Đề cương bài giảng : Toán cơ sở dành cho sinh viên ngành giáo dục mầm non trình độ đại học

Đề cương bài giảng : Toán cơ sở dành cho sinh viên ngành giáo dục mầm non trình độ đại học Đề cương bài giảng : Toán cơ sở dành cho sinh viên ngành giáo dục mầm non trình độ đại học Đề cương bài giảng : Toán cơ sở dành cho sinh viên ngành giáo dục mầm non trình độ đại học

Trường đại học sư phạm Khoa đμo tạo giáo viên mầm non

Nguyễn Thị Tuyết Mai

Đề cương bài giảng Toán cơ sở

Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non

Trình độ đại học

Thái Nguyên - 2009

lời nói đầu Một trong những nhiệm vụ của người giáo viên mầm non là hình thành cho trẻ những biểu tượng toán học sơ đẳng Vì vậy, người giáo viên mầm non cần phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ

Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán

học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần phương pháp hình thành biểu tượng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non Đồng thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d-

ưỡng, phương pháp nghiên cứu khoa học,

Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói riêng đang trên con đường xây dựng và phát triển Vì vậy tài liệu học tập còn rất thiếu thốn Để giúp cho sinh viên có được một tài liệu học tập, được sự phê duyệt của Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên soạn đề cương bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ

đại học Đề cương bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như số học, đại số, hình học và được tham khảo từ nhiều tài liệu Nội

dung đề cương bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp,

quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học giải tích và giải tích tổ hợp

Tác giả mong nhận được những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả

về nội dung cũng như việc trình bày để đề cương bài giảng này được hoàn thiện hơn

Chương 1: Cơ sở của lý thuyết tập hợp

1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó không

được định nghĩa, dưới đây là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp

Những vật, những đối tượng toán học, được tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập những tập hợp

Người ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trong một trường, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các

số hữu tỷ, tập hợp các số thực, tập hợp các nghiệm của một phương trình, Các vật trong tập hợp X được gọi là các phần tử của tập hợp X Kí hiệu

x∈ đọc là “ x là một phần tử của tập X” hoặc “x thuộc X” Nếu x không thuộc X tập X, kí hiệu x∉ X

1.1.2 Phương pháp biểu diễn một tập hợp

a) Phương pháp liệt kê

Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp Các phần tử

được viết trong dấu ngoặc { }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặc dấu ;)

Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d được viết dưới dạng liệt kê là

{ , , , }

A= a b c d

Phương pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có không nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử Trong trường hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biết

được một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không

Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên ={0,1, 2,3, }

+) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2 ={0, 2, 4,6, }

+) Tập hợp cácc ước của 20: 2 ={1, 2, 4,5,10, 20}

Chú ý: Một tập hợp được xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tử

của nó

b) Phương pháp nêu tính chất đặc trưng

Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất

đặc trưng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta có thể xác định được một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không

Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu diễn X như sau: X ={ |x x có tính chất P} hoặc X ={x P x| ( )}

Một tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu: ∅

Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của phương trình x2+ = là tập rỗng 1 0

+) Tập các đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng

Ví dụ: +) Tập các ước của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử)

+) Tập các bội của 3 là tập vô hạn

+) tập các số tự nhiên là tập vô hạn

+) Tập các trẻ trong một lớp là tập hữu hạn

1.1.4 Hai tập hợp bằng nhau

a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đ−ợc gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B khi và

chỉ khi mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ng−ợc lại

Nh− vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử nh− nhau

1.1.5 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp

a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X Một tập hợp A đ−ợc gọi là tập con (hay bộ

phận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X Kí

hiệu A⊂ X (hoặc X ⊃ ) và đọc là A chứa trong X, hoặc A là một bộ phận của A

X, hoặc A là một tập con của X Quan hệ A⊂ X đ−ợc gọi là quan hệ bao hàm

a) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, các tập con của X lập thành một tập

hợp, kí hiệu P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X Tập hợp này bao gồm

