Định nghĩa 3.2. Dãy điểm {xn}n trong không gian mêtric X được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu limn→∞d(xn, x) = 0. Khi đó ta viết x = limn→∞ hoặc xn →x(n → ∞). Điểm x được gọi là giới hạn của dãy {xn}n.
Định lý 3.1. Trong không gian mêtric, một dãy hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử xn → x;yn → y(n → ∞). Theo định nghĩa ta có
d(xn, x) → 0 và d(xn, y) → 0(n → ∞). Theo bất đẳng thức tam giác và tiên đề T1 ta có:
0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y)
từ đó cho n → ∞ ta suy ra d(x, y) = 0 và do tiên đề T1 ta được
x = y.
Định nghĩa 3.3. Không gian Mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ (hay gọi tắt là đầy) nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ (đến phần tử thuộc không gian X).
Chú ý: Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản. 3.1.3. Lân cận của một điểm
Cho một không gian mêtric X, một điểm a ∈ X và một số
r > 0. Tập hợp
3.1. Cấu trúc không gian Banach - Mêtric trong R 41 được gọi là hình cầu mở tâm a bán kính r. Còn tập hợp
B[a, r] = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính r.
Cho a là một điểm trong không gian mêtric X. Một tập hợp V được gọi là lân cận của điểm a nếu tồn tại một số r > 0 sao cho hình cầu B(a, r) ⊂ V. Rõ ràng lân cận của một điểm bao giờ cũng chứa điểm đó.
3.1.4. Tập hợp mở và tập hợp đóng
Định nghĩa 3.4. Một tập hợp G trong không gian mêtric X được gọi là tập mở nếu mỗi điểm a ∈ G đều có một lân cận V của a sao cho V ∈ G, điều này tương đương với điều kiện: với mọi
a ∈ G tồn tại r > 0 sao cho B(a, r) ⊂G.
Từ định nghĩa ta suy ra toàn bộ không gian X là mở. Ta qui ước tập ∅ là tập hợp mở.
Ví dụ.
• Khoảng (a, b) trên đường thẳng (với khoảng cách thông thường) là một tập hợp mở.
• Hình cầu mở B(a, r) là một tập hợp mở.
Thật vậy: Cho x ∈ B(a, r), khi đó d(x, a) < r hay r −
d(x, a) > 0. Lấy r0 sao cho 0 < r0 < r − d(x, a). Với mọi
y ∈ B(x, r0) ta có:
d(y, a) ≤ d(y, x)+d(x, a) < r0+d(x, a) < r−d(x, a)+d(x, a) = r
Vậy y ∈ B(a, r), do đó B(x, r0) ⊂ B(a, r). Theo định nghĩa
B(a, r) là tập hợp mở.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập hợp mở.
• Hợp của một số bất kỳ các tập hợp mở là một tập hợp mở, tức là nếu Gi(i ∈ I) là các tập hợp mở thì G = ∪i∈IGi cũng là tập hợp mở.
• Giao của một số hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở, tức là nếuGi(i = 1, . . . , n) là các tập hợp mở thìG = ∩n
i=1Gi
cũng là tập hợp mở.
Định nghĩa 3.5. Tập hợp F trong không gian mêtric X được gọi là tập hợp đóng nếu Fc = X \F là một tập hợp mở.
Ví dụ.
• Đoạn [a, b] là một tập đóng trong R (xét với khoảng cách thông thường).
• Hình cầu đóng B[a, r] là một tập hợp đóng.
Thật vậy: Cho x ∈ G = X \B[a, r], ta có d(x, a) > r hay
d(x, a)−r > 0. Chọn r’ sao cho 0< r0 < d(x, a)−r. Với mọi
y ∈ B(x, r0) ta có:
d(x, a) ≤ d(x, y) +d(y, a) < r0+d(y, a) < d(x, a)−r+d(y, a)
Từ đó suy ra r < d(y, a), do đó B(x, r0) ⊂ G. Vậy G là tập hợp mở. Theo định nghĩa B[a, r] là tập hợp đóng.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập đóng.
