Ph−ơng trình (4) có thể viết d−ới dạng
2 2 2 2 2
2 2 0
x + y − ax− by+a +b −R =
Đặt A =a, B=b, C=a2+b2−R2, khi đó ph−ơng trình trên trở thành
2 2
2 2 0
x + y − Ax− By+ =C (5)
(5) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng tròn.
Ng−ợc lại mọi ph−ơng trình có dạng (5) trong đó a2 +b2− >C 0 là ph−ơng trình của một đ−ờng tròn.
5.4. Ph−ơng pháp tọa độ trong không gian
5.4.1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong không gian
Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong không gian gồm ba đ−ờng thẳng đôi một vuông góc với nhau x’Ox và y’Oy, z’Oz trên đó chọn ba véc tơ đơn vị
1 1
e =OE
ur uuur
, eur uuuur2=OE2, eur uuuur3=OE3, th−ờng gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz.
- Ba đ−ờng thẳng x’Ox, y’Oy và z’Oz gọi là các trục tọa độ.
- Các véc tơ đơn vị eur1
, eur2
, eur3
gọi là các véc tơ cơ sở.
- Điểm O đ−ợc gọi là điểm gốc tọa độ.
- Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz gọi là thuận nếu đứng trên mặt phẳng Oxy theo h−ớng của trục Oz nhìn thấy h−ớng quay từ eur1
đến eur2
theo góc bé nhất là ng−ợc h−ớng quay ng−ợc chiều của kim đồng hồ, gọi là nghịch trong tr−ờng hợp ng−ợc lại.
5.4.2. Tọa độ của điểm
Để định nghĩa tọa độ của điểm trong không gian ta cần định lý sau:
*) Định lý: Cho ba véc tơ không cùng ph−ơng eur1
, eur2
, eur3
. Bất kì một véc tơ ar
nào trong không gian cũng có thể khai triển theo các véc tơ ấy, nghĩa là:
1 2 3
ar =xeur+ yeur+zeur và sự khai triển ấy là duy nhất.
Không gian trên đó có chọn một hệ trục tọa độ Đề Cac vuông góc Oxyz quy −ớc gọi vắn tắt là không gian Oxyz. Giả sử M là một điểm bất kì trong không gian Oxy. Theo định lý trên ta có: OMuuuur=xeur1+ yeur2 +zeur3.
- Bộ sắp thứ tự gồm ba số (x;y;z) đ−ợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz, x đ−ợc gọi là hoành độ, y đ−ợc gọi là tung độ, z đ−ợc gọi là cao độ của điểm M. Kí hiệu: M(x;y;z).
- OMuuuur
đ−ợc gọi là bán kính véc tơ của điểm M.
- T−ơng tự nh− trong mặt phẳng có sự t−ơng ứng 1:1 giữa tập các điểm trong không gian và tập các bộ sắp thứ tự gồm 3 số (x;y;z).
5.4.3. Tọa độ của véc tơ a) Tọa độ của véc tơ tự do a) Tọa độ của véc tơ tự do
*) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho véc tơ tự do ar
, theo định lý ta có
1 2 3
ar =xeur+ yeur+zeur. Bộ sắp thứ tự gồm ba số (x;y;z) đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ
ar
đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz.
*) Tính chất: Giả sử ar =( ; ; );x y z1 1 1 br=( ;x y z2 2; 2) +) ar r+ =b (x1+x y2; 1+ y z2; 1+z2). +) ar r− =b (x1−x y2; 1− y z2; 1−z2). +) k a.r =( . ; . ; . )k x k y k z1 1 1 . +) a br r. =x x1. 2+ y y1. 2+z z1 2. +) a br r,
cùng ph−ơng khi và chỉ khi 1 1 1
2 2 2
x y z
b) Tọa độ của véc tơ buộc
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A x y z( ; ; ), ( ;1 1 1 B x y z2 2; 2). Ta tìm tọa độ của véc tơ buộc uuurAB
. Ta có uuur uuur uuurAB=OB−OA. Mặt khác theo định nghĩa tọa độ của điểm: 1 1 1 2 1 3; 2 1 2 2 2 3 OA=x e + y e +z e OB=x e + y e +z e uuur ur ur ur uuur ur ur ur 2 1 1 2 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) AB OB OA x x e y y e z z e
⇒uuur uuur uuur= − = − ur+ − ur+ − ur
Bộ sắp thứ tự gồm ba số (x2−x y1; 2− y z1; 2−z1)đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ uuurAB
đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz, kí hiệu uuurAB=(x2−x y1; 2− y z1; 2−z1).
5.4.4. Ph−ơng trình của mặt phẳng trong không gian a) Ph−ơng trình tham số của mặt phẳng a) Ph−ơng trình tham số của mặt phẳng
Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm M x y z0( ;0 0; 0) và hai véc tơ không cùng ph−ơng ar=( ;a a a1 2; 3);br=( ; ; )b b b1 2 3 . Ta lập ph−ơng trình mặt phẳng P đi qua điểm M0 và song song với hai giá của hai véc tơ a br r;
.
Điểm M x y z( ; ; ) nằm trên mặt phẳng P khi và chỉ khi các véc tơ
0 , ,
M M a b
uuuuur r r
đồng phẳng. Khi đó vì hai véc tơ a br r;
không cùng ph−ơng nên véc tơ
0
M M
uuuuur
khai triển đ−ợc một cách duy nhất theo các véc tơ a br r,
, nghĩa là 0 1 1 0 1 1 0 0 2 2 0 2 2 0 3 3 0 3 3 . x x ua vb x x ua vb M M u a vb y y ua vb y y ua vb z z ua vb z z ua vb − = + = + + ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ = + ⇔⎨ − = + ⇔⎨ = + + ⎪ − = + ⎪ = + + ⎩ ⎩ uuuuur r r (1)
(1) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tham số của mặt phẳng P, trong đó u, v là tham số. Hai véc tơ không cùng ph−ơng a br r,
đ−ợc gọi là các véc tơ chỉ ph−ơng của mặt phẳng P.
*) Chú ý: Ba véc tơ M M a buuuuur r r0 , ,
đồng phẳng khi và chỉ khi (M M a buuuuur r r0 , , )=0. Do đó ph−ơng trình của mặt phẳng P là
0 0 01 2 3 1 2 3 1 2 3 0 x x y y z z a a a b b b − − − = (2) trong đó hạng của ma trận 1 2 3 1 2 3 a a a X b b b ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ bằng 2 vì hai véc tơ a b, r r không cùng ph−ơng.