ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP

0 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1 MỤC LỤC CHƯƠNG 1. Tập hợp và lôgíc 2 1.1. Tập hợp 2 1.1.1. Khái niệm về tập hợp 2 1.1.2. Cách xác ñịnh một tập hợp 3 1.1.3. Các phép toán và tính chất trên tập hợp 3 1.1.4. Tích ðềcác của các tập hợp 4 1.2. Quan hệ 4 1.2.1. Quan hệ hai ngôi 4 1.2.2. Quan hệ tương ñương 5 1.2.3. Quan hệ thứ tự 6 1.3. Ánh xạ 7 1.3.1. ðịnh nghĩa ánh xạ và ví dụ 7 1.3.2. ðồ thị của ánh xạ 8 1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 8 1.3.4. Ảnh và tạo ảnh 8 1.3.5. Tích ánh xạ 9 1.3.6. ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 10 1.3.7. Ánh xạ ngược 11 1.4. Lôgic mệnh ñề 12 1.4.1 Mệnh ñề và các phép liên kết lôgic 12 1.4.2. Các lượng từ 14 1.4.3. Về các phương pháp chứng minh: Trực tiếp, Phản chứng, quy nạp 14 CHƯƠNG 2. Cấu trúc ñại số 24 2.1. Sơ lược về nhóm, vành, trường 24 2.1.1. Phép toán hai ngôi 24 2.1.1 Nhóm 25 2.1.3 Vành 28 2.1.4. Trường 29 2.2. Vành số thập phân và trường số thực, trường số hữu tỷ, trường số phức 30 2.2.1. Vành các số thập phân 30 2.2.2. Trường số hữu tỷ 31 2.2.3. Trường số thực 31 2.2.4. Trường số phức 32 2.3.2 Phép chia với dư 35 2.3.4. Nghiệm của ña thức 36 2.3.5. ða thức trên trường số phức và trường số thực 36 2.4. Trường phân thức hữu tỷ 37 2.4.1. Trường các thương của vành ña thức [X] K 37 2.4.2. Phân thức tối giản 37 2.4.3. Phân tích một phân thức hữu tỷ thành tổng những phân thức ñơn giản 37 2.4.4. Ứng dụng trong trường hợp K là trường số thực ℝ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 2 CHƯƠNG 1 Tập hợp và lôgíc Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên cần hiểu ñược một số khái niệm về tập hợp, cách xác ñịnh một tập hợp, các phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương ñương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, ñơn ánh, toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ. - Vận dụng vào giải các bài toán liên quan. 1.1. Tập hợp 1.1.1. Khái niệm về tập hợp Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những khái niệm cơ bản nhất của Toán học. Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên, tập các ñiểm cách ñều một ñiểm cho trước, tập nghiệm của một phương trình, … - Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không ñịnh nghĩa. Quan niệm tập hợp như sự tụ tập các ñối tượng có chung những tính chất nào ñó. - Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử của tập hợp. - ðể chỉ: a là phần tử của tập A ta viết: a A ∈ , ñọc là a thuộc A. a không là phần tử của tập hợp A, ta viết a A ∉ , ñọc là a không thuộc A. - Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu: ∅ . - Tập hợp ñơn tử là tập hợp chỉ gồm 1 phần tử ðịnh nghĩa 1. Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì ta nói rằng A bao hàm trong B hay A là tập con của B. Kí hiệu: A B ⊂ Ta có: x x A B A B ⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ Ví dụ. ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ ðịnh nghĩa 2. Giả sử A là một tập hợp, tất cả các tập con của A là phần tử của một tập hợp mới, kí hiệu: p ( ) A , ñược gọi là tập tất cả các tập con của X. Ví dụ. { } A= a,b Khi ñó: p { } { } { } { } ( ) , a , b , a,b A = ∅ ðịnh nghĩa 3. Hai tập A và B ñược gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của A ñều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B ñều là phần tử của A. Kí hiệu: A = B. Ví dụ. 1, { } A = x : 0 < x < 5 ∈ ℕ , { } B = 1, 2, 3, 4 Ta có: A = B. 2, { } X = x / x 2, x 3 ∈ ℕ ⋮ ⋮ , { } Y = x / x 6 ∈ ℕ ⋮ Ta có: X = Y 3 1.1.2. Cách xác ñịnh một tập hợp - Phương pháp liệt kê - Phương pháp chỉ rõ tính chất ñặc trưng 1.1.3. Các phép toán và tính chất trên tập hợp a, Phép hợp ðịnh nghĩa 4. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A B ∪ là một tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Vậy { } / A B x x A x B ∪ = ∈ ∨ ∈ . Ví dụ. 1, { } A = a, b, c, d, e , { } B = c, d, e, f Suy ra: { } A B = a, b, c, d, e, f ∪ 2, { } A = x : x = 2k + 1, k∈ ∈ ℤ ℤ , { } B = x : x = 2k, k∈ ∈ ℤ ℤ Suy ra: { } A B = ∪ ℤ b, Phép giao ðịnh nghĩa 5. Cho hai tập hợp A và B. Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A B , ∩ là một tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Vậy { } A B = x x A, x B ∩ ∈ ∈ Ví dụ. { } A = a, b, c, d, e , { } B = c, d, e, f Suy ra: { } A B = c, d, e ∩ c, Tính chất của phép hợp và phép giao: Cho 3 tập hợp tuỳ ý: A, B, C. Ta có: 1. B A ⊂ thì A B = A ∪ A = A = A ∪ ∅ ∅ ∪ A A = A ∪ 2. A B = A B ∪ ∪ ( Tính chất giao hoán) 3. A (B C) = (A B) C ∪ ∪ ∪ ∪ ( Tính chất kết hợp) 4. B A ⊂ thì A B = B ∩ A = A = ∩ ∅ ∅ ∩ ∅ A A = A ∩ 5. A B = A B ∩ ∩ ( Tính chất giao hoán) 6. A (B C) = (A B) C ∩ ∩ ∩ ∩ ( Tính chất kết hợp) 7. A (A B) = A ∩ ∪ (A B) B = B ∩ ∪ 8. A (B C) = (A B) (A C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ( Tính chất phân phối) A (B C) = (A B) (A C) ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ d. Hiệu và phần bù của hai tập hợp ðịnh nghĩa 6. + Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp, kí hiệu: A - B hoặc A\B gồm tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy { } A B = x: x A, x B − ∀ ∈ ∉ 4 + Cho B A ⊂ khi ñó hiệu của A và B ñược gọi là phần bù của tập B ñối với tập A. Kí hiệu: A C (B) Ví dụ. 1. { } A = a, b, c, d, e , { } B = c, d, e, f { } A B = a, b ⇒ − , { } B A = e, f − 2. { } X = x : x < 5 ∈ ℝ { } C (X) = x :x 5 ⇒ ∈ ≥ ℝ ℝ Chú ý. + A B B A − ≠ − + x B x A B x A ∈  ∉ − ⇔  ∉  Tính chất. 1. A B = A B − ∅ ⇒ ⊂ 2. A B, D C A C B D ⊂ ⊂ ⇒ − ⊂ − 3. A B ⊂ , C bất kỳ A C B C; C B C A ⇒ − ⊂ − − ⊂ − 4. A B A − ⊂ 1.1.4. Tích ðềcác của các tập hợp Cặp sắp thứ tự. Cho hai ñối tượng a, b bất kỳ, từ hai ñối tượng này ta có thể lập thành ñối tượng thứ ba kí hiệu: (a, b) và gọi là cặp (a, b). Chú ý: Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c, b = d. Nếu a ≠ b thì cặp (a, b) ≠ (b, a) Ta nói rằng: Một cặp (a, b) là một dãy có thứ tự của hai phần tử a, b. Tích ðềcác của hai tập hợp. Cho hai tập hợp A và B khác rỗng. Ta gọi tập gồm tất cả các cặp sắp thứ tự (a, b) với a thuộc A và b thuộc B là tích ðềcác của tập A và tập B. Kí hiệu: A B × hoặc A.B + { } = (a, b) a , b A B A B × ∈ ∈ Nếu A = B: 2 = A = A B A A × × Quy ước: A = A = ×∅ ∅× ∅ Tích ðềcác của nhiều tập hợp. Ta gọi tích ðềcác của n tập hợp 1 2 3 n A ,A , A , ,A là tập hợp gồm tất cả các dãy sắp thứ tự ( ) 1 2 3 n a ,a ,a , ,a trong ñó 1 1 2 2 a A ,a A , , ∈ ∈ n n a A ∈ . Kí hiệu: 1 2 3 n A A A A × × × × + Nếu 1 2 3 n A A A A = = = = thì tích ðềcác của chúng ñược kí hiệu: n A . Ví dụ. 1. { } { } A = 1, 2, 3 ; B = a, b Suy ra: { } A B= (1, a);(1, b);(2, a);(2, b);(3, a);(3, b) × 1.2. Quan hệ 1.2.1. Quan hệ hai ngôi 5 ðịnh nghĩa 7. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Ta gọi mỗi tập con R của tập tích ðềcác X Y × là một quan hệ trên X Y × . Nếu (x,y) R ∈ ta nói “ x có quan hệ R với y” và viết xRy . Nếu (x,y) R ∉ ta nói “ x không có quan hệ R với y” và viết xRy . Ví dụ. Cho X là tập hợp những người ñàn bà, Y là tập những người ñàn ông của làng nọ. R là tập các cặp sắp thứ tự (x, y) trong ñó , x X y Y ∈ ∈ sao cho x là mẹ ñẻ của y. ðịnh nghĩa 8. Cho X là tập không rỗng tuỳ ý. Ta gọi mỗi tập con R của bình phương ðềcác X X × là một quan hệ hai ngôi xác ñịnh trên tập X. Nếu 1 2 (x , ) R x ∈ ta nói “ 1 x có quan hệ R với 2 x ” và viết 1 2 x Rx .Nếu 1 2 (x , ) R x ∉ ta nói “ 1 x không có quan hệ R với 2 x ” và viết 1 2 x Rx . Ví dụ. Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên tập số thực R xác ñịnh bởi tập con { } 2 ( , ) / R x x R x y = ∈ ≤ là một quan hệ hai ngôi trên R Một số tính chất thường gặp. Giả sử R là một quan hệ trên một tập hợp X. Ta bảo: (i) R có tính chất phản xạ trong X nếu và chỉ nếu x X, (x, x) R ∀ ∈ ∈ (ii) R có tính chất ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu x X, y X ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R (y, x) R ∈ ⇒ ∈ (iii) R có tính chất phản ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu x X, y X ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R; (y, x) R x = y ∈ ∈ ⇒ (iv) R có tính chất bắc cầu trong X nếu và chỉ nếu x X, y X, z X ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R; (y, z) R (x, z) R ∈ ∈ ⇒ ∈ (v) R có tính chất toàn phần trong X nếu và chỉ nếu x X, y X ∀ ∈ ∀ ∈ (x, y) R hay(y, x) R ∈ ∈ Ví dụ. 1. Quan hệ “ bằng nhau” trong một tập hợp X nào ñó có tính phản xạ. 2. Quan hệ “ chia hết cho” trong tập N các số tự nhiên có tính phản xạ. 3. Quan hệ “ nguyên tố cùng nhau” trong tập N các số tự nhiên không có tính phản xạ. 4. Quan hệ “ ≤ ” trên tập R các số thực có tính phản xạ. 1.2.2. Quan hệ tương ñương ðịnh nghĩa 9. Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của X X × . Thế thì S gọi là một quan hệ tương ñương trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn: 1. Tính phản xạ: a X, aSa ∀ ∈ . 2. Tính ñối xứng: a,b X, aSb ∀ ∈ thì b S a . 3. Tính bắc cầu: a, b, c X, aSb, b S c ∀ ∈ thì a S c . Nếu S là một quan hệ tương ñương thì người ta kí hiệu S bằng “ ∼ ” và thường ñọc là “ a tương ñương với b”. Ví dụ. 1. Quan hệ “=” là quan hệ tương ñương. 2. Gọi X là tập các ñường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương là một quan hệ tương ñương. 6 3. Gọi X là tập các tam giác khi ñó quan hệ ñồng dạng giữa các tam giác là một quan hệ tương ñương. ðịnh nghĩa 10. Giả sử S là một quan hệ tương ñương trong X và a X ∈ . Tập hợp: { } C(a) = x X x S a ∈ gọi là lớp tương ñương của a ñối với quan hệ tương ñương S. Vì S là phản xạ nên a C(a) ∈ . Ta thấy C(a) có các tính chất sau: 1. C(a) ≠ ∅ 2. x, y C(a) x S y ∈ ⇒ . 3. x C(a), y Sx y C(a) ∈ ⇒ ∈ . Bổ ñề. Với hai phần tử bất kì a và b ta ñều có hoặc C(a) C(b) = ∩ ∅ hoặc C(a) C(b). = ðịnh nghĩa 11. Ta bảo ta thực hiện một sự chia lớp trên một tập hợp X khi ta chia nó thành những bộ phận A, B, C, … khác ∅ , rời nhau từng ñôi một sao cho mọi phần tử của X thuộc một trong các bộ phận ñó. ðịnh lý 1. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X. Thế thì các lớp tương ñương phân biệt của X ñối với S thành lập một sự chia lớp trên X. ðịnh nghĩa 12. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X. Tập hợp các lớp tương ñương phân biệt của X ñối với S gọi là tập thương của X trên quan hệ tương ñương S và kí hiệu là X/S. Ví dụ. Cho X là tập người trên trái ñất. Nếu chia X thành các tập con U, V, W,… sao cho các tập con ñó là tập các người cùng quốc tịch, coi rằng không có ai có hai quốc tịch và bất kì người nào cũng thuộc một quốc tịch nào ñó thì ta có một sự phân lớp trên tập X. 1.2.3. Quan hệ thứ tự ðịnh nghĩa 13. Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của X X × . Thế thì S ñược gọi là một quan hệ thứ tự trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn: 1. Tính phản xạ: a X, aSa ∀ ∈ . 2. Tính phản ñối xứng: a,b X, aSb ∀ ∈ , b S a thì a = b . 3. Tính bắc cầu: a, b, c X, aSb, b S c ∀ ∈ thì a S c . Người ta bảo một tập hợp X là sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự. Ví dụ. 1. Quan hệ “ ≤ ” trong tập N là một quan hệ thứ tự. 2. Quan hệ “chia hết” trong N không là một quan hệ thứ tự. 3. Quan hệ bao hàm giữa các bộ phận của một tập hợp X. - Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X thì người ta thường kí hiệu S bằng “ ≤ ” và ñọc “ a b ≤ ” là “a bé hơn b”. 7 ðịnh nghĩa 14. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a X ∈ gọi là phần tử tối tiểu ( phần tử tối ñại) của X nếu quan hệ x a ≤ ( a x ≤ ) kéo theo x = a . Ví dụ. 1. Trong tập hợp các số tự nhiên thực sự lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết, các phần tử tối tiểu là các số nguyên tố. 2. Tập hợp các số thực với quan hệ thứ tự thông thường, không có phần tử tối ñại cũng không có phần tử tối tiểu. ðịnh nghĩa 15. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a X ∈ gọi là phần tử bé nhất ( phần tử lớn nhất) của X nếu với mọi x X ∈ ta có a x ≤ ( x a ≤ ). Ví dụ. 1. Tập hợp các số tự nhiên sắp thứ tự theo quan hệ “ chia hết” có phần tử bé nhất là 1 và phần tử lớn nhất là 0. Nếu sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự thông thường, tập hợp các số tự nhiên có phần tử bé nhất là 0 và không có phần tử lớn nhất. 2. Tập hợp các số thực với quan hệ thứ tự thông thường không có phần tử bé nhất cũng không có phần tử lớn nhất. ðịnh nghĩa 16. Ta bảo một tập hợp X là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và nếu mọi bộ phận khác rỗng của X có một phần tử bé nhất. 1.3. Ánh xạ 1.3.1. ðịnh nghĩa ánh xạ và ví dụ ðịnh nghĩa 17. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý. Ta gọi là ánh xạ từ X ñến Y một quy tắc nào ñó cho ứng mỗi phần tử x X ∈ với một phần tử duy nhất y Y ∈ . Kí hiệu: f, g, h,… f là một ánh xạ ñi từ X ñến Y, f:X Y → hoặc f X Y → y = f(x) : y là giá trị của f tại x. Tập X: Tập nguồn (miền xác ñịnh) của ánh xạ f. Tập Y: Tập ñích (miền giá trị) của ánh xạ f. Ví dụ. 1. Khi chấm bài người thầy giáo ñã thực hiện một ánh xạ từ tập bài ñến tập các số {0,1,2,…,10}. Qui tắc ứng với mỗi bài với một ñiểm chính là tiêu chuẩn cho ñiểm. 2. Phép cộng trên tập các số tự nhiên là một ánh xạ: × → ℕ ℕ ℕ ánh xạ này ứng với mỗi cặp số tự nhiên (x, y) với số x + y: f: × → ℕ ℕ ℕ (x, y) x+y ֏ Phép trừ không phải ánh xạ từ × → ℕ ℕ ℕ . Tại sao? Phép trừ là một ánh xạ từ × → ℤ ℤ ℤ hay × → ℝ ℝ ℝ ? Tương tự xét với phép nhân và phép chia. Chú ý. 8 + Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh xạ từ X ñến Y khi có những phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y hoặc khi có phần tử của X ứng với hơn một phần tử trong Y. + Trong một ánh xạ mỗi phần tử thuộc nguồn ñều có ảnh duy nhất ñiều ñó có nghĩa là nếu: f:X Y → là một ánh xạ thì từ 1 2 1 2 x x (x , x X) = ∈ 1 2 f(x ) f(x ) ⇒ = hoặc từ 1 2 f(x ) f(x ) ≠ ta phải có 1 2 x x ≠ . + Tuy mỗi phần tử của nguồn có một ảnh duy nhất nhưng có thể xảy ra trường hợp hi hay nhiều phần tử có chung một ảnh. Cũng như vậy, có thể xảy ra trường hợp một phần tử của tập ñích không phải là ảnh của bất kì phần tử nào của nguồn. 1.3.2. ðồ thị của ánh xạ ðịnh nghĩa 18. Ánh xạ f:X Y → . Tập F các cặp (x, y) sao cho y = f(x) gọi là ñồ thị của ánh xạ f. Ví dụ. Xác ñịnh ñồ thị của 2 y = x . 1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ ðịnh nghĩa 19. Giả sử f và g là hai ánh xạ từ X ñến Y. ánh xạ f gọi là bằng nhau nếu f (x) g(x) = với x X ∀ ∈ . Ví dụ. 1. f: → ℝ ℝ ; g: → ℝ ℝ 2 x x 1 − ֏ x (x 1)(x+1) − ֏ Là hai ánh xạ bằng nhau. 2. f: → ℝ ℝ ; [ ] g: 1, 1 → − ℝ x sin x ֏ x sin x ֏ Là hai ánh xạ không bằng nhau. Sự thu hẹp một ánh xạ. Giả sử cho ánh xạ f:X Y → , A X ⊂ . Khi ñó ta xác ñịnh một ánh xạ g:A Y → sao cho x A: g(x) = f(x). ∀ ∈ Ánh xạ g xác ñịnh như vậy gọi là ánh xạ thu hẹp của f vào tập con A và thường ñược kí hiệu: A g = f . Ví dụ. Ánh xạ : , 2 1 f g n n A = → + ℕ ℤ ֏ là thu hẹp của ánh xạ : , 2 1 f n n → + ℤ ℤ ֏ Sự mở rộng một ánh xạ. Giả sử g:A Y → là ánh xạ xác ñịnh trên tập con A của X và giả sử có f:X Y → sao cho A f g. = Khi ñó ta nói rằng ánh xạ f là mở rộng của ánh xạ g trên toàn tập X. Ví dụ. Mở rộng ánh xạ g trong ví dụ trên. 1.3.4. Ảnh và tạo ảnh Cho ánh xạ f:X Y → . Giả sử x và y là các phần tử của X và Y sao cho y = f(x). ta gọi phần tử y là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f, còn phần tử x gọi là một tạo ảnh của phần tử y. a, Ảnh của một tập hợp ðịnh nghĩa 20. Cho ánh xạ f:X Y → và A là một tập con của X. Tập con của Y gồm ảnh của tất cả các phần tử của A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A). 