• Giao của một số bất kỳ các tập hợp đóng là một tập hợp đóng, tức là nếuFi(i ∈ I) là các tập hợp đóng thì F = ∩i∈IFi cũng là tập hợp đóng. • Hợp của một số hữu hạn các tập hợp đóng là một tập hợp đóng, tức là nếu Fi(i = 1, . . . , n) là các tập hợp đóng thì F = ∪n i=1Fi cũng là tập hợp đóng. 3.2. Không gian Banach
3.2.1. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 3.6. Cho E là một tập các phần tử là những đối tượng tùy ý và K là một trường vô hướng. Tập E được gọi là một không gian tuyến tính trên trường K nếu trên E xác định:
1. Một ánh xạ của tích E ×E vào E gọi là phép cộng đặt ứng với mỗi cặp phần tử x, y thuộc E gọi là tổng của x và y. Ký hiệu là x+ y sao cho
(a) x+y = y +x,∀x, y ∈ X
(b) (x+y) +z = x+ (y +z),∀x, y, z ∈ X.
(c) Tồn tại phần tử θ ∈ E (gọi là phần tử 0): x+θ = x,∀x ∈
E.
(d) Với mỗi x ∈ E, tồn tại −x ∈ E gọi là phần tử đối của x: x+ (−x) = θ.
2. Một ánh xạ của tích K ×E vào E gọi là phép nhân phần tử của E với vô hướng thuộc K, đặt ứng với mỗi cặp phần tử
(α, x) ∈ K ×E một phần tử của E gọi là tích của α với x. Ký hiệu là α.x sao cho với ∀x, y ∈ X,∀α, β ∈ K ta có:
(a) 1.x = x.1 = x. (b) α.(β.x) = (α.β).x. (c) (α+ β)x = α.x+ β.x
(d) α.(x+y) = α.x+α.y
Định nghĩa 3.7. Cho các vectơ x1, x2, . . . , xk của không gian tuyến tính E.
• Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1, x2, . . . , xk là tổng có dạng:
α1x1 +α2x2 +· · ·+αkxk;α1, α2, . . . , αk ∈ K
• Các vectơ x1, x2, . . . , xk được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
α1x1 +α2x2 +· · ·+αkxk = 0 ⇔ α1 = α2 = · · · = αk = 0
Trong trường hợp ngược lại ta nói rằng hệ các vectơ đó là phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 3.8. Một không gian tuyến tính E được gọi là không gian tuyến tính n chiều nếu trong E có n vectơ độc lập tuyến tính và không có n+ 1 vectơ độc lập tuyến tính.
Trong trường hợp này mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính của E gọi là một cơ sở của nó. Các không gian tuyến tính n chiều với
n≥ 0, n ∈ Z gọi là không gian hữu hạn chiều.
Nếu không gian tuyến tính E không hữu hạn chiều thì với ∀n
đều tìm được n vectơ độc lập tuyến tính. Không gian E khi đó gọi là vô số chiều.
Định nghĩa 3.9. Một tập con khác rỗng F của không gian tuyến tính E được gọi là một không gian tuyến tính con (hay không gian con) nếu nó kín đối với phép cộng hai phần tử và phép nhân phần tử với vô hướng, tức là:
∀x, y ∈ E ⇒ x+y ∈ E;αx ∈ E(α ∈ K)
3.2.2. Không gian tuyến tính định chuẩn
Trong giải tích toán học có nhiều vấn đề được nghiên cứu vừa có tính chất tuyến tính, vừa có tính chất mêtric. Bởi vậy ta cần xét những không gian có cả hai tính chất trên.
Định nghĩa 3.10. Cho không gian vectơ X trên trường K (K là trường số thực hoặc số phức). Một ánh xạ p : X →R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện (tiên đề) sau đây:
1. p(x) > 0 nếu x 6= 0, p(0) = 0.
2. p(αx) =|α|p(x) với ∀α ∈ K và với ∀x ∈ X.