ít nhất một phần tử chính là tập X

a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất

một trong hai tập hợp X, Y được gọi là hợp của hai tập hợp X, Y, kí hiệu X ∪ Y

Theo định nghĩa X ∪ =Y { |x x∈ hoặc X x Y∈ }

Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trường hợp n tập hợp:

Định nghĩa: Cho n tập hợp A A1, 2, ,A Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít n

nhất một trong n tập hợp A A1, 2, ,A được gọi là hợp của các tập hợp n

1, 2, , n

A A A , kí hiệu A1∪ A2∪ ∪ A n

b) Ví dụ: +) X ={a b c d Y, , , }, ={d e f, , }⇒ X ∪ =Y {a b c d e f, , , , , }

+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết

cho 6 thì X ∪ là tập các số tự nhiên chia hết cho 2 Y

c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:

tập hợp (phần tử chung của) X, Y được gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệu

X ∩ Y

Theo định nghĩa X ∩ =Y { |x x∈ và X x Y∈ }

Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trường hợp n tập hợp:

Định nghĩa: Cho n tập hợp A A1, 2, ,A n Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tất cả n tập hợp A A1, 2, ,A được gọi là giao của các tập hợp n A A1, 2, ,A , kí hiệu n

A ∩A ∩ ∩ A

b) Ví dụ: +) X ={a b c d Y, , , }, ={d e f, , }⇒ X ∩ =Y { }d

+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết

cho 6 thì X ∩ là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 Y

c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:

+) A ∩ = , A ∩ ∅ = ∅ A A

+) Nếu B ⊂ thì A B B A ∩ =

+) A∩ = ∩ B B A

+) (A∩B)∩ = ∩C A (B∩C)

1.2.3 Hiệu của hai tập hợp

a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc

tập hợp X nhưng không thuộc tập hợp Y được gọi là hiệu của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu X Y\

+) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ

tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y được gọi là tích Đề Các

của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu X ì Y

Theo định nghĩa X ì =Y {( , ) |x y x∈X y, ∈ y}

Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho trường hợp nhiều tập hợp:

Định nghĩa: Cho các tập hợp A A1, 2, ,A n Ta định nghĩa

c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: A ì ∅ = ∅

+) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các

Xì bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y Y

*) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nhưng có tính

a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x

thuộc tập hợp X với một và chỉ một phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y được gọi là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu

:

f X → Y hoặc X ⎯⎯→ f Y

Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y được gọi là tập

đích hay miền giá trị của ánh xạ f

là một ánh xạ từ tập X đến tập Y

+) X ={ }a b Y, , ={1, 2,3} tương ứng:

12

a b

aa

+) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong lớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ)

+) Tương ứng từ tập các con người trên trái đất đến tập các con người trên trái đát theo quy tắc mỗi người phụ nữ tương ứng với con đẻ của mình không phải

là một ánh xạ vì một người phụ nữ có thể có nhiều hơn một con Nhưng nếu theo quy tắc mỗi người với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi người đều có một

và chỉ một mẹ đẻ

Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà

ta đã học trong chương trình phổ thông Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồn

và tập đích là tập hợp số thực hoặc bộ phận của nó và số f(x) tương ứng với x

được xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức lượng giác, chẳng hạn

2

f x = x ư x+ hay ( ) 2sinf x = x+4cos 2x

+) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f(x) tương ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thức

+) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x

+) f A( ) {= y∈Y |∃ ∈ sao cho ( )x A f x = y} là ảnh của tập hợp A bởi f +) f ư1( ) {B = ∈x X f x| ( )∈B} là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f

Nhận xét: +) ( ) f ∅ = ∅ với mọi ánh xạ f

+) A⊂ fư1( ( ))f A với mọi bộ phận A của X

+) B⊃ f f( ư1( ))B với mọi bộ phận B của Y

1.3.3 Đơn ánh

a) Định nghĩa: ánh xạ f X: → được gọi là một đơn ánh nếu với mọi , 'Y x x

thuộc X, nếu ( )f x = f x( ') thì x= hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một x x'thuộc X sao cho f(x) = y

