Đề cương bài giảng học phần toán cao cấp A1

1 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A1 2 CHƯƠNG 1 ðịnh thức và hệ phương trình tuyến tính Số tiết: 10 (Lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 03 tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên nắm ñược khái niệm ma trận, ñịnh thức, hệ phương trình tuyến tính và các tính chất của chúng. - Sinh viên có thể cộng, nhân ma trận, tính ñịnh thức bằng nhiều cách khác nhau thành thạo. - Sinh viên nắm ñược và biết cách giải hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer. 1.1. Ma trận và ñịnh thức 1.1.1. Các ñịnh nghĩa và ví dụ a. Khái niệm: Có m x n số, ta có thể xếp thành 1 bảng chữ nhật m hàng, n cột. Bảng ñó ñược gọi là một ma trận. b. ðịnh nghĩa 1.1: Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột A =               mnm2m1 2n2221 1n1211 a aa a aa a aa ñược gọi là ma trận A cỡ m x n (m,n ∈ N, m,n ≥ 1) Quy ước: xét ma trận thực, ij a ∈ R. Kí hiệu: Mat mxn (R) + ij a là phần tử của ma trận A nằm ở giao ñiểm của hàng i, cột j. KH: [ ], (viết bằng chữ in hoa) + A là ma trận cỡ mxn có phần tử nằm ở hàng i, cột j là: ij a . Ta viết A= [ ij a ] mxn ðặc biệt: Khi m = n thi ta nói: A là ma trận vuông với m hàng, m cột (n hàng, n cột) hay còn gọi là ma trận cấp n. + a 11 , a 22 , a 33 , …, a nn là các phần tử chéo. + ðường thẳng chứa các phần tử chéo ñược gọi là ñường chéo chính. + Ma trận A cấp n               0 00 a a0 a aa 2n22 1n1211 có tính chất: a ij = 0 nếu i>j ñược gọi là ma trận tam giác trên + Tương tự ij a = 0 nếu i< j ñược gọi là ma trận tam giác dưới. + Trường hợp ij a = 0 nếu i ≠ j ñược gọi là ma trận chéo. + a 11 = a 22 = a 33 = …= a nn =1 thì A= I và gọi là ma trận ñơn vị. Khi ñó: 3 ij 1 0 0 0 1 0 I ( δ ) 0 0 1       = =       , ij 0 nê i j 1 nê i=j u u δ ≠  =   Một cách khái niệm khác về ma trận: • Cho m, n là hai số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1. Ta gọi là một ma trận cấp m × n là một bảng chữ nhật gồm m dòng và n cột các phần tử là các số thực sắp xếp và ký hiệu như sau: A =               mnm2m1 2n2221 1n1211 a aa a aa a aa . Mỗi phần tử ij a , ñược gọi là một thành phần hay phần tử của ma trận, nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ j. Người ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ in hoa A, B, C, Ma trận có thể viết gọn A = ( ij a ) m × n . Ma trận chỉ có một dòng (một cột), ñược gọi là ma trận dòng (ma trận cột). Nếu m = n thì ma trận cấp n × n gọi là ma trận vuông cấp n. Tập hợp các ma trận cấp m × n với phần tử thực, ñược ký hiệu là Mat m × n (R). ðặc biệt nếu m = n ta thường ký hiệu Mat n (R). • Cho ma trận A =               mnm2m1 2n2221 1n1211 a aa a aa a aa . Ta gọi B =               mn2n1n m22212 m12111 a aa a aa a aa là ma trận chuyển vị của ma trận A, và thường ký hiệu là t A. Rõ ràng ma trận t A có ñược từ ma trận A bằng cách ñổi dòng thứ i của A thành cột thứ i của t A và như vậy nếu A có cấp m × n thì t A có cấp n × m. Ví dụ 1.1: A =         − 752 301 là ma trận thực cấp 2 × 3. Khi ñó ma trận chuyển vị của A là ma trận cấp 3 × 2: t A =           − 73 50 21 . 