3. p(x+y) ≤p(x) +p(y) với mọi x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
Không gian vectơ X trên đó có xác định một chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn. Số p(x) được gọi là chuẩn của phần tử x và thường được ký hiệu là ||x| |.
Tùy theo K là trường số thực hoặc trường số phức mà X được gọi là không gian định chuẩn thực hay không gian định chuẩn phức.
Định nghĩa 3.11. Một không gian tuyến định định chuẩn E được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn đầy (gọi tắt là không gian định chuẩn đầy) nếu mọi dãy cơ bản của E đều hội tụ.
Không gian chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach.
3.2.3. Không gian các ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 3.12. Cho hai không gian tuyến tính bất kỳ E và F trên cùng một trường K. Một ánh xạ T : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu:
1. T(x1 +x2) = T x1 +T x2,∀x1, x2 ∈ E. 2. T(αx) = αT x,∀x ∈ E,∀α ∈ K.
Định lý 3.2. Giả sử T : E → F là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1. T liên tục trên E. 2. T liên tục tại 0 ∈ E.
3. T bị chặn trên hình cầu đơn vị {x ∈ E : ||x ≤1| |} ⊂ E
sup{||T x| | : ||x| | ≤ 1} < ∞
Ký hiệu L(E, F) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Rõ ràng L(E, F) là không gian vectơ với các phép toán theo giá trị
(T + S)(x) = T x+Sx
(λT)(x) = λT x
Định lý 3.3. L(E, F) là không gian định chuẩn với chuẩn
L(E, F) 3 T 7→ ||T| | ∈ R
Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thì L(E, F) là không gian Banach.
Định lý 3.4. Sự làm đầy của không gian định chuẩn
Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cự) không gian Banach Eb bao hàm E như một không gian con trù mật. Nghĩa là tồn tại một không gian Banach
b E và ánh xạ tuyến tính liên tục L b E : E →Eb sao cho: • |L b E(x)| = ||x| | với ∀x ∈ E • L b E(E) trù mật trong Eb
• Nếu F là một không gian Banach sao cho có ánh xạ tuyến tính liên tục Lp : E → F thỏa mãn hai điều kiện trên thì
b
E và F là đẳng cự tuyến tính. Tức là tồn tại đẳng cự tuyến tính giữa Eb và F sao cho:
||T x| |= ||x| | với ∀x ∈ Eb (Eb gọi là bao đầy của E)
3.3. Ánh xạ khả vi
3.3.1. Khái niệm đạo hàma. Định nghĩa a. Định nghĩa
Định nghĩa 3.13. Cho f : Ω → F, ở đây Ω là tập mở trong không gian định chuẩn E còn F là không gian Banach. Ta nói f khả vi tại x0 ∈ Ω nếu tồn tại S ∈ L(E, F) sao cho:
||f(x0 +h)−f(x0)−S(h)|| = O(||h||) (3.-1)
Có nghĩa là ∀ >0,∃δ > 0,∀||h|| < δ, ta có
||f(x0 +h)−f(x0)−S(h)|| ≤ε(||h||) (3.13) được viết dưới dạng quen thuộc
lim
||h||→0
||f(x0 + h)−f(x0)−S(h)| |
||h|| = 0 (3.-1)
Ánh xạ f khả vi tại mọi điểm của Ω gọi là khả vi trên Ω. b. Nhận xét
• Tính khả vi của f tại x0 không thay đổi nếu chuẩn của E được thay bởi chuẩn khác tương đương.
• S ∈ L(E, F) thỏa mãn (3.13) là duy nhất. Ký hiệu S là
fx00 hay Df(x0) và gọi là đạo hàm của f tại x0. • Do fx00 ∈ L(E, F), từ (3.13) suy ra f liên tục tại x0. • Xét trường hợp E = R. Trước hết công thức
ψ(T) =T(1), T ∈ L(E, F)
xác định đẳng cấu giữ nguyên chuẩn giữa L(R, F) và F. Qua đẳng cấu này ta đồng nhất T ∈ L(R, F) với T(1). Bây giờ f : (a, b) → F khả vi tại x0 ∈ (a, b). Ta có:
lim h→0 f(x0 + h)−f(x0) h −f0(x0)(1) = lim h→0 f(x0 +h)−f(x0)−f0(x0)(h) h = 0
Như vậy nếu đồng nhất f0(x0) với f0(x0)(1) ta có thể viết
f0(x0) = lim
h→0
f(x0 +h)−f(x0)
h
đó chính là định nghĩa quen thuộc của đạo hàm.
