a. Định nghĩa
Định nghĩa 3.13. Cho f : Ω → F, ở đây Ω là tập mở trong không gian định chuẩn E còn F là không gian Banach. Ta nói f khả vi tại x0 ∈ Ω nếu tồn tại S ∈ L(E, F) sao cho:
||f(x0 +h)−f(x0)−S(h)|| = O(||h||) (3.-1)
Có nghĩa là ∀ >0,∃δ > 0,∀||h|| < δ, ta có
||f(x0 +h)−f(x0)−S(h)|| ≤ε(||h||) (3.13) được viết dưới dạng quen thuộc
lim
||h||→0
||f(x0 + h)−f(x0)−S(h)| |
||h|| = 0 (3.-1)
Ánh xạ f khả vi tại mọi điểm của Ω gọi là khả vi trên Ω. b. Nhận xét
• Tính khả vi của f tại x0 không thay đổi nếu chuẩn của E được thay bởi chuẩn khác tương đương.
• S ∈ L(E, F) thỏa mãn (3.13) là duy nhất. Ký hiệu S là
fx00 hay Df(x0) và gọi là đạo hàm của f tại x0. • Do fx00 ∈ L(E, F), từ (3.13) suy ra f liên tục tại x0. • Xét trường hợp E = R. Trước hết công thức
ψ(T) =T(1), T ∈ L(E, F)
xác định đẳng cấu giữ nguyên chuẩn giữa L(R, F) và F. Qua đẳng cấu này ta đồng nhất T ∈ L(R, F) với T(1). Bây giờ f : (a, b) → F khả vi tại x0 ∈ (a, b). Ta có:
lim h→0 f(x0 + h)−f(x0) h −f0(x0)(1) = lim h→0 f(x0 +h)−f(x0)−f0(x0)(h) h = 0
Như vậy nếu đồng nhất f0(x0) với f0(x0)(1) ta có thể viết
f0(x0) = lim
h→0
f(x0 +h)−f(x0)
h
đó chính là định nghĩa quen thuộc của đạo hàm.
• Nếu f : Ω → F khả vi thì f0 : Ω → L(E, F) có thể xét như ánh xạ f0 : Ω×E → F cho bởi
(x, h) 7→ f0(x, h) = f0(x)(h)
Ánh xạ tuyến tính liên tục theo biến thứ hai h ∈ E khi biến thứ nhất x ∈ Ω cố định và khả vi theo biến thứ nhất x khi biến thứ hai h ∈ E cố định.
c. Đạo hàm theo hướng.
Giả sử Ω là tập mở trong không gian định chuẩn E và F là không gian Banach. Xét f : Ω → F, x0 ∈ Ω, h ∈ E, h 6= 0. Nếu giới hạn
lim
t→0
f(x0 +th)−f(x0)
t
tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm theo hướng h của f tại x0. Ký hiệu ∂f∂h(x0).
d. Đạo hàm riêng
Giả sử E = E1 × · · · × En là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và f : Ω → F với Ω ⊂E là mở. Với mỗi
x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ Ω và mỗi 1 ≤ i ≤ n xét ánh xạ λi xác định trên một lân cận của x0i trong Ei với giá trị trong F
λi(xi) =f(x01, . . . , xi−0 1, x0i, x0i+1, . . . , x0n)
Định nghĩa 3.14. Nếu λi khả vi tại x0i thì đạo hàm của nó tại x0i gọi là đạo hàm riêng của f tại x0 theo biến xi. Ký hiệu là ∂x∂f i(x0) hay fx0 i(x0). Như vậy ∂f ∂xi (x0) = λ0i(x0i) ∈ L(Ei, F)
Định lý 3.5. Nếu f khả vi tại x0 thì f có tất cả các đạo hàm riêng tại x0 và f0(x0)(h) = n X i=1 ∂f ∂xi(x 0 )(hi);∀h = (h1, . . . , hn) ∈ E
Đạo hàm riêng của hàm hợp.
Giả sử E là không gian định chuẩn, F và G là các không gian Banach với
E = E1 × · · · ×En; F = F1 × · · · ×Fn
Cho f : U → V, g : V → G là hai ánh xạ, ở đây U, V là các tập mở trong E và F tương ứng.
Định lý 3.6. Giả sử f có đạo hàm riêng theo xi tại x0 ∈ U
và g khả vi tại y0 = f(x0). Khi đó g ◦f có đạo hàm riêng theo xi tại x0 và ∂ ∂xi(g ◦f)(x0) = m X j=1 ∂g ∂yj(y 0 )∂fj ∂xi(x 0 ) ở đây f = (f1, . . . , fm). e. Các quy tắc về đạo hàm
Định lý 3.7. Giả sử E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach, Ω là tập mở trong E và x0 ∈ Ω. Khi đó
(i). Nếu f, g : Ω →F khả vi tại x0, thì αf +βg cũng khả vi tại x0 với mọi α, β ∈ R, và
(αf +βg)0(x0) = αf0(x0) +βg0(x0)
(ii). Nếu f : Ω → F, g : Ω → F khả vi tại x0, thì gf : Ω →F
khả vi tại x0 và
(f g)0(x0) =g0(x0)f(x0) +g(x0)f0(x0)
Ngoài ra, nếu g(x0) 6= 0 thì f /g cũng khả vi tại x0 và
f g 0 (x0) = g(x0)f 0(x0)−g0(x0)f(x0) g2(x0)
Định lý 3.8. Giả sử E là không gian định chuẩn, F và G là các không gian Banach và U ⊂ E, V ⊂ F là mở. Giả sử x0 ∈ U và f : U → V và g : V → G khả vi tại x0 và
y0 = f(x0) thì g◦f :U →G khả vi tại x0 và
(g ◦f)0(x0) =g0(f(x0)).f0(x0)
Định lý 3.9. Giả sử E là không gian định chuẩn, F1, . . . , Fm
là các không gian Banach và Ω ⊂ E là mở. Khi đó f = (f1, . . . , fm) : Ω → F1 × · · · ×Fm khả vi tại x0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu f1, . . . , fm khả vi tại x0. Ngoài ra
f0(x0)(h) = (f10(x0)(h), . . . , fm0 (x0)(h))
3.3.2. Đạo hàm cấp caoa. Đạo hàm cấp 2