1.1.2. Các phép toán và tính chất a. Phép cộng: Cho hai ma trận cùng cấp A = ( ij a ) m × n và B = ( ij b ) m × n . Ta gọi là tổng của hai ma trận ñó là một ma trận C cùng cấp m × n, mà phần tử tổng quát ij c của nó là ij c = ij a + ij b , và ký hiệu là: C = A + B. Rõ ràng cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các thành phần tương ứng (cùng dòng, cùng cột) của chúng với nhau. Vậy: 4 C =               +++ +++ +++ mnmnm2m2m1m1 2n2n22222121 1n1n12121111 ba baba ba baba ba baba . b. Phép nhân một ma trận với một số: Cho ma trận A = ( ij a ) m × n , và số thực k. Ta gọi là tích của ma trận A với số k , là một ma trận ký hiệu kA mà phần tử của nó là k ij a . Vậy: kA =               mnm2m1 2n2221 1n1211 ka kaka ka kaka ka kaak . Như vậy nhân một ma trận với một số ta chỉ việc nhân số ñó với mọi thành phần của ma trận. Chú ý 1.1: Trong phép nhân ma trận với một số, nếu k = –1 thì kA = (–1)A, gọi là ma trận ñối của ma trận A và thường ký hiệu là –A. Như vậy –A = (–1)A. c. Phép trừ: Cho hai ma trận A, B cùng cấp. Ta gọi là hiệu của A và B là ma trận cùng cấp: A + (–B) và thường ñược ký hiệu là A – B. Như vậy A – B = A + (–B). d. Phép nhân các ma trận: Cho các ma trận A = ( ij a ) m × n và B = ( jk b ) n × p . Ma trận C = ( ik c ) m × p , với p1,k,m1,i;.bac n 1j jkijik === ∑ = , gọi là tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB. Nhận xét 1.1: + Tích AB chỉ ñược xác ñịnh khi số cột của A bằng số dòng của B. Muốn tìm thành phần c ik của tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a ij của dòng i trong A nhân với thành phần b jk của cột k trong B rồi cộng lại. + Tích AB và BA chỉ tồn tại khi chúng có cấp m × n và n × m. Khi tồn tại AB và BA thì nói chung AB ≠ BA (phép nhân ma trận nói chung không giao hoán). Ví dụ 1.2: Cho A =           − 07 41 53 và B =         − − 342 741 . Khi ñó AB tồn tại và là ma trận vuông cấp 3, còn BA cũng tồn tại nhưng là ma trận vuông cấp 2. AB =           − − −− =           +−+−+ +−−+−−+− +−+−+ 49287 19129 6327 3.0)7.(74.04.7)2.(01.7 3.4)7.(14.44.1)2.(41.1 3.5)7.(34.54.3)2.(51.3 , còn BA =         − 611 2150 . • Các tính chất: +) Phép cộng và phép nhân ma trận với một số thực có các tính chất: - Phép cộng: 1) A + B = B + A. ( tính giao hoán). 2) A + ( B + C) = ( A + B) + C. ( tính kết hợp). 3) A + O = O . ( O là ma trận mà các thành phần ñều bằng không). 5 4) A + (-A) = O. - Phép nhân 5) k(A + B) = kA + kB. 6) (k + l)A = kA + lA. 7) (kl)A = k(lA). 