+) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên trái đối với T nếu ∀b c, ∈ X từ a bT =a cT ⇒ =b c.
+) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên phải đối với T nếu ∀b c, ∈ X từ b aT =cTa⇒ =b c.
+) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy nếu nó vừa là phần tử chính quy bên trái vừa là phần tử chính quy bên phải đối với T.
b) Ví dụ
+) Mọi phần tử thuộc các tập hợp số đều là phần tử chính quy đối với phép cộng trên các tập đó.
+) Mọi phần tử khác 0 thuộc các tập hợp số đều là phần tử chính quy đối với phép nhân trên các tập đó.
+) Giả sử phép toán hai ngôi T trên tập X có phần tử trung lập e và có tính chất kết hợp. Khi đó mọi phần thuộc X có phần tử đối xứng đều là phần tử chính quy. Thật vậy, giả sử a∈X có phần tử đối xứng a′ ⇒ ∀x y, ∈X, giả sử
T T T( T ) T( T ) ( T )T ( T )T
a x=a y⇔a′ a x =a′ a y ⇔ a a′ x= a a′ y ⇔ e xT =e yT
x y
⇔ = .
2.1.7. Tập con ổn định đối với một phép toán hai ngôi a) Định nghĩa a) Định nghĩa
Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và Y là một tập con của X. Tập hợp Y đ−ợc gọi là tập con ổn định đối với phép toán hai ngôi T trên X nếu
, Y, T Y
a b a b
∀ ∈ ∈ . Khi đó Y còn đ−ợc gọi là tập con của X đóng kín đối với phép toán T.
Nh− vậy phép toán hai ngôi trong X cảm sinh một phép toán hai ngôi trong A.
b) Ví dụ
+) Tập các số tự nhiên chẵn là ổn định đối với phép cộng và phép nhân trên .
+) Tập các số tự nhiên lẻ chỉ ổn định đối với phép nhân trên .
2.1.8. Cấu trúc đại số
Một tập hợp trên đó có trang bị một hay nhiều phép toán hai ngôi đ−ợc gọi là một cấu trúc đại số.
Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên cùng với phép toán cộng xác định trên nó là một cấu trúc đại số.
+) Tập hợp các số thực cùng với phép toán cộng và phép toán nhân xác định trên nó là một cấu trúc đại số.
2.2. Cấu trúc nhóm 2.2.1. Nửa nhóm 2.2.1. Nửa nhóm