9 Từ ñịnh nghĩa ta thấy rằng: y Y, y f(A) x A: y = f(x) ∈ ∈ ⇔ ∃ ∈ . hay: { } f(A) = y Y x A: y = f(x) ∈ ∃ ∈ Imf = f(X): Ảnh toàn phần của X qua ánh xạ f. Ví dụ. X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d, e, f} f: 1 2 3 4 a d c d       ; A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4} ; C = {2, 4} Suy ra: f(A) = {a, d, c}, f(B) = {c, d}, f(C) = {d}, f(X) = {a, c, d} Chú ý. Ánh xạ f:X Y → : + A , A X ≠ ∅ ⊂ thì f(A) ≠ ∅ . + { } A= a thì { } f(A) f(a) = . ðịnh lý 2. Cho ánh xạ f:X Y → với hai tập con tuỳ ý A, B của X ta có: f(A B) = f(A) f(B) f(A B) f(A) f(B) ∪ ∪ ∩ ⊂ ∩ b, Tạo ảnh của một tập hợp ðịnh nghĩa 21. Cho ánh xạ f:X Y → và U là một tập hợp con tuỳ ý của Y. Tập hợp con của X gồm tất cả các phần tử x X ∈ sao cho f (x) U ∈ gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua ánh xạ f và ñược kí hiệu bởi 1 f (U) − . { } 1 f (U) = x X f(x) U − ∈ ∈ Ví dụ. X = {a, b, c, d}; Y ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} f:X Y → cho bởi bảng: a b c d 2 1 2 5       Cho: B = {1, 3} thì { } 1 f (B) = b − B = {1, 2} thì { } 1 f (B) = a, b, c − Chú ý. + Nếu B là tập con khác rỗng của Y thì 1 f (B) − là tập con của X, tập này có thể là tập rỗng. + Nếu 1 2 1 2 y , y Y; y y ∈ ≠ thì 1 1 f (y ) − và 1 2 f (y ) − là hai tập con rời nhau của X: 1 1 1 2 1 2 1 2 y , y Y; y y f (y ) f (y ) − − ∈ ≠ ⇒ ∩ = ∅ . ðịnh lý 3. Cho ánh xạ f:X Y → . Với hai tập con tuỳ ý A, B của Y ta có: 1 1 1 1 1 1 f (A B) = f (A) f (B) f (A B) = f (A) f (B) − − − − − − ∪ ∪ ∩ ∩ 1.3.5. Tích ánh xạ ðịnh nghĩa 22. Giả sử cho hai ánh xạ f:X Y → , g :Y Z → . Ánh xạ: X Z x g(f(x)) → ֏ ñượ c g ọ i là tích của hai ánh xạ f và g, kí hiệu bởi: g f  hoặc gf. Theo ñịnh nghĩa ta có x X: g f(x)= g(f(x)) ∀ ∈  . [...]... hai ngôi trong X n u và ch n u xy ∈ A v i m i x, y ∈ A Phép toán hai ngôi * xác ñ nh trong b ph n n ñ nh A b i quan h x*y = xy v i m i x,y ∈ A g i là cái thu h p vào A c a phép toán hai ngôi trong X Hay * là phép toán c m sinh trên A b i phép toán hai ngôi “.” c a X Ta thư ng ký hi u phép toán c m sinh như phép toán c a X ð nh nghĩa 3 M t phép toán hai ngôi trong m t t p h p X g i là k t h p n u và ch... hai s t nhiên là nh ng phép toán hai ngôi Trong t p h p ℕ *= ℕ - {0}, phép h p thành xy c a x và y là m t phép toán hai ngôi 2) Trong t p ℤ các s nguyên, phép tr hai s nguyên thông thư ng là m t phép toán hai ngôi, nhưng trong t p ℕ các s t nhiên phép tr hai s t nhiên thông thư ng không là m t phép toán hai ngôi ð nh nghĩa 2 M t b ph n A c a X g i là n ñ nh ñ i v i phép toán hai ngôi trong X n u và... ∀n ∈ N *) Tài li u h c t p [1] Hoàng Xuân Sính, Tr n Phương Dung, (2004), Nh p môn Toán cao c p, Nhà xu t b n ð i h c Sư ph m [2] Hoàng Xuân Sính, Nguy n M nh Trinh, (1998), T p h p và lôgic, Nhà xu t b n giáo d c 15 [3] Phan Doãn Tho i (ch biên), (2003), Bài t p ð i s và S h c, Nhà xu t b n ð i h c Sư ph m *) Câu h i, bài t p, n i dung ôn t p và th o lu n 1.1 Các t p dư i ñây ñư c cho b ng cách ch... (Lý thuy t: 10; Bài t p, th o lu n: 05) *) M c tiêu: - Sinh viên c n n m ñư c m t s khái ni m cơ b n v c u trúc ñ i s : Nhóm, vành, trư ng Nghiên c u k v vành s th p phân, vành ña th c, trư ng s h u t , trư ng s th c, trư ng s ph c, trư ng phân th c h u t - V n d ng ñ gi i quy t nh ng bài t p liên quan 2.1 Sơ lư c v