• Nếu f : Ω → F khả vi thì f0 : Ω → L(E, F) có thể xét như ánh xạ f0 : Ω×E → F cho bởi
(x, h) 7→ f0(x, h) = f0(x)(h)
Ánh xạ tuyến tính liên tục theo biến thứ hai h ∈ E khi biến thứ nhất x ∈ Ω cố định và khả vi theo biến thứ nhất x khi biến thứ hai h ∈ E cố định.
c. Đạo hàm theo hướng.
Giả sử Ω là tập mở trong không gian định chuẩn E và F là không gian Banach. Xét f : Ω → F, x0 ∈ Ω, h ∈ E, h 6= 0. Nếu giới hạn
lim
t→0
f(x0 +th)−f(x0)
t
tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm theo hướng h của f tại x0. Ký hiệu ∂f∂h(x0).
d. Đạo hàm riêng
Giả sử E = E1 × · · · × En là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và f : Ω → F với Ω ⊂E là mở. Với mỗi
x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ Ω và mỗi 1 ≤ i ≤ n xét ánh xạ λi xác định trên một lân cận của x0i trong Ei với giá trị trong F
λi(xi) =f(x01, . . . , xi−0 1, x0i, x0i+1, . . . , x0n)
Định nghĩa 3.14. Nếu λi khả vi tại x0i thì đạo hàm của nó tại x0i gọi là đạo hàm riêng của f tại x0 theo biến xi. Ký hiệu là ∂x∂f i(x0) hay fx0 i(x0). Như vậy ∂f ∂xi (x0) = λ0i(x0i) ∈ L(Ei, F)
Định lý 3.5. Nếu f khả vi tại x0 thì f có tất cả các đạo hàm riêng tại x0 và f0(x0)(h) = n X i=1 ∂f ∂xi(x 0 )(hi);∀h = (h1, . . . , hn) ∈ E
Đạo hàm riêng của hàm hợp.
Giả sử E là không gian định chuẩn, F và G là các không gian Banach với
E = E1 × · · · ×En; F = F1 × · · · ×Fn
Cho f : U → V, g : V → G là hai ánh xạ, ở đây U, V là các tập mở trong E và F tương ứng.
Định lý 3.6. Giả sử f có đạo hàm riêng theo xi tại x0 ∈ U
và g khả vi tại y0 = f(x0). Khi đó g ◦f có đạo hàm riêng theo xi tại x0 và ∂ ∂xi(g ◦f)(x0) = m X j=1 ∂g ∂yj(y 0 )∂fj ∂xi(x 0 ) ở đây f = (f1, . . . , fm). e. Các quy tắc về đạo hàm
Định lý 3.7. Giả sử E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach, Ω là tập mở trong E và x0 ∈ Ω. Khi đó
(i). Nếu f, g : Ω →F khả vi tại x0, thì αf +βg cũng khả vi tại x0 với mọi α, β ∈ R, và
(αf +βg)0(x0) = αf0(x0) +βg0(x0)
(ii). Nếu f : Ω → F, g : Ω → F khả vi tại x0, thì gf : Ω →F
khả vi tại x0 và
(f g)0(x0) =g0(x0)f(x0) +g(x0)f0(x0)
Ngoài ra, nếu g(x0) 6= 0 thì f /g cũng khả vi tại x0 và
f g 0 (x0) = g(x0)f 0(x0)−g0(x0)f(x0) g2(x0)
Định lý 3.8. Giả sử E là không gian định chuẩn, F và G là các không gian Banach và U ⊂ E, V ⊂ F là mở. Giả sử x0 ∈ U và f : U → V và g : V → G khả vi tại x0 và
y0 = f(x0) thì g◦f :U →G khả vi tại x0 và
(g ◦f)0(x0) =g0(f(x0)).f0(x0)
Định lý 3.9. Giả sử E là không gian định chuẩn, F1, . . . , Fm
là các không gian Banach và Ω ⊂ E là mở. Khi đó f = (f1, . . . , fm) : Ω → F1 × · · · ×Fm khả vi tại x0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu f1, . . . , fm khả vi tại x0. Ngoài ra
f0(x0)(h) = (f10(x0)(h), . . . , fm0 (x0)(h))
3.3.2. Đạo hàm cấp caoa. Đạo hàm cấp 2 a. Đạo hàm cấp 2
Giả sử E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và Ω là mở trong E. Cho ánh xạ khả vi f : Ω → F. Khi đó có ánh xạ f0 : Ω → L(E, F).
