Unita. Hãy chứng minh rằng với mọi vectơ α của không gian đó, đặt xi=α µi(i=1, 2,..., )m thì
2 2 1 | | m i i x = ≥∑ α (bất đẳng thức Betxen)
8. Chứng minh rằng với không gian vectơ Euclid n chiều V ánh xạ: ( , ) ( , )
V →Hom V R
(x x. )
֏ ֏
α α
là một đẳng cấu (giữa các không gian vectơ thực )
là một đẳng cấu (giữa các không gian vectơ thực ) 1 1 2 3 1 1 3 1 3 ( ) 3 3 3 f ε = ε + − ε + + ε 2 1 2 3 1 3 1 3 ( ) 3 3 3 f = + + +λ− ε ε ε ε
Hãy tìm f( )ε3 để f là một tựđồng cấu trực giao; khi đó hãy xác định tất cả các không gian con f- bất biến.
10. Cho hai hệ vectơ{ ,α α1 2,...,αm},{ , ,...,β β1 2 βm} trong không gian vectơ Euclid n chiều V. Chứng minh rằng có đồng cấu trực giao của V biến mỗi αi thành βi (i = 1,2,…, m) khi và chỉ Chứng minh rằng có đồng cấu trực giao của V biến mỗi αi thành βi (i = 1,2,…, m) khi và chỉ
khi α αi j =β βi j với mọi i, j = 1, 2,…, m.
11. Gọi SO(V2) là nhóm các biến đổi tuyến tính trực giao của không gian vectơ Euclid hai chiều V2 có định thức dương. Chứng minh rằng: chiều V2 có định thức dương. Chứng minh rằng:
a. Nếu f ∈SO V( 2) thì ma trận của nó trong mọi cơ sở trực chuẩn cùng hướng của V2 là giống nhau.
b. Nhóm SO V( 2) là nhóm giao hoán.
c. Nhóm SO V( 2) tác động bắc cầu đơn lên tập S1={α∈V2,|| || 1}α = , tức là cho α α, '∈S1
thì có một và chỉ một f ∈SO V( 2) mà ( )f α =α'.
12. Chứng minh rằng mọi đẳng cấu của không gian vectơ Euclid n chiều, hoán vị các vectơ
của một cơ sở trực chuẩn cho trước là một biến đổi tuyến tính trực giao. Tính định thức của mỗi biến đổi tuyến tính trực giao đó. Viết ma trận trực giao dạng chính tắc của nó trong trường hợp n = 2, n = 3.