( x k , y k, r k ), sao cho luôn có ax k + by k = r n = d . Do đ ó b ộ ba ( x n , y k, r n ) cho ta l ờ i gi ả i bài toán. Mong mu ố n này đư a ta đế n thi ế t k ế sau: Ch ọ n ( x 0 , y 0, r 0 ) = (1 , 0 , a ) và ( x 1 , y 1, r 1 ) = (0 , 1 , b ) , cùng d ạ ng truy h ồ i ( x k , y k, r k ) = ( x k-2 – x k-1 q n-1 , y k-2 – y k-1 q k-1, r k-2 – r k-1 q k-1 ) . Để d ễ ki ể m tra đượ c b ằ ng quy n ạ p r ằ ng ax k + by k = r k v ớ i m ọ i k = 0 , 1 ,…, n . Do đ ó ( x’, y’, d ) = ( x n , y n , r n ) . 1.2.2. Bội chung nhỏ nhất . Định nghĩa 1.2.17. Cho các s ố nguyên a 1 , , a n . S ố nguyên m đượ c g ọ i là m ộ t b ộ i chung c ủ a a 1 , , a n n ế u m chia h ế t cho t ấ t c ả các s ố a i . S ố nguyên s đượ c g ọ i là m ộ t b ộ i chung nh ỏ nh ấ t c ủ a a 1 , , a n n ế u s là b ộ i chung c ủ a các s ố a i và s chia h ế t cho m ọ i b ộ i chung khác c ủ a các a i . Kí hi ệ u BC(a 1 , , a n ) là t ậ p t ấ t c ả các b ộ i chung, BCNN(a 1 , , a n ) là t ậ p các b ộ i chung nh ỏ nh ấ t, [ a 1 , , a n ] là m ộ t s ố l ớ n nh ấ t trong t ậ p các b ộ i chung nh ỏ nh ấ t c ủ a các s ố a 1 , ,a n . Nhận xét 1.2.18. Cho các s ố nguyên a 1 , , a n . (i) Vì b ộ i c ủ a 0 ch ỉ là 0, nên n ế u a 1 , , a n không khác 0 t ấ t c ả thì BC(a 1 , , a n ) = {0} và [ a 1 , , a n ] = 0. (ii) Do a 1 a 2 a n là m ộ t b ộ i chung c ủ a a 1 , , a n , nên BC(a 1 , , a n ) là m ộ t t ậ p khác r ỗ ng. (iii) BCNN(a 1 , , a n ) = {[ a 1 , , a n ] , – [ a 1 , , a n ]} Các k ế t qu ả sau đ ây ch ỉ ra cách tìm b ộ i chung nh ỏ nh ấ t, và m ố i liên h ệ gi ữ a b ộ i chung nh ỏ nh ấ t và ướ c chung l ớ n nh ấ t. 6 Định lý 1.2.19. Cho a và b là hai s ố nguyên khác 0. Khi đ ó ta có [a, b](a, b) = |a||b|. Định lí 1.2.20 . Cho n (n ≥ 1 ) s ố nguyên a 1 , ,a n khác 0. Khi đ ó ta có: (i) [a 1 , ,a n ] luôn t ồ n t ạ i [a 1 , ,a n ] = [[a 1 , ,a n-1 ], a n ]. (ii) N ế u a 1 , ,a n ;à các s ố nguyên t ố t sánh đ ôi thì: [a 1 , ,a n ] = a 1 a 2 a n . Nhận xét 1.2.21. Cho các s ố nguyên a 1 , …, a n (n ≥ 3 ) thì đẳ ng th ứ c (a 1 , …, a n ) [a 1 , …, a n ] = |a 1 ,a 2 , …, a n | nói chung là không đ úng. Ch ẳ ng h ạ n (2,2,2) [2, 2, 2] = 2.2 = 4 < 8 = 2.2.2. Hệ quả 1.2.22 . Cho a là b ộ i chung c ủ a n s ố nguyên t ừ ng đ ôi m ộ i nguyên t ố cùng nhau a 1 , …, a n . Khi đ ó a là b ộ i tích c ủ a a 1 ,…, a n . 1.3. Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học . 