8) 1.A = A. Các ñẳng thức trên xảy ra với mọi A, B, C thuộc tập hợp Mat m × n (R) và mọi k, l thuộc tập số thực R. +) Với các ma trận A, B, C và mọi k thuộc R ta có các tính chất sau (nếu phép toán có nghĩa). 1) (AB)C = A(BC). 2) A(B + C) = AB + AC. 3) k(AB) = (kA)B = A(kB). 4) Nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận vuông cấp n (ta gọi là ma trận ñơn vị) thì AI = IA = A. 1.1.3. ðịnh thức • ðịnh thức của ma trận vuông Xét ma trận cấp n: A = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a a a a             xét phần tử a ij. ta bỏ hàng i, cột j sẽ thu ñược ma trận còn n-1 hàng, n-1 cột. KH: M ij : ma trận con ứng với phần tử a ij ðịnh thức của ma trận A, Kí Hiệu là: det(A), ñược ñịnh nghĩa dần dần như sau: -A là ma trận cấp 1: A=[a 11 ] thì det(A)= a 11 -A là ma trận cấp 2: A= 11 12 21 22 a a a a thì det(A)= a 11 det(M 11 )- a 12 det(M 12 )= a 11 .a 22 – a 12 .a 21 - A là ma trận cấp n: det(A)= a 11 det(M 11 )- a 12 det(M 12 )+ +(-1) 1+n a 1n det(M 1n ) trong ñó a 11 ; a 12 ; ; a 1n là các phần tử cùng nằm ở hàng 1 của ma trận A. Kí hiệu:  ðịnh thức của ma trận cấp n gọi là ñịnh thức cấp n ðịnh nghĩa một cách khác về ñịnh thức như sau: Nhận xét 1.2. 6 • Cho tập hợp X ≠ ∅ . Mỗi một song ánh XX:σ → , ñược gọi là một phép thế của tập X. Nếu X có n phần tử thì ta có thể viết X = {1, 2, , n}. Khi ñó mỗi phép thế của X thường ñược biểu diễn dưới dạng:         = σ(n) σ(2)σ(1) n 21 σ . (dòng trên là các phần tử của X, dòng dưới là ảnh tương ứng của nó qua song ánh XX:σ → ). Thông thường ta chỉ xét X hữu hạn, nên giả sử X n = {1, 2, , n} với ( n > 0). Song ánh ñồng nhất ñược gọi là phép thế ñồng nhất. • Phép thế τ gọi là một chuyển trí nếu τ (i) = j ; τ (j) = i ; τ (k) = k ; Xkj,i, ∈ ∀ , kj;ki ≠ ≠ và thường ñược ký hiệu là (i, j). Tập hợp các phép thế của tập gồm n phần tử thường ký hiệu là S n . Rõ ràng S n có n! phần tử. • Giả sử σ là một phép thế của tập X n = {1, 2, , n}. Với mỗi i, j ∈ X n , ji ≠ , ta nói cặp ( σ (i), σ (j)) là một nghịch thế của σ , nếu i < j , nhưng σ (i) > σ (j). • Phép thế σ ñược gọi là phép thế chẵn (lẻ) nếu nó có một số chẵn (lẻ) các nghịch thế. Ta gán cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, và mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng –1. Các giá trị này của phép thế σ , gọi là dấu của σ và ký hiệu là sign( σ ). Vậy: sign( σ ) =    ′ − ′ leuen nachuen σ σ ˆ 1 ˆ 1 ⌣ Ví dụ 1.3: τ =         123 321 , thì sign( τ ) = –1; σ =         132 321 , thì sign( σ ) = 1. Các hệ quả: 1) sign( σ ) = i,j i j σ(i) σ(j) − − ∏ . 2) )sign(µ.)sign(σµ)sign(σ;Sµ,σ n = ∈ ∀ . 