một véc tơ ar uuur= AB tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng song song với P cắt Δở A1và B1.
+) Các điểm A1,B1gọi là các điểm chiếu của các điểm A, B trên Δ theo ph−ơng P.
+) uuuurA B1 1
gọi là véc tơ chiếu của véc tơ uuurAB
trên Δ theo ph−ơng P. +) Giả sử uuuurA B1 1=k OE.uuur(OEuuur
là véc tơ đơn vị trên Δ), k >0 nếu uuuurA B1 1
và
OEuuur
cùng h−ớng, k<0nếu uuuurA B1 1
và OEuuur
ng−ợc h−ớng. Số đại số k đ−ợc gọi là chiếu của véc tơ uuurAB
trên trục Δ theo ph−ơng P và ta viết k= pr ABΔuuurhay
k = pr aΔr. Số k còn đ−ợc gọi là độ dài đại số của A B1 1và kí hiệu k =A B1 1.
b) Tính chất
ph−ơng) bằng nhau, tức là ar r= ⇔b pr aΔr = pr bΔr.
+) Chiếu của véc tơ tổng bằng tổng các chiếu của các véc tơ thành phần, nghĩa là pr aΔ(r r+b)⇔ pr aΔr+r bΔr.
+) pr k aΔ( . )r =k pr a. Δr.
+) Khi mặt phẳng P vuông góc với Δ, phép chiếu lên Δ theo ph−ơng P đ−ợc gọi là phép chiếu vuông góc và ta có:
Định lý: Chiếu vuông góc của một véc tơ trên một trục bằng môdun của véc tơ
nhân với cosin của góc giữa trục và véc tơ:pr aΔr= ar.cosϕ.
5.3. Ph−ơng pháp tọa độ trên mặt phẳng
5.3.1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng
Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng gồm hai đ−ờng thẳng vuông góc với nhau x’Ox và y’Oy trên đó chọn hai véc tơ đơn vị eur uuur1=OE1,
2 2
e =OE
ur uuuur
, th−ờng gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy.
- Hai đ−ờng thẳng x’Ox và y’Oy gọi là hai trục tọa độ, trục x’Ox gọi là trục hoành, y’Oy gọi là trục tung.
- Hai véc tơ đơn vị eur1
, eur2
gọi là hai véc tơ cơ sở.
- Điểm O đ−ợc gọi là điểm gốc tọa độ.
- Hại trục tọa độ chia mặt phẳng ra làm 4 miền, mỗi miền gọi là một góc tọa độ. Ta có 4 góc tọa độ I, II, III, IV.
- Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy gọi là thuận nếu h−ớng quay từ
1
e
ur
đến eur2
theo góc bé nhất là ng−ợc h−ớng của kim đồng hồ, gọi là nghịch trong tr−ờng hợp ng−ợc lại.
5.3.2. Tọa độ của điểm
Để định nghĩa tọa độ của điểm trong mặt phẳng ta cần định lý sau:
*) Định lý: Cho hai véc tơ không cùng ph−ơng eur1
, eur2
. Bất kì một véc tơ ar
đồng phẳng với eur1
, eur2
cũng có thể khai triển theo các véc tơ ấy, nghĩa là:
1 2
ar =xeur+ yeur và sự khai triển ấy là duy nhất.
Mặt phẳng trên đó có chọn một hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy quy −ớc gọi vắn tắt là mặt phẳng Oxy. Giả sử M là một điểm bất kì trong mặt phẳng Oxy. Theo định lý trên ta có: OMuuuur=xeur1+ yeur2.
- Cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y) đ−ợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, x đ−ợc gọi là hoành độ, y đ−ợc gọi là tung độ của điểm M. Kí hiệu: M(x;y)
- OMuuuur
đ−ợc gọi là bán kính véc tơ của điểm M.
- Nh− vậy mỗi điểm M trong mặt phẳng Oxy t−ơng ứng với một và chỉ một cặp sắp thứ tự hai số (x;y). Ng−ợc lại với mỗi cặp sắp thứ tự hai số (x;y), tồn tại một và chỉ một điểm M nhận (x;y) làm tọa độ của nó. Do đó có sự t−ơng ứng 1:1 giữa tập các điểm trong mặt phẳng và tập các cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y).
5.3.3. Tọa độ của véc tơ a) Tọa độ của véc tơ tự do a) Tọa độ của véc tơ tự do
*) Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho véc tơ tự do ar
, theo định lý ta có
1 2
ar =xeur+ yeur. Cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y) đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ ar
đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy.
*) Tính chất: Giả sử ar =( ;x y1 1);br=( ;x y2 2) +) ar r+ =b (x1+x y2; 1+ y2). +) ar r− =b (x1−x y2; 1−y2). +) k a.r =( . ; . )k x k y1 1 . +) a br r. =x x1. 2+ y y1. 2. +) a br r,
cùng ph−ơng khi và chỉ khi 1 1
2 2
x y
x = y .