1.3.1. Số nguyên tố Định nghĩa 1.3.1 . M ộ t s ố nguyên p đượ c g ọ i là m ộ t s ố nguyên t ố n ế u p > 1 và p không có m ộ t ướ c s ố nguyên d ươ ng nào khác 1 và chính nó. M ộ t s ố nguyên m đượ c g ọ i là m ộ t h ợ p s ố n ế u |m| > 1 và |m| có ít nh ấ t m ộ t ướ c s ố nguyên d ươ ng khác 1 và |m|. S ố t ự nhiên n đượ c g ọ i là m ộ t s ố chính ph ươ ng , n ế u t ồ n t ạ i m ộ t s ố nguyên d để n = d 2 . Định lý 1.3.2 . Cho m ộ t s ố nguyên t ố p và các s ố nguyên tu ỳ ý m, a, b. Khi đ ó ta có: (i) (m, p) = ; | 1; | p p m p m   /  (ii) N ế u m > 1 thì luôn t ồ n t ạ i m ộ t ướ c nh ỏ nh ấ t, l ớ n h ơ n 1 c ủ a m và ướ c này là m ộ t s ố nguyên t ố . (iii) M ỗ i h ợ p s ố nguyên d ươ ng d có ít nh ấ t 1 ướ c nguyên t ố không v ượ t quá d . (iv) N ế u p | ab thì p | a ho ặ c p | b. Định lí 1.3.3 (Euclid). T ậ p h ợ p t ấ t c ả các s ố nguyên t ố là m ộ t t ậ p h ợ p vô h ạ n. 1.3.2. Định lý cơ bản của số học Định lý 1.3.4 (Định lý cơ bản của số học) . M ọ i s ố t ự nhiên l ớ n h ơ n 1 đề u phân tích đượ c thành m ộ t tích h ữ u h ạ n th ừ a s ố nguyên t ố và phân tích này là suy nh ấ t n ế u không k ể đế n th ứ t ự các th ừ a s ố . Hệ quả 1.3.5. N ế u m ộ t s ố t ự nhiên n chia h ế t cho s ố nguyên t ố p nh ư ng không chia h ế t cho p 2 , thì n là m ộ t s ố vô t ỉ . Hệ quả 1.3.6 . Cho m ộ t s ố t ự nhiên d không chính ph ươ ng, khi đ ó, n ế u x, y là hai s ố nguyên th ỏ a mãn x d y = thì x = y = 0. Định lý 1.3.7 . 1 n n p e + < 1.4. Phần nguyên và phân tích tiêu chuẩn của n! 1.4.1. Phần nguyên và điểm nguyên. 7 Định nghĩa 1.4.1. Cho m ộ t s ố th ự c a, ph ầ n nguyên c ủ a a , ký hi ệ u là [ a ], là s ố nguyên l ớ n nh ấ t không v ượ t quá a . Hi ệ u a – [a] = {a} đượ c g ọ i là ph ầ n phân hay ph ầ n l ẻ c ủ a a . Nhận xét 1.4.2. T ừ đị nh ngh ĩ a c ủ a phân nguyên và ph ầ n phân, ta d ễ dàng suy ra m ộ t s ố tính ch ấ t sau: (i) Th ươ ng h ụ t c ủ a phép chia m ỗ i s ố nguyên d ươ ng a cho m ộ t s ố nguyên d ươ ng b là [ ] a b . (ii) [x] = x khi và ch ỉ khi x ∈ Z . (iii) N ế u a ∈ Z và x < a thì [x] < a. (iv) N ế u x ≤ y thì [x] ≤ [y]. (v) [x] = n n ế u và ch ỉ n ế u n ≤ x < n+1. (vi) [x] = n n ế u và ch ỉ n ế u x – 1 < n ≤ x. Định lý 1.4.3 . Ph ầ n nguyên c ủ a m ộ t s ố th ự c có các tính ch ấ t sau đ ây: (i) N ế u n ∈ Z thì [a + n] = [a] + n. (ii) 1 1 1 [ ] [ ] [ ] 1 n n n i i i i i i a a a n = = = ≤ ≤ + − ∑ ∑ ∑ v ớ i m ọ i n + ∈ ℕ . (iii)N ế u a + ∈ R và d + ∈ ℕ thì s ố các s ố nguyên d ươ ng là b ộ i c ủ a d không l ớ n h ơ n a đ úng b ằ ng [ ] a b . (iv) [2a] = [a] + [a + 1 2 ]. Định lý 1.4.5. (Sierpinski). Đặ t 2 1 10 n n n p α ∞ − = = ∑ , khi đ ó ta có: 1 1 2 2 2 [10 ] 10 [10 ] n n n n p α α − − = − . Định nghĩa 1.4.6. Cho m ộ t mi ề n ph ẳ ng D trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ ( Oxy ) . Đ i ể m (x 1 , y 1 ) thu ộ c D v ớ i 1 1 , x y ∈ Z đượ c g ọ i là đ i ể m nguyên hay đ i ể m l ướ i c ủ a D . Định lý 1.4.7. Cho hàm s ố f(x) ≥ 0 xác đị nh và liên t ụ c trên đ o ạ n [a, b]. G ọ i T là s ố t ấ t c ả các đ i ể m nguyên c ủ a mi ề n 2 {( , ) | D x y a x b = ∈ ≤ ≤ Z ; 0 ( )} y f x < ≤ . Khi đ ó ta có [ , ] [ ( )] i a b T f i ∈ ∩ = ∑ Z 1.4.2. Phân tích tiêu chuẩn của n! Định lý 1.4.8 . Cho m ộ t s ố nguyên n > 1. Khi đ ó n! Có d ạ ng phân tích tiêu chu ẩ n là: 1 2 1 2 ! s s n p p p α α α = v ớ i 2 3 [ ] [ ] [ ] ; 1, , . i i i i n n n i s p p p α = + + + = *) Tài liệu tham khảo: [1] D ươ ng Qu ố c Vi ệ t (2009), Lý thuy ế t s ố và đ a th ứ c, Nhà xu ấ t b ả n Đạ i h ọ c s ư ph ạ m Hà N ộ i, Hà N ộ i. 8 [2] L ạ i Đứ c Th ị nh (1977), Giáo trình S ố h ọ c, Nhà xu ấ t b ả n Giáo d ụ c, Hà N ộ i. *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 1.1. Quan hệ chia hết và phép chia với dư 1.1.1. Ch ứ ng minh r ằ ng: (i) Trong 3 s ố nguyên liên ti ế p ph ả i có m ộ t s ố chia h ế t cho 3. (ii) Trong 4 s ố nguyên liên ti ế p ph ả i có m ộ t s ố chia h ế t cho 4. (iii) Trong n s ố nguyên liên ti ế p ph ả i có 1 s ố chia h ế t cho n. 1.1.2. Ch ứ ng minh r ằ ng: (i) Tích c ủ a 3 s ố nguyên liên ti ế p chia h ế t cho 6. (ii) Tích c ủ a 2 s ố ch ẵ n liên ti ế p ph ả i chia h ế t cho 8. (iii) Tích c ủ a 4 s ố t ự nhiên liên ti ế p c ộ ng thêm 1 là m ộ t s ố chính ph ươ ng. 1.1.3. Ch ứ ng minh r ằ ng trong 11 s ố nguyên b ấ t k ỳ ph ả i có hai s ố có hi ệ u chia h ế t cho 10. 1.1.4. Ch ứ ng minh r ằ ng: (i) n 3 – n chia h ế t cho 6 v ớ i m ọ i s ố nguyên n. (ii) n 5 – n chia h ế t cho 30 v ớ i m ọ i s ố nguyên n. 1.1.5. Ch ứ ng minh r ằ ng không có các s ố nguyên d ươ ng a, b, c th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n a 2 + 2b 2 = 4c 2 1.1.6. p, q là các s ố nguyên t ố l ớ n h ơ n 3. Ch ứ ng minh r ằ ng: (p 2 – q 2 ) chia h ế t cho 24. 1.1.7. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u m, n nguyên d ươ ng thì mn(m 60 – n 60 ) chia h ế t cho 56786730. 1.1.8. Cho m ộ t s ố nguyên d ươ ng n, tìm d ư c ủ a phép chia s ố 1 2007 + 2 2007 + …. + n 2007 cho s ố n + 2. 1.1.9. Cho m, n là hai s ố nguyên d ươ ng. Tìm d ư c ủ a phép chia (5m)!(5n)! Cho m!n!(3m+n)!(3n+m)!. 1.1.10. Cho m, n là nh ữ ng s ố nguyên d ươ ng. Tìm d ư c ủ a phép chia (2m)!(2n)! Cho m!n!(m+n)!. 1.1.11. Cho x 1 và y 1 là nh ữ ng nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình x 2 – 6x +1 = 0. Ch ứ ng minh r ằ ng, v ớ i m ỗ i s ố nguyên d ươ ng n, t ổ ng 1 2 n n x x + là m ộ t s ố nguyên và tìm d ư c ủ a phép chia s ố đ ó cho 3. 