3) Mọi chuyển trí ñều là phép thế lẻ. * ðịnh nghĩa 1.2 • Với ma trận vuông A = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a a a a             Ta gọi tổng: D = n 1s(1) 2s(2) ns(n) s S sign(s).a .a . .a ∈ ∑ , là ñịnh thức của ma trận A và ký hiệu là A hay det(A), 7 hay nnn2n1 2n2221 1n1211 a aa a aa a aa . Với cách ký hiệu này ta cũng nói mỗi a ij là một thành phần (phần tử) của ñịnh thức, các a i 1 , a i 2 , , a i n tạo thành dòng thứ i , các a 1j , a 2j , , a nj tạo thành cột thứ j của ñịnh thức. Hơn nữa A cũng gọi là ñịnh thức cấp n. Chú ý 1.2: Mỗi hạng tử của A là một tích gồm n thành phần với một dấu xác ñịnh, trong mỗi tích không có hai thành phần nào cùng dòng hoặc cùng cột. Ví dụ 1.4. A = (a 11 ) thì A = a 11 . A =         2221 1211 aa aa thì A = 11 12 21 22 a a a a = a 11 .a 22 – a 12 .a 21 . A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a           thì: A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 12 a 21 a 33 – a 11 a 23 a 32 . Ở ñây ta có quy tắc Sarus tính ñịnh thức cấp 3 như sau: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 – a 11 a 12 a 13 + – a 21 a 22 a 23 + – + 1.1.4. Một số tính chất của ñịnh thức 1) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: a i1 + b i1 , a i2 + b i2 , , a in + b in thì ñịnh thức D = D 1 + D 2 , trong ñó dòng thứ i của D 1 là: a i1 , a i2 , , a in , dòng thứ i của D 2 là: b i1 , b i2 , , b in , còn các dòng khác của D 1 , D 2 là các dòng của D. Chẳng hạn: D = = −+ 41 b5a3 41 53 + = − 41 ba 41 3 b− + 41 5a 2) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: aa i1 , aa i2 , , aa in thì có thể ñưa nhân tử chung a ra ngoài ñịnh thức, tức là: 8 D = nnn3n2n1 ini3i2i1 1n131211 a aaa aa aaaaaa a aaa = nnn3n2n1 ini3i2i1 1n131211 a aaa a aaa a aaa a 3) Nếu ñổi chỗ hai dòng (2 cột) cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu. 4) Nếu ñịnh thức có hai dòng (2 cột) giống nhau, thì ñịnh thức bằng không. 5) Nếu ñịnh thức có hai dòng (2 cột) có các thành phần cùng cột tương ứng tỷ lệ, thì ñịnh thức bằng không. 6) Nếu nhân mỗi thành phần của dòng thứ i với một số c, rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì ta ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức ñã cho. Chẳng hạn: D = 974 831 152 . Nhân dòng thứ hai với (–2) rồi cộng vào dòng thứ nhất ta ñược ñịnh thức D 1 = 974 831 )16(1)6(5)2(2 −+−+−+ = 974 831 1510 −− = D ( = 52). 7) Nếu t A là ma trận chuyển vị của ma trận vuông A thì A t = A . Nói cách khác ñịnh thức không thay ñổi qua một phép chuyển vị, hay ñịnh thức không thay ñổi khi ta ñổi dòng thành cột và cột thành dòng. Chú ý 1.3: Từ tính chất này ta suy ra các tính chất nào ñã ñúng với dòng thì cũng ñúng với cột và ngược lại. 1.1.5. Một số phương pháp tính ñịnh thức • ðịnh thức con và phần bù ñại số. Cho ñịnh thức D cấp n. + Nếu chọn r dòng: i 1 , i 2 , , i r và r cột: j 1 , j 2 , , j r ( r < n ), của ñịnh thức D, thì các thành phần nằm ở giao của r dòng và r cột ñó lập thành một ñịnh thức