Hay định nghĩa tương đương: ánh xạ f X: → được gọi là một đơn ánh Y

nếu với mọi , 'x x thuộc X, nếu x≠ thì ( )x' f x ≠ f x( ')

a) Định nghĩa: ánh xạ f X: → được gọi là một toàn ánh nếu với mọi phần Y

tử y thuộc Y, có ít nhất một phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y

Hay nói cách khác f là toàn ánh nếu ( )f X = Một toàn ánh còn được Y

gọi là một ánh xạ lên

b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn

a) Định nghĩa: ánh xạ f X: → đ−ợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 – 1) nếu Y

nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh Nói cách khác ánh xạ f X: → là một song Y

ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X sao cho f(x) = y

b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một

song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ

+) ánh xạ đồng nhất là một song ánh

+) ánh xạ f : →2 ,na2n là một song ánh

+) ánh xạ f : → *,nan+1 là một song ánh

1.4 Quan hệ

1.4.1 Quan hệ hai ngôi

a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng Mỗi tập con S của tập tích

Đề Các X ì đ−ợc gọi là một quan hệ hai ngôi trên X Y Y ì

Nếu ( , )x y ∈ ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy S

Nếu ( , )x y ∉ ta nói x không có quan hệ S với y và viết $S x y

Một quan hệ hai ngôi trên Xì đ−ợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâp X

X b) Ví dụ: +) Tập con S ={( , )x y ∈ ì |x= y} xác định quan hệ bằng nhau trên

+) Tập con S ={( , )x y ∈ ì |x≤ y} xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng n trên

c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi

Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X

+) S được gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi x∈ , x có quan hệ S X

với chính nó

+) S được gọi là có tính chất đối xứng nếu với mọi ,x y∈ mà x có quan X

hệ S với y thì y có quan hệ S với x

+) S được gọi là có tính chất phản đối xứng nếu với mọi ,x y∈ mà x có X

quan hệ S với y và y có quan hệ S với x thì x = y

+) S được gọi là có tính chất bắc cầu nếu với mọi , ,x y z∈ mà x có quan X

hệ S với y và y có quan hệ S với z thì x có quan hệ S với z

Hay ta có thể phát biểu ngắn gọn hơn:

+) S được gọi là có tính chất phản xạ nếu ∀ ∈x X xSx,

+) S được gọi là có tính chất đối xứng nếu ∀x y, ∈X xSy, ⇒ ySx

+) S được gọi là có tính chất phản đối xứng nếu

+) S được gọi là có tính chất bắc cầu nếu ∀x y z, , ∈X xSy ySz, , ⇒xSz

Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non

có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

+) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

+) Quan hệ chia hết cho trên tập * các số tự nhiên khác 0 có các tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu

1.4.2 Quan hệ tương đương

a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X được gọi là quan hệ tương

đương trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Quan hệ tương đương trên tập X thường ký hiệu , nếu ,x y∈ , x X

tương đương với y thì ta viết x y

Ví dụ: +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số là một quan hệ tương đương

+) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên là những quan hệ tương đương +) Quan hệ có cùng số dư trong phép chia cho 3 trên tập số tự nhiên là một quan hệ tương đương

b) Lớp tương đương

*) Định nghĩa: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ tương đương a là một phần tử thuộc X Tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà tương đương với a được gọi là lớp tương đương của phần tử a trên quan hệ tương đương , kí hiệu [ ]a

Theo định nghĩa [ ]a ={x∈X x| a}, như vậy lớp tương đương của phần tử a thuộc X là tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà tương đương với a

*) Ví dụ: +) Xét quan hệ tương đương trên các tập hợp số là quan hệ bằng nhau

Lớp tương đương của phần tử a là [a] = {a}

+) Xét quan hệ tương đương trên tập các học viên của lớp mầm non là quan hệ cùng họ thì lớp tương đương của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tất cả các học viên có họ Nguyễn

+) Xét quan hệ tương đương trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số dư trong phép chia cho 3

+) [ ] [ ]a = b ⇔a b

+) Nếu a không tương đương với b thì [ ] [ ]a ∩ b = ∅

c) Tập thương

*) Định nghĩa: Giả sử trên tập X khác rỗng xác định một quan hệ tương đương

Tập hợp tất cả các lớp tương đương của X trên qua hệ tương đương được gọi là tập thương của X trên qua hệ tương đương , kí hiệu X

Theo định nghĩa: X = { [ ] a | a ∈ X } Như vậy mỗi phần tử của tập thương X là một lớp tương đương của một phần tử a của X, tức là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của X mà tương đương với a

*) Ví dụ: +) Xét quan hệ tương đương trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số

dư trong phép chia cho 3 = { [ ] [ ] [ ] 0 , 1 , 2 }

+) Xét quan hệ tương đương trên tập X các học viên của lớp mầm non là quan

hệ cùng họ thì tập thương X ={[Nguyễn], [Trần], [Lê], [Phạm], }

1.4.3 Quan hệ thứ tự

a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự

trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

Tập hợp X được gọi là tập sắp thứ tự nếu trên X có một quan hệ thứ tự

Quan hệ thứ tự trên tập X thường ký hiệu ≤, nếu ,x y∈ , x có quan hệ X

thứ tự ≤ với y thì ta viết x ≤ y

*) Ví dụ:

+) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự +) Quan hệ chia hết cho trên tập *các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ thứ tự

+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là một quan hệ thứ

tự

*) Chú ý: Trong một tập sắp thứ tự X có thể xảy ra 2 trường hợp:

+) Tất cả mọi phần tử của X đều nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan

hệ thứ tự trên X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần

+) Có những phần tử của X không nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó

quan hệ thứ tự trên X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận

*) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự

toàn phần

+) Quan hệ chia hết cho trên tập * các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ thứ tự bộ phận bởi vì chẳng hạn 2, 3 thuộc * nh−ng không nằm trong quan hệ chia hết cho vì 2 không chia hết cho 3 và 3 cũng không chia hết cho 2

+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là quan hệ thứ tự bộ phận Chẳng hạn X = { 1, 2,3 } ⊂ , Y = { 4,5,6,7 } ⊂ nh−ng

đều chia hết cho 1

+) Tập { } *

2,3, 4,5,7,35

D = ⊂ không có phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất

c) Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu

*) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự

+) Một phần tử a ∈ X đ−ợc gọi là phần tử tối đại của X nếu với mỗi

x ∈ X , quan hệ x ≥ a kéo theo x = a

+) Một phần tử a ∈ X đ−ợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọi

x ∈ X , quan hệ x ≤ a kéo theo x = a

*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp *các số tự nhiên khác 0 là quan hệ chia hết cho

+) Tập * chỉ có phần tử tối tiểu là 1, không có phần tử tối đại

*) Chú ý: +) Một tập hợp có nhiều nhất một phần tử lớn nhất và một phần tử nhỏ

1.5.2 Ho¸n vÞ

a) §Þnh nghÜa: Mçi c¸ch s¾p thø tù n phÇn tö ®−îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n

phÇn tö Sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ Pn

b) C«ng thøc

V× mçi ho¸n vÞ cña n phÇn tö chÝnh lµ mét chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö nªn

sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö chÝnh lµ sè c¸c chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö Do

a) §Þnh nghÜa: Mét tËp hîp con gåm k phÇn tö kh¸c nhau (kh«ng ph©n biÖt thø

tù) cña mét tËp hîp gåm n phÇn tö ®−îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö

Sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ Cn k

b) C«ng thøc

V× mçi ho¸n vÞ cña k phÇn tö trong mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö chÝnh lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö nªn mçi tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cã k! chØnh

hợp chập k của n phần tử Do đó số các tổ hợp chập k của n phần tử bằng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử chia cho số các hoán vị của k phần tử

Vậy số các tổ hợp của n phần tử là: !