1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. 1.2.1. Ch ứ ng minh chi ti ế t t ấ t c ả các nh ậ n đị nh còn ch ư a đượ c ch ứ ng minh trong lý thuy ế t. 1.2.2. Cho n là m ộ t s ố t ự nhiên l ẻ . Tìm (8, n 2 – 1). 1.2.3. Cho các s ố nguyên a, b, k, l, m, n . Ch ứ ng minh r ằ ng: (i) ( 5 a + 3 b, 13 a + 8 b) = (a, b). (ii) Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u kn – lm = 1 ± thì ( ma + nb, ka + lb) = (a,b ) 9 1.2.4. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u 2 n + 1 = a 2 thì n = a = 3 . 1.2.5. Ch ứ ng minh r ằ ng: N ế u a, n ≥ 2 và a n – 1 là m ộ t sô nguyên t ố thì a = 2 và n là m ộ t s ố nguyên t ố . 1.2.6. Ch ứ ng minh r ằ ng ( n! + 1 , (n+ 1 )! + 1 ) = 1 n ế u n là m ộ t s ố nguyên d ươ ng. 1.2.7. Cho các s ố nguyên đươ ng m, n v ớ i m > n . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 (2 1,2 1) 1 m n + + = . 1.2.8. Cho m, n là hai s ố t ự nhiên th ỏ a mãn ( 2 m – 1 )( 2 n – 1 ) chia h ế t a mm – 1 . Ch ứ ng minh r ằ ng (m, n) = 1 . 1.2.9. Cho dãy các s ố nguyên a 1 , a 2 , sao cho a 1 = a 2 = 1 ; a n+2 = a n a n+1 , n= 1 , 2 , Ch ứ ng minh r ằ ng a 1946 không chia h ế t cho 4. 1.2.10. Cho đ a th ứ c f(x) = x n + a 1 x n-1 + … + a n [ ] x ∈ Z v ớ i a n > 0 và n ≥ 1. V ớ i s ố nguyên m ta đặ t t 0 = m, t i = f(f(…(f(m))…)) , i l ầ n f . Ch ứ ng minh r ằ ng (t t , t s ) = t (r, s) v ớ i m ọ i r, s nguyên không âm. 1.2.11. Hãy gi ả i đ áp cho các bài sau: (i) Cho f(x) = x 3 – x + 1. Ký hi ệ u a n (x) = f(f( (f(x))…)), n l ầ n f . Ch ứ ng minh r ằ ng các s ố trang dãy m, a 1 (m), a 2 (m) đ ôi m ộ t nguyên t ố cùng nhau v ớ i m ọ i s ố t ự nhiên m > 1. (ii) Cho x 1 , x 2 là các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình x 2 – 6 x + 1 = 0. Đặ t a n = 1 2 , n n x x n N + ∈ Ch ứ ng minh r ằ ng a n là m ộ t s ố nguyên và a n không chia h ế t cho 3, 4, 5. 1.2.12. Cho f(x) là m ộ t đ a th ứ c v ớ i các h ệ s ố nguyên và f(x) > 0 v ớ i m ọ i x nguyên. Ký hi ệ u a 0 = 0 , a n = f(a n-1 ) v ớ i m ọ i n ≥ 1. Ch ứ ng minh r ằ ng (a m , a n ) = a (m, n) . Khi f(x) = 9 1 2 i i x = + ∑ 9 1 2 i i x = + ∑ , hãy tìm ( a 2006, a 2004 ) . 1.2.13. Cho dãy s ố Fibonacci F 1 = F 2 = 1 và F n+2 = F n+1 = F n v ớ i n ≥ 1. Ch ứ ng minh r ằ ng (F r , F s ) = F (r, s) . 1.2.14. Cho các s ố nguyên a và b . Ch ứ ng minh r ằ ng (a + b, [ a, b ] ) = (a, b). 1.2.15. Cho n ≥ 2 s ố nguyên a 1 , , a n . Ch ứ ng minh r ằ ng |a 1 a 2 a n | ≥ [ a 1 , , a n ] ( a 1 , , a n ). 