cấp r, ký hiệu bởi: r21 r21 j, ,j,j i, ,i,i M , và gọi là một ñịnh thức con cấp r của ñịnh thức D. + Nếu chọn r dòng: i 1 , i 2 , , i r và r cột: j 1 , j 2 , , j r ( r < n ), của ñịnh thức D, và xoá ñi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập nên một ñịnh thức cấp n – r, ký hiệu bởi: r21 r21 j, ,j,j i, ,i,i M , và gọi là ñịnh thức con bù của ñịnh thức r21 r21 j, ,j,j i, ,i,i M trong ñịnh thức D. + Biểu thức r21 r21 j, ,j,j i, ,i,i A = .1)( r1r1 j ji i +++++ − r21 r21 j, ,j,j i, ,i,i M , ñược gọi là phần bù ñại số của r21 r21 j, ,j,j i, ,i,i M . Trường hợp r = 1, ta thường viết 11 ji M , 11 ji M , 11 ji A . 9 Ví dụ 1.5: Cho D = 7016 0140 9202 1538 − − − . Mỗi ñịnh thức con cấp 1 của D là một phần tử của D. ðịnh thức con bù của a 32 = 4 là: 706 922 158 M 32 − − − = . Còn phần bù ñại số của a 32 = 4 là A 32 = (–1) 3 + 2 . 32 M = – 32 M . • ðịnh lý 1.1 (Khai triển ñịnh thức theo một dòng): Cho ñịnh D cấp n mà phần tử là a i J . Với mỗi { } ni , ,2,1 ∈ , ta luôn luôn có: D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + + a i n A i n = ∑ = n 1j ijij Aa . Chú ý 1.4: + Nhờ tính chất của ñịnh thức ta cũng có: D = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj = ∑ = n 1i ijij Aa . + a i 1 A k 1 + a i 2 A k 2 + + a i n A k n = 0 , nếu ik ≠ . + Nhờ ñịnh lý trên, ñể tính ñịnh thức cấp n ta có thể ñưa về tính ñịnh thức cấp nhỏ hơn n. • ðịnh lý 1.2 Laplace (Khai triển ñịnh thức theo r dòng): Nếu trong ñịnh thức D cấp n ta ñã chọn ra r dòng cố ñịnh i 1 , i 2 , , i r ( r < n); M 1 , M 2 , , M s là tất cả các ñịnh thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và A 1 , A 2 , , A s là những phần bù ñại số tương ứng thì: D = s j j j 1 M A = ∑ . ðể thấy rõ cách tính ñịnh thức theo ñịnh lý Laplace, dưới ñây ta ñưa ra một ví dụ cụ thể như sau: Ví dụ 1.6: Xét ñịnh thức D = 5074 0210 2316 0530 − − . Chọn hai dòng là dòng 1 và dòng 3, ñó là: 0210 0530 − . T ừ hai dòng này ta có th ể l ậ p ñượ c 2 4 C = 6 ñị nh th ứ c con c ấ p 2, và do ñ ó có 6 ph ầ n bù ñạ i s ố t ươ ng ứ ng, ñ ó là: M 1 = 10 30 ; M 2 = 20 50 − ; M 3 = 00 00 ; M 4 = 21 53 − ; M 5 = 01 03 ; M 6 = 02 05 − . Trong 6 ñị nh th ứ c con này ch ỉ có M 4 = –11 ≠ 0, các ñị nh th ứ c còn l ạ i ñề u b ằ ng không. Ngoài ra = 4 M 54 26 − , nên A 4 = (–1) 1+3+2+3 . = 4 M 4 M− = 38. V ậ y: D = –11.38 = – 418. 10 • Một số phương pháp tính ñịnh thức: i1. ðối với ñịnh thức cấp 3 ta có quy tắc Sarus ñể tính ñịnh thức cấp 3. i2. Khai triển ñịnh thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột. (ðể phép tính ñược ñơn giản ta nên khai triển theo dòng (hoặc cột) có nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số ñơn giản) Ví dụ 1.7: Tính ñịnh thức D = 9204 10001 3607 0523 − − . Nhận thấy dòng (cột) có nhiều số không nhất là cột thứ 2, do ñó ta khai triển D theo cột 2. Vậy D = (–2)(–1) 1 + 2 . 