2.1.1. Phép toán hai ngôi
ðịnh nghĩa 1. Ta gọi phép toán hai ngôi (hay gọi tắt là phép toán) trong một tập hợp X một ánh xạ từ X ×X ñến X. Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y.
Chú ý. Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép cộng
và phép nhân). Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi.
Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Ví dụ.
1) Trong tập ℕ các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những phép toán hai ngôi. Trong tập hợp ℕ*= ℕ- {0}, phép hợp thành xy của x và y là một phép toán hai ngôi.
2) Trong tập ℤ các số nguyên, phép trừ hai số nguyên thông thường là một phép toán hai ngôi, nhưng trong tập ℕ các số tự nhiên phép trự hai số tự nhiên thông thường không là một phép toán hai ngôi.
ðịnh nghĩa 2. Một bộ phận A của X gọi là ổn ñịnh ñối với phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu xy A∈ với mọi x, y ∈A.
Phép toán hai ngôi * xác ñịnh trong bộ phận ổn ñịnh A bởi quan hệ x*y = xy với mọi x,y ∈A
gọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X. Hay * là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán hai ngôi “.” của X. Ta thường ký hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X.
ðịnh nghĩa 3. Một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu ta có: (xy)z = x(yz) với mọi x,y,z ∈ X; gọi là giao hoán nếu: xy = yx với mọi x,y ∈ X.
Ví dụ. Phép nhân, phép cộng trong ℕ là kết hợp, giao hoán; nhưng phép mũ hóa trong ℕ không kết hợp, không giao hoán.
ðịnh nghĩa 4. Giả sử cho một phép toán hai ngôi trong tập X. Một phần tử e của X ñược gọi là
ñơn vị trái của phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu: ex x= , với mọi x X∈ .
Tương tự, một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị phải của phép toán hai ngôi nếu và chỉ nếu:
xe x= , với mọi x X∈ .
Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải thì e gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi.
25
Ví dụ. Trong ví dụ 1) ở trên, phần tử 0 là phần tử trung lập của phép cộng trong ℕ, phần tử 1 là phần tử ñơn vị của phép nhân trong ℕ.
ðịnh lý 1. Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có một ñơn vị trái e’ và một ñơn vị
phải e’’, thì e’= e’’.
Hệ quả. Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập
2.1.1 Nhóm
a. Nửa nhóm
ðịnh nghĩa 5. Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp ñã
cho trong X.
Một nửa nhóm X có phần tử trung lập ñược gọi là một vị nhóm. Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán. Một bộ phận ổn ñịnh A của nửa nhóm X, cùng với phép toán cảm sinh trên A ñược gọi là nửa nhóm con A của nửa nhóm X.
Ví dụ. Tập hợp ℕ cùng với phép toán cộng các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử trung lập là 0;
Tập hợp ℕ cùng với phép toán nhân các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử ñơn vị là 1.
Chú ý. Cho nửa nhóm X. Ta ký hiệu giá trị chung của hai vế của ñẳng thức: (xy)z = x(yz)
Bằng ký hiệu duy nhất xyz, gọi là tích của ba phần tử x, y, z lấy theo thứ tự ñó. Cũng như vậy, ta ñặt: xyzt = (xyz)t và gọi là tích của bốn phần tử x,y,z,t lấy theo thứ tự ñó. Tổng quát, ta ñặt:
x1x2….xn-1xn = (x1x2…xn-1)xn và gọi là tích của n phần tử x1, x2, …. xn lấy theo thứ tự ñó.
ðịnh lý 2 (ñịnh lý kết hợp). Giả sử x1, x2,….xn là n (n≥3) phần tử của một nửa nhóm X, thế thì: x1x2……xn = (x1….xi)(xi+1….xj)….(xm+1…xn) .
ðịnh nghĩa 6. Trong một nửa nhóm X, lũy thừa n ( n là một số tự nhiên khác 0) của một phần tử
a ∈X là tích của n phần tử ñều bằng a, kí hiệu an. - Từ ñịnh lý 2, ta có quy tắc: am.an = am+n , (am)n = amn.
- Trong trường hợp phép toán hai ngôi trong X ñược ký hiệu là + thì tổng của n phần tử ñều bằng
a gọi là bội của a, ký hiệu na. Quy tắc trên ñược viết thành:
ma + na = (m+n)a, n(ma)= (nm)a.
ðịnh lý 3. Trong một nửa nhóm giao hoán X, tích: x1x2…xn không phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử.
Ví dụ.
1) Tập hợp các số tự nhiên ℕvới một trong các phép toán hai ngôi sau: phép cộng, phép nhân, phép lấy ƯCLN, phép lấy BCNN là một nửa nhóm giao hoán. ðối với phép cộng, phép nhân
ℕcòn là một vị nhóm giao hoán.
2) Tập hợp ( )P X các bộ phận của một tập X là một vị nhóm giao hoán với mỗi phép toán hai ngôi là phép giao hai tập hợp và phép hợp hai tập hợp.
b. Nhóm
26 * Nhóm X là một nửa nhóm X có các tính chất sau: (i), Có phần tử trung lập e.
(ii), Với mọi x∈X, có một phần tử x’ sao cho: x’x = xx’ = e
(phần tử x’ gọi là phần tử ñối xứng hay nghịch ñảo của x) Như vậy, nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử ñều có nghịch ñảo.
* Nếu X là tập hợp hữu hạn thì ta gọi X là một nhóm hữu hạn, số phần tử của nhóm X ñược gọi là cấp của nhóm X.
* Nếu phép toán hai ngôi trong X giao hoán thì X ñược gọi là nhóm giao hoán hay nhóm abel.
Ví dụ.
1) Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng thông thường các số nguyên là một nhóm, phần tử trung lập là 0, ta gọi là nhóm cộng các số nguyên.
2) Tập hợp các số hữu tỉ khác 0 cùng với phép nhân thông thường các số hữu tỷ là một nhóm, phần tử ñơn vị là 1, gọi là nhóm nhân các số hữu tỷ khác 0.
Ngoài các tính chất của nửa nhóm, nhóm còn có các tính chất sau:
ðịnh lý 4. Mỗi phần tử của nhóm chỉ có một phần tửñối xứng.
Chú ý.
+ Nếu phép toán hai ngôi của nhóm ký hiệu là dấu . (dấu +) thì phần tử ñối xứng của x ký hiệu là x-1(-x) gọi là phần tử nghịch ñảo (phần tử ñối) của x.
+ Từ ñịnh nghĩa ta có: (x-1)-1 = x ( hay -(- x)x = x ).
+ Nếu nhóm là abel và phép toán của nhóm ký hiệu bằng dấu . ( dấu +) thì phần tử xy-1 = y-1x ( x + (-y) = (-y) + x ) ký hiệu là x/y ( x-y) và gọi là thương của x trên y ( hiệu của x và y).
ðịnh lý 5 (luật giản ước).
Trong một nhóm, ñẳng thức xy = xz ( yx = zx ) kéo theo ñẳng thức x = y.
ðịnh lý 6.
Trong một nhóm, phương trình ax =b (xa = b) có nghiệm duy nhất x = a-1b (x = ba-1).
ðịnh lý 7. Trong một nhóm, ta có: (xy)-1=y-1x-1 , với x, y là hai phần tử bất kỳ của nhóm.
Chứng minh.
Ta có: (xy)(y-1x-1) = x(yy-1)x-1 = xx-1 = e (y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = y-1y = e
Tức là: (xy)-1 = y-1x-1.
Từ ñó, ta có ñiều phải chứng minh.
Chú ý:
ðịnh lý này mở rộng cho một số nguyên dương n tùy ý nhân tử:
(x1x2…..xn)-1 = xn-1…..x2-1x1-1.
ðặc biệt: (an)-1 = (a-1)n
Quy ước:
+ Ký hiệu: a-n = (an)-1, vậy ta có:a-n = (an)-1 = (a-1)n.
+ a0 = e.
Như vậy, ta ñã ñịnh nghĩa ñược aλ với mọi số nguyên λ. Ta vẫn có hai tính chất: a aλ µ aλ µ+
=
( )aλ µ aλµ
27
ðịnh lý 8. Một nửa nhóm X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: (i), X có một ñơn vị trái e
(ii), Với mọi x X∈ , có một x'∈X sao cho x x e' = .
Chú ý. Ta cũng ñược ñịnh lý tương tự nếu thay i, và ii bởi phần tử ñơn vị phải và nghịch ñảo phải.
ðịnh lý 9. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình: ax = b và ya = b có nghiệm trong X với mọi a b X, ∈ .
c. Nhóm con
ðịnh nghĩa 8.Một bộ phận ổn ñịnh A của nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm.
Ví dụ.
+ Nhóm cộng các số nguyên Zlà một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ ℚ.
+ Tập con {1,-1} là 1 bộ phận ổn ñịnh của nhóm nhân Z, nhưng lại không là 1 nhóm con.
ðịnh lý 10. Một bộ phận của một nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau là thỏa mãn:
i, Với mọi x y A, ∈ thì xy A∈
ii, e A∈ , với e là phần tử trung lập của X iii, Với mọi x A x∈ , −1∈A.
Hệ quả. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Khi ñó, các ñiều sau là tương ñương: a, A là một nhóm con của X.
b, Với mọi x y, ∈A xy A, ∈ và x−1∈A. c, Với mọi x y A xy, ∈ , −1∈A
Ví dụ.
1) Bộ phận mZ={ma a, ∈Z}, gồm tất cả các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z.
2) Cho nhóm con X, bộ phận A={ ,aλ λ∈Z} gồm các lũy thừa nguyên của phần tử a X∈ là một nhóm con của nhóm X. ( ví dụ 1 là trường hợp ñặc biệt của ví dụ 2)
3) Bộ phận {e} chỉ gồm một phần tử trung lập của nhóm X, và bộ phận X là hai nhóm con của nhóm X. Người ta gọi chúng là những nhóm con tầm thường của nhóm X.
ðịnh lý 11. Giao một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X.
Nhận xét. Giả sử U là một bộ phận của nhóm X, khi ñó U chứa trong ít nhất một nhóm con của
X, giao tất cả các nhóm con chứa U của nhóm X là một nhóm con của X, và là nhóm con nhỏ nhất của X chứa U.
d. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương
Giả sử A là một nhóm con của nhóm X, ta ñịnh nghĩa quan hệ tương ñương ∼ trong tập X như sau: với mọi ,x y X∈ , x∼ y nếu và chỉ nếu x y A−1 ∈ .
28
Bổñề: x xA=
ðịnh nghĩa 9. Một nhóm con A của X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x ax A−1
∈ với mọi ,
a A x X∈ ∈ .
ðịnh lý 12. Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc thì:
i, Quy tắc cho tương ứng cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X A X A/ × / ñến X A . /
ii, X/A cùng với phép toán hai ngôi:( ,xA yA)֏xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A.
2.1.3 Vành
ðịnh nghĩa 10. Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi ñã cho trong X ký hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các ñiều kiện sau ñược thoả mãn:
1) X cùng với phép cộng là một nhóm abel. 2) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm
3) Phép nhân phân phối ñối với phép cộng: với các phần tử tuỳ ý x,y,z X∈ ta có
x(y + z)= xy +xz (y + z)x= yx +zx
- Phần tử trung lập của phép cộng ký hiệu là 0. và gọi là phần tử không. Phần tử ñối xứng (với phép cộng) của phần tử x thì ký hiệu là -x và gọi là ñối của x.
- Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành X là vành giao hoán.
- Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử ñó gọi là phần tử ñơn vị của X, và thường ñược ký hiệu là e hay 1.
Ví dụ.
1) Tập hợp ℤ các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông thường lập thành một vành giao hoán có ñơn vị gọi là vành các số nguyên. Tương tự ta cũng có vành các số hữu tỷ, vành các số thực, vành các số phức với phép cộng và nhân thông thường.