( )! !

k n

n C

e) Tập hợp các số tự nhiên là bội của 3

f) Tập hợp các chữ số x sao cho 13 8 x chia hết cho 3

2 Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc tr−ng

a) A = { 1, 2, 4,8,16,32 }

a) A là tập các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi

chữ số hàng chục, B là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8 b) A = { x | 6 7 9 ; x M } { B = x | 325 3 x M }

c) A là tập các ước của 18, B là tập các ước của 24

5 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: có 22 học sinh thích bóng đá, 18 học

sinh thích bơi, 25 học sinh thích cầu lông, 13 học sinh thích bóng đá và bơi, 13 học sinh thích bơi và cầu lông, 15 học sinh thíc bóng đá và cầu lông, 9 học sinh thích cả 3 môn và 12 học sinh không thích môn nào Hãy tính xem lớp đó có bao nhiêu học sinh

6 Giả sử X là tập tất cả con người trên trái đất, trên X ta xác định các quan hệ

sau:

a) xS y1 nếu người x không nhiều tuổi hơn người y

b) xS y2 nếu người x cùng giới tính với người y

c) xS y3 nếu người x là con của người y

Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?

7 Chứng minh rằng các quan hệ sau là quan hệ tương đương, tìm tập thương trên

các quan hệ tương đương đó

a) Quan hệ S trên tập các số nguyên như sau: ∀ x y , ∈ , xSy nếu

x + y chia hết cho 2

b) Quan hệ S trên tập các số tự nhiên như sau: ∀ x y , ∈ , xSy nếu x,

y có cùng chữ số hàng đơn vị

c) Quan hệ S trên tập các số thực như sau: ∀ x y , ∈ , xSy ⇔ x = y

8 Xét quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của các tập hợp sau:

a) A = { 1, 2, 4,8,16,32 }

b) B = { 3,6,12, 24,36, 48 }

c) C = { 1, 2, 4,8,12,16,18, 24,32 }

d) D = { 2,3, 4,8,12,16,18, 24 }

9 Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không?

a) Quy tắc cho tương ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình

b) Quy tắc cho tương ứng mỗi người với anh cả của mình

c) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp nó

d) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp nó

e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 được bao nhiêu trừ đi 15

c) f T : → +; x adiện tích tam giác x (T là tập các tam giác)

13 Có thể xếp được bao nhiêu số có 3 chữ số nếu có 5 thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5?

14 Có bao nhiêu các chọn 5 trẻ trong nhóm trẻ gồm 30 trẻ để tổ chức cho trẻ chơi trò chơi? (Giả thiết rằng cơ hội đ−ợc chơi của các trẻ trong nhóm là ngang nhau và việc chọn là vô t− không thiên vị)

14 Tìm khai triển Newton của:

Chương 2: Cấu trúc đại số

2.1 Phép toán hai ngôi

2.1.1 Định nghĩa

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một ánh xạ T: XìX → X được gọi là một phép toán hai ngôi trên X

Giá trị T(x, y) của T tại (x, y) được gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu xTy

+) ánh xạ T: ( ì ) (ì ì )→ ì

((a, b), (c, d)) a (a + c, b + d)

là phép toán hai ngôi trên ì

2.1.3 Các tính chất

a) Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X

+) T được gọi là có tính chất kết hợp nếu ∀a, b, c∈ X ta có

(aT b)T c = aT(bTc)

+) T được gọi là có tính chất giao hoán nếu ∀a, b∈ X ta có aT b = bTa

Ví dụ: +) Phép cộng, nhân thông thường trên các tập số có tính chất giao hoán,

Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X

+) Một phần tử e t∈ đ−ợc gọi là phần tử trung lập trái của T nếu và chỉ X nếu ∀ ∈x X; Te x t = x

+) Một phần tử e p∈ đ−ợc gọi là phần tử trung lập phải của T nếu và chỉ X nếu ∀ ∈x X; Tx e p = x

+) Nếu e∈ vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải X

của T thì e đ−ợc gọi là phần tử trung lập của T

b) Ví dụ

Với phép cộng và phép nhân trên các tập số , , , số 0 là phần tử trung lập của phép cộng (phần tử không) Số 1 là phần tử trung lập của phép nhân (phần

tử đơn vị)

c) Định lý

Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau

Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T

có các phần tử trung lập trái e , trung lập phải t e p Theo định nghĩa

T , T , X

e x=x x e = ∀ ∈ Vì ,x x e e t p∈X; Te e t p =e e e p; Tt p = ⇒ = e t e t e p

* Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập

Chứng minh: Giả sử e, e′là hai phần tử trung lập của phép toán hai ngôi T

trên tập hợp X Khi đó, vì e là phần tử trung lập T e e′=e e′T = (1) e′

Mặt khác e′ là phần tử trung lập nên T e e′ =e eT ′= (2) Từ (1) và (2) ta có e

e= e′

2.1.5 Phần tử đối xứng

a) Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X, e là phần tử

trung lập của T và a∈ Một phần tử X a′∈ đ−ợc gọi là: X

+) Phần tử đối xứng phải của a nếu T a a′ = e

+) Phần tử đối xứng trái của a nếu T a a′ = e

+) Phần tử đối xứng của a nếu ' a vừa là phần tử đối xứng phải vừa là phần

tử đối xứng trái của a Tức là ' a thoả mãn: Ta a′ =a aT ′= e

b) Ví dụ: +) Đối với phép cộng trên , mọi phần tử đều có phần tử đối xứng đó

chính là các phần tử đối của nó Ví dụ: 2 có phần tử đối xứng là -2

+) Đối với phép nhân trên , mọi phần tử khác 0 đều có phần tử đối xứng,

đó chính là phần tử nghịch đảo của nó Ví dụ: 3 có phần tử đối xứng là 1

3 +) Đối với phép nhân trên , chỉ có hai phần tử thuộc có phần tử đối xứng đó là 1 và -1 vì 1.1 = 1; (-1).(-1) = 1 nên phần tử đối xứng của 1 là 1, của -1

ii) Giả sử a ∈ có hai phần tử trung lập là a′ và "X a Theo chứng minh

trên a′=a′′

2.1.6 Phần tử chính quy

a) Định nghĩa: Giả sử T là phép toán hai ngôi trên tập X, a∈ X

+) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên trái đối với T nếu

∀b c, ∈ X từ Ta b=a cT ⇒ = b c

+) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên phải đối với T nếu

∀b c, ∈ X từ Tb a=cTa⇒ = b c

+) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy nếu nó vừa là phần tử chính

quy bên trái vừa là phần tử chính quy bên phải đối với T

+) Giả sử phép toán hai ngôi T trên tập X có phần tử trung lập e và có tính

chất kết hợp Khi đó mọi phần thuộc X có phần tử đối xứng đều là phần tử chính quy Thật vậy, giả sử a∈ có phần tử đối xứng X a′ ⇒ ∀x y, ∈ , giả sử X

+) Mét nöa nhãm ®−îc gäi lµ nöa nhãm giao ho¸n nÕu phÐp to¸n hai ng«i

cã tÝnh chÊt giao ho¸n

+) Mét nöa nhãm ®−îc gäi lµ mét vÞ nhãm nÕu phÐp to¸n hai ng«i cã phÇn

tö trung lËp

+) Mét nöa nhãm cã sè phÇn tö h÷u h¹n ®−îc gäi lµ nöa nhãm h÷u h¹n

b) VÝ dô : +) TËp c¸c sè tù nhiªn cïng víi phÐp céng lµ mét vÞ nhãm giao

+) Tập P(X) cùng với phép giao là vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là X