Định nghĩa 3.15. - Ánh xạ f gọi là khả vi hai lần tại x0 ∈ Ω
nếu ánh xạ đạo hàm f0 khả vi tại x0. Trong trường hợp này đạo hàm của f0 tại x0 gọi là đạo hàm cấp 2 của f tại x0. Ký hiệu là f00(x0) hay D2f(x0).
Như vậy: f (x ) ∈ L(E, L(E, F)) = L2(E, F)
- Ánh xạ f gọi là khả vi hai lần trên Ω nếu nó khả vi hai lần tại mọi điểm của Ω. Khi đó ta có ánh xạ
f00 : Ω → L2(E, F), x 7→ f00(x)
Như vậy có thể coi
f00 : Ω◦E◦E →F,(x, h, k) 7→f00(x, h, k) =f00(x)(h, k)
- Nếu f00 liên tục, ta nói f khả vi liên tục cấp 2 hay thuộc lớp
C2 trên Ω.
Định lý 3.10. Giả sử f : Ω → F, với Ω là mở trong không gian định chuẩn E còn F là không gian Banach, là ánh xạ khả vi hai lần tại x0 ∈ Ω. Khi đó f00(x0) là đối xứng, tức là
f00(x0)(h, k) = f00(x0)(k, h),∀h, k ∈ E
Định nghĩa 3.16. Nếu ∂x∂f
i có đạo hàm riêng theo xj tại
x0 ∈ Ω, thì đạo hàm riêng đó gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f tại x0 theo xi và xj. Ký hiệu là ∂x∂2f
j∂xi(x0).
Định lý 3.11. Giả sử f khả vi hai lần tại x0 ∈ Ω. Khi đó f có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 tại x0 và
f00(x0)(h, k) = n X i,j=1 ∂2f ∂xi∂xj(x 0)(hi, kj) Ma trận ∂2f ∂xi∂xj(x0)
gọi là Hessian của f tại x0. Ký hiệu là
Hj(x0)
Định lý 3.12 (Bổ đề Schwarz). Giả sử E = E1◦ · · · ◦En là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và f : Ω →
F với Ω ⊂ F là mở. Nếu tồn tại và liên tục trong một lân cận của x0 ∈ Ω các đạo hàm riêng cấp 2: ∂x∂2f
i∂xj và ∂x∂2f j∂xi thì ∂2f ∂xi∂xj(x 0 )(hi, hj) = ∂ 2f ∂xj∂xi(x 0 )(hj, hi) với ∀hi ∈ Ei,∀hj ∈ Ej
b. Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa 3.17. Giả sử E, F là các không gian Banach và Ω ⊂ E là tập mở còn f : Ω → F là hàm khả vi cấp 2 trên
Ω. Khi đó
f00 : Ω →L2(E, F)
Nếu f00 khả vi tại a ∈ Ω thì ta nói rằng f khả vi cấp 3 tại a và ta ký hiệu đạo hàm của f00 tại a bởi f000(a) hay D3f(a) và