một tr−ờng nếu X-{ }0 là một nhóm đối với phép nhân trong X.
Nói cách khác: Cho X là một miền nguyên. Nếu mọi phần tử khác 0 trong X đều có phần tử nghịch đảo thì X đ−ợc gọi là một tr−ờng.
* Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ−ợc phát biểu một cách t−ờng minh nh− sau: Cho X là một tập hợp có nhiều hơn một phần tử trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một tr−ờng nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn:
1) Phép cộng có tính chất kết hợp. 2) Phép cộng có phần tử trung lập.
3) Mỗi phần tử a∈Xđều có phần tử đối xứng a′∈X đồi với phép cộng. 4) Phép cộng có tính chất giao hoán.
5) Phép nhân có tính chất kết hợp. 6) Phép nhân có phần tử trung lập.
7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x y z, , ∈Xta có:
.( ) . .
x y+z =z y+x z
.( ) . .
y x+z = y x+ y z
8) Phép nhân có tính chất giao hoán.
9) Mọi phần tử khác 0 thuộc X đều có phần tử nghịch đảo.
b) Ví dụ
+) Tập hợp số thực, tập hợp số phức, tập hợp số hữu tỷ cùng với các phép toán cộng và nhân đều là tr−ờng.
+) Vành 5 là tr−ờng. ( p, với p nguyên tố là tr−ờng). +) 4 không là tr−ờng vì phần tử 2∈ 4 không khả nghịch.
2.4.3. Tr−ờng con
a) Định nghĩa: Giả sử K là một tr−ờng, L⊂K. L đ−ợc gọi là tr−ờng con của K nếu: nếu:
+) L ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong K.
b) Định lí: Giả sử K là một tr−ờng, L⊂K, L có nhiều hơn hai phần tử. Khi đó các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: mệnh đề sau t−ơng đ−ơng:
i) L là một tr−ờng con của K ii) ∀x, y∈L, x+ y∈L, xy∈L, −x∈L, −1∈L x . iii) ∀x, y∈L, x− y∈L, −1∈L xy nếu y≠0. Bμi tập ch−ơng 2