+) 3 cùng với phép cộng a+ = + là một vị nhóm giao hoán, hữu b a b

ii) Mỗi phần tử a∈ đều có phần tử đối xứng X a′∈ X

Cách khác: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ−ợc gọi

là một nhóm nếu:

i) Phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp

ii) Phép toán hai ngôi có phần tử trung lập

iii) Mỗi phần tử a∈ đều có phần tử đối xứng X a′∈ X

Nếu phép toán hai ngôi trên X là giao hoán thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel)

Nếu X là tập hữu hạn phần tử thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm hữu hạn và số phần tử của X đ−ợc gọi là cấp của nhóm X

b) Ví dụ

+) Tập các số nguyên cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán

+) Tập các số nguyên cùng với phép nhân không là một nhóm (vì có những phần tử thuộc không tồn tại phần tử đối xứng thuộc , chẳng hạn

2∈ không có phần tử nào thuộc để 2 nhân với nó bằng 1)

+) Tập chỉ gồm một phần tử { }0 cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán, hữu hạn

+) Tập chỉ gồm một phần tử { }1 cùng với phép nhân là một nhóm giao hoán hữu hạn

+) Tập hợp {1, 1, ,− i − với i} 2

1

i = − cùng phép toán nhân đ−ợc cho bởi bảng

sau là một nhóm giao hoán, hữu hạn:

2.2.3 Một số tính chất

a) Mệnh đề

Giả sử G là một nhóm, R là phép toán hai ngôi trên G Khi đó:

a) Giả sử a b, ∈ có phần tử đối xứng là ,G a b′ ′ Khi đó Ra b có phần tử đối xứng là Rb a′ ′

b) Mọi phần tử đều là phần tử chính quy hay ∀a b c, , ∈ : G

a b=a c⇒ =b c b a=c a⇒ = Nói cách khác, phép toán hai ngôi R b c

trong G thoả mãn luật giản −ớc

(a ⇒ b) Hiển nhiên vì nếu G là một nhóm thì G có phần tử trung lập do đó

G có phần tử trung lập trái và vì mọi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng nên chúng có phần tử đối xứng trái

(b ⇒ c) Giả sử G có phần tử trung lập trái e và t a∈ có phần tử đối xứng G

trái a′ , a′ có phần tử đối xứng trái là a′′ Khi đó:

(c ⇒ a) Hoàn toàn tương tự (b ⇒ c) ta chứng minh được G có phần tử trung lập và mọi phần tử đều có phần tử đối xứng ⇒ G là một nhóm

sử x= Khi đó, với mỗi e b∈ vì phương trình RG y a= có nghiệm ⇒ b

a) Định nghĩa: Một tập con A của một nhóm X được gọi là nhóm con của X nếu

A ổn định đối với phép toán trên X và A cùng với phép toán trên X cảm sinh trên

nó là một nhóm

b) Ví dụ : Tập các số nguyên cùng với phép cộng là nhóm con của nhóm các

số thực với phép cộng

c) Định lý

Giả sử A là một tập con của một nhóm X, T là phép toán hai ngôi trong X

A là nhóm con của nhóm X khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Với mọi ,a b∈A aTb, ∈ A

ii) e ∈ với e là phần tử trung lập của X A,

iii) Với mọi a∈A a, '∈ A

2.3 Cấu trúc vành

2.3.1 Định nghĩa

Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi thường được

kí hiệu là +, và gọi là phép cộng và phép nhân X được gọi là một vành nếu các

điều kiện sau được thoả mãn:

+) X cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán

+) X cùng với phép nhân là một vị nhóm

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi , ,x y z∈ ta có: X

x y+z =z y+x z

* Chú ý: Định nghĩa vành có thể được phát biểu một cách tường minh như sau:

Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi thường được

kí hiệu là +, và gọi là phép cộng và phép nhân X được gọi là một vành nếu các

điều kiện sau được thoả mãn:

2.3.5 Miền nguyên

a) Định nghĩa: Một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, không có ước

của 0 được gọi là miền nguyên

b) Ví dụ

+) là một miền nguyên

+) p với mọi p là số nguyên tố là một miền nguyên

2.3.6 Vành con

a) Định nghĩa: Cho X là một vành, A là một tập con của X ổn định đối với 2

phép toán trong X (tức là a+ ∈b A a b, ∈ ∀A, a b, ∈ ) A được gọi là vành con A

của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành

b) Ví dụ: Tập các số nguyên là một vành con của vành các số thực

c) Định lý: Giả sử A là một tập con khác rỗng của một vành X Các mệnh đề sau

tương đương:

i) A là vành con của X

ii) Với mọi ,a b∈A a, + ∈b A a b, ∈ ư ∈ A a, A

iii) Với mọi ,a b∈A a, ư ∈b A a b, ∈ A

một trường nếu X -{ }0 là một nhóm đối với phép nhân trong X

Nói cách khác: Cho X là một miền nguyên Nếu mọi phần tử khác 0 trong

X đều có phần tử nghịch đảo thì X được gọi là một trường

* Chú ý: Định nghĩa vành có thể được phát biểu một cách tường minh như sau:

Cho X là một tập hợp có nhiều hơn một phần tử trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi thường được kí hiệu là +, và gọi là phép cộng và phép nhân X

được gọi là một trường nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

8) Phép nhân có tính chất giao hoán

9) Mọi phần tử khác 0 thuộc X đều có phần tử nghịch đảo

b) Ví dụ

+) Tập hợp số thực, tập hợp số phức, tập hợp số hữu tỷ cùng với các phép toán cộng và nhân đều là trường

+) Vành 5 là trường ( p, với p nguyên tố là trường)

+) 4 không là trường vì phần tử 2∈ 4 không khả nghịch

2.4.3 Trường con

a) Định nghĩa: Giả sử K là một trường, L⊂K L được gọi là trường con của K

nếu:

+) L ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong K

+) L cùng với hai phép toán của K cảm sinh trên nó là một trường

b) Định lí: Giả sử K là một trường, L⊂K, L có nhiều hơn hai phần tử Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

i) L là một trường con của K

1 Xét xem các quy tắc dưới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợp

số tự nhiên không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần

tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc có phần tử

đối xứng?

a) T: (x,y) ax + y3 + 1

2 )

, (x y a x + xy+ y

c) S: (x,y) a x

2 Xét xem các quy tắc dưới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợp

số thực không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc có phần tử đối xứng?

a) T:

2 ) , (x y x+ y

a

b) R: (x,y) a x ư y+ 1

c) S: ( , )x y a x2ưxy+1

3 Xác định các phần tử trung lập trái (phải) đối với các phép toán hai ngôi cho ở

các bảng sau và tìm các phần tử đối xứng của các phần tử (nếu có)

e) TËp hîp c¸c ®a thøc mét Èn bËc n víi phÐp céng ®a thøc

f) M={( , ) : ,a b a b∈ ,a≠0} víi phÐp to¸n (*) cho bëi:

) ,

( )

\ X ( ) X

\ X ( X

8 Chøng minh r»ng:

a) 6 ={6z, z∈ } kh«ng lµ mét vµnh

b) ⎡⎣ 2⎤ = +⎦ {a b 2 : ,a b∈ } lµ mét vµnh giao ho¸n

9 Chøng minh r»ng: × víi hai phÐp to¸n:

( , )a b +( , )c d =(a+c b, +d)( , )( , )a b c d =(ac bd, )

lµ mét vµnh giao ho¸n

10 Chøng minh r»ng: 7 lµ mét tr−êng

được gọi là một ma trận cỡ ( , )m n (hoặc m nì ) Trong đó:

+) a với mọi 1 ij ≤ ≤i m,1≤ ≤ được gọi là phần tử nằm ở dòng thứ i, cột j n thứ j của ma trận A i, j được gọi tương ứng là chỉ số dòng và chỉ số cột của phần

+) Nếu a ij∈ với mọi 1≤ ≤i m,1≤ ≤ thì A được gọi là ma trận thực j n

Nếu a ij∈ với mọi 1≤ ≤i m,1≤ ≤ thì A được gọi là ma trận phức j n