gọi là một nhóm nếu: i) X là một vị nhóm.
ii) Mỗi phần tử a∈Xđều có phần tử đối xứng a′∈X.
Cách khác: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ−ợc gọi là một nhóm nếu:
i) Phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp. ii) Phép toán hai ngôi có phần tử trung lập.
iii) Mỗi phần tử a∈Xđều có phần tử đối xứng a′∈X.
Nếu phép toán hai ngôi trên X là giao hoán thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel).
Nếu X là tập hữu hạn phần tử thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm hữu hạn và số phần tử của X đ−ợc gọi là cấp của nhóm X.
b) Ví dụ
+) Tập các số nguyên cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán.
+) Tập các số nguyên cùng với phép nhân không là một nhóm (vì có những phần tử thuộc không tồn tại phần tử đối xứng thuộc , chẳng hạn
2∈ không có phần tử nào thuộc để 2 nhân với nó bằng 1).
+) Tập chỉ gồm một phần tử { }0 cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán, hữu hạn.
+) Tập chỉ gồm một phần tử { }1 cùng với phép nhân là một nhóm giao hoán hữu hạn.
sau là một nhóm giao hoán, hữu hạn:
1 -1 i -i Phần tử đơn vị là 1
1 1 -1 i -i Phần tử nghịch đảo của 1 là 1 -1 -1 1 -i i Phần tử nghịch đảo của -1 là -1
i i -i -1 1 Phần tử nghịch đảo của i là -i -i -i i 1 -1 Phần tử nghịch đảo của –i là i
+) p ={0,1, 2,...,p−1} cùng với phép cộng a+ = +b a b là một nhóm giao hoán.
2.2.3. Một số tính chất a) Mệnh đề a) Mệnh đề
Giả sử G là một nhóm, R là phép toán hai ngôi trên G. Khi đó:
a) Giả sử a b, ∈Gcó phần tử đối xứng là a b′ ′, . Khi đó a bR có phần tử đối
xứng là b a′ ′R .
b) Mọi phần tử đều là phần tử chính quy hay ∀a b c, , ∈G:
R R ; R R
a b=a c⇒ =b c b a=c a⇒ =b c. Nói cách khác, phép toán hai ngôi R
trong G thoả mãn luật giản −ớc.
Chứng minh
a) Thật vậy, chỉ cần chứng minh b a′ ′R là phần tử đối xứng của a bR . Giả
sử e là phần tử trung lập của G
( R )R( R )b a′ ′ a b =b′R( R )Ra a′ b=b′R( R )e b =b b′R =e.
T−ơng tự, ( R )R( R )a b b a′ ′ = ⇒e b a′ ′R là phần tử đối xứng của a bR . b) Nếu a bR =a cR ⇔a′R( R )a b =a′R( R )a c ⇔( R )Ra a′ b=( R )Ra a′ c R R e b e c b c ⇔ = ⇔ = . T−ơng tự, b aR =c aR ⇒ =b c. b) Định lí 1
a) G là một nhóm.
b) G có phần tử trung lập trái và mỗi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng trái.
c) G có phần tử trung lập phải và mỗi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng phải.
Chứng minh:
(a ⇒ b) Hiển nhiên vì nếu G là một nhóm thì G có phần tử trung lập do đó G có phần tử trung lập trái và vì mọi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng nên chúng có phần tử đối xứng trái.
(b ⇒ c) Giả sử G có phần tử trung lập trái et và a∈Gcó phần tử đối xứng trái a′, a′ có phần tử đối xứng trái là a′′. Khi đó:
R t; Rt ; Ra a′ =e e a=a a′′ ′a =e. a a′ =e e a=a a′′ ′a =e. t R tR( R ) ( R )R( R ) R( R )R R(e R ) R a a′ e a a′ a′′ ′a a a′ a′′ a a′ a′ a′′ a′ a′′ ′a e ⇒ = = = = = =
⇒a′ cũng là phần tử đối xứng phải của a
⇒a eR t =aR( R )a a′ =( R )Ra a′ a=e atR =a ⇒ etcũng là phần tử trung lập phải của R.
(c ⇒ a) Hoàn toàn t−ơng tự (b ⇒ c) ta chứng minh đ−ợc G có phần tử trung lập và mọi phần tử đều có phần tử đối xứng ⇒ G là một nhóm.
b) Định lí 2
Cho G là một nửa nhóm khác rỗng. G là một nhóm khi và chỉ khi các ph−ơng trình a xR =b và yRa=b, ∀a b, ∈Gcó nghiệm.
Chứng minh:
(⇒) Giả sử G là một nhóm và e là phần tử trung lập của G và mọi
, G
a b
∀ ∈ , tồn tại a b′ ′, t−ơng ứng là phần tử đối xứng của a b, . Khi đó, từ
R R( R ) R ( R )R R R R R a x= ⇒b a′ a x =a b′ ⇔ a a′ x=a b′ ⇔e x=a b′ ⇔ =x a b′ T−ơng tự, y=b aR ′. Do đó các ph−ơng trình a xR =b và yRa=b, , G a b ∀ ∈ có nghiệm.
(⇒) Giả sử các ph−ơng trình a xR =b và yRa=b có nghiệm với mọi
, G
a b
sử x=e. Khi đó, với mỗi b∈G vì ph−ơng trình y aR =b có nghiệm ⇒ R ( R )R R( R ) R
b e= y a e= y a e = y a=b, ∀ ∈ ⇒b G e là phần tử trung lập phải của G.
Với mỗi a∈G ph−ơng trình a xR =e có nghiệm ⇒ ∃ ∈c G sao cho
R
a c= ⇒e a có phần tử đối xứng phải là c. Theo định lí 1, G là một nhóm.
2.2.4. Nhóm con