Định nghĩa 3.6. Cho E là một tập các phần tử là những đối tượng tùy ý và K là một trường vô hướng. Tập E được gọi là một không gian tuyến tính trên trường K nếu trên E xác định:
1. Một ánh xạ của tích E ×E vào E gọi là phép cộng đặt ứng với mỗi cặp phần tử x, y thuộc E gọi là tổng của x và y. Ký hiệu là x+ y sao cho
(a) x+y = y +x,∀x, y ∈ X
(b) (x+y) +z = x+ (y +z),∀x, y, z ∈ X.
(c) Tồn tại phần tử θ ∈ E (gọi là phần tử 0): x+θ = x,∀x ∈
E.
(d) Với mỗi x ∈ E, tồn tại −x ∈ E gọi là phần tử đối của x: x+ (−x) = θ.
2. Một ánh xạ của tích K ×E vào E gọi là phép nhân phần tử của E với vô hướng thuộc K, đặt ứng với mỗi cặp phần tử
(α, x) ∈ K ×E một phần tử của E gọi là tích của α với x. Ký hiệu là α.x sao cho với ∀x, y ∈ X,∀α, β ∈ K ta có:
(a) 1.x = x.1 = x. (b) α.(β.x) = (α.β).x. (c) (α+ β)x = α.x+ β.x
(d) α.(x+y) = α.x+α.y
Định nghĩa 3.7. Cho các vectơ x1, x2, . . . , xk của không gian tuyến tính E.
• Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1, x2, . . . , xk là tổng có dạng:
α1x1 +α2x2 +· · ·+αkxk;α1, α2, . . . , αk ∈ K
• Các vectơ x1, x2, . . . , xk được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
α1x1 +α2x2 +· · ·+αkxk = 0 ⇔ α1 = α2 = · · · = αk = 0
Trong trường hợp ngược lại ta nói rằng hệ các vectơ đó là phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 3.8. Một không gian tuyến tính E được gọi là không gian tuyến tính n chiều nếu trong E có n vectơ độc lập tuyến tính và không có n+ 1 vectơ độc lập tuyến tính.
Trong trường hợp này mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính của E gọi là một cơ sở của nó. Các không gian tuyến tính n chiều với
n≥ 0, n ∈ Z gọi là không gian hữu hạn chiều.
Nếu không gian tuyến tính E không hữu hạn chiều thì với ∀n
đều tìm được n vectơ độc lập tuyến tính. Không gian E khi đó gọi là vô số chiều.
Định nghĩa 3.9. Một tập con khác rỗng F của không gian tuyến tính E được gọi là một không gian tuyến tính con (hay không gian con) nếu nó kín đối với phép cộng hai phần tử và phép nhân phần tử với vô hướng, tức là:
∀x, y ∈ E ⇒ x+y ∈ E;αx ∈ E(α ∈ K)