1.2.16. Cho ba s ố nguyên d ươ ng m, n, p . Ch ứ ng minh r ằ ng: (i) [ m, n, p ] = ( , , ) ( , )( , )( , ) mnp m n p m n n p p m . (ii) [m, n, p] = ( , , )[ , ][ , ][ , ] m n p m n n p p m mnp . 1.2.17. Ch ứ ng minh r ằ ng [1, 2, …., 200] = [101, 102,…., 200]. 1.2.18. Tìm r ấ t c ả các s ố nguyên x và y sao cho 3xy – 7y = 3x + 1. 1.2.19. Gi ả i ph ươ ng trình nghi ệ m nguyên 13x + 21y = 12 1.2.20. Gi ả i ph ươ ng trình nghi ệ m nguyên 3x + 31y = 15. 10 1.3 Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học . 1.3.1. Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i s ố nguyên d ươ ng n, thì đ o ạ n [(n+1)!+2,(n+1)!+n+1] không ch ứ a m ộ t s ố nguyên t ố nào. 1.3.2 . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i nhi ề u vô h ạ n các s ố nguyên t ố d ạ ng 4n + 3 v ớ i n ∈ ℕ . 1.3.3. Tìm s ố nguyên p sao cho p + 10 và p + 14 c ũ ng là nh ữ ng s ố nguyên t ố . 1.3.4 . Cho m ộ t s ố nguyên n > 2. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u m ộ t trong hai s ố 1 1 2 ,2 n n − + là m ộ t s ố nguyên t ố thì s ố còn l ạ i là h ợ p s ố . 1.3.5. Tìm t ấ t c ả các s ố t ự nhiên n để sao cho n(n+1)(n+2)(n+3) có đ úng 3 ướ c nguyên t ố . 1.3.6. Cho m ộ t s ố t ự nhiên n > 1 có phân tích chính t ắ c 1 2 1 2 s s n q q q α α α = . Ch ứ ng minh r ằ ng r n là m ộ t s ố nguyên khi và ch ỉ khi i α chia h ế t cho r v ớ i m ọ i i = 1 , 2 , 3 ,s. 1.3.7 . Gi ả s ử p, q là hai s ố nguyên t ố phân bi ệ t th ỏ a mãn pq | n 2 . Ch ứ ng minh r ằ ng pq | n. 1.3.8. Cho ba s ố nguyên d ươ ng a, b, c v ớ i (a, b) = 1. Ch ứ ng minh r ằ ng v ợ i m ọ i s ố nguyên d ươ ng n thì t ừ ab = c n ta suy ra t ồ n t ạ i x, y + ∈ ℕ để sao cho a = x n và b = y n . 1.3.9. Cho f(n) = n 4 + 2 n 3 - n 2 + 1. Xác đị nh các s ố nguyên n sao cho |f(n)| là m ộ t s ố nguyên t ố . 1.3.10. S ố 4 p + 1 có là m ộ t s ố nguyên t ố không? N ế u bi ế t các s ố p , 2 p+ 1 là nguyên t ố và p > 3 . 1.3.11. Gi ả s ử a > 1 là m ộ t s ố nguyên d ươ ng, n ≥ 2 và a n + 1 là m ộ t s ố nguyên t ố . Ch ứ ng minh r ằ ng n = 2 k v ớ i s ố nguyên d ươ ng k nào đ ó. 1.3.12. Bi ế t p và 8 p 2 + 1 là các s ố nguyên t ố , tìm p . Các s ố p, p+ 10 , p+ 14 là các s ố nguyên t ố , tìm p. 1.3.13. Ch ứ ng minh r ằ ng s ố d ư c ủ a phép chia m ộ t s ố nguyên t ố p cho 30 ch ỉ có th ể là 1 ho ặ c m ộ t s ố nguyên t ố . 1.3.14. Cho đ a th ứ c f(x) = x 2 + x + 41. Xét các s ố f( 0 ), f( 1 ), …., .f( 40 ) , nh ữ ng s ố nào là h ợ p s ố ? 1.3.15. Cho đ a th ứ c f(x) = x 2 + 3 x + 19. Xét các s ố f( 0 ), f( 1 ),…, f( 15 ). Nh ữ ng s ố nào là nguyên t ố . 