2) Tập hợp ℤn
ℤcác số nguyên mod n cùng với phép cộng và phép nhân các số nguyên mod n là một vành giao hoán có ñơn vị, gọi là vành các số nguyên mod n.
3) Cho X là một nhóm giao hoán mà phép toán ñược ký hiệu là phép cộng. Tập hợp ( , )
E=Hom X X các tự ñồng cấu từ X vào X ñược trang bị hai phép toán như sau:
- Phép cộng: ( , )f g ֏ f +g f(( +g x)( )= f x( )+g x( ))làm cho E là một nhóm cộng giao hoán với phần tử không là ánh xạ 0, xác ñịnh bởi 0(x)=0 với mọi x X∈ , phần tử ñối của f là –f xác ñịnh bởi (– f)(x)= – f(x) với mọi x X∈
- Phép nhân: ( , )f g ֏ fg. Ta có (g h f+ ) =gf +hf f g h; ( + )= fg+ fh
Vậy, E cùng với hai phép toán ñó lập thành một vành, gọi là vành các tự ñồng cấu nhóm của nhóm X, vành này có ñơn vị là ñồng cấu ñồng nhất idX .
Ngoài các tính chất là một nhóm cộng giao hoán và một nửa nhóm nhân, một vành còn có các tính chất suy ra từ luật phân phối.
ðịnh lý 13. Cho X là một vành. Với mọi x,y,z ∈ X ta có: i) x(y – z)= xy – xz
29
ii) 0x = x0 = 0
iii) x(– y)= (– x)y = – xy; (–x)( –y)= xy
* Ước của không, miền nguyên
ðịnh nghĩa 14. Giả sử X là một vành giao hoán. Ta nói một phần tử a X∈ là bội của một phần tử b X∈ hay a chia hết cho b, ký hiệu a b⋮ , nếu có c X∈ sao cho a = bc; ta còn nói b là ước của a hay b chia hết a, ký hiệu |b a
ðịnh nghĩa 15.Phần tử a≠0 ñược gọi là ước của không, nếu có b≠0sao cho ab = 0.
Ví dụ.Trong vành 6ℤ
ℤthì phần tử 2;3 là các ước của không, do 2.3 6 0= =
Chú ý. Trong vành không có ước của không, mọi phần tử khác không ñều là chính quy. Thật vậy, quan hệ ab=ac tương ñương với quan hệ a(b - c)=c.
ðịnh nghĩa 16.Ta gọi là miền nguyên, một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có ñơn vị và không có ước của 0.
Ví dụ. Vành các số nguyên ℤlà một miền nguyên.
*) Vành con
ðịnh nghĩa 17. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn ñịnh ñối với hai phép toán trong X nghĩa là x + y ∈A, x.y∈A. A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
ðịnh lý 14. Giả sử A là một bộ phận ổn ñịnh của vành X. Các ñiều sau là tương ñương: a) A là một vành con của X
b) Với mọi x, y A∈ , x + y A∈ , xy A∈ , – x A∈
c) Với mọi x ,y A∈ , x – y A∈ .
Ví dụ.
1) Bộ phận {0} chỉ gồm một phần tử 0 và bộ phận X là hai vành con của vành X.
2) Bộ phận mℤ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một vành con của vành các số nguyên ℤ.
2.1.4. Trường
2.1.4.1. Trường
ðịnh nghĩa 18.Ta gọi là trường là một miền nguyên X trong ñó mọi phần tử khác không ñều có một nghịch ñảo trong vị nhóm nhân X.
Nhận xét.Vậy, một vành giao hoán, có ñơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường khi và chỉ khi X-{0} là một nhóm ñối với phép nhân của X.
Ví dụ. Tập hợp các số hữu tỷ ℚ cùng với phép cộng và phép nhân các số lập thành một trường. Ta cũng có trường cácsố thực ℝ và trường các số phức ℂ.
2.1.4.2.Trường con
ðịnh nghĩa 19. Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của X ổn ñịnh ñối với hai phép toán
trong X. A là một trường con của trường X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường.
30
ðịnh lý 15. Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử của một trường X. Các ñiều kiện sau là tương ñương.
a) A là một trường con của trường X