nhóm, vành, trư ng 2.1.1 Phép toán hai ngôi ð nh nghĩa 1 Ta g i phép toán hai ngôi (hay... phép toán hai ngôi trong t p X M t ph n t e c a X ñư c g i là ñơn v trái c a phép toán hai ngôi trong X n u và ch n u: ex = x , v i m i x ∈ X Tương t , m t ph n t e c a X ñư c g i là ñơn v ph i c a phép toán hai ngôi n u và ch n u: xe = x , v i m i x ∈ X Trong trư ng h p m t ph n t e c a X v a là ph n t ñơn v trái, v a là ph n t ñơn v ph i thì e g i là ph n t ñơn v (hay ph n t trung l p) c a phép toán. .. 1 N u m t phép toán hai ngôi trong m t t p h p X có m t ñơn v trái e’ và m t ñơn v ph i e’’, thì e’= e’’ H qu M t phép toán hai ngôi có nhi u nh t m t ph n t trung l p 2.1.1 Nhóm a N a nhóm ð nh nghĩa 5 Ta g i là n a nhóm m t t p h p X cùng v i m t phép toán hai ngôi k t h p ñã cho trong X M t n a nhóm X có ph n t trung l p ñư c g i là m t v nhóm M t n a nhóm là giao hoán n u phép toán c a nó là giao... ñ khác ñư c g i là các m nh ñ sơ c p b Các phép toán lôgic trên m nh ñ V i các phép toán ñ i s , t các s x, y nào ñó ta có th l p ñư c các s m i – x, x + y, x – y, x.y, … Tương t như th trên t p h p các m nh ñ v i m t vài m nh ñ cho trư c b ng m t qui t c nh t ñ nh ta có th l p ñư c các m nh ñ m i Các quy t c thi t l p m nh ñ m i này g i là các phép toán m nh ñ *) Phép ph ñ nh ð nh nghĩa 27 Ph ñ... hoán n u phép toán c a nó là giao hoán M t b ph n n ñ nh A c a n a nhóm X, cùng v i phép toán c m sinh trên A ñư c g i là n a nhóm con A c a n a nhóm X Ví d T p h p ℕ cùng v i phép toán c ng các s t nhiên thông thư ng trên ñó là m t n a nhóm, hơn n a là m t v nhóm v i ph n t trung l p là 0; T p h p ℕ cùng v i phép toán nhân các s t nhiên thông thư ng trên ñó là m t n a nhóm, hơn n a là m t v nhóm v i... mũ l , v y ta không th có ñ ng th c a 2 = 2b 2 ph thông, các h c sinh ñã làm quen v i các s th c 2 và π qua môn hình h c; b c ñ i h c, ngay t năm ñ u, s ’’e’’ quen thu c c a môn Gi i tích cũng là m t ví d v m t s th c không ph i là s h u t Ta không ñ t v n ñ xây d ng các s th c và các phép toán c ng và nhân c a chúng ñây ñ ñư c trư ng s th c ℝ Ta ch nói m t cách tr c giác r ng: ℝ là t p h p bao g... Vì v y, 1 cách t nhiên ta hãy xét t p ℂ các c p s th c z = (a, b): ℂ ={(a, b): a, b ∈ ℝ } Sau ñó ñưa vào quan h b ng nhau và các phép toán sao cho v i chúng ℂ tr thành 1 trư ng ch a ℝ như 1 trư ng con (qua phép ñ ng nh t nào ñó) Các phép toán này ñư c d n d t t các phép toán c a trư ng ℝ v i chú ý i2 =-1 i) Quan h b ng nhau (a,b) = (c,d) ⇔ a = c và b = d ii) Phép c ng : (a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) . 0 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1 MỤC LỤC CHƯƠNG 1. Tập hợp và lôgíc 2 1.1. Tập hợp 2 1.1.1. Khái. B × C gồm bao nhiêu phần tử nếu: a) A gồm 2 phần tử, B gồm 4 phần tử, C gồm 3 phần tử. b) A gồm p phần tử, B gồm q phần tử, C gồm r phần tử. 1.13 Hãy liệt kê các phần tử của các tập con. rằng: 2 n > n, n N ∀ ∈ . *) Tài liệu học tập [1]. Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung, (2004), Nhập môn Toán cao cấp, Nhà xuất bản ðại học Sư phạm. [2]. Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Mạnh