{ | ( , ) 0, }
o
W = α∈V η α β = ∀ ∈β W thì Wo là một không gian vectơ con của V.
Thực vậy, rõ ràng Wo ổn định với phép toán cộng các vectơ và phép toán nhân một vectơ với một số và Wo không rỗng (vì 0∈Wo).
c. Nếu tổng trực tiếp W ⊕Z của hai không gian vectơ con W, Z của V có tính chất ( , ) 0η α β =với mọi α∈W, β∈Z thì ta viết W⊕Z thành W⊕Z và gọi nó là tổng trực tiếp trực giao của với mọi α∈W, β∈Z thì ta viết W⊕Z thành W⊕Z và gọi nó là tổng trực tiếp trực giao của
W, Z.
d. Gọi Vo ={α∈V| ( , ) 0,η α β = ∀ ∈β V} là hạch của η thì hạng η = dim V – dim Vo và với mọi bù tuyến tính W của Vo trong V ta có η|W không suy biến và V V= o⊕W
2. V V= o⊕W thì rõ ràng V V= o⊕W . Nếu η|W suy biến thì có α∈W−{0} sao cho ( , ) 0,= ∀ ∈W
η α β β , từđó α∈Vo. Điều này vô lý vì Vo∩W ={0}. Vậy η|W không suy biến.
3.4.4. Định lý chỉ số quán tính
Định nghĩa: H là một dạng toàn phương trên ℝ- không gian vectơ V. Khi đó, H là một ánh xạ
từ V đến ℝ.
Nói ℝ xác định nếu ( ) 0H α = kéo theo α=0. Nói H không âm nếu ( ) 0H α ≥ với mọi α∈V
Nói H không dương nếu ( ) 0H α ≤ với mọi α∈V. Khi H xác định không âm (hay không dương) thường nó H xác định dương (xác định âm).
Ta cũng nói dạng cực η của H là xác định, không âm, không dương nếu H như thế.
Định lý: H là một dạng toàn phương trên ℝ- không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là tổng trực tiếp trực giao (đối với H): V V= +⊕V−⊕Vo mà H V| + xác định dương, H V| − xác định âm ,
| o 0
H V = . Có thể có nhiều cách phân tích như thế, nhứng V luôn là ho ạch của H và
dimV+ = p, dimV− =q luôn không đổi, p, q theo thứ tự gọi là chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của H, cặp số (p,q) gọi là chỉ số quán tính của H (hay dạng cực η hay của ma trận đối xứng A của H trong một cơ sở của V)
3.4.5. Định lý Sylvester
Bổ đề: H là dạng toàn phương trên ℝ- không gian vectơ V, ( , ,..., )ε ε1 2 εn là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V mà với mỗi k=1,2,…,n. đặt Vk =<ε ε1, ,...,2 εk > thì H V không suy bi| k ến. khi đó có thể xây dựng hệ vectơ ( ,µ µ1 2,...,µn)một cách qui nạp như sau:
1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) k k i k k i i i e e e H + + + = = = −∑ µ η µ µ µ µ Thỏa mãn Vk =<µ µ1, 2,...,µk >, ( , ) 0 (η µ µk i = k i i≠ , =1, 2,..., )n
Định lý Sylvester: H là dạng toàn phương trên ℝ- không gian vectơ hữu hạn chiều, A là ma trận của H trong một cơ sở nào đó. Khi đó:
H xác định dương khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trái trên của A có định thức dương. H xác định âm khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trái trên của A cấp chẵn có định thức dương, cấp lẻ có định thức âm
3.4.6. Dạng toàn phương trong không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều