a) Định nghĩa: Bản số của một tập hợp hữu hạn đ−ợc gọi là một số tự nhiên.
4.2.3. Phép nhân a) Định nghĩa
cho b + c = a thì c đ−ợc gọi là hiệu của a trừ b và kí hiệu: c = a – b.
Phép toán cho t−ơng ứng một cặp sắp thứ tự gồm hai số tự nhiên a, b với hiệu a – b đ−ợc gọi là phép trừ hai số tự nhiên.
b) Chú ý
+) Nếu tồn tại c = a – b thì a = b + c, giả sử B =b C; =c với B∩ = ∅C
a B C
⇒ = ∪ (theo định nghĩa của phép cộng). Vì B⊂ ∪ ⇒B C B = ≤ = ∪b a B C .
Ng−ợc lại, nếu b ≤ a và a= A b; = B thì B t−ơng đ−ơng với một bộ phận
( ) ( ) ' ' \ ' ' \ ' B ⊂ ⇒ = ∪A A B A B ⇒ =a A = B∪ A B . Đặt c= A B\ ', Vì ( ) ' \ ' ' \ ' B∩ A B = ∅ ⇒ =a B + A B = +b c do đó c= −a b.
Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tồn tại hiệu a – b là b≤a. +) Phép trừ không có tính chất giao hoán, kết hợp.
4.2.3. Phép nhân a) Định nghĩa a) Định nghĩa
Giả sử a, b là hai số tự nhiên, a= A b; = B . Số tự nhiên c= ìA Bđ−ợc gọi là tích của hai số tự nhiên a và b. Kí hiệu: c = a.b hoặc c = aìb.
Phép toán cho t−ơng ứng hai số tự nhiên a, b với một số tự nhiên c là tích của chúng đ−ợc gọi là phép nhân hai số tự nhiên. Khi đó a, b đ−ợc gọi là các thừa số của phép nhân.
b) Ví dụ { , , }; { }, 2; 3 { , , }; { }, 2; 3 A= x y z B= u v ⇒ A = B = , {( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )} 6 A Bì = x u x v y u y v z u z v ⇒ ì =A B và ta có 2 3ì =6 c) Tính chất
+) Phép nhân có tính chất giao hoán. +) Phép nhân có tính chất kết hợp. +) Phép nhân có phần tử trung lập là 1. +) a.0= ∀ ∈0, a
+) Phép nhân thoả mãn luật giản −ớc: a.b = a.c ⇒ b = c (hay nói cách khác mọi số tự nihiên khác không đều là phần tử chính quy đối với phép nhân).
+) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng:
a.(b + c) = a.b + a.c
4.2.4. Phép chia
a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên, b ≠ 0. Nếu có một số tự nhiên csao cho b.c = a thì c đ−ợc gọi là th−ơng của phép chia a cho b. sao cho b.c = a thì c đ−ợc gọi là th−ơng của phép chia a cho b.
Kí hiệu: c = a : b hoặc c a b
= .
Phép toán cho t−ơng ứng một cặp sắp thứ tự gồm hai số tự nhiên a, b (b ≠ 0) với th−ơng a : b đ−ợc gọi là phép chia hai số tự nhiên.
b) Chú ý
+) Phép chia không có tính chất giao hoán, kết hợp.
+) Khi c là th−ơng của phép chia a b: và thì b cũng là th−ơng của phép chia a c: .