Cho Ω là một miền trong không gian R3, u(x, y, z) là một hàm số xác định trong Ω. Khi đó ta nói u(x, y, z) là một trường vô hướng xác định trong Ω.
Trường vô hướng là một khái niệm có nguồn gốc vật lý như trường nhiệt độ, hay trường áp suất...
Sau đây ta nói đến những trường vô hướng không phụ thuộc thời gian. Những trường vô hướng như vậy được gọi là trường dừng.
Giả sử u(x, y, z),(x, y, z) ∈ Ω là một trường vô hướng xác định trong Ω. Khi đó phương trình u(x, y, z) = C, trong đó C là hằng số, xác định một mặt cong được gọi là mặt mức của trường. Người ta còn gọi mặt mức là đẳng trị, vì rằng trên mặt mức thì giá trị của trường vô hướng không đổi. b. Gradien của trường vô hướng
Cho trường vô hướng u(x, y, z) trong miền Ω ⊂ R3. Giả thiết
u(x, y, z) có các đạo hàm riêng cấp 1 theo x, y, z.
Gradien của u(x, y, z) là một véctơ, ký hiệu là gradu, được xác định bởi hệ thức gradu = ∂u ∂x, ∂u ∂y, ∂u ∂z
Rõ ràng gradu(x0, y0, z0) chính là véctơ pháp tuyến của mặt mức của trường vô hướng đi qua diểm (x0, y0, z0).
4.1.2. Trường véctơa. Định nghĩa. a. Định nghĩa.
Cho Ω là một miền trong không gian R . Nếu tại mỗi điểm
M(x, y, z) ∈ Ω có một đại lượng véctơ −→
F(x, y, z) nào đó xác định thì ta gọi −→
F(x, y, z),(x, y, z) ∈ Ω là một trường véctơ xác định trong Ω.
Trường véctơ là một khái niệm có nguồn gốc vật lý như trường vận tốc, từ trường, điện trường...
Nếu u(x, y, z) là trường vô hướng trong Ω thì
gradu(x, y, z),(x, y, z) ∈ Ω là trường véctơ trong Ω. Nếu −→ F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ta đặt: div−→ F = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z thì div−→
F(x, y, z),(x, y, z) ∈ Ω là trường vô hướng trong Ω. b. Đường dòng của trường véctơ.
Giả sử Ω là một miền trong không gian R3, −→
F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ∈ Ωlà một trường véctơ xác định trong Ω.
Ta gọi đường dòng của trường véctơ −→
F(x, y, z) là mọi đường cong C mà tại đó mỗi điểm của nó tiếp tuyến với đường cong cùng phương với véctơ của trường đi qua điểm đó. Khi đó phương trình vi phân xác định đường dòng là:
dx P(x, y, z) = dy Q(x, y, z) = dz R(x, y, z)
Các đường sức trong từ trường hoặc điện trường là những dòng của các trường đó.
c. Thông lượng của một trường véctơ qua mặt cong S theo một hướng xác định
Cho trường −→
F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
xác định trong miền Ω ⊂ R3. Giả sử S là mặt cong định hướng mà pháp tuyến dương xác định hướng của mặt S là
~n. Gọi cosα,cosβ,cosγ là các cosin chỉ hướng pháp tuyến
~n. Khi đó ta gọi tích phân mặt:
Φ = Z Z
S
= Z Z
S
P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)dxdy
là thông lượng (hay lưu lượng) của trường véctơ −→
F qua mặt S theo hướng pháp tuyến ~n.