Định nghĩa 3.12. Cho hai không gian tuyến tính bất kỳ E và F trên cùng một trường K. Một ánh xạ T : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu:
1. T(x1 +x2) = T x1 +T x2,∀x1, x2 ∈ E. 2. T(αx) = αT x,∀x ∈ E,∀α ∈ K.
Định lý 3.2. Giả sử T : E → F là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1. T liên tục trên E. 2. T liên tục tại 0 ∈ E.
3. T bị chặn trên hình cầu đơn vị {x ∈ E : ||x ≤1| |} ⊂ E
sup{||T x| | : ||x| | ≤ 1} < ∞
Ký hiệu L(E, F) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Rõ ràng L(E, F) là không gian vectơ với các phép toán theo giá trị
(T + S)(x) = T x+Sx
(λT)(x) = λT x
Định lý 3.3. L(E, F) là không gian định chuẩn với chuẩn
L(E, F) 3 T 7→ ||T| | ∈ R
Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thì L(E, F) là không gian Banach.
Định lý 3.4. Sự làm đầy của không gian định chuẩn
Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cự) không gian Banach Eb bao hàm E như một không gian con trù mật. Nghĩa là tồn tại một không gian Banach
b E và ánh xạ tuyến tính liên tục L b E : E →Eb sao cho: • |L b E(x)| = ||x| | với ∀x ∈ E • L b E(E) trù mật trong Eb
• Nếu F là một không gian Banach sao cho có ánh xạ tuyến tính liên tục Lp : E → F thỏa mãn hai điều kiện trên thì
b
E và F là đẳng cự tuyến tính. Tức là tồn tại đẳng cự tuyến tính giữa Eb và F sao cho:
||T x| |= ||x| | với ∀x ∈ Eb (Eb gọi là bao đầy của E)