Trước hết ta xét trường số hữu tỷ ℚ, nó là trù mật, có nghĩa là cho hai số hữu tỷ x, y với x < y, bao giờ cũng có một số hữu tỷ z sao cho x < z < y (chẳng hạn lấy
2
x y
z= + ); tuy vậy ℚ vẫn chưa ñáp ứng ñược các yêu cầu của hoạt ñộng thực tiễn. Chẳng hạn, nếu ta ño ñường chéo của một hình vuông mà cạnh là ñơn vị dài, thì ñộ dài ñường chéo ñó có bình phương bằng 2. Nhưng tập hợp số hữu tỷ q không có số nào mà bình phương bằng 2. Thật vậy giả sử có x a
b = ∈ℚ sao cho 2 2 2 2 a x b
= = . Thế thì a2 =2b2, nhưng trong dạng phân tích hai số nguyên a, b thành tích những thừa số nguyên tố 2 có mặt trong a2 với số mũ chẵn và có mặt trong 2b2 với số mũ lẻ, vậy ta không thể có ñẳng thức a2 =2b2.
Ở phổ thông, các học sinh ñã làm quen với các số thực 2 và πqua môn hình học; ở bậc ñại học, ngay từ năm ñầu, số ’’e’’ quen thuộc của môn Giải tích cũng là một ví dụ về một số thực không phải là số hữu tỷ.
Ta không ñặt vấn ñề xây dựng các số thực và các phép toán cộng và nhân của chúng ở ñây ñể ñược trường số thực ℝ. Ta chỉ nói một cách trực giác rằng: ℝ là tập hợp bao gồm các số thập phân vô hạn không tuần hoàn chu kỳ khác (9) và các số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Các phần tử của ℝ gọi là các số thực; số thực không hữu tỷ gọi là số vô tỷ.
Ta có các bao hàm thức sau:
32 trong ñó A là vành các số thập phân hữu hạn.
Như trên ñã nói về số π, trong tính toán người ta chỉ cần lấy giá trị với bốn số ñúng ở phần thập phân của πcũng ñã ñủ cho nhu cầu thực tiễn. ðối với các số thực khác ta cũng tính toán với giá trị xấp xỉ của nó. Cụ thể, giả sử α là một số thực không âm và có dạng thập phân là
α= A a a a0, 1 2... n Với mọi chỉ số n ∈N, ñặt
αn = A a a a0, 1 2... n
thế thì αn là một số thập phân hữu hạn và α=sup {αn|n N∈ }. Ta gọi αn là xấp xỉ thiếu cấp n của α.
Trên thực tế, việc tính toán các số thực thường ñược ñưa về tính toán trên các số thập phân hữu hạn và kết quả nhận ñược là kết quả gần ñúng. Tuy nhiên, nếu lấy ñến xấp xỉ thiếu cấp n ñủ lớn thì ta có thể nhận ñược kết quả với sai số nhỏ tuỳ ý.