924 1001 367 − = 2. 924 1001 367 − . Lại tiếp tục khai triển ñịnh thức cấp 3 này theo dòng 2 ta ñược: D = 2. [ ] 856)2414.(10)654(.2 24 67 .)1.(10 92 36 .)1.(1 3212 −=+−−−=       − −+− ++ . i3. ðưa ñịnh thức về dạng tam giác. D = ij a với a i j = 0 nếu i < j (ñịnh thức tam giác dưới), hoặc a i j = 0 nếu i > j (ñịnh thức tam giác trên), tức là D có dạng: D = nnn2n1 2221 11 a aa 0 0 aa 0 0a hoặc D = nn 2n22 1n1211 a 00 0 a a0 a aa . Khi ñó D = a 11 .a 22 a nn . Ví dụ 1.8: 200 960 975 − = 5.6.2 = 60 i4. Áp dụng các tính chất của ñịnh thức. ðể ñưa ñịnh thức về dạng tam giác ta ñã sử dụng chủ yếu tính chất 6, ñôi khi có sử dụng các tính chất khác. Nói chung,ñể tính ñịnh thức ta có thể áp dụng mọi tính chất của nó. Ví dụ 1.9: Tính ñịnh thức: D = 201210 125874120 2153 3112 − − − Giải: Cộng dòng thứ nhất với dòng thứ hai ta ñược: [...]... − 2a1 V i n = 2 thì D2 = a1a2 + a1a2 + 0 + 0 + a1a2– 0 = 3a1a2 1 D ñoán Dn = (–1)n ( n + 1) a1. a2 .an Ta s ch ng minh d ñoán này là ñúng Th t v y v i n = 1 và n = 2 ñi u c n ch ng là ñúng V i n > 2, gi s m nh ñ ñúng v i n – 1, t c là Dn - 1 = (– 1)n - 1 n .a1. a2 .an - 1 Khi ñó: Dn = (–1)n a1. a2 .an – an.D n - 1 = (–1)n a1. a2 .an – an (–1)n - 1 n .a1. a2 .an - 1 = (–1)n a1. a2 .an + an (–1)n n .a1. a2... p cao hơn Ví d 1.10 Dùng phương pháp quy n p, Tính ñ nh th c c p n + 1 sau ñây: − a1 0 0 0 0 − a2 a2 0 0 0 0 − a3 0 0 0 0 0 − a n 1 Dn = a1 1 1 1 Khai tri n ñ nh th c theo c t cu i ta ñư c: an 1 − a1 − a1 0 0 − a2 0 0 Dn = a1 0 − an − a n a1 0 0 − a2 0 0 1 0 1 0 1 − a n −1 1 0 0 0 a 2 − a 3 0 0 0 0 a n −1 1 = (–1)n a1. a2 .an – an.D n - 1 V i n = 1 thì D1 = − a1 1 a1. .. 0 1 1 0 1.7 Tính các ñ nh th c : a 0 0 b 0 a) A = 0 a 0 b 0 0 0 a 0 0 0 b 0 a 0 0 0 a1 x a 2 a n a 2 a n c) C = a 1 a2 x a1 a2 a 3 2 2 2 2 2 2 b) B = 2 2 3 2 a x a1 2 0 b 1 a n 2 1 2 2 n a2 an 1 a 1 + b1 a1 d) D = 1 a2 a 2 + b2 an an 1 a2 a n + b n x 16 a1 a1 1 e) 0 −1 −1 0 −1 −1 a b −1 −1 c 1 1.8 Ch ng minh r ng 1 1 f) 1 1 1 d 0 b+c c+a b'+c' c'+ a ' b'... các phép toán ñã ñ nh nghĩa như trên l p thành m t không gian véc tơ 2.3 H véc tơ ñ c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính ð nh nghĩa 2.3 + Cho m véc tơ a1 , a2 , , am và các s th c k1, k2, , km Khi ñó véc tơ α = k 1a1 + k 2 a2 + + k m am ñư c g i là m t t h p tuy n tính c a các véc tơ a1 , a2 , , am N u α = 0 , thì t h p tuy n tính trên g i là t h p tuy n tính t m thư ng + Cho n véc tơ a1 , a2 ,... tơ α N u t n t i các s th c k1, k2, , km sao cho α = k 1a1 + k 2 a2 + + k m am , thì ta nói r ng véc tơ α bi u th tuy n tính ñư c qua các véc tơ a1 , a2 , , am + H n véc tơ a1 , a2 , , am ñư c g i là ph thu c tuy n tính n u t n t i các s th c k1, k2, , km không ñ ng th i b ng không t t c sao cho: k 1a1 + k 2 a2 + + k m am = 0 + H m véc tơ a1 , a2 , , am ñư c g i là ñ c l p tuy n tính n u nó không... dương c a tr c Ox • V trí hai ñư ng th ng 28 Cho hai ñư ng th ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0 Khi ñó + (d1) // (d2) n u A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C 2 + (d1) ≡ (d2) n u A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2 + (d1) c t (d2) n u A1 B1 ≠ A2 B2 T ñó suy ra ñi u ki n c n và ñ ñ ba ñư ng th ng Aix + Biy + Ci = 0 (i = 1, 2, 3), ñ ng quy là: A1 B1 C1 A2 A3 B2 B3 C2 = 0 C3 Phương trình chùm ñư ng th ng xác... ngư c l i y E2 x′ e2 x e1 O E1 y′ 2.4.2 Các phép toán c a vectơ trong m t ph ng ð i v i m t m c tiêu tr c chu n nào ñó cho hai véc tơ u = ( a1 , a 2 ) và v = (b1 , b2 ) Th thì ta có: u v = a1b1 + a2 b2 T ñó suy ra: + N u u = ( a, b) , thì u 2 = a2 + b2 + V i m i ñi m M, to ñ c a véc tơ OM cũng g i là to ñ c a ñi m M + Các tính ch t ñơn gi n: + u + v = (a1 + b1 , a2 + b2 ) và k u = (ka 1 , kb 1 ), ∀... k 1a1 + k 2 a2 + + k m am = 0 ta suy ra ñư c k1 = k2 = = km = 0 * ð u ki n ñ các véc tơ ñ c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính Các ñ nh lí ñưa ra dư i ñây SV t ch ng minh xem như nh ng bài t p • ð nh lí 2.1 H k véc tơ (k > 1) a1 , a2 , , ak là ph thu c tuy n tính n u và ch n u t n t i ít nh t m t véc tơ c a h bi u th tuy n tính ñư c qua các véc tơ còn l i c a h ñó • H qu 2.1 H k véc tơ (k > 1) a1. .. ) Ngoài ra ñ i v i h to ñ ′ ′ (O, e1 , e2 , e3 ) các véc tơ e1′, e2 , e3 và ñi m O' có to ñ l n lư t là: (a1, b1, c1); (a2, b2, c2); (a3, b3, c3); (a0, b0, c0) Do ñó ta có: 22  x = a1 x ′ + a 2 y ′ + a3 z ′ + a0   y = b1 x ′ + b2 y ′ + b3 z ′ + b0  z = c x′ + c y ′ + c z ′ + c 1 2 3 0   a1  (3) và A =  b1 c  1 a2 b2 c2 a3   b3  c3   Công th c (3) ñư c g i là công th c ñ i m c tiêu t... th ng xác ñ nh b i hai ñư ng th ng c t nhau có phương trình Aix + Biy + Ci = 0 (i = 1, 2), là: λ(A1x + B1y + C1) + µ (A2x + B2y + C2) = 0 ( λ, µ ∈R , λ2 + µ2 ≠ 0 3.1.2 Góc, kho ng cách • Góc ϕ gi a hai ñư ng th ng: Aix + Biy + Ci = 0 (i = 1, 2), ñư c xác ñ nh b i công th c: cos ϕ = • Góc A1 A2 + B1 B2 A12 + B12 A22 + B22 ϕ gi a hai ñư ng th ng: y = k1x + b1 và y = k2x + b2, trong ñó k1 = tgϕ 1 , . 1 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A1 2 CHƯƠNG 1 ðịnh thức và hệ phương trình tuyến tính Số tiết: 10 (Lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 03 tiết) *) Mục tiêu:. hay còn gọi là ma trận cấp n. + a 11 , a 22 , a 33 , …, a nn là các phần tử chéo. + ðường thẳng chứa các phần tử chéo ñược gọi là ñường chéo chính. + Ma trận A cấp n               0. gọi là ma trận dòng (ma trận cột). Nếu m = n thì ma trận cấp n × n gọi là ma trận vuông cấp n. Tập hợp các ma trận cấp m × n với phần tử thực, ñược ký hiệu là Mat m × n (R). ðặc biệt