1.3.16. Ch ứ ng minh r ằ ng không t ồ n t ạ i m ộ t đ a th ứ c b ậ c d ươ ng h ệ s ố nguyên f(x) để f(n) là s ố nguyên t ố v ớ i m ọ i n nguyên d ươ ng. 1.4. Phần nguyên và phân tích tiêu chuẩn của n! 1.4.1 Ch ứ ng minh r ằ ng a ab b c c               =           v ớ i m ọ i a, b và c nguyên d ươ ng. 1.4.2 . Gi ả i h ệ ph ươ ng trình x|x| + y|y| = 1 , [ x ] + [ y ] = 1 . 1.4.3. Cho bi ế t khi nào [ –x ] = – [ x ] . 1.4.4 . Cho n là m ộ t s ố nguyên d ươ ng hãy xác đị nh ph ầ n nguyên [ ( 1)( 2)( 3)] n n n n+ + + [...]... mọi a và b là các số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau ta có: a −1 ∑[ i =1 ib ]+ a b −1 ia ∑ [ b ] = (a − 1)(b − 1) i =1 11 CHƯƠNG 2 Các hàm số học Số tiết: 4 (Lý thuyết: 3 tiết; bài tập, thảo luận: 1 tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được các khái niệm: Hàm số học; hàm nhân; các hàm số học quan trọng: hàm τ ( n) và hàm σ (n) , hàm Euler ϕ (n) ; số hoàn thiện; Hàm Mobius - Sinh viên hiểu được các... của các hàm số học; các hàm số học quan trọng: hàm τ (n) và hàm σ (n) , hàm Euler ϕ (n) , luật thuận nghịch - Sinh viên biết vận dụng giải các bài tập liên quan 2.1 Hàm nhân và công thức tổng trải 2.1.1 Hàm nhân Định nghĩa 2.1.1 Một hàm số f xác định trên tập ℕ + (tập các số nguyên dương) và nhận các giá trị trong các trường các số phức ℂ , được gọi là một hàm số học Như vậy, mỗi hàm số học xác định... số nguyên tố thì a p ≡ a (mod p ) với mọi a ∈ ℤ 3.3 Căn nguyên thủy và chỉ số 3.3.1.Căn nguyên thủy Định nghĩa 3.3.1 Cho số nguyên m > 1 và số nguyên a nguyên tố với m Khi đó số nguyên dương d nhỏ nhất sao cho a d ≡ 1(mod m) được gọi là số mũ của a modulo m, hay còn gọi là a thuộc số mũ d modulo m Vì aϕ ( m ) ≡ 1(mod m) theo đinh lí Euler nên số mũ d của số nguyên a tồn tại Mệnh đề 3.3.3 Cho một số. .. tiết; bài tập, thảo luận: 3 tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được các khái niệm: quan hệ đồng dư, thặng dư, vành các lớp thặng dư ℤ n , căn nguyên thủy, chỉ số - Sinh viên hiểu được các tính chất của quan hệ đồng dư, vành các lớp thặng dư, căn nguyên thủy và chỉ số - Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan 3.1 Quan hệ đồng dư và thặng dư 3.1.1 Quan hệ đồng dư Định nghĩa 3.1.1 Cho một số nguyên... rằng : τ (n) là một số lẻ khi và chỉ khi n là một số chính phương 2 2.1.11 Chứng minh rằng: nếu p là một số nguyên tố và n ≥ 2 thì σ ( p n −1 ) là hợp số 2.1.12 Số tự nhiên n được gọi là một số thừa nếu σ (n) > 2n và được gọi là một số thiếu nếu σ (n) < 2n Chứng minh rằng: (i) (ii) Lũy thừa một số nguyên tố là một số thiếu Có vô số số tự nhiên n thỏa mãn σ (n) = 2n − 1 (iii) Số lẻ chỉ có hai ước... dương n>1 3.2.8 Cho (a, n) = 1 thỏa mãn a n −1 ≡ 1(mod n) và a k − 1 không chia hết cho n với mọi số nguyên dương k là ước của n – 1 , k < n –1 Chứng minh rằng n là một số nguyên tố 3.2.9 Tìm số dư trong phép chia số (20052006 + 20062007 + 2007 20086 )18 chia 53 3.2.10 Cho một số nguyên tố p > 3 Chứng minh rằng nếu dư của phép chia số p cho 8 bằng 1 thì 2 p−1 2 − 1 chia hết cho p 3.2.11 Cho (a, m) = 1... (iii) Có vô số số nguyên tố có dạng 2 pn + 1 23 CHƯƠNG 4 Phương trình đồng dư Số tiết: 9 (Lý thuyết: 6 tiết; bài tập, thảo luận: 3 tiết) Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được các khái niệm về: phương trình đồng dư một ẩn, phương trình đồng dư một ẩn bậc cao, phương trình đồng dư bậc hai - Sinh viên hiểu được các tính chất và cách giải các phương trình đồng dư - Sinh viên biết vận dụng giải các bài tập liên... nghĩa 2.1.7 Số nguyên dương n được gọi là một số hoàn thiện nếu σ ( n) = 2n Định lí 2.1.8 (Euclid- Euler) Một số chẵn m là một số hoàn thiện khi và chỉ khi m có dạng m = 2n −1 (2 n − 1) với 2 n − 1 là số nguyên tố 2.1.4 Hàm Euler ϕ (n) Số các số thuộc dãy 1,… , n nguyên tố với n được lí kí hiệu là ϕ (n) Dễ dàng thấy rằng ϕ (n) là một hàm số học Người ta gọi hàm ϕ (n) là hàm Euler 12 Bổ đề 2.1.9 Nếu... chia hết cho p, thì trong S sẽ có đúng một lớp là nghiệm của (7) (ii) Nếu f '( x1 ) chia hết cho p và f ( x1 ) chia hết cho p n , thì tất cả các lớp của S đều là nghiệm của (7) (iii) Nếu f '( x1 ) chia hết cho p và f ( x1 ) không chia hết cho p n , thì tất cả các phần tử của lớp x1 (mod p n−1 ) đều không là nghiệm đúng của (7), do đó tất cả các lớp của S đều không là nghiệm của (7) Định lí 4.2.4 Cho hai... Phương trình đã cho tương đương với một phương trình có bậc không vượt quá p − 1 (ii) Nếu hệ số cao nhất của f ( x) không chia hết cho p, thì số nghiệm của phương trình không vượt quá min { p, deg f ( x)} (iii) Nếu deg f ( x) < p và số nghiệm phân biệt của phương trình đã cho lớn hơn deg f ( x) thì tất cả các hệ số của f ( x) đều chia hết cho p Hệ quả 4.2.9.(Định lí Wilson) Nếu p là một số nguyên tố . nguyên x và y sao cho 3xy – 7y = 3x + 1. 1.2.19. Gi ả i ph ươ ng trình nghi ệ m nguyên 13x + 21y = 12 1.2.20. Gi ả i ph ươ ng trình nghi ệ m nguyên 3x + 31 y = 15. 10 1 .3 Số nguyên tố và. m ộ t s ố nguyên t ố thì (mod ) p a a p ≡ v ớ i mọ i a ∈ ℤ . 3. 3 Căn nguyên thủy và chỉ số. 3. 3.1.Căn nguyên thủy Định nghĩa 3. 3.1. Cho s ố nguyên m > 1 và s ố nguyên a nguyên t ố. p 2 Định lí 3. 3. 13. N ế u p là m ộ t s ố nguyên t ố lẻ và g là c ă n nguyên thủ y modulo p 2 thì g là c ă n nguyên thủ y modulo p n v ớ i mọ i n ≥ 2 . Định lí